架設(shè)高度對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值的影響分析與計(jì)算*

魏 祥，陳劍云

（華東交通大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，南昌 330013）

高速鐵路牽引供電網(wǎng)作為一組架空平行多導(dǎo)體輸電系統(tǒng)，其自阻抗值與互阻抗值是系統(tǒng)分析計(jì)算以及繼電保護(hù)整定的重要參數(shù)。在工程設(shè)計(jì)過(guò)程中，一般都采用簡(jiǎn)化Carson 公式進(jìn)行計(jì)算，該公式引入了導(dǎo)線—大地等值深度的概念，計(jì)算結(jié)果只與電流頻率、大地土壤導(dǎo)電率的大小有關(guān)，而與導(dǎo)線架設(shè)高度無(wú)關(guān)［1］。簡(jiǎn)化Carson 公式在50 Hz工頻情況下，其計(jì)算精度基本滿足工程要求，但是隨著牽引網(wǎng)對(duì)諧波分布、電磁暫態(tài)信號(hào)傳播特性深入分析的需要，寬頻段的阻抗特性曲線也是必須獲取的基礎(chǔ)參數(shù)，導(dǎo)線架設(shè)高度對(duì)阻抗值的影響也許不容忽略，特別考慮到我國(guó)大多的高速鐵路主要架設(shè)在離地面很高的橋梁上，牽引網(wǎng)的架設(shè)高度差別很大，架高對(duì)牽引阻抗值的影響有多大，是個(gè)值得深入分析與研究的問(wèn)題。

架空導(dǎo)線阻抗計(jì)算的關(guān)鍵在于求解大地的內(nèi)阻抗以及導(dǎo)線與大地間互阻抗，這是一個(gè)非常復(fù)雜的電磁場(chǎng)理論分析與數(shù)值計(jì)算問(wèn)題。早在1926年，Carson 和Dommel［2-3］通 過(guò)分析 半無(wú) 限 平面 大地模型的電磁場(chǎng)，給出了導(dǎo)線—大地回路的自阻抗與互阻抗的積分計(jì)算公式及其級(jí)數(shù)解，成為經(jīng)典求解公式。Carson 級(jí)數(shù)解是由無(wú)窮級(jí)數(shù)構(gòu)成，計(jì)算項(xiàng)復(fù)雜繁瑣，所謂簡(jiǎn)化Carson 公式即是只取級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)而忽略后面的高次項(xiàng)，級(jí)數(shù)第一項(xiàng)與導(dǎo)線架設(shè)高度無(wú)關(guān)，而高次項(xiàng)都相關(guān)［4］。雖然架空平行導(dǎo) 體 阻 抗 計(jì) 算 還 有Tylavsky［5］和Dubanton［6］等 公式，但Tylavsky 公式主要應(yīng)用于隧道中牽引網(wǎng)阻抗計(jì)算，而Dubanton 公式形式簡(jiǎn)單，卻誤差較大［7］，所以目前仍認(rèn)為Carson 公式計(jì)算較為準(zhǔn)確有效。對(duì)于高架橋區(qū)段的牽引網(wǎng)阻抗計(jì)算，文獻(xiàn)［8］雖然結(jié)合Carson 理論但沒(méi)有計(jì)算出高架橋路段的阻抗矩陣，也沒(méi)有考慮架高對(duì)阻抗矩陣造成的影響。文獻(xiàn)［9］考慮到了高架橋的影響，計(jì)算出了供電回路和橋墩回路的耦合系數(shù)，但沒(méi)有涉及架高后的牽引網(wǎng)阻抗矩陣。對(duì)于不同土壤電阻率和諧波頻率下的架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值造成的影響，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)還未見(jiàn)到對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)探討。

文中以Carson 級(jí)數(shù)公式中與高度無(wú)關(guān)的第一項(xiàng)作為基本值，把剩余的高次項(xiàng)作為修正值，分析與計(jì)算牽引網(wǎng)架高對(duì)阻抗值的影響。通過(guò)電氣化鐵路牽引網(wǎng)為實(shí)例，計(jì)算給出在不同大地土壤導(dǎo)電率情況下的阻抗—架高特性曲線；計(jì)算不同諧波頻率下的阻抗—架高特性曲線，并分析了不同情況下架高對(duì)阻抗值的影響；根據(jù)不同情況下架高對(duì)阻抗值影響大小，從而判斷該情況下架高對(duì)阻抗值的影響是否可以忽略，最后整理出數(shù)據(jù)以供參考研究。

1 Carson 阻抗計(jì)算公式

1926 年，Carson、POLLACZEK 等 人 幾 乎 同 時(shí)解決了架空導(dǎo)線-地回路阻抗計(jì)算的問(wèn)題［10］。計(jì)算公式如式（1）～式（4）：

式中：

式中：μ0為導(dǎo)線導(dǎo)磁率，取4π·10-4，H/km；ri為導(dǎo)線半徑，m；hi為導(dǎo)線對(duì)地平均高度，m；ω為角頻率，rad/s；θ為導(dǎo)線電阻率，Ω·m；dij為導(dǎo)線i與j之間的距離，m；Dij為導(dǎo)線i與j的鏡像距離，m。

