撓性板彎折的數(shù)值分析方法

胡 亮 李 歡 任桃桃 白俊磊 王一波

（上海航天控制技術研究所，上海 201109）

0 引言

現(xiàn)階段航空航天領域產(chǎn)品輕量化、小型化、集成化的趨勢愈來愈明顯，這對電路印制板結(jié)構(gòu)、尺寸和可靠性的要求越來越高。剛撓結(jié)合印制板將傳統(tǒng)PCB 板與尺寸更小、安裝方式更加靈活的撓性板結(jié)合在一起，不僅提高了電子系統(tǒng)連接的可靠性，還使得結(jié)構(gòu)設計方式更加簡單、可靠［1-2］。撓性板作為剛撓結(jié)合印制板的中間連接部件，制造工藝決定了其自身的剛度、強度等力學性質(zhì)［3-4］，然而在實際使用中撓性板往往存在彎折情況，特別是直角彎折和翻轉(zhuǎn)彎折［5］，導致局部應力過大進而造成其失效。撓性板的長度設計需為彎折預留足夠的操作空間，還應使彎折到位后板內(nèi)的應力盡量小，特別是撓性板與PCB板連接處，以及撓性板彎折曲率最大處［6］。

利用有限元分析軟件可以方便地計算撓性板彎折的位移、變形、應力以及連接處的彎矩、剪力等情況［7-8］，但無法系統(tǒng)地給出各力學參數(shù)隨撓性板長度變化的曲線，不便于在設計之初給出合適的設計參數(shù)。

本文以撓性板翻轉(zhuǎn)彎折為例，從材料力學中梁受力彎曲的撓曲線方程出發(fā)，利用數(shù)值積分方法求得給定彎矩和剪力情況下的撓性板彎折曲線，再以板長和跨度作為約束條件反算彎矩和剪力的取值［9］，在取得板長-跨度-彎矩-剪力4 者關系曲線后作進一步的分析。

1 撓性板彎折的受力分析

一種典型的撓性板翻轉(zhuǎn)彎折如圖1所示。圖中兩塊PCB 板平行放置，其右側(cè)端面重合，中間由等寬等厚的均勻撓性板連接，撓性板自由彎曲變形。

圖1 撓性板彎折模型Fig.1 Model of bending flexible plate

撓性板為線彈性變形，采用材料力學中梁彎曲時的中性層假設，認為該層的長度在彎曲時無變化，截面內(nèi)水平方向應力相同［10］，將問題簡化為二維受力問題，撓性板的受力情況如圖2所示。圖中A、B點為撓性板中性層曲線的兩端點，C 點為曲線頂點，撓性板在兩端點處收到彎矩和剪力的作用，撓性板總長為L，彎折后AB跨度為D，曲線高度為H。

圖2 撓性板彎折的受力分析Fig.2 Force analysis of the bending flexible plate

由于撓性板自由變形，其變形具有對稱性，且X方向的外力為零。只取上半部分AC 段進行分析，將坐標原點取為A 點，曲線上坐標為X的一點P 的受力如圖3所示。

圖3 撓性板變形曲線上任意一點的受力分析Fig.3 Force analysis of any point of the bending flexible plate

取力和力矩的正方向與坐標軸正方向相同且滿足右手法則，由力和力矩平衡可知：FP=-FA及MP=FAx-MA。即曲線上各點的剪力相同，且力矩為：

2 彎折曲線的數(shù)值積分

撓性板視為均一的線彈性材料，同時算例中梁的跨度遠大于截面高度，因此根據(jù)材料力學中梁的撓曲線方程［10］，可得：

式中，E為撓性板材料的彈性模量，I為截面的慣性矩，矩形截面寬度為b，高度為h，則有I=bh3/12。

曲線二階導數(shù)y″與力矩Mx符號相同，根據(jù)力矩方向定義，若Mx>0（即力矩為逆時針方向），此時曲線具有上翹（下凸）趨勢，對應的二階導數(shù)y″>0。注意到AC 段的末端必然向內(nèi)彎曲，即斜率為負且迅速減小，可知此處的力矩必然為負值。

