飛行速度可調(diào)導(dǎo)彈的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律

花文華, 張金鵬,2

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471000； 2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471000)

0 引言

導(dǎo)彈的飛行速度和彈道的轉(zhuǎn)彎半徑、過載等緊密相關(guān)，在飛行過程中的速度變化會通過剩余飛行時間、前置角等產(chǎn)生額外的視線角速度，從而增加對過載的需求，甚至影響制導(dǎo)性能[1]。本文主要針對一類加裝有推力可調(diào)發(fā)動機的導(dǎo)彈開展制導(dǎo)律的研究，這樣一類發(fā)動機包括沖壓發(fā)動機和渦噴發(fā)動機等。對于采用固體或液體火箭發(fā)動機的導(dǎo)彈，飛行速度是不可控的，一般在制導(dǎo)律的設(shè)計中考慮速度變化帶來的影響，而非進行速度的直接控制。采用推力可調(diào)發(fā)動機的導(dǎo)彈在軸向多了一個控制自由度。通過軸向飛行速度控制來保持導(dǎo)彈飛行速度的穩(wěn)定將有助于緩解飛行速度變化帶來的影響。產(chǎn)生脫靶量的因素有多種，包括視線角速度、目標橫向加速度、目標飛行速度的變化等。如果通過軸向飛行速度控制，向著減少瞬時脫靶量的方向進行加速或速度保持，甚至小推力下借助阻力進行減速，將有助于提升導(dǎo)彈飛行彈道的收斂速度，從而改善制導(dǎo)性能。

將導(dǎo)彈飛行速度變化考慮到制導(dǎo)律的設(shè)計當(dāng)中，這方面的研究文獻較多[2-7]，但往往受限于研究對象，并未將導(dǎo)彈速度的變化當(dāng)作控制量對待。如文獻[4]基于微分對策理論，將對策雙方的速度變化直接考慮到非線性相對運動關(guān)系當(dāng)中，提出了一種適用于變速攔截情形的有界控制非線性微分對策制導(dǎo)律。文獻[7]利用線性化制導(dǎo)回路中解析出的剩余飛行時間內(nèi)的平均速度預(yù)測值，設(shè)計了一種考慮導(dǎo)彈速度變化的碰撞時間控制制導(dǎo)律，并將制導(dǎo)律擴展到了適用于非線性系統(tǒng)的情況。

本文主要針對一類飛行速度可調(diào)的導(dǎo)彈，開展同時具備速度和脫靶量控制的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律的研究。首先給出了一種考慮導(dǎo)彈速度變化且以末端過載需求為零的修正比例導(dǎo)引律，在對該制導(dǎo)律瞬時脫靶量部分進一步分析的基礎(chǔ)上，采用滑?？刂品椒ㄟM行飛行速度控制律的設(shè)計，從而實現(xiàn)導(dǎo)彈橫向和速度方向同時在減少脫靶量的方向上控制的目的。

1 問題描述及建模

平面彈目相對運動關(guān)系如圖1所示。圖1中，q為視線角，r為彈目相對距離，a，v，γ分別為加速度、速度和航向角，下標m和t分別對應(yīng)導(dǎo)彈和目標的狀態(tài)。本文中變量均為標量。

圖1 平面彈目相對運動關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry

建立平面彈目相對運動的微分方程，即

(1)

式(1)中，假設(shè)導(dǎo)彈和目標具有一階控制系統(tǒng)動態(tài)特性，τm和τt分別為相應(yīng)的時間常數(shù)，umc和utc分別為導(dǎo)彈和目標的控制指令。

可控流量的發(fā)動機，如沖壓發(fā)動機、渦噴發(fā)動機等模型復(fù)雜，都涉及到對大氣模型、進氣道、燃燒室和尾噴管等的建模。從制導(dǎo)控制的角度上只需了解發(fā)動機的推力，發(fā)動機流量的控制則表現(xiàn)為推力的可控，進而實現(xiàn)導(dǎo)彈飛行速度的可控。為了避免對導(dǎo)彈發(fā)動機的復(fù)雜建模，僅考慮從速度大小控制的角度進行制導(dǎo)律的研究，相應(yīng)的發(fā)動機工作模式簡化為軸向加速度大小的調(diào)節(jié)，這種方法從發(fā)動機的內(nèi)部控制和全彈控制能量優(yōu)化的角度并不是最優(yōu)的，但適當(dāng)?shù)暮喕?，特別是將發(fā)動機當(dāng)作“黑盒”來對待，卻可以簡化制導(dǎo)控制方法的設(shè)計。導(dǎo)彈的飛行速度可控，則可建模為