上述的Zg和Zgm為大地回路對(duì)于輸電線路自阻抗和互阻抗所引起的修正，由式（5）～式（12）表達(dá)：

式中：

以及

式（8）中：sign 函數(shù)每隔4 項(xiàng)改換符號(hào)；D在計(jì)算自阻抗時(shí)為2hi，計(jì)算互阻抗時(shí)為Dij。

在工程設(shè)計(jì)過(guò)程中，頻率f為50 Hz，計(jì)算牽引網(wǎng)阻抗矩陣時(shí)對(duì)大地回路阻抗Rg與Xg取第一項(xiàng)近似，也就推導(dǎo)出了簡(jiǎn)化Carson 法，其中導(dǎo)線—地回路等值自阻抗［11］為式（13）～式（14）：

式中：

2 條導(dǎo)線—地回路間的等值互阻抗為式（15）：

式中：Re為導(dǎo)線交流電阻，Ω/km；r′為導(dǎo)線等效半徑，m；f為電流頻率，Hz；ρ為土壤電阻率，Ω·m；dij為兩導(dǎo)線間的距離，m。

2 架高相關(guān)的阻抗修正公式

由上節(jié)可知，當(dāng)架空導(dǎo)線中通過(guò)的是50 Hz 工頻交流電時(shí)，對(duì)式（6）、式（7）取第一項(xiàng)來(lái)近似，也就 是 式（13）中 的0.05 和0.144 6。與Carson 法 相比，簡(jiǎn)化Carson 法只計(jì)入了Rg與Xg第一項(xiàng)，計(jì)算出的阻抗值只是基本值，而大地回路阻抗Rg與Xg第一項(xiàng)后的多項(xiàng)式即為Carson 法對(duì)簡(jiǎn)化Carson 法的修正值ΔZ，為式（16）～式（20）：

式中：

即：

結(jié)合式（11）、式（12）易得自阻抗修正ΔZii和互阻抗修正ΔZij公式，由于兩者都是關(guān)于頻率f、土壤電阻率ρ和導(dǎo)線對(duì)地高度h3 個(gè)變量的多元函數(shù)公式，以下將借助修正公式來(lái)分析不同土壤電阻率和諧波頻率下的架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值的影響。

3 實(shí)例分析

3.1 牽引網(wǎng)空間分布結(jié)構(gòu)

在AT 牽引供電系統(tǒng)中，承力索、接觸線以及正饋線和保護(hù)線都是同桿架設(shè)，平行于鋼軌，綜合接地線也是沿著鐵路沿線鋪設(shè)，平行于鋼軌［12］。復(fù)線AT 供電方式牽引網(wǎng)空間分布如圖1 所示。國(guó)內(nèi)復(fù)線AT 供電方式牽引網(wǎng)導(dǎo)線空間分布結(jié)構(gòu)基本上是相同的，即架高之后牽引網(wǎng)各導(dǎo)線的架設(shè)高度會(huì)整體改變，但各導(dǎo)線的橫向間距不變。其中，各導(dǎo)線型號(hào)及參數(shù)見(jiàn)表1。

圖1 復(fù)線AT 供電方式牽引網(wǎng)懸掛圖

表1 牽引網(wǎng)各導(dǎo)線型號(hào)及參數(shù)[1]

3.2 不同土壤電阻率情況下阻抗—架高特性曲線

在實(shí)際線路中，牽引網(wǎng)各導(dǎo)線中通過(guò)的單相交流電頻率為工頻，當(dāng)線路鋪設(shè)高架橋跨越江河峽谷時(shí)，牽引網(wǎng)各導(dǎo)線的架設(shè)高度就會(huì)發(fā)生改變，而牽引網(wǎng)阻抗矩陣值與導(dǎo)線架設(shè)高度有關(guān)；再者，牽引網(wǎng)輸電線路上土壤的電阻率不是一成不變的，線路的串聯(lián)電阻、電抗易受土壤電阻率影響［7］，分析工頻時(shí)不同土壤電阻率情況下架高對(duì)阻抗矩陣值的影響。

高速鐵路高架橋高度沒(méi)有專門規(guī)定，不同地形、地質(zhì)條件有所差異，橋墩高度一般在數(shù)米至20 m［13］，研究中考慮特殊情況，選擇高架橋高度范圍5～50 m，步長(zhǎng)為5 m，以上行接觸導(dǎo)線為例，分別計(jì)算不同土壤電阻率情況下接觸導(dǎo)線自阻抗值、接觸導(dǎo)線與鋼軌的互阻抗值的修正。為了方便分析不同情況下架高對(duì)阻抗值的影響及大小，引入阻抗值修正比δ，計(jì)算公式如式（21）：

