基于反射系數(shù)估算的半空間邊界阻抗和聲源直接輻射重構(gòu)*

周達(dá)仁 盧奐采 程相樂(lè) McFarland D.Michael

(浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,杭州 310023)

半空間中聲源直接輻射聲場(chǎng)重構(gòu)的實(shí)施需要構(gòu)造以邊界聲阻抗為參量的半空間基函數(shù),邊界聲阻抗的獲取則通常需要借助原位測(cè)量方法.基于半空間球面波基函數(shù)疊加的聲場(chǎng)重構(gòu)方法,通過(guò)在聲源近場(chǎng)布置全息測(cè)量面和一支參考傳聲器采集聲壓,并以參考傳聲器聲壓重構(gòu)誤差取得最小值為準(zhǔn)則,估算各全息測(cè)點(diǎn)的聲壓反射系數(shù),就能在邊界阻抗未知條件下實(shí)現(xiàn)聲源直接輻射聲壓的重構(gòu),從而擺脫了常規(guī)方法對(duì)聲阻抗原位測(cè)量技術(shù)的依賴.本文的目的是對(duì)這一方法進(jìn)行詳細(xì)的參數(shù)討論,并在估算聲壓反射系數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步對(duì)邊界聲阻抗加以重構(gòu),提出一種基于近場(chǎng)聲全息的聲阻抗測(cè)量方法.以球形聲源為例,對(duì)聲阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)進(jìn)行了仿真,定量地分析參考傳聲器坐標(biāo)、邊界有效流阻率和邊界孔隙度隨深度的降低率等參數(shù)對(duì)重構(gòu)精度的影響.

1 引言

近場(chǎng)聲全息[1]利用布置在振動(dòng)結(jié)構(gòu)近場(chǎng)的全息測(cè)量面采集聲場(chǎng)信息,結(jié)合聲場(chǎng)重構(gòu)算法,可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)表面和三維空間中的聲壓、流體介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振速和聲強(qiáng)等聲學(xué)量分布的可視化,為結(jié)構(gòu)聲源的識(shí)別和定位提供技術(shù)支撐.近四十年來(lái),傅里葉聲學(xué)法[2]、逆邊界元法[3]、球面波函數(shù)疊加法[4]和等效源法[5]等系列近場(chǎng)聲全息方法的相繼提出,標(biāo)志著近場(chǎng)聲全息在自由聲場(chǎng)中的數(shù)學(xué)建模和工程實(shí)施已經(jīng)形成較為成熟的理論體系.這些方法利用Helmholtz 方程的基本解,即自由空間格林函數(shù)建立結(jié)構(gòu)表面聲學(xué)量與空間場(chǎng)點(diǎn)聲學(xué)量之間的關(guān)聯(lián),通過(guò)求解逆問(wèn)題,將全息測(cè)量面上的聲學(xué)量映射到重構(gòu)面.然而,現(xiàn)實(shí)的測(cè)量環(huán)境通常不易滿足理想的自由空間的要求.例如,對(duì)于潛艇等大型裝備而言,其聲輻射指標(biāo)的測(cè)試通常只能在存在反射邊界的船塢中進(jìn)行,這使得測(cè)量值不可避免地受邊界反射的影響,而不能真實(shí)反映聲源的直接輻射量,更不能結(jié)合建立在自由空間中的近場(chǎng)聲全息方法來(lái)實(shí)施聲源直接輻射聲場(chǎng)的重構(gòu).因此,研究含有反射邊界的半空間中聲源直接輻射聲場(chǎng)重構(gòu)的理論和方法,對(duì)于近場(chǎng)聲全息進(jìn)一步走向復(fù)雜環(huán)境下的工程應(yīng)用具有重要意義.

半空間邊界的聲學(xué)特性可由聲阻抗率表征.在工程環(huán)境中,邊界聲阻抗率的幅值一般為有限數(shù)值,這一類邊界稱作有限聲阻抗邊界或阻抗邊界.參照近場(chǎng)聲全息在自由空間的聲場(chǎng)重構(gòu)理論,在含阻抗邊界的半空間中,若要實(shí)施聲源直接輻射聲場(chǎng)的重構(gòu),先要構(gòu)造以邊界阻抗為參量的、滿足Helmholtz 方程和邊界條件的半空間格林函數(shù),建立半空間中場(chǎng)點(diǎn)聲學(xué)量與聲源表面聲學(xué)量之間的關(guān)聯(lián).Zea 和Arteaga[6,7]參照傅里葉聲學(xué)法,將半空間聲壓場(chǎng)表述為一組平面波基函數(shù)及其在邊界處激發(fā)的反射波函數(shù)的疊加,提出了專門(mén)針對(duì)平面形狀聲源直接輻射聲場(chǎng)的重構(gòu)方法.Zhao 和Wu[8]將球面坐標(biāo)系中的自由空間格林函數(shù)替換為半空間格林函數(shù),參照逆邊界元法,對(duì)半空間中振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面的聲學(xué)量進(jìn)行了重構(gòu).Bi 等[9?11]參照等效源法,使用一組半空間格林函數(shù)的線性疊加來(lái)表述全息測(cè)量聲壓,通過(guò)求解半空間格林函數(shù)系數(shù),實(shí)現(xiàn)半空間聲學(xué)量的重構(gòu).Pan 等[12,13]將時(shí)域的半空間格林函數(shù)引入到等效源法中,對(duì)半空間瞬態(tài)聲場(chǎng)進(jìn)行了重構(gòu).

