連續(xù)雙切換線性正系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制

冉曉宇，龍 飛

（1貴州大學(xué) 大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴陽 550025；2貴州理工學(xué)院 人工智能與電氣工程學(xué)院，貴陽 550003）

0 引 言

雙切換線性正系統(tǒng)是由一組線性子系統(tǒng)組成，在其子系統(tǒng)間切換，受控于一個(gè)有限狀態(tài)的馬爾可夫過程。此類系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)或參數(shù)方面存在突然隨機(jī)變化的系統(tǒng)進(jìn)行建模，模型可應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)、HIV突變和治療。

在過去的幾十年里，切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一直都是一個(gè)重要的研究課題。由于電子信息工程、通信、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中愈加復(fù)雜的控制對(duì)象，研究者越來越關(guān)注切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其控制器綜合問題，切換系統(tǒng)的應(yīng)用引起了更為廣泛的關(guān)注。對(duì)于切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析，常用的分析方法有Lyapunov函數(shù)、Co－positive Lyapunov函數(shù)、駐留時(shí)間和平均駐留時(shí)間等。本研究中，選擇多Lyapunov函數(shù)方法，研究雙切換線性正系統(tǒng)，并對(duì)其有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

當(dāng)前的許多穩(wěn)定性研究中，均假設(shè)切換系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但在任意切換規(guī)則下的切換系統(tǒng)卻都不能保持穩(wěn)定，僅在有限的切換信號(hào)下可能是穩(wěn)定的。盡管存在一些線性分析方法和工具，對(duì)于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制綜合問題仍是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究方向。平均駐留時(shí)間切換是一類有限的切換信號(hào)方式，切換的次數(shù)被限制在一個(gè)有限的間隔內(nèi)，且平均時(shí)間不小于一個(gè)給定常數(shù)。

對(duì)于雙切換線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［3－4］基于持續(xù)駐留時(shí)間（Persistent dwell－time，PDT）的方法，研究了系統(tǒng)的魯棒指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定；又基于駐留時(shí)間（DT）的方法設(shè)計(jì)確定性切換，分析了系統(tǒng)幾乎處處穩(wěn)定。文獻(xiàn)［5］用反饋切換律設(shè)計(jì)確定性切換律，分析了系統(tǒng)在均方穩(wěn)定下的狀態(tài)反饋控制器問題。文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)切換規(guī)則和使用輸出反饋控制器，保證閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定，給出在魯棒性能要求下可行存在的充分性判據(jù)。文獻(xiàn)［7］針對(duì)具有平均駐留時(shí)間的切換線性控制系統(tǒng)，提出了一種降階輸出反饋控制方法。該方法將邊界條件加入到綜合控制問題中，利用多重二次Lyapunov函數(shù)，在統(tǒng)一的框架下，建立了具有保證穩(wěn)定性的降階輸出反饋控制器，并將綜合條件表述為一組具有給定的駐留時(shí)間參數(shù)的LMIs，為具有ADT切換的離散時(shí)間線性控制系統(tǒng)的綜合提供了一種有效的、系統(tǒng)的方法。

本文將多Lyapunov函數(shù)、線性矩陣不等式方法與反饋控制器設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，在平均駐留時(shí)間的方法下，得到控制器和子系統(tǒng)的切換規(guī)則，以保證切換系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制器下的指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定。

1 問題描述

考慮下面的連續(xù)雙切換線性正系統(tǒng)：

如果對(duì)于任意初始條件（）≥0，對(duì)于任意的0，都有（）≥0，（）≥0，則系統(tǒng)（1）是正系統(tǒng)。

如果對(duì)稱矩陣可以進(jìn)行如下分塊：

其中，和為對(duì)稱矩陣，那么當(dāng)且僅當(dāng)下面條件之一成立時(shí)，為負(fù)定矩陣。條件表達(dá)式如下：

（1）0， X0

（2）0，X－S Z0

注意：以上結(jié)果完全適用于為正定矩陣的情形，只需把條件（1）、（2）中的“＜”用“＞”代替即可。在一些控制問題中，經(jīng)常出現(xiàn)如下形式的不等式：

其中：，，0；0是已知相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；為對(duì)稱矩陣。

應(yīng)用引理2，可將矩陣不等式的可行性問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的矩陣不等式的可行性問題：

上式是一個(gè)關(guān)于矩陣變量的線性矩陣不等式。

如果所有∈R，滿足：

則切換系統(tǒng)的連續(xù)平衡點(diǎn)0，是指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果

則連續(xù)雙切換線性正系統(tǒng)（1）的切換反饋控制問題是可解的，其平均駐留時(shí)間滿足：

選擇如下形式的多Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)式（2），應(yīng)用引理2，

對(duì)上式左右兩邊分別同時(shí)左乘［（）］，右乘［（）］，可以得到：

其中，（）（）（），假定系統(tǒng)干擾為0，不失一般性，令：

假設(shè)［t，t）［t，）∪［，）∪…∪［τ，t），考慮到式（3），進(jìn)行相似的處理，得到：

將其代入到矩陣不等式（3）中，得到：

則有：

因此，對(duì)于任意∈［t，t），

利用上式，重復(fù)此過程；對(duì)于任意0，

根據(jù)引理3，其中，

由定義2和上式不等式可知：對(duì)于任意給定的0，

對(duì)上式兩邊同時(shí)取二范數(shù)后再取對(duì)數(shù)，

由不等式切換次數(shù)和平均駐留時(shí)間法，根據(jù)定義3，即在平均駐留時(shí)間約束的切換律下，在切換系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x＝0，是指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的，證畢。

3 數(shù)值算例

切換信號(hào)(，1)和(，2)轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

由公式Π[]Π[][]，可以計(jì)算出平穩(wěn)分布為：

根據(jù)定理1可知，系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)的切換律下及反饋控制器下是指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的，系統(tǒng)的切換信號(hào)圖、控制信號(hào)曲線和系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如圖1～3所示。

圖1 切換信號(hào)γ（t）Fig.1 Switching signalγ（t）

圖2 控制曲線u（t）Fig.2 Control curve

圖3 ln‖x（t）‖的7次實(shí)現(xiàn)Fig.3 Seven realizations of ln‖x（t）‖

4 結(jié)束語

針對(duì)連續(xù)雙切換線性正系統(tǒng)，研究了基于平均駐留時(shí)間切換的狀態(tài)反饋問題，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)，根據(jù)馬爾科夫過程及能量衰減原理適當(dāng)?shù)那袚Q信號(hào)；利用線性矩陣不等式以及馬爾科夫暫態(tài)分析方法，得出使得系統(tǒng)指數(shù)幾乎處處穩(wěn)定的充分條件；最后給出一個(gè)數(shù)值例子，驗(yàn)證了提出方法的有效性，為連續(xù)雙切換線性正系統(tǒng)的分析提供了一種有效的方法。