未滿載壓載水的單點系泊軟剛臂縱向靜剛度

劉勖恒

(清華大學 土木水利學院， 北京 100084)

0 引 言

海洋平臺是開發(fā)海洋資源的關鍵裝備，塔架軟剛臂單點系泊裝置通過軟剛臂將漂浮的海洋平臺系泊在固定單點塔架上，這是目前固定海洋平臺的一種普遍方式，在國內外得到廣泛應用。軟剛臂單點系泊裝置的設計、制造、維護長期被國外少數公司所壟斷[1]，我國已開始自主研發(fā)軟剛臂單點系泊系統(tǒng)。軟剛臂系泊與纜鏈系泊的主要區(qū)別如下：軟剛臂在自重和壓載水重力作用下具有水平剛度，能為海洋平臺提供水平回復力，當海洋平臺靠近單點塔架時對其產生推力，當海洋平臺遠離單點塔架時對其產生拉力，限制浮動的海洋平臺在風、浪、流等環(huán)境載荷作用下的運動，系泊海洋平臺并防止海洋平臺與單點塔架發(fā)生碰撞。

目前人們對軟剛臂進行大量的理論建模、數值計算和縮比試驗，涉及軟剛臂的剛度特性、結構強度、疲勞，以及軟剛臂系泊系統(tǒng)與海洋浮動平臺在復雜海洋環(huán)境載荷作用下的耦合動力學等。例如：FAN等[2]分析軟剛臂單點系泊系統(tǒng)原型試驗測量方法及其精度；田冠楠等[3]對指定環(huán)境工況下的軟剛臂單點系泊系統(tǒng)載荷進行數值分析，將其與模型試驗結果進行對比，驗證數值模型的有效性；呂柏呈等[4-5]建立軟剛臂多體動力學方程，分析軟剛臂系泊系統(tǒng)的動力學特性；張鳳偉等[6]采用模型試驗和數值計算方法研究軟剛臂系泊下浮式液化天然氣存儲及再氣化裝置的動力學特性；袁威等[7]建立系泊力、平臺水平位移與軟剛臂結構形式之間的關系，以確定不同噸位的浮式生產儲卸油裝置(Floating Production Storage and Offloading，FPSO)適用的最佳軟剛臂結構形式；金鋒等[8]建立軟剛臂單點系泊系統(tǒng)的多體動力學模型，構建保辛數值積分方法，計算系統(tǒng)動力學響應和系泊力；胡勇等[9]用ADAMS軟件分析軟剛臂系泊系統(tǒng)與平臺的多自由度耦合運動；堯白蓮等[10]分析軟剛臂單點系泊的橫向剛度特性。

現有的研究都針對水艙滿載壓載水的軟剛臂，此時軟剛臂的重心在其結構上的相對位置保持不變，其靜力學平衡方程和動力學方程相對容易建立。但是，由于軟剛臂系泊系統(tǒng)實際運行的長期性以及運行環(huán)境的復雜性和不確定性，在非正常情況下，一旦軟剛臂壓載水艙未滿載壓載水，壓載水會隨著軟剛臂的運動在水艙內流動，軟剛臂的重心隨之在其結構上發(fā)生移動，導致軟剛臂的剛度特性不同于水艙滿載壓載水的正常工況。

本文針對水艙未滿載壓載水的軟剛臂縱向靜剛度問題，建立軟剛臂縱向靜回復力矩隨轉角變化的理論模型和計算方法，描述單點系泊軟剛臂系統(tǒng)在未滿載壓載水的靜態(tài)剛度特性，為軟剛臂和海洋平臺系統(tǒng)在非正常情況下的力學分析提供基礎。

1 水艙軸線與壓載水水面夾角

軟剛臂由2個盛水的圓柱形密封壓載水艙和2個連桿呈A字形組成，如圖1所示。連桿與水艙的1個端面固定連接，2個連桿分別與對應水艙的軸線共線并匯聚于點O，在O點與固定單點塔架鉸接連接。圓柱形水艙的半徑為r，長度為Lc，忽略水艙壁厚；連桿長度為Lb；軟剛臂的2個水艙軸線之間的夾角為2γ。2個長度均為La的系泊腿一端分別與2個水艙外壁鉸接連接，連接點至原點O的連線在水艙軸線方向的投影距離為Ld，系泊腿另一端與海洋平臺上的系泊支架鉸接連接。水艙、連桿和系泊腿均視為剛體，設單個水艙滿載時壓載水量為W0，單個水艙未滿載時壓載水量為kW0(0≤k<1)，k為壓載艙的裝載率。