上述方法將邊界阻抗作為參量分別引入傅里葉聲學(xué)法、逆邊界元法和等效源法的數(shù)學(xué)模型,建立半空間聲場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型和相應(yīng)的聲場(chǎng)重構(gòu)算法.由此可知,聲場(chǎng)重構(gòu)的實(shí)施一般需要預(yù)先原位測(cè)得邊界阻抗作為已知量.材料的聲阻抗、聲壓反射系數(shù)和吸聲系數(shù)等聲學(xué)特性的原位測(cè)量技術(shù)[14],經(jīng)過(guò)六十多年的發(fā)展,隨著聲場(chǎng)建模方案的不斷優(yōu)化和傳感器技術(shù)的革新,而趨于多元化和精確化.其中,以近場(chǎng)聲全息的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)、結(jié)合傳聲器陣列作為前端的原位測(cè)量技術(shù),因其相比于傳統(tǒng)的雙傳聲器法具有更強(qiáng)的抗測(cè)量噪聲干擾的能力,而受到研究者的關(guān)注.Tamura[15]在聲源和材料之間布置雙層平面?zhèn)髀暺麝嚵?基于傅里葉聲學(xué)法,在波數(shù)域內(nèi)分離出各波數(shù)分量的入射聲壓角譜和反射聲壓角譜,計(jì)算出材料的聲壓反射系數(shù).Hald等[16]基于統(tǒng)計(jì)最優(yōu)近場(chǎng)聲全息法,使用雙層平面?zhèn)髀暺麝嚵胁杉晧盒畔?計(jì)算出材料的聲阻抗、聲壓反射系數(shù)和吸聲系數(shù).Richard 和Fernandez-Grande[17]使用等效源法,結(jié)合球面?zhèn)髀暺麝嚵凶鳛闇y(cè)量前端,重構(gòu)出材料表面的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速分布,進(jìn)而計(jì)算出聲阻抗和吸聲系數(shù).Dupont 等[18]基于球面近場(chǎng)聲全息的數(shù)學(xué)模型,使用球面?zhèn)髀暺麝嚵凶鳛闇y(cè)量前端,同樣是通過(guò)重構(gòu)材料表面的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速分布,而得到聲阻抗和吸聲系數(shù).總之,由于近場(chǎng)聲全息具有對(duì)聲學(xué)量重構(gòu)的強(qiáng)大能力,將其應(yīng)用于材料聲學(xué)特性的建模與原位測(cè)量,是一條高效的解決途徑.

近期,Zhou 等[19,20]參照球面波函數(shù)疊加法,將半空間聲壓場(chǎng)表述為一組半空間球面波基函數(shù)的線性疊加,通過(guò)求解基函數(shù)的系數(shù),獲取聲源在自由空間中輻射聲壓場(chǎng)的基函數(shù)系數(shù),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)含阻抗邊界半空間中聲源直接輻射聲場(chǎng)的重構(gòu).Zhou 等[20]進(jìn)一步提出,在全息測(cè)量面的一側(cè)設(shè)置一支參考傳聲器,并定義全息測(cè)量面的聲壓反射系數(shù)均值,以參考傳聲器所在位置的聲壓重構(gòu)誤差為最小為原則估算出反射系數(shù)均值,就可以近似計(jì)算半空間球面波函數(shù).從而,在邊界阻抗未知的情況下,也可以實(shí)現(xiàn)聲源直接輻射聲場(chǎng)的重構(gòu).

適用于邊界阻抗為未知量的聲場(chǎng)重構(gòu)方法,不再需要在現(xiàn)場(chǎng)布置標(biāo)準(zhǔn)聲源和特定分布的傳感器來(lái)預(yù)先測(cè)量邊界阻抗,擺脫了常規(guī)方法對(duì)聲阻抗原位測(cè)量技術(shù)的依賴,從而在很大程度上提高了工程實(shí)施效率.然而,現(xiàn)有的研究?jī)H對(duì)該方法在一種阻抗參數(shù)條件下的聲壓重構(gòu)進(jìn)行了初步的仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,參考傳聲器坐標(biāo)和邊界阻抗等參數(shù)的變化對(duì)聲壓反射系數(shù)均值計(jì)算和聲壓重構(gòu)誤差的影響機(jī)理尚未得到研究.因此,本文將系統(tǒng)地考察該方法在不同參考傳聲器坐標(biāo)和邊界參數(shù)條件下,對(duì)聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)精度;同時(shí)在估算聲壓反射系數(shù)均值的基礎(chǔ)上,重構(gòu)邊界的聲阻抗率,為聲阻抗的原位測(cè)量提供一種基于近場(chǎng)聲全息的解決方案.