(2)

式中，amx表示用于飛行速度大小控制的加速度量，假設(shè)其具有時間常數(shù)為τmx的一階控制系統(tǒng)動態(tài)特性，相應(yīng)的控制量為umxc。受限于發(fā)動機的推力特性和空氣阻力，amx總是有界的。

2 制導(dǎo)律推導(dǎo)

2.1 修正的比例導(dǎo)引

比例導(dǎo)引是應(yīng)用最廣泛的制導(dǎo)律形式，在接近速度為負的情況下，總是控制導(dǎo)彈向著視線角速度降低的方向運動，力圖構(gòu)建導(dǎo)彈-目標-命中點的碰撞三角形，實現(xiàn)對目標的毀傷。本文以式(3)形式的比例導(dǎo)引為基礎(chǔ)進行制導(dǎo)律的進一步設(shè)計，即

(3)

N=Kvmcos(γm-q)

(4)

比例導(dǎo)引具有廣泛的衍生形式，典型形式包括擴展比例導(dǎo)引、最優(yōu)制導(dǎo)律和微分對策制導(dǎo)律[4,8-9]。這些典型形式都包括一個比例導(dǎo)引部分或與視線角速度相關(guān)的部分，而由于考慮了目標的機動，導(dǎo)彈和目標的控制系統(tǒng)動態(tài)特性等，具有了不同的瞬時脫靶量組成形式。一般都可以寫成

(5)

由式(1)可得[10]

(6)

為了改善彈道特性，減少需用過載，改變需用過載的分布，可通過增加修正項的形式對比例導(dǎo)引律進行修正。取修正比例導(dǎo)引律的控制形式為

(7)

式中，變量x表示比例導(dǎo)引律的修正項。

考慮修正項x的影響，由式(1)和式(6)，并取t=tf，可得

(8)

修正項x的設(shè)計目的為命中時刻的過載為零，則由式(1)中第4式并經(jīng)進一步推導(dǎo)，可以得到

(9)

則式(7)可以進一步改寫為

(10)

結(jié)合式(5)，修正后的比例導(dǎo)引對應(yīng)的瞬時脫靶量為

(11)

2.2 速度控制的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律

本文在式(11)的基礎(chǔ)上，進一步利用自適應(yīng)滑?？刂品椒╗11-13]，進行導(dǎo)彈速度控制指令umxc的設(shè)計。所定義的滑模面s為

(12)

對s進行求導(dǎo)，并進一步整理，可以得到

(13)

式中

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

假設(shè)與目標相關(guān)的不確定項Δ是有界的，|Δ|≤ν，其中ν為邊界值。

(19)

(20)

(21)

相應(yīng)的自適應(yīng)律為

(22)

定義Lyapunov函數(shù)為

(23)

對式(23)兩邊求導(dǎo)并代入式(6)，經(jīng)進一步推導(dǎo)后可得

(24)

參數(shù)κ決定了系統(tǒng)趨近滑模面的速度，選取

(25)

式中，κ4為設(shè)計參數(shù)。隨著彈目相對距離r不斷減小，κ逐漸增大，一定程度上可緩解視線角速度發(fā)散的影響，并削弱控制上的抖振。

3 仿真及分析

導(dǎo)彈在飛行過程中，會受到空氣阻力的影響，如果發(fā)動機推力大于阻力，會加速，反之，則會減速。相應(yīng)地，通過推力的調(diào)節(jié)可以實現(xiàn)對飛行速度的控制。仿真中對這一過程進行了模擬，假設(shè)空氣阻力為常值，取為-0.5g。

式(10)所示的修正比例導(dǎo)引律以命中時刻的過載為零為目標，采用mPN(modified PN)表示，涉及的參量η由導(dǎo)彈的軸向加速度amx，以及目標的飛行速度vt、航向角γt及相應(yīng)的變化率等構(gòu)成。仿真中，采用對應(yīng)amx的控制量umx抵消空氣阻力帶來的速度的下降，保持飛行速度的穩(wěn)定。假設(shè)在閉合mPN計算中涉及的目標參數(shù)都是已知的，而ASM在mPN的基礎(chǔ)上，不需要知道空氣阻力的大小，根據(jù)瞬時脫靶量，進行飛行速度的主動控制。

