壓電微動桿遲滯動力學(xué)建模與魯棒控制研究

王海風(fēng)， 馮興偉， 李 青， 羊 毅， 潘枝峰

(1.中國飛行試驗研究院，西安 710000； 2．中國航空工業(yè)集團公司洛陽電光設(shè)備研究所，河南 洛陽 471000； 3.西北工業(yè)大學(xué)，西安 710000)

0 引言

壓電微動桿由于其高精度、高帶寬、微位移輸出特點，已成為現(xiàn)代光學(xué)設(shè)備主動調(diào)焦系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，在各種高精度微位移輸出機構(gòu)中也得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。然而，壓電系統(tǒng)非線性遲滯效應(yīng)嚴(yán)重限制了壓電微動桿的控制精度，在非線性遲滯影響下，壓電系統(tǒng)開環(huán)跟蹤誤差可達(dá)系統(tǒng)行程的10%～15%[3]。

為實現(xiàn)壓電系統(tǒng)的高精度控制，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者提出了各種遲滯動力學(xué)建模及補償控制方法[4-5]。一般來說，壓電遲滯模型主要包括物理模型和現(xiàn)象模型兩類。物理模型包括Jile-Atherton模型和Maxwell模型[6]等，但由于其模型形式復(fù)雜，在壓電系統(tǒng)建模和控制中較少使用?，F(xiàn)象模型主要有Duhem模型[7]、Preisach模型[8]、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型[9]和Bouc-Wen模型[10]等，這些模型直接采用數(shù)學(xué)方法對遲滯效應(yīng)進行描述，具有更好的適應(yīng)性，并已廣泛應(yīng)用于壓電遲滯建模及控制研究。目前，壓電系統(tǒng)控制多采用反饋控制[11]、前饋控制[12]或反饋-前饋復(fù)合控制[13]方法。然而，由于遲滯模型的復(fù)雜非線性特征，先進控制器的設(shè)計和實際應(yīng)用較為困難，系統(tǒng)控制帶寬受限。同時，在前饋補償控制中，考慮遲滯逆模型精確求解及辨識的復(fù)雜性，系統(tǒng)的建模不確定性和參數(shù)敏感性會導(dǎo)致嚴(yán)重的補償誤差[14]。除此之外，上述多種遲滯模型并不適合描述壓電系統(tǒng)的寬頻帶動力學(xué)特性，在高精度應(yīng)用中，除考慮非線性遲滯影響外，還需要考慮蠕變[15]和機電動力學(xué)[16]等效應(yīng)的影響。壓電系統(tǒng)遲滯動力學(xué)精確建模及高精度控制仍需要進一步的研究。

本文以壓電微動桿為研究對象，研究其多場遲滯動力學(xué)建模與魯棒控制問題。采用多場建模理論，綜合蠕變動力學(xué)、遲滯動力學(xué)及機電動力學(xué)模型，得到壓電微動桿的多場遲滯動力學(xué)模型。同時設(shè)計一種魯棒復(fù)合控制方法，通過魯棒H∞反饋和逆Bouc-Wen前饋復(fù)合控制實現(xiàn)壓電微動桿的高精度位移輸出。其中，前饋控制基于逆Bouc-Wen模型，用于補償非線性遲滯效應(yīng)對系統(tǒng)精度的影響；魯棒H∞控制器的設(shè)計依據(jù)非遲滯線性動力學(xué)部分，將遲滯部分作為建模不確定性處理以簡化控制器設(shè)計，通過反饋控制補償蠕變及機電動力學(xué)影響，提高系統(tǒng)控制帶寬，在保證系統(tǒng)魯棒性的同時進一步提高壓電微動桿控制精度。最后，通過壓電微動桿實驗系統(tǒng)驗證所建立遲滯動力學(xué)模型和所設(shè)計魯棒復(fù)合控制方法的有效性。

1 壓電微動桿遲滯動力學(xué)建模

1.1 壓電微動桿

壓電微動桿主要由壓電作動器、菱形位移放大機構(gòu)和連接桿組成，結(jié)構(gòu)如圖1所示。菱形微位移放大機構(gòu)用來對壓電作動器位移進行放大，保證壓電微動桿作動行程。壓電作動器沿菱形微位移放大機構(gòu)長軸(y方向)放置，壓電微動桿位移輸出方向為x方向。

圖1 壓電微動桿結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of piezoelectric micro-motion rod

在壓電作動器兩端施加一定電壓，壓電作動器運動引起的菱形微位移放大機構(gòu)y方向伸長或縮短變形量記為δ0，相應(yīng)地，壓電微動桿沿x方向伸長或縮短變形量為δ，且有

δ=κδ0

(1)

式中，κ為菱形微位移放大機構(gòu)的放大倍數(shù)。

1.2 壓電微動桿遲滯動力學(xué)建模

壓電微動桿系統(tǒng)具有機-電-熱多場耦合特性，同時具有蠕變、壓電遲滯等復(fù)雜非線性動力學(xué)特性。在高精度應(yīng)用中，為實現(xiàn)壓電微動桿精準(zhǔn)位移輸出，建立壓電微動桿的多場耦合遲滯動力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 壓電微動桿多場耦合遲滯動力學(xué)模型Fig.2 Multi-field coupling dynamic hysteresis model of piezoelectric micro-motion rod