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 基于半空間球面波基函數(shù)疊加的聲場(chǎng)重構(gòu)理論基礎(chǔ)

在含阻抗邊界的半空間中,如圖1 所示,聲源幾何中心O1到邊界距離記為hs,以O(shè)1在邊界的投影O為原點(diǎn)建立全局坐標(biāo)系,其中,O1的全局坐標(biāo)為xO1(0,0,hs).那么,聲源在半空間中任一場(chǎng)點(diǎn)x的穩(wěn)態(tài)聲壓響應(yīng)phalf(x;ω) 為聲源直接輻射與邊界反射貢獻(xiàn)的總聲壓,可以用不同階次的半空間球面波基函數(shù)的線性疊加來(lái)表述[20]:

圖1 半空間聲場(chǎng)示意圖 (a)聲源、傳聲器陣列和阻抗邊界的布置;(b)聲源幾何中心及其關(guān)于邊界的鏡像點(diǎn)與場(chǎng)點(diǎn)、阻抗邊界之間的幾何關(guān)系Fig.1.Schematic of the half-space sound field:(a) Setup of the source,the microphone array and the impedance boundary;(b) geometric relationship between the geometric center of the source,the mirror point,the field point and the impedance boundary.

其中,ψjhalf(x;ω) 為滿足Helmholtz 方程和阻抗邊界條件的半空間球面波基函數(shù)[19,20],ω為聲波角頻率,j為基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)序數(shù),J為基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù);cj(ω)為待求解的基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)系數(shù).

分別以O(shè)1及其關(guān)于邊界的鏡像點(diǎn)O2為坐標(biāo)原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系,場(chǎng)點(diǎn)x在兩局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別記為x1≡(r1,θ1,?1) 和x2≡(r2,θ2,?2),它們與全局坐標(biāo)x之間的關(guān)系為

其中,ez為z向單位向量.利用兩組局部坐標(biāo),ψjhalf(x;ω)可以表示為[20]

其中,ψj(x|x?hsez;ω) 為表述聲源直接輻射的第j項(xiàng)球面波函數(shù),ψj(x|x+hsez;ω) 為表述鏡像虛源輻射的第j項(xiàng)球面波函數(shù);Rp(θ2;ω) 為聲壓反射系數(shù).

球面波函數(shù)在球面坐標(biāo)系中的表達(dá)式為[4]

聲壓反射系數(shù)Rp(θ2;ω) 的表達(dá)式為[21]

式中,β為歸一化的邊界聲導(dǎo)納,

其中,Z為邊界聲阻抗率,ρ0為半空間流體介質(zhì)密度,c為聲速,Z0為歸一化的邊界聲阻抗率.注意到,(5)式與平面入射波在邊界的聲壓反射系數(shù)形式相同,所以(3)式右邊的第2 項(xiàng)對(duì)反射聲場(chǎng)的表述是近似解.隨著場(chǎng)點(diǎn)與邊界之間距離的增大,且大于半個(gè)聲波波長(zhǎng)時(shí),場(chǎng)點(diǎn)接收到的反射波趨近于平面波,(3)式趨于精確解[21].另外,當(dāng)邊界聲阻抗率逐漸增大,阻抗邊界向完全剛性邊界轉(zhuǎn)變時(shí),半空間任意場(chǎng)點(diǎn)的反射系數(shù)均逐漸趨近于1,此時(shí),(3)式也趨于精確解.

如圖1(a)所示,布置傳聲器陣列作為全息測(cè)量面,根據(jù)(1)式,可以得到如下線性方程組:

其中,上標(biāo)?表示對(duì)矩陣求偽逆:

其中,上標(biāo)H 表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置.

當(dāng)(7)式的系數(shù)向量{C(ω)}J×1確定之后,在半空間或者聲源表面的任意場(chǎng)點(diǎn)處,半空間總聲壓和聲源直接輻射聲壓可由如下兩式重構(gòu):

2.2 邊界阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)

由(3)式、(5)式和(6)式可知,半空間球面波函數(shù)以邊界阻抗和場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)作為參量,因此,當(dāng)邊界阻抗未知時(shí),為了計(jì)算各全息測(cè)點(diǎn)的半空間球面波函數(shù),首先需要對(duì)各測(cè)點(diǎn)的聲壓反射系數(shù)進(jìn)行估算.

對(duì)于具有有限聲阻抗的物理邊界而言,測(cè)點(diǎn)的聲壓反射系數(shù)為有界函數(shù),滿足如下關(guān)系:

2)建立如圖2 所示的直角坐標(biāo)系,其中,橫軸和縱軸分別為Rp的實(shí)部Re[Rp] 和虛部Im[Rp].以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心畫(huà)單位圓,對(duì)圓內(nèi)區(qū)域劃分網(wǎng)格,設(shè)置橫軸和縱軸方向的網(wǎng)格步長(zhǎng)各為?x和?y.由第τ個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)可確定反射系數(shù)Rpτ,作為的備選值,其中,τ1,2,···,T,T為節(jié)點(diǎn)總數(shù).

圖2 單位圓內(nèi)部區(qū)域的網(wǎng)格劃分Fig.2.Mesh of the region inside the unit circle.

3)設(shè)定基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)J的取值上限為Jmax.將基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)和反射系數(shù)均值的一組備選值(J,Rpτ)賦給(7)—(10)式,再以全息聲壓值作為輸入,重構(gòu)參考測(cè)點(diǎn)處的半空間總聲壓并計(jì)算重構(gòu)值與測(cè)量值的相對(duì)誤差E:

如此遍歷 (J,Rpτ)的所有備選值,將E取得最小值Emin時(shí)所對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)確定為反射系數(shù)均值.