圖1 軟剛臂幾何尺寸及整體和局部坐標系

如圖1所示：建立整體坐標系O-XYZ，其中X軸沿2個水艙軸線的角平分線方向(EX=(1,0,0))，Y軸豎直向上(EY=(0,1,0))，Z軸沿軟剛臂的轉動軸方向(EZ=(0,0,1))；以整體坐標系的原點O為原點建立局部坐標系O-xyz，x軸沿水艙軸線方向，z軸為該豎直面的法線方向，y軸位于水艙的垂直橫截面內。忽略海洋平臺繞單點塔架的旋轉運動及平臺艏搖，僅考慮軟剛臂繞Z軸的旋轉運動，旋轉角度φ定義為軟剛臂的2個水艙軸線形成的平面與水平面之間的夾角。

由于對稱性，取軟剛臂的一半結構進行研究。如圖2所示，P為初始水艙自由端面(左端面)的中心點，該點在軟剛臂繞Z軸旋轉φ后運動至Q點，R點為P點和Q點在Z軸上的投影點，LOP=LOQ=L=Lb+Lc，LPR=lQR=a=Lcosγ，PR與QR之間的夾角為φ。在三角形PQR中，求得PQ長度為

圖2 水艙軸線與壓載水水面之間夾角示例

(1)

在三角形PQO中，求得PO與QO的夾角θ為

(2)

θ即為軟剛臂旋轉后水艙中的水面與水艙軸線之間的夾角。

2 壓載水艙中的水面位置

在整體坐標系下，X軸的方向向量EX繞Y軸旋轉γ角度，然后再繞Z軸旋轉φ角度，即得到局部坐標系的x軸在整體坐標系中的方向向量nx。利用羅德里格旋轉公式，空間向量B繞單位向量A旋轉角度α后得到向量的表達式為

B′=Bcosα+(A×B)sinα+A(A·B)(1-cosα)

(3)

得到nx為

nx=n′xcosφ+(EZ×n′x)sinφ+EZ(EZ·n′x)(1-cosφ)

(4)

式中：

n′x=EXcosγ+(EY×EX)sinγ+EY(EX·EY)(1-cosγ)=(cosγ,0,-sinγ)

(5)

同理，旋轉EY和EZ可以得到局部坐標系y和z軸在整體坐標系下的方向向量ny和nz。

若任意一個空間向量在整體坐標系下的分量為[T1,T2,T3]T，在局部坐標系下的分量為[t1,t2,t3]T，則兩者之間的轉換關系為

(6)

式中：Λ為坐標轉換陣

Λ=[nxnynz]

(7)

于是，整體坐標系X軸在局部坐標系下的方向向量為

eX=ΛTEX=[nx[1]ny[1]nz[1]]T

(8)

用過壓載水艙軸線的豎直平面(垂直于水艙內水面)將水艙切開，則水艙在局部坐標系xy平面的圖形如圖3所示，水面以下為壓載水，水面以上為空，水面與水艙軸線之間的夾角為θ，由式(2)給出。水面在xy平面內與水艙左端面、右端面、軸線、上表面、下表面交點的x軸坐標分別為xa、xb、xc、xu、xd，其中：xa=Lb+Lc，xb=Lb，xc∈[xb-r/tanθ,xa+r/tanθ]，xu=xc+r/tanθ，xd=xc-r/tanθ。

圖3 局部坐標系xy平面中的水艙截面

根據xu、xc、xd與xa、xb之間的關系，水艙內水面位置分為8種情況，分別如圖4所示。

圖4 水艙水面的8種情況

在局部坐標x軸橫截面(yz平面)內，根據水艙的水面位置，分為水面在z軸之上和在z軸之下兩種情況(見圖5)，其中，水面距z軸的距離為h(x)。

圖5 水艙橫截面上水面與z軸的關系

容易計算水艙橫截面上的水面積為

(9)

根據圖4中水面的8種情形，水艙中水的重量W為

(10)

對于2個水艙的壓載水裝載率都為k的軟剛臂，當其繞整體坐標系Z軸的轉角為φ時，可根據載水量kW0確定xc，并判斷水艙中當前水面屬于上述8種情形中的哪一種。由于水艙載水量函數的分段特性，難以直接根據kW0解方程計算xc，采用簡單的數值方法確定xc：(1) 當0≤k≤0.5時先設定xc等于其最大取值xc=xa+r/tanθ，然后逐漸減小xc，每次均勻減小Δxc=(xa-xb+2r/tanθ)/n，n為給定的整數；當0.5