壓電微動桿的蠕變動力學(xué)效應(yīng)可通過線性蠕變模型進行描述，即

(2)

式中：kc為常值增益；zci和pci分別為蠕變動力學(xué)模型零點、極點。

壓電微動桿機電動力學(xué)模型Gev(s)分為電場動力學(xué)Ge(s)與機械動力學(xué)Gv(s)兩部分分別進行建模，且有Gev=GeGv。其中，電場動力學(xué)主要包括RLC效應(yīng)和RC效應(yīng)，即

(3)

式中：τ為時間常數(shù)；C為常值增益；ωn1和ξn1分別為等效頻率與阻尼。

壓電微動桿等效機械模型如圖3所示。

圖3 壓電微動桿等效機械動力學(xué)模型Fig.3 Equivalent mechanical dynamic model of piezoelectric micro-motion rod

圖3中：kp，cp分別為壓電作動器等效剛度和阻尼；kf，cf分別為菱形位移放大機構(gòu)等效剛度和阻尼；δ0為壓電驅(qū)動單元y方向作動位移；δ為壓電微動桿x方向位移輸出；F為壓電作動器輸出力作用。由圖3可知，

壓電微動桿機械動力學(xué)方程為

(4)

即可得壓電微動桿機械動力學(xué)模型

(5)

壓電微動桿遲滯動力學(xué)部分采用Bouc-Wen模型進行描述，即

(6)

式中：y為壓電微動桿輸出信號；y0為初始輸出偏差；u為電壓輸入；h為遲滯輸出；d為比例系數(shù)；α,β,γ為模型參數(shù)；n為不敏感參數(shù)，本文中取n=1。

綜合所建立蠕變、機電及Bouc-Wen遲滯模型即可得到壓電微動桿的多場耦合非線性遲滯動力學(xué)模型。所建立模型具有明確的物理意義，從中可以得到一些典型的特征參數(shù)，如電動力學(xué)時間常數(shù)、振動動力學(xué)的共振頻率及阻尼比等，對于壓電微動桿系統(tǒng)的設(shè)計具有一定的指導(dǎo)作用。同時將線性部分與非線性遲滯部分分開建模，有利于先進控制器的設(shè)計。

2 壓電微動桿動力學(xué)辨識

對1.2節(jié)中所建立的如圖1所示壓電微動桿動力學(xué)模型進行實驗辨識。首先對壓電微動桿的線性蠕變動力學(xué)模型進行辨識。選取周期為400 s的方波信號作為輸入電壓，采樣時間間隔為10 ms。選取參數(shù)為na=4，nb=5和nc=4的ARMAX模型[17]辨識蠕變動力學(xué)模型，Gc的辨識結(jié)果可寫成

(7)

機電動力學(xué)模型Gev的辨識選取周期為0.1 s的方波信號作為輸入電壓，采樣時間間隔為0.1 ms。經(jīng)過所辨識蠕變模型的逆模型，消除蠕變效應(yīng)的影響。選取參數(shù)為na=7，nb=8和nc=7的ARMAX模型辨識機電動力學(xué)模型，Gev的辨識結(jié)果可寫成

(8)

在壓電微動桿Bouc-Wen遲滯模型辨識中，選取2組變幅值頻信號u1(t)=10+10 sin 0.05 πtcos πt和u2(t)=15+10sin 0.05 πtcos πt作為壓電微動桿電壓輸入信號，采樣時間間隔為0.1 ms。經(jīng)過所辨識蠕變動力學(xué)及電和振動動力學(xué)的逆模型，消除蠕變效應(yīng)及電和振動動力學(xué)的影響。采用最小二乘法進行辨識，辨識結(jié)果為

(9)

綜合式(7)～(9)可得壓電微動桿多場遲滯動力學(xué)模型。

3 壓電微動桿魯棒控制

所設(shè)計魯棒復(fù)合控制器框圖如圖 4所示。

圖4 壓電微動桿復(fù)合控制框圖Fig.4 Compound controller of piezoelectric micro-motion rod

圖4中w1為性能加權(quán)函數(shù)，在指定區(qū)間內(nèi)保證控制性能，控制加權(quán)函數(shù)w2主要用來限制控制帶寬和高頻增益。此外，參考信號幅值選擇參考信號加權(quán)函數(shù)wr，wu表示建模不確定性加權(quán)，系統(tǒng)不確定性為

δu=(1+Δuwu)

(10)

式中：Δu表示單位不確定，且‖Δu‖≤1;wu的取值根據(jù)Bouc-Wen遲滯輸出占比確定。

魯棒H∞反饋控制器設(shè)計采用回路整形技術(shù)，所設(shè)計加權(quán)函數(shù)為

(11)