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

對(duì)脈動(dòng)球聲源和阻抗邊界構(gòu)成的半空間聲場(chǎng)進(jìn)行仿真.脈動(dòng)球、傳聲器陣列、參考傳聲器和阻抗邊界的布置如圖3(a)所示.脈動(dòng)球半徑a0.05 m,表面振動(dòng)速度V00.01 m/s ,球心O1距離阻抗邊界hs0.30 m.傳聲器陣列為平面陣列,孔徑為0.15 m×0.15 m,其上均布 6×6 個(gè)聲壓測(cè)點(diǎn),相鄰測(cè)點(diǎn)間距為0.03 m.陣列面與阻抗邊界平行,兩者距離ha0.20 m.聲源和陣列面的幾何中心均位于z軸.陣列測(cè)點(diǎn)的編號(hào)如圖3(b)所示,其中,第1 號(hào)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為 (?0.075 m,0.075 m,0.200 m),第36 號(hào)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為 (0.075 m,?0.075 m,0.200 m).參考傳聲器坐標(biāo)設(shè)為xref(0,0,0.05 m).假定阻抗邊界坐標(biāo)為z0,其表面聲阻抗率滿足聲阻抗模型[22]:

圖3 仿真聲場(chǎng)示意圖 (a)脈動(dòng)球聲源、傳聲器陣列、參考傳聲器和阻抗邊界的布置;(b)陣列上傳聲器的編號(hào)Fig.3.Schematic of the simulated sound field:(a) Setup of the dilating sphere source,the microphone array,the reference microphone and the impedance boundary;(b) the indices of the microphones mounted on the array.

其中,σe為邊界有效流阻率,αe為邊界孔隙度隨邊界深度的降低率,f為聲波頻率.選取參數(shù)σe和αe的值分別為38kPa·s/m2和15m?1.空氣介質(zhì)密度ρ01.20 kg/m3,聲速c343m/s.在仿真計(jì)算中,根據(jù)脈動(dòng)球聲源在自由空間中的輻射聲壓場(chǎng)和在半空間中激勵(lì)的聲壓場(chǎng)的解析表達(dá)式[20],得到聲源直接輻射聲壓的理論值和傳聲器測(cè)量的半空間總聲壓值.考慮傳聲器測(cè)量誤差的影響,對(duì)傳聲器陣列和參考傳聲器測(cè)得的半空間總聲壓值附加信噪比為30 dB 的高斯白噪聲.

為了對(duì)聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)精度進(jìn)行定量分析,定義聲阻抗率的重構(gòu)值與理論值Z0之間的相對(duì)誤差為

定義聲源直接輻射聲壓重構(gòu)值與理論值之間的相對(duì)誤差為

首先給出頻率f1700 Hz 工況下,聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的結(jié)果.當(dāng)頻率f1700 Hz時(shí),由(15)式給定的邊界聲阻抗率為Z02.06+2.23i,再根據(jù)(5)式和(6)式,可得位于全息測(cè)量面的場(chǎng)點(diǎn)聲壓反射系數(shù)Rp(θ2;ω) 的變化范圍為0.565 ≤Re[Rp]≤0.573,0.311 ≤Im[Rp]≤0.315.這表明,在本算例所設(shè)定的聲場(chǎng)參數(shù)條件下,全息測(cè)量面的場(chǎng)點(diǎn)聲壓反射系數(shù)隨著θ2的變化,在很小的范圍內(nèi)波動(dòng).

設(shè)定網(wǎng)格步長(zhǎng)為?x?y0.01,基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)取值上限為Jmax4 ,計(jì)算反射系數(shù)均值當(dāng)基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)J1 時(shí),參考測(cè)點(diǎn)的半空間總聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差取得最小值Emin0.75%,求得反射系數(shù)均值0.57+0.33i.

圖4(a)所示為當(dāng)J1 時(shí),參考測(cè)點(diǎn)的總聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差E隨反射系數(shù)Rp變化的三維曲面分布.從圖4(a)可知,曲面上存在唯一的極小值點(diǎn)0.57+0.33i;并且,隨著Rp與之間的距離的增大,E逐漸增大.當(dāng)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)J取2,3 和4 時(shí),也能得到與圖4(a)所示相似的圖像.這表明,總是存在一個(gè)反射系數(shù)均值,使得基于半空間球面波函數(shù)疊加的數(shù)學(xué)模型對(duì)陣列測(cè)點(diǎn)和參考測(cè)點(diǎn)的半空間總聲壓同時(shí)具有最高的描述精度.因此,以參考測(cè)點(diǎn)的總聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差取得最小值為準(zhǔn)則,來(lái)求取反射系數(shù)均值是可行的.圖4(b)所示為陣列測(cè)點(diǎn)的聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差εpres隨反射系數(shù)均值變化的三維曲面分布,其中,基函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)數(shù)J1.與圖4(a)相似,圖4(b)中也存在著唯一的極小值點(diǎn)0.58+0.33i;隨著與之間距離的增大,εpres呈增大趨勢(shì).圖4(b)表明,總是存在一個(gè)反射系數(shù)均值,使得基于半空間球面波函數(shù)疊加的數(shù)學(xué)模型對(duì)陣列測(cè)點(diǎn)的半空間總聲壓和聲源直接輻射聲壓同時(shí)具有最高的描述精度.從而,以反射系數(shù)均值近似陣列測(cè)點(diǎn)的聲壓反射系數(shù),對(duì)半空間總聲壓場(chǎng)進(jìn)行建模,能實(shí)現(xiàn)對(duì)聲源直接輻射聲壓的精確重構(gòu).當(dāng)求得的越逼近其最優(yōu)值時(shí),聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的精度越高.為了使盡可能地逼近,則需要通過(guò)合理地設(shè)置參考傳聲器的坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖4 相對(duì)誤差的曲面圖 (a)誤差E 隨反射系數(shù) Rp變化的分布;(b)誤差 εpres隨反射系數(shù)均值 變化的分布Fig.4.Surface plot of the relative error:(a) The error E versus reflection coefficient Rp;(b) the error εpres versus mean value of the reflection coefficient .