將式（1）代入式（2）中，整理得：

已知x0=0，y0=0，y′0=0，上式可用數(shù)值積分的方法求取曲線的一階和二階導數(shù)，進而求得曲線方程。積分方法可選擇歐拉法或四階Runge-Kutta 法［11］，后者具有更高的求解精度，且計算量不大，本文選擇后者進行求解，遞推公式如下：

式中，h為步長。坐標y和弧長Δs的遞推采用前一點的一階和二階導數(shù)計算：

利用MATLAB 軟件編寫計算程序，考慮到曲線末端斜率增加很快，采用變步長算法來減小計算誤差。計算時以終點的斜率作為終止的條件，閾值取為-50 000。積分求解時需確定FA和MA的數(shù)值，為方便初值選取，考慮到此時撓性板受純彎矩作用時其曲率理論上為常數(shù)，即彎曲曲線為半徑為R的圓弧，則有：1/R=MO/EI，同時取F0=MO/R。撓性板長度為L，則FA和MA的取值定義為：

式中，KM和KF分別為力矩和力取值的系數(shù)。

MATLAB 中數(shù)值計算流程圖如圖4所示，仿真計算所采用的參數(shù)見表1。

圖4 MATLAB數(shù)值計算流程圖Fig.4 Flow chart of the numerical calculation in MATLAB

表1 仿真計算參數(shù)表Tab.1 Parameters of the simulate calculation

對所有的組合分別求解，結(jié)果如圖5所示。圖中數(shù)值積分工具對于每個KM和KF值下不同跨度曲線均進行求解，同時曲線構(gòu)型首先要滿足同一長度條件和AC 段（初始段）向下彎曲的條件。邊界曲線以下部分為不滿足初始段曲線向下彎曲構(gòu)型的組合，長度條件曲線為滿足撓性線長度60 mm 的組合，跨度條件曲線為撓性線彎折后滿足相應跨度的組合，兩者的交點即為同時滿足長度和跨度條件的取值組合（求解精度為1%）。

從圖5中可以明顯看到隨著跨度不斷增大，跨度條件曲線向右側(cè)移動，且其右上段逐漸向長度條件曲線靠近，滿足相應跨度的取值組合點也在長度條件曲線上向右上方移動。從數(shù)值上可以看出：

圖5 數(shù)值積分結(jié)果Fig.5 Numerical integration

（1）D=2R時（本算例中R=60/pi），剪力系數(shù)為0，力矩系數(shù)為1，符合梁純彎曲構(gòu)型時受力狀態(tài)；

（2）剪力絕對值隨跨度增大首先逐漸減小，剪力值減小為0后，剪力改變方向，且絕對值逐漸增大；

（3）力矩絕對值隨跨度增大同樣先減小后增大，但力矩方向改變時刻先于剪力。

3 有限元仿真驗證

為驗證數(shù)值分析結(jié)果的有效性，本文用ANSYS Workbench軟件對相同模型進行了有限元求解［12］，仿真參數(shù)設置同前。得到撓性板彎折至跨度30 和20 mm時的變形和應力情況，如圖6所示。

圖6 撓性板彎折應力的有限元仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of the bending stress of flexible plate in finite element method

取撓性板中間層的變形曲線與數(shù)值積分結(jié)果，由跨度為30 和20 mm 時的結(jié)果對比如圖7可見，兩條變形曲線非常吻合，對應點處誤差最大值在0.2 mm 左右，越接近彎折頂點C（積分末端）誤差越大。通過減小積分步長可提高積分精度，減小誤差。

圖7 彎折曲線的數(shù)值積分與有限元仿真結(jié)果對比Fig.7 Comparison of the numerical integration and finite element simulation results of the bending curves