根據(jù)所設(shè)計加權(quán)函數(shù)，通過DK迭代法求解得到魯棒H∞控制器結(jié)構(gòu)參數(shù)，所設(shè)計魯棒H∞控制器的Bode圖如圖 5所示。

圖5 魯棒H∞控制器Bode圖Fig.5 Bode plot of robust H∞controller

4 壓電微動桿魯棒控制實驗研究

4.1 壓電微動桿實驗設(shè)備

為驗證所建立壓電微動桿多場耦合非線性遲滯動力學(xué)模型及所設(shè)計魯棒控制方法，采用圖1所示壓電微動桿，搭建如圖 6所示實驗系統(tǒng)，主要包括壓電微動桿、電渦流傳感器及其信號調(diào)制器、dSPACE實時控制系統(tǒng)和上位機。

圖6 壓電微動桿實驗系統(tǒng)Fig.6 Experimental system of piezoelectric micro-motion rod

實驗中，電渦流傳感器型號為美國雄獅公司的ECL150 U18 Probe，其量程為5 mm，有效分辨率為340 nm。電壓放大器型號為E-500.621，電壓放大倍數(shù)為10，輸入電壓范圍-2～12 V。所采用壓電驅(qū)動裝置型號為CEDRAT公司的APA1000L，其最大行程為1058 μm，分辨率為9 nm。

壓電微動桿實驗系統(tǒng)如圖 7所示。壓電微動桿輸出位移通過電渦流傳感器進行測量作為反饋信號，通過dSPACE實時控制系統(tǒng)主動控制產(chǎn)生控制電壓，經(jīng)電壓放大器放大從而對壓電微動桿進行控制。

圖7 壓電微動桿實驗系統(tǒng)框圖Fig.7 Diagram of piezoelectric micro-motion rod experiment system

4.2 壓電微動桿實驗結(jié)果

為驗證所設(shè)計魯棒復(fù)合控制器的有效性，以下分別給出壓電微動桿對不同類型參考信號的跟蹤實驗結(jié)果。同時，采用Z-N整定法設(shè)計比例-積分(PI)控制器，給出壓電微動桿PI控制實驗結(jié)果作為比較。實驗中，壓電微動桿的跟蹤性能通過跟蹤誤差均方根進行評估，誤差均方根算式為

(12)

式中,N為采樣數(shù)。

圖8和圖9分別為采用PI控制和魯棒復(fù)合控制時壓電微動桿對幅值為200 μm、頻率為1 Hz的正弦信號的跟蹤結(jié)果及誤差分析。由實驗結(jié)果可知，跟蹤誤差均方根分別為2.84 μm和1.27 μm，魯棒復(fù)合控制器相比于PI控制器跟蹤誤差減小了55.3%。

圖8 正弦信號跟蹤結(jié)果(PI控制)Fig.8 Tracking result of sine signal (using PI controller)

圖9 正弦信號跟蹤結(jié)果(魯棒復(fù)合控制)Fig.9 Tracking result of sine signal(using robust compound controller)

圖10和圖11分別為采用PI控制和魯棒復(fù)合控制時壓電微動桿對幅值為200 μm、頻率為1 Hz三角波信號的跟蹤結(jié)果及誤差分析。

圖10 三角波信號跟蹤結(jié)果(PI控制)Fig.10 Tracking result of triangular wave signal (using PI controller)

圖11 三角波信號跟蹤結(jié)果(魯棒復(fù)合控制)Fig.11 Tracking result of triangular wave signal (using robust compound controller)

由實驗結(jié)果可知，跟蹤誤差均方根分別為2.60 μm和1.25 μm，魯棒復(fù)合控制器相比于PI控制器跟蹤誤差減小了51.9%。

從以上實驗結(jié)果可看出，所設(shè)計魯棒復(fù)合控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能。考慮壓電微動桿跟蹤信號的多樣性，為進一步驗證所設(shè)計魯棒復(fù)合控制器的有效性，采用正弦、方波及三角波3種信號組成的復(fù)合信號作為壓電微動桿參考輸入信號，如圖12所示。

圖12 復(fù)合信號跟蹤(魯棒復(fù)合控制)Fig.12 Tracking result of compound signal (using robust compound controller)

由圖12實驗結(jié)果可知，跟蹤誤差均方根為3.0 μm。

5 總結(jié)

本文以壓電微動桿為對象，研究了其遲滯動力學(xué)建模及魯棒控制問題。采用多場建模理論，建立了壓電微動桿的精確動力學(xué)模型并給出參數(shù)辨識過程。同時設(shè)計了一種魯棒復(fù)合控制方法，在保證系統(tǒng)魯棒性的基礎(chǔ)上實現(xiàn)壓電微動桿的高精度控制。實驗結(jié)果表明，所設(shè)計魯棒復(fù)合控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)壓電微動桿的高精度控制。本文所設(shè)計壓電遲滯動力學(xué)建模及魯棒控制方法可以應(yīng)用于光學(xué)主動調(diào)焦、微定位等高精度位移控制應(yīng)用場景。