在求得反射系數(shù)均值之后,令xcent(0,0,0.20 m),θ2,cent0,利用(14)式和(16)式,得到聲阻抗率重構(gòu)值為1.93+2.25i,重構(gòu)值與理論值之間的相對(duì)誤差為εimp4.41 %.

利用(7)—(9)式和(11)式,重構(gòu)出陣列各測(cè)點(diǎn)處聲源的直接輻射聲壓響應(yīng).圖5 為無(wú)量綱聲壓幅值|p/(ρ0cV0)|在陣列測(cè)點(diǎn)的分布曲線,包括半空間總聲壓值、聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)值和理論值.從圖5 可見(jiàn),半空間總聲壓值相對(duì)于聲源直接輻射聲壓理論值存在明顯的偏差,說(shuō)明傳聲器陣列測(cè)得的總聲壓被邊界反射污染,完全不能反映聲源真實(shí)的直接輻射量.而在聲場(chǎng)重構(gòu)之后,聲源直接輻射聲壓重構(gòu)值與理論值的分布曲線能夠很好地吻合.在本工況下,聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差為εpres0.29%.結(jié)果表明,該方法能以較高的精度抑制阻抗邊界反射的影響,重構(gòu)脈動(dòng)球聲源直接輻射的聲壓場(chǎng),也能較為精確地重構(gòu)邊界聲阻抗率.

圖5 半空間總聲壓、聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)值和聲源直接輻射聲壓的理論值在陣列測(cè)點(diǎn)的分布Fig.5.Sound pressure distributions at the measurement points on the array,including the total values in the halfspace,the reconstructed values and the benchmark values radiated directly from the source.

進(jìn)一步,對(duì)頻率f=100—3300 Hz 范圍內(nèi)的其他工況進(jìn)行考察,得到如圖6 所示的相對(duì)誤差εimp和εpres隨頻率f的變化曲線.圖6 顯示,對(duì)于多數(shù)頻率工況,εimp均保持在25%以下,表明本方法具有一定的對(duì)聲阻抗率的重構(gòu)精度;僅在f=100 和300 Hz 兩個(gè)低頻工況下,εimp>60%,這是因?yàn)樵诘皖l條件下,聲波波長(zhǎng)較長(zhǎng),使得陣列接收到的反射聲波偏離假定的平面波模型較遠(yuǎn).εpres在整個(gè)頻率范圍內(nèi)保持在2.5%以下,且在大多數(shù)頻率工況保持在1.5%以下,表明本方法具有較高且穩(wěn)定的對(duì)聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)精度.圖6 所示的兩條誤差曲線隨頻率的變化趨勢(shì)具有一定的相似性,這是因?yàn)槁曌杩孤屎吐曉粗苯虞椛渎晧褐貥?gòu)的精度均依賴于聲壓反射系數(shù)均值與其最優(yōu)值的逼近程度.需要說(shuō)明的是,對(duì)于多數(shù)頻率工況,圖6 所示結(jié)果并非本方法所能取得的最小誤差,因?yàn)閰⒖紓髀暺髯鴺?biāo)的設(shè)置會(huì)對(duì)重構(gòu)精度產(chǎn)生較大影響.

圖6 聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差 εimp 和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差 εpres 隨頻率f 的變化曲線Fig.6.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus frequency f.

4 參數(shù)討論

本節(jié)考察參考傳聲器坐標(biāo)以及邊界有效流阻率、邊界孔隙度隨深度的降低率等參數(shù)對(duì)聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)精度的影響.仿真聲場(chǎng)的布置如圖3(a)所示,聲源、傳聲器陣列和阻抗邊界的相關(guān)參數(shù),以及測(cè)量信號(hào)信噪比和網(wǎng)格劃分步長(zhǎng)等參數(shù)的初始值與第3 節(jié)一致.參數(shù)討論遵循單一變量的原則,即當(dāng)考察某一參數(shù)的變化對(duì)重構(gòu)精度的影響時(shí),其他參數(shù)保持不變.

4.1 參考傳聲器坐標(biāo)

首先考察參考傳聲器坐標(biāo)xref的變化對(duì)邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)精度的影響.注意到,在圖3(a)所示的聲場(chǎng)布置中,球聲源的幾何中心正對(duì)著全息測(cè)量面的幾何中心,兩者均位于z軸,使得全息測(cè)量面接收到的聲能量主要集中在入射角為0 的方向.因此,為了充分獲取該方向的聲場(chǎng)信息,將參考傳聲器置于z軸,其坐標(biāo)記為xref(0,0,zref).考察zref的變化所導(dǎo)致的聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差εimp和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差εpres的變化,考察范圍為zref=0—0.19 m.當(dāng)頻率f100 Hz,900 Hz,1700 Hz,2500 Hz和3300 Hz時(shí),使用本方法所得到的εimp和εpres曲線分別如圖7(a)—(e)所示.