式中：h為架設(shè)高度；ρ0為土壤電阻率；頻率為f0情況下第i根導(dǎo)線的自阻抗值（或與第j根導(dǎo)線的互阻抗值）。在研究不同情況下架高對(duì)阻抗矩陣值的影響時(shí)，頻率f0和土壤電阻率ρ0為常量，自阻抗（或互阻抗）修正公式ΔZii(ij)(h，ρ0，f0)就變?yōu)橹慌c高架橋高度相關(guān)的修正公式ΔZii(ij)(h)。不同土壤類別電阻率的參考值（沙質(zhì)泥土為典型值100 Ω·m［10］）見(jiàn)表2，工頻時(shí)不同土壤電阻率情況下阻抗修正比-架高特性曲線如圖2、圖3 所示。

表2 常見(jiàn)土壤電阻率[14]

圖2 不同土壤電阻率情況下自阻抗值修正比—架高特性曲線

圖3 不同土壤電阻率情況下互阻抗值修正比—架高特性曲線

由圖2、圖3 可知，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ都會(huì)隨著架設(shè)高架橋的高度增加而增加，最大可達(dá)2%，且在較高的土壤電阻率情況下，阻抗值修正比δ反而較小，基本在0.5%以下。故在不同土壤電阻率情況下，工頻時(shí)架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣響很小，可以忽略不計(jì)。

3.3 不同諧波頻率下阻抗—架高特性曲線

在實(shí)際線路中，牽引網(wǎng)各導(dǎo)線中不只含有頻率為50 Hz 的交流電，這是因?yàn)殡姎饣F路中的非線性負(fù)載在運(yùn)行時(shí)會(huì)產(chǎn)生大量諧波，而不同次數(shù)的諧波流入牽引網(wǎng)輸電線路中都會(huì)對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值造成影響，此節(jié)討論不同頻率下架高對(duì)阻抗矩陣值的影響。

牽引網(wǎng)各導(dǎo)線中的諧波不僅僅是3、5、7 次等低次諧波，而是20～50 次之間的甚至更高次的諧波，故諧波次數(shù)取3～99 次中各奇數(shù)次，即頻率取150～4 950 Hz，土壤電阻率為典型值。如上節(jié)所述，采用式（21）來(lái)分析不同頻率下架高對(duì)阻抗矩陣值的影響。以上行接觸導(dǎo)線的自阻抗和接觸導(dǎo)線與鋼軌的互阻抗為例，5、7、9、25、55、99 次諧波頻率下阻抗修正比—架高特性曲線如圖4、圖5所示。

圖4 不同諧波頻率下自阻抗值修正比—頻率特性曲線

圖5 不同諧波頻率下互阻抗值修正比—頻率特性曲線

由圖4、圖5 可知，在不同諧波頻率下，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ都會(huì)隨著架設(shè)高架橋高度增加而增加，且架高對(duì)互阻抗值的影響比自阻抗值大。在99 次的高次諧波（4 950 Hz）下，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ最大分別可達(dá)8.75%和18.70%。具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表3、表4。

表3 不同諧波頻率下自阻抗值修正比—架高數(shù)據(jù)表

表4 不同諧波頻率下互阻抗值修正比—架高數(shù)據(jù)表

由表3、表4 可知，在7 次諧波（350 Hz）下，架設(shè)高架橋高度在0～50 m 時(shí)，自阻抗值和互阻抗修正比δ基本在5%以下，即滿足實(shí)際工程需要［15］，故在此頻率下架高對(duì)牽引網(wǎng)矩陣阻抗值的影響可以忽略。對(duì)于自阻抗而言，在頻率高于1 250 Hz時(shí)，例如55 次諧波（2 750 Hz），當(dāng)架高超過(guò)30 m時(shí)，自阻抗值修正比δ大于5%，此時(shí)就需要考慮架高對(duì)自阻抗值造成的影響，而在99 次諧波（4 950 Hz）下，架高達(dá)到20 m 時(shí)就需要考慮到架高對(duì)自阻抗值造成的影響了。同理，在頻率高于1 250 Hz 時(shí)，架高超過(guò)15 m 時(shí)需要考慮架高對(duì)互阻抗值造成的影響，而在55 次諧波（2 750 Hz）下，架高達(dá)到5 m時(shí)就不能忽略架高對(duì)互阻抗值造成的影響了，其余情況都可以以此作為參照來(lái)推算，不再贅述。

4 結(jié) 論

根據(jù)Carson 理論進(jìn)行分析，得出與高度相關(guān)的高次項(xiàng)并作為修正值，結(jié)合國(guó)內(nèi)AT 牽引供電系統(tǒng)為實(shí)例進(jìn)行計(jì)算分析，得出以下結(jié)論：

（1）當(dāng)牽引網(wǎng)中通過(guò)工頻交流電時(shí)，架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值造成的影響很小，在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中是可以忽略的。

（2）當(dāng)牽引網(wǎng)中含有諧波電流，且所含諧波的次數(shù)在7 次以下時(shí)，架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗矩陣值的影響可以忽略；當(dāng)所含諧波的次數(shù)在7～25 次之間時(shí)，架高對(duì)阻抗矩陣中自阻抗值造成的影響仍可以忽略，但要考慮對(duì)互阻抗值造成的影響；當(dāng)所含諧波的次數(shù)高于25 次時(shí)，架高對(duì)牽引網(wǎng)阻抗值的影響較大，超過(guò)了實(shí)際工程誤差允許的范圍5%，其影響不可忽略。