跨度為5～50 mm 時兩種方法計算的彎矩和剪力結(jié)果對比見表2。兩種方法的計算結(jié)果較為一致，剪力的誤差基本在0.024 N 以下，彎矩的誤差基本在0.504 N·mm 以下，在兩端處誤差較大；剪力和彎矩的相對誤差基本在9%以下。剪力相對誤差最大出現(xiàn)在跨度為40 mm 時（接近圓弧彎曲），此時剪力數(shù)值非常小，較小的誤差值引起了較大的相對誤差。

表2 不同跨度時兩種方法計算的彎矩和剪力計算結(jié)果對比Tab.2 Comparison of the bending moment and shearing force calculated by two methods in different span

兩種方法的誤差來源有：（1）積分算法（特別是弧長）的遞推公式；（2）積分步長的選擇；（3）初始參數(shù)的間距；（4）對彎矩和變形方程的簡化。后續(xù)可從以上幾方面入手提高數(shù)值算法的計算精度。

4 數(shù)值積分結(jié)果分析

基于數(shù)值積分的結(jié)果進一步分析各參數(shù)的關系，如圖8所示?？梢钥闯觯海?）曲線高度H隨跨度D增加逐漸減小；（2）KM和KF數(shù)值隨跨度D增加單調(diào)增加且斜率迅速增大；（3）KM和KF呈正相關關系（實際上該曲線即圖5中的長度條件曲線）。采用多項式擬合的方式可以獲得各參數(shù)的近似關系表達式，可應用于后續(xù)數(shù)值積分的優(yōu)化，以提高仿真結(jié)果的精度。

撓性板彎折曲線的形狀與剪力和彎矩符號之間的關系如圖9所示。聯(lián)系圖8（c）可知：（1）若FA>0，必然有MA>0，否則不滿足曲線的構(gòu)型，此時有D>2R；（2）若FA=0，必然有MA=M0，此時有D=2R；（3）若FA<0，且MA≥0，此時D<2R，且曲線完全內(nèi)縮無外擴段；（4）若FA<0，且MA<0，此時D<2R，且曲線存在外擴段（二階導數(shù)先正后負），跨度臨界值為27.44 mm。4種狀況下跨度依次減小，高度逐漸增加。

圖8 各參數(shù)關系曲線Fig.8 Curves of the relationship of each parameter

圖9 參數(shù)符號與曲線形狀的關系Fig.9 Relationship of the parameter sign and curve shape

在實際應用中，可以首先根據(jù)工程實際需求得到撓性板所需要的初始長度與跨度，然后利用數(shù)值仿真根據(jù)撓性板的力學性質(zhì)下以及長度與跨度關系來判斷其所承受的剪力與彎矩的方向和數(shù)值大小，再以剪應力或正應力為優(yōu)化目標，在合理的約束下選取一系列可行的長度與跨度參數(shù)，最后得到同時兼顧操作工藝性和應力要求的撓性板構(gòu)型。

5 結(jié)論

本文首先對撓性板彎折進行受力分析，然后基于梁的撓曲線方程，將彎矩和剪力作為自變量，利用四階Runge-Kutta 方法計算了撓性板翻轉(zhuǎn)彎折的曲線構(gòu)型，最后利用曲線長度和跨度反算來確定彎矩和剪力的數(shù)值，仿真計算得到的結(jié)論如下：

（1）將數(shù)值積分結(jié)果與ANSYS Workbench 的有限元仿真結(jié)果相對比，發(fā)現(xiàn)兩種計算方法得到的撓性板變形曲線非常吻合，彎矩和剪力數(shù)據(jù)非常接近；

（2）基于數(shù)值積分結(jié)果進一步分析彎矩、剪力與撓性板彎折曲線的跨度、高度間的關系，指出參數(shù)符號與彎折曲線構(gòu)型間的關系，對工程設計具有一定的借鑒意義。

本文發(fā)展的數(shù)值積分方法可推廣應用于撓性板的其他彎折情況，如直角彎折或特定角度彎折。由于支撐反力的增加，自變量數(shù)量增加，需要有合適的優(yōu)化方法配合計算。