圖7 聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差 εpres隨參考傳聲器坐標(biāo) zref的變化曲線 (a)f 100 Hz;(b) f900 Hz;(c) f1700 Hz;(d) f2500 Hz;(e)f 3300 HzFig.7.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus coordinate of the reference microphone zref:(a) f100 Hz;(b) f900 Hz;(c) f1700 Hz;(d) f2500 Hz;(e) f3300 Hz.

先觀察聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差εpres隨參考傳聲器坐標(biāo)zref的變化趨勢(shì).首先,在圖7 所示的5 幅子圖中,隨著zref增大,εpres曲線均呈現(xiàn)出一定程度的振蕩,在zref0.19 m 處取得最大值;隨著聲波頻率f的增大,曲線振蕩的次數(shù)增多. 例如,當(dāng)f900 Hz時(shí),曲線僅有1 個(gè)波谷;當(dāng)f3300 Hz時(shí),波谷的個(gè)數(shù)增加至4 個(gè);而當(dāng)f100 Hz 時(shí),εpres單調(diào)遞增,曲線不存在波谷.其次,對(duì)比在不同的f條件下,εpres所取得的最小值,發(fā)現(xiàn)在低頻時(shí),εpres的最小值相對(duì)較大,而在高頻時(shí)較小.例如,當(dāng)f100 Hz時(shí),εpres的最小值為 1.44% ,當(dāng)f2500 Hz和3300 Hz 時(shí),εpres的最小值僅為0.47%和 0.12%.再次,觀察不同的f條件下,εpres曲線的波谷所對(duì)應(yīng)的zref值,可以發(fā)現(xiàn),在zref約為 1/4 聲波波長(zhǎng)時(shí),曲線第1 次出現(xiàn)波谷,而相鄰兩個(gè)波谷之間的間隔約為 1/2聲波波長(zhǎng).例如,當(dāng)f2500 Hz時(shí),對(duì)應(yīng)聲波波長(zhǎng)為 0.137 m,εpres曲線的第1 波谷在zref0.03 m 處,第1 波谷與第2 波谷的間隔為 0.06 m,第2 波谷與第3 波谷的間隔為0.07 m.

上述現(xiàn)象表明,參考傳聲器坐標(biāo)的設(shè)置會(huì)對(duì)聲壓重構(gòu)精度產(chǎn)生較大影響,并隨著聲波頻率的不同而呈現(xiàn)差異.當(dāng)頻率較低,聲波波長(zhǎng)較長(zhǎng)時(shí),傳聲器陣列接收到的邊界反射波偏離平面波假設(shè)較遠(yuǎn),此時(shí),基于半空間球面波函數(shù)疊加的半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)總聲壓場(chǎng)的描述精度較低,使得εpres曲線的最小值大于高頻工況下的最小值;同時(shí),由于波長(zhǎng)較長(zhǎng),參考傳聲器在較小范圍內(nèi)的移動(dòng)對(duì)其所測(cè)得的半空間總聲壓并無(wú)太大影響,導(dǎo)致εpres隨zref的增大,呈緩慢地單調(diào)遞增趨勢(shì).因此,在低頻工況下,宜將參考傳聲器設(shè)置在緊靠阻抗邊界處.

隨著頻率逐漸增大,聲波波長(zhǎng)變短,半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)總聲壓場(chǎng)的描述精度提高,使得εpres曲線的最小值降低;同時(shí),當(dāng)參考傳聲器坐標(biāo)zref改變時(shí),測(cè)得的總聲壓隨著zref的變化而發(fā)生周期性變化,使得εpres曲線出現(xiàn)振蕩.此時(shí),宜將參考傳聲器設(shè)置在距離阻抗邊界約 1/4 聲波波長(zhǎng)處.

邊界聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差εimp曲線與εpres曲線的變化趨勢(shì)具有相似性,僅在頻率f100 Hz的工況略有差異.兩條曲線具有相似性,是因?yàn)槁曌杩孤屎吐曉粗苯虞椛渎晧旱闹貥?gòu)均基于反射系數(shù)的估算,其重構(gòu)精度同時(shí)取決于所求得的反射系數(shù)均值是否能逼近于其最優(yōu)值.而差異性則表明,聲阻抗率的重構(gòu)精度對(duì)所求得的反射系數(shù)均值更為敏感.這是因?yàn)槁晧旱闹貥?gòu)是以陣列測(cè)得的一組總聲壓值作為輸入,反射系數(shù)均值近似實(shí)際反射系數(shù)所引入的誤差,會(huì)在求解基函數(shù)系數(shù)時(shí)得到補(bǔ)償.相比而言,聲阻抗率是根據(jù)反射系數(shù)均值直接計(jì)算得到,反射系數(shù)均值與其最優(yōu)值的偏離程度直接對(duì)聲阻抗率的重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生影響.

4.2 邊界參數(shù)

考察不同邊界阻抗條件下,本方法對(duì)聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)精度.為了更符合物理實(shí)際,仍然假定邊界聲阻抗率符合聲阻抗模型(15)式,通過(guò)考察有效流阻率σe和孔隙度隨深度的降低率αe兩個(gè)邊界參數(shù),來(lái)間接考察邊界阻抗的變化所產(chǎn)生的影響.