采用所設(shè)計的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律ASM，修正的比例導(dǎo)引律mPN和比例導(dǎo)引PN進行仿真對比和分析。仿真中，取導(dǎo)彈和目標的初值位置分別為(0,0)和(3000,4000)，單位為m，導(dǎo)彈的初速度為300 m/s，初始航向80°，目標的飛行速度取為常值200 m/s，初始航向為135°，并以3g的常值機動進行規(guī)避逃逸。導(dǎo)彈的一階控制系統(tǒng)時間常數(shù)和速度控制一階響應(yīng)延遲時間常數(shù)分別為0.2 s和0.5 s，目標的一階控制系統(tǒng)時間常數(shù)為0.3 s。對于ASM，κ1=2，速度控制的加速度邊界值為1g，3種制導(dǎo)律的比例系數(shù)K=4，導(dǎo)彈最大加速度6g。仿真結(jié)果如圖2～7所示。

圖2為3種制導(dǎo)律對應(yīng)的導(dǎo)彈飛行彈道，從圖中可以看出PN對應(yīng)的彈道最為彎曲，mPN和ASM由于采用了導(dǎo)彈飛行速度的控制，彈道則較為平直且較為接近，相應(yīng)的導(dǎo)彈速度控制的加速度amx和飛行速度vm分別如圖3和圖4所示。

圖2 飛行彈道Fig.2 Flight trajectory

圖3 導(dǎo)彈的速度控制量Fig.3 Velocity control value of the missile

圖4 導(dǎo)彈的飛行速度Fig.4 Flight velocity of the missile

對于mPN，為保證飛行速度穩(wěn)定，amx的穩(wěn)態(tài)值與空氣阻力的大小相等，vm基本保持不變，而對于ASM，存在一個加速后減速到再次加速的過程，如圖3和圖4所示，通過該過程，并有效利用空氣阻力的影響，ASM對應(yīng)的彈道曲率是最小的。3種制導(dǎo)律對應(yīng)的橫向加速度和視線角速度分別如圖5和圖6所示。從圖5中可以看出，PN對應(yīng)的加速度最大，且越接近尾端，受目標機動的影響越大，對過載的需求也越大;而mPN采用了命中時刻的過載為零的修正，全彈道的加速度都較小;ASM在mPN的基礎(chǔ)上進行了飛行速度的主動控制，全彈道的加速度同樣較小，且小于mPN。在該加速度控制下，PN和mPN的脫靶量分別為0.279 m和0.059 6 m，而ASM的脫靶量趨近于零。圖7為ASM對應(yīng)的滑模面s的變化曲線，受限于速度控制量umxc總是非負的限制，導(dǎo)彈在前端的加速段，s很快收斂到零，而在利用空氣阻力的減速過程中，umxc=0，s逐漸偏離零值，在尾端再次進入加速段后，s又收斂到零值附近。

圖5 導(dǎo)彈的橫向控制量Fig.5 Lateral control value of the missile

圖6 視線角速度Fig.6 Line of sight rate

圖7 滑模面Fig.7 Sliding mode surface

4 結(jié)論

針對一類飛行速度可控的導(dǎo)彈，利用增加的軸向控制自由度，提出了一種速度可控的自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律在末端過載為零的修正比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上，通過瞬時脫靶量的分析選取適當(dāng)?shù)幕Ｃ妫⒉捎米赃m應(yīng)滑?？刂品椒ㄟM行設(shè)計。仿真結(jié)果對比表明，所設(shè)計的修正比例導(dǎo)引+飛行速度控制的雙重控制自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律可以獲得更加平直的彈道，且過載需求更小，自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律達到了假設(shè)阻力已知情況下并保持飛行穩(wěn)定的修正的比例導(dǎo)引的制導(dǎo)性能，且具有一定的優(yōu)勢，同時也說明，對于飛行速度可調(diào)的導(dǎo)彈實現(xiàn)飛行速度的穩(wěn)定也是改善制導(dǎo)性能的有效手段。