3 縱向靜回復力矩

考慮軟剛臂水艙橫截面上水的微元dxdy，其在局部坐標系下的位置向量為s，所受的重力豎直向下，該微元重力對軟剛臂轉軸(整體坐標系Z軸)的力矩為dM=ρdydze，其中：ρ為水密度；e為該微元至整體坐標系YZ平面的距離，e=eX·s。則水艙中的壓載水對軟剛臂轉軸的重力矩M為

(11)

設水艙為均勻圓柱殼體結構，重量為Ws，結構質心位于水艙幾何中心，在局部坐標系下位置為(Lb+Lc/2,0,0)，則水艙結構自重對軟剛臂轉軸的力矩為

Ms=Ws(Lb+Lc/2)cosγcosφ

(12)

軟剛臂的總回復力矩為2(M+Ms)，于是建立軟剛臂縱向靜回復力矩與轉角之間的關系。

計算流程如圖6所示。

圖6 軟剛臂縱向靜回復力矩計算流程

4 算 例

利用所建立的軟剛臂縱向靜回復力矩模型，取r=2 m,La=40 m,Lb=12 m,Lc=12 m,Ld=23 m,γ=20°,W0=27.64 t,n=10 000, Δφ=0.09°，計算得到不同壓載水裝載率下的軟剛臂壓載水的縱向靜回復力矩隨旋轉角度的變化曲線(見圖7)，軟剛臂縱向總靜回復力矩隨旋轉角度的變化曲線(見圖8)。圖7中：曲線M_Full為用固定質心方法計算得到的滿載時的曲線，曲線M_Full_k(k=0.10,0.30,0.50,0.70,0.90,0.99)為滿載壓載水時的壓載水回復力矩乘以裝載率k(k=0.10,0.30,0.50,0.70,0.90,0.99)得到的曲線，其中曲線M_Full_0.99與M_Full 基本一致，不再畫出；曲線M_k(k=0.10,0.30,0.50,0.70,0.90,0.99)為用本模型計算得到的裝載率k(k=0.10,0.30,0.50,0.70,0.90,0.99)下的壓載水回復力矩曲線。圖8中M_k+Ms、M_Full_k+Ms為相應的壓載水回復力矩與軟剛臂結構重力矩之和。由圖7和圖8可知，不同壓載水裝載率下的回復力矩曲線之間不存在線性比例規(guī)律。

圖7 軟剛臂壓載水縱向靜回復力矩隨旋轉角度的變化

圖8 軟剛臂縱向總回復力矩隨旋轉角度的變化

圖9為考慮水流動和不考慮水流動兩種方法計算的壓載水縱向靜回復力矩之間的相對誤差，相對誤差定義為(M_Full_k-M_k)/M_k。由圖9可知：當壓載水裝載率較小時，相對誤差較大，隨著壓載水裝載率的逐漸增大，二者的差異越來越??；當壓載水裝載率為0.99時，軟剛臂回復力矩曲線與滿載壓載水的曲線很接近；當旋轉角度接近0°，即軟剛臂基本水平時，2種情況下的壓載水質心一致，因此回復力矩相同；隨著角度從0°開始增大，相對誤差迅速增大，然后保持緩慢增大；當角度接近90°時，相對誤差迅速增大，但此時的絕對誤差非常小。

圖9 不同壓載艙裝載率下壓載水縱向靜回復力矩與固定質心靜回復力矩之間的相對誤差

5 結 論

推導單點系泊軟剛臂未滿載壓載水時的靜回復力矩模型和計算方法，算例計算結果表明，在水艙未滿載時，水的流動會導致軟剛臂質心發(fā)生變化，軟剛臂回復力矩與相同重量下固定質心的軟剛臂回復力矩曲線有較大差異，并且壓載水裝載率越小二者差異越大。需要指出的是，模型假定軟剛臂結構對稱，當2個水艙中的載水量不相等時，重力會產生扭矩，使軟剛臂產生繞X軸的附加轉動，對于這種情況，可以在本建模方法的基礎上建立其靜力學模型。此外，本模型忽略了動態(tài)效應，沒有考慮未滿載時壓載水在軟剛臂旋轉過程中復雜的液面晃動問題。