首先,考察參數(shù)σe的變化對(duì)重構(gòu)精度的影響,考察范圍為σe10—1000 kPa·s/m2.設(shè)定聲波頻率f1700 Hz,孔隙度隨深度的降低率αe15 m?1,網(wǎng)格步長(zhǎng)?x?y0.001.由4.1 節(jié)可知,參考傳聲器的坐標(biāo)會(huì)極大地影響重構(gòu)精度,見(jiàn)圖7(c).在此,考察參考傳聲器坐標(biāo)在較優(yōu)配置和較差配置條件下,參數(shù)σe的變化對(duì)重構(gòu)精度的影響.在圖7(c)所示誤差曲線的“波峰”和“波谷”附近選取4 個(gè)點(diǎn),其橫坐標(biāo)依次為0,0.05,0.10 和0.15 m.在這4 個(gè)參考傳聲器坐標(biāo)條件下,使用本方法重構(gòu)邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓,所得相對(duì)誤差εimp和εpres隨參數(shù)σe的變化曲線分別如圖8(a)—(d)所示.

先觀察聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差εpres隨有效流阻率σe的變化.在圖8(a)和圖8(c)中,隨著σe的增大,εpres呈單調(diào)遞增趨勢(shì).在圖8(b)和圖8(d)中,εpres隨著σe的增大而單調(diào)遞減.

圖8 聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差 εpres隨邊界參數(shù) σe的變化曲線 (a) zref 0;(b)zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d)zref 0.15 mFig.8.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus boundary parameter σe:(a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d) zref 0.15 m.

注意到,參數(shù)σe的增大,導(dǎo)致邊界聲阻抗率增大,一方面會(huì)使得邊界反射聲在半空間總聲壓場(chǎng)中所占比重增大.由于基于半空間球面波函數(shù)疊加的半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)總聲壓場(chǎng)的描述是近似解,對(duì)邊界反射聲的描述精度較低,所以,隨著邊界反射聲所占比重的增大,半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)總聲壓場(chǎng)的描述精度將會(huì)降低.另一方面,隨著邊界聲阻抗率增大,阻抗邊界逐漸向完全剛性邊界轉(zhuǎn)變,半空間任意場(chǎng)點(diǎn)的反射系數(shù)均逐漸趨近于1,數(shù)學(xué)模型由近似解轉(zhuǎn)變?yōu)榫_解,導(dǎo)致對(duì)總聲壓場(chǎng)的描述精度提高.這兩種效應(yīng)對(duì)聲壓重構(gòu)精度的影響完全相反,哪一種效應(yīng)占主導(dǎo)作用則取決于參考傳聲器坐標(biāo)的設(shè)置.

在圖8(a)和圖8(c)中,參考傳聲器坐標(biāo)對(duì)應(yīng)圖7(c)所示曲線的波峰,所求出的反射系數(shù)均值偏離其最優(yōu)值,以該反射系數(shù)均值近似實(shí)際反射系數(shù)之后,所得半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)邊界反射聲的描述精度較低.隨著反射聲在總聲壓場(chǎng)中所占比重的增大,聲壓重構(gòu)精度逐漸降低,εpres逐漸增大.在圖8(b)和圖8(d)中,參考傳聲器坐標(biāo)對(duì)應(yīng)曲線的波谷,所求出的反射系數(shù)均值接近其最優(yōu)值,半空間數(shù)學(xué)模型對(duì)總聲壓場(chǎng)描述精度相對(duì)較高.同時(shí),隨著σe的增大,半空間數(shù)學(xué)模型趨近于精確解,使得聲壓重構(gòu)精度提高,εpres逐漸減小.

在圖8 所示的4 幅子圖中,聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差εimp隨有效流阻率σe的增大均呈遞增趨勢(shì).這表明,邊界反射聲在半空間總聲壓場(chǎng)中所占比重是影響聲阻抗率重構(gòu)精度的主要因素.由于聲壓反射系數(shù)均值的求取是以參考測(cè)點(diǎn)處總聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差為最小作為準(zhǔn)則,當(dāng)邊界反射聲所占比重逐漸增大時(shí),為了使得總聲壓的重構(gòu)誤差最小,算法會(huì)自動(dòng)調(diào)整反射系數(shù)均值,使其偏離于全息測(cè)量面幾何中心處的實(shí)際反射系數(shù),因此,εimp隨著σe的增大而逐漸增大.

接著,考察孔隙度隨深度的降低率αe這一邊界參數(shù)的變化對(duì)重構(gòu)精度的影響,考察范圍為αe=10—250 m–1.設(shè)定聲波頻率f1700 Hz,有效流阻率σe=38 kPa·s/m2,網(wǎng)格步長(zhǎng)?x?y0.001.當(dāng)zref分別為0,0.05,0.10 和0.15 m 時(shí),使用所提方法重構(gòu)邊界聲阻抗率和聲源直接輻射聲壓,所得相對(duì)誤差εimp和εpres隨參數(shù)αe的變化曲線分別如圖9(a)—(d)所示.

先觀察εpres的變化趨勢(shì).在圖9(a)和圖9(c)中,隨著αe的增大,εpres單調(diào)遞增;而在圖9(b)和圖9(d)中,εpres呈下降趨勢(shì).這一變化趨勢(shì)與圖8所示類似,因?yàn)榕c參數(shù)σe一樣,參數(shù)αe的增大同樣能使得邊界聲阻抗率增大,而產(chǎn)生了兩種影響聲源直接輻射聲壓重構(gòu)結(jié)果的效應(yīng).這兩種效應(yīng)對(duì)聲壓重構(gòu)精度的影響機(jī)理已如前所述.

觀察εimp的變化趨勢(shì)發(fā)現(xiàn),在圖9(a)和圖9(c)中,εimp隨αe的增大而逐漸增大,僅在αe=250 m–1時(shí),圖9(c)中的εimp略有減小,這與圖8(a)和圖8(c)中的變化趨勢(shì)相似.而在圖9(b)和圖9(d)中,εimp隨著αe的增大,呈現(xiàn)先減小后增大、或先增大后減小的趨勢(shì),這與圖8(b)和圖8(d)所示的單調(diào)變化趨勢(shì)有所不同.這是因?yàn)?由聲阻抗模型(15)式可知,參數(shù)αe的增大所引起的邊界阻抗的變化幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及參數(shù)σe.盡管邊界反射聲所占比重在一定范圍內(nèi)的增大會(huì)導(dǎo)致εimp增大,然而,由于參考傳聲器處于波谷,邊界阻抗的增大使得半空間數(shù)學(xué)模型的描述精度提高,所求得的反射系數(shù)均值能夠在一定程度上逼近于最優(yōu)值,這兩種因素的共同作用使得圖9(b)和圖9(d)中的εimp曲線呈現(xiàn)出非單調(diào)變化的趨勢(shì).

圖9 聲阻抗率重構(gòu)的相對(duì)誤差 εimp和聲源直接輻射聲壓重構(gòu)的相對(duì)誤差 εpres隨邊界參數(shù) αe的變化曲線 (a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d)zref 0.15 mFig.9.Relative error of the reconstructed specific acoustic impedance εimp and the relative error of the reconstructed sound pressure εpres radiated directly from the source versus boundary parameter αe:(a) zref 0;(b) zref 0.05 m;(c) zref 0.10 m;(d) zref 0.15 m.

5 結(jié)論

基于半空間球面波基函數(shù)疊加的聲源直接輻射重構(gòu)方法,將半空間總聲壓表述為有限項(xiàng)半空間球面波基函數(shù)的疊加,建立半空間各場(chǎng)點(diǎn)總聲壓之間、以及場(chǎng)點(diǎn)總聲壓與聲源直接輻射聲壓之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,通過(guò)在聲源近場(chǎng)布置聲壓全息測(cè)量面并設(shè)置一支參考傳聲器,估算各全息測(cè)點(diǎn)的聲壓反射系數(shù),進(jìn)而重構(gòu)聲源直接輻射的聲壓場(chǎng).從而,該方法的提出擺脫了常規(guī)方法對(duì)于聲阻抗原位測(cè)量技術(shù)的依賴,極大地提高了工程實(shí)施的效率.本文對(duì)這一方法進(jìn)行詳細(xì)的參數(shù)討論,并在估算聲壓反射系數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步對(duì)邊界聲阻抗加以重構(gòu),提出一種基于近場(chǎng)聲全息的聲阻抗測(cè)量方法.

選取脈動(dòng)球?yàn)槁曉磳?duì)象,選取以有效流阻率和孔隙度隨深度的降低率作為參數(shù)的聲阻抗模型來(lái)模擬實(shí)際的物理邊界,對(duì)邊界聲阻抗和聲源直接輻射聲壓的重構(gòu)進(jìn)行了仿真,定量地分析參考傳聲器坐標(biāo)、邊界有效流阻率和邊界孔隙度隨深度的降低率等參數(shù)對(duì)重構(gòu)精度的影響.結(jié)果表明,本文提出的方法在所考察的頻率范圍內(nèi),能夠精確地重構(gòu)出脈動(dòng)球聲源的直接輻射聲壓場(chǎng),并能以一定的精度重構(gòu)出邊界的聲阻抗;合理地設(shè)置參考傳聲器坐標(biāo)對(duì)于提高邊界聲阻抗和聲壓重構(gòu)精度至關(guān)重要,一般應(yīng)將參考傳聲器設(shè)置在距離阻抗邊界約 1/4 聲波波長(zhǎng)處,以獲取高精度的重構(gòu)結(jié)果;當(dāng)參考傳聲器坐標(biāo)設(shè)置不合理時(shí),有效流阻率和孔隙度隨深度的降低率兩個(gè)邊界參數(shù)的增大,均會(huì)導(dǎo)致聲阻抗和聲壓重構(gòu)精度的降低;而當(dāng)參考傳聲器坐標(biāo)合理設(shè)置時(shí),兩個(gè)邊界參數(shù)的增大均會(huì)促進(jìn)聲壓重構(gòu)精度的提高.

本文的研究?jī)?nèi)容為半空間中聲源直接輻射聲場(chǎng)重構(gòu)方法在實(shí)施過(guò)程中的參數(shù)設(shè)置提供了參考,也為邊界聲阻抗的原位測(cè)量開(kāi)辟了新途徑.