復(fù)雜跳躍系統(tǒng)控制綜合研究進(jìn)展

蘇 磊，李 峰，夏榮盛，汪 婧，沈 浩

(安徽工業(yè)大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

隨著中、美、德等國提出了一系列以智能制造和工業(yè)現(xiàn)代化為主題的國家發(fā)展戰(zhàn)略，現(xiàn)代制造系統(tǒng)、智能電網(wǎng)等復(fù)雜工業(yè)系統(tǒng)工業(yè)化與信息化的深度融合成為當(dāng)下的研究挑戰(zhàn)。此類系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)演化不僅受時(shí)間遷移的影響，還受一些突發(fā)離散因素的影響，如電網(wǎng)中互聯(lián)結(jié)構(gòu)變化、內(nèi)部元件故障、輸電線路遭遇雷擊等。復(fù)雜跳躍系統(tǒng)是一類由連續(xù)時(shí)間變量和離散事件共同驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型，可對(duì)上述情形進(jìn)行有效建模。為了推動(dòng)工業(yè)系統(tǒng)兩化深度融合和智能化升級(jí)，認(rèn)識(shí)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的一般規(guī)律、分析系統(tǒng)性能與控制需求成為控制領(lǐng)域亟需解決的基礎(chǔ)理論問題[1-4]。從數(shù)學(xué)的角度，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)常被看作是一類特殊的隨機(jī)系統(tǒng)，基于此，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)也可被認(rèn)為是一類由馬爾科夫鏈來表征系統(tǒng)跳躍信號(hào)的混雜切換系統(tǒng)的特殊情況。系統(tǒng)參數(shù)在離散時(shí)間點(diǎn)隨機(jī)變化，并由馬爾科夫過程控制。近年，由于復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的廣泛適用性而受到極大關(guān)注，其相關(guān)理論與方法已成功應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)[5]、飛行[6]、電力[7]、通信[8]和網(wǎng)絡(luò)化控制[9]等領(lǐng)域。經(jīng)過多年的研究，有關(guān)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的成果被相繼報(bào)道。鑒于此，從復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的建模、分析與控制綜合三方面綜述近年的研究成果，并指出復(fù)雜跳躍系統(tǒng)在非線性以及網(wǎng)絡(luò)化方面面臨的挑戰(zhàn)。

1 復(fù)雜跳躍系統(tǒng)模型

1.1 連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)模型

連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的一般表達(dá)式如下：

其中：x(t) ∈Rnx，為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(t) ∈Rnu，為控制輸入；ω(t) ∈Rnω，為外部擾動(dòng)；y(t) ∈Rny，為系統(tǒng)輸出向量。跳躍過程{r(t),t≥0} 是一個(gè)連續(xù)時(shí)間、離散狀態(tài)的隨機(jī)跳躍過程。依據(jù)隨機(jī)跳躍過程屬于不同的數(shù)學(xué)模型，連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)有不同的形式，通?？紤]的是馬爾科夫過程和半馬爾科夫過程。

1) 隨機(jī)過程{r(t),t≥0} 是一個(gè)連續(xù)時(shí)間、離散狀態(tài)的齊次馬爾科夫過程，且在一個(gè)有限的集合Γ?{1 ,2,…,N} 內(nèi)取值，各模態(tài)之間的跳躍服從如下所示的模態(tài)轉(zhuǎn)移速率。

2)跳躍過程{r(t),t≥0} 是一個(gè)連續(xù)時(shí)間、離散狀態(tài)的齊次半馬爾科夫過程，且取值在一個(gè)有限的集合Γ?{1 ,2,…,N} ，各模態(tài)之間的跳躍服從如下所示的模態(tài)轉(zhuǎn)移速率。

一般地，當(dāng)跳躍過程{r(t),t≥0}是馬爾科夫過程，這類系統(tǒng)稱為馬爾科夫跳躍系統(tǒng)；當(dāng)跳躍過程r(t)是半馬爾科夫過程，這類系統(tǒng)稱為半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)。

1.2 離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)模型

離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的建模、控制以及濾波與連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)處理的方式相似，但也存在概念和模型上的區(qū)別。離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的一般表達(dá)式如下：

其中：x(k) ∈Rnx，為狀態(tài)向量；u(k) ∈Rnu，為控制輸入；ω(k) ∈Rnω，為外部擾動(dòng)；y(k) ∈Rny，為系統(tǒng)輸出向量。跳躍過程{ }r(k),k≥0 是一個(gè)隨機(jī)跳躍過程。依據(jù)隨機(jī)跳躍過程屬于不同的數(shù)學(xué)模型，離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)有不同的形式，通?？紤]的是離散時(shí)間馬爾科夫過程和離散時(shí)間半馬爾科夫過程。離散時(shí)間馬爾科夫過程對(duì)模態(tài)之間互相跳躍的轉(zhuǎn)移率稱為轉(zhuǎn)移概率而不是轉(zhuǎn)移速率，且轉(zhuǎn)移概率矩陣中的元素行和為1[10]。

1)離散齊次馬爾科夫過程。跳躍過程{r(k),k≥0} 取值在一個(gè)有限的集合Γ?{1 ,2,…,N} ，各模態(tài)之間的跳躍服從模態(tài)轉(zhuǎn)移概率Pr(rk+1=j|rk=i) =πij。其中πij≥0，表示系統(tǒng)從上一個(gè)模態(tài)i跳躍到模態(tài)j的概率。此外，轉(zhuǎn)移概率滿足關(guān)系式∑j∈Γπij= 1,?i∈Γ。進(jìn)一步將轉(zhuǎn)移概率寫成矩陣形式Π=[πij]。

2)離散半馬爾科夫過程需要很多定義，鑒于論文篇幅所限，在此省略，具體參閱文獻(xiàn)[11]。

2 復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常運(yùn)行的基礎(chǔ)，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)通常涉及到的穩(wěn)定性有漸近均方穩(wěn)定、指數(shù)均方穩(wěn)定、隨機(jī)穩(wěn)定和幾乎漸近穩(wěn)定4種。前3種穩(wěn)定性相互等價(jià)，且均確保第4種穩(wěn)定，其證明可參閱文獻(xiàn)[12]。

2.1 連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

轉(zhuǎn)移速率信息是否完備對(duì)連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷有一定的影響。研究初期，均假設(shè)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的跳躍模態(tài)及模態(tài)之間轉(zhuǎn)移速率是完全已知的，且產(chǎn)生了許多有關(guān)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)綜合問題的優(yōu)秀成果。Xiao 等[13]通過模態(tài)量化狀態(tài)反饋方法解決了單輸入馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，在給定量化粗糙度測量的情況下，采用模態(tài)相關(guān)的對(duì)數(shù)量化器和線性狀態(tài)反饋律實(shí)現(xiàn)了馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)均方二次穩(wěn)定的最優(yōu)粗糙度；Zhang 等[14]研究了一類不確定奇異馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的魯棒有限時(shí)間穩(wěn)定問題，給出了相應(yīng)的隨機(jī)有限時(shí)間有界性的充分條件，并將其簡化為凸優(yōu)化的可解性問題；Wu 等[15]利用時(shí)滯劃分方法及兩個(gè)模態(tài)相關(guān)、雙重積分項(xiàng)的新李雅普諾夫泛函，導(dǎo)出了考慮系統(tǒng)的兩個(gè)時(shí)滯相關(guān)無源性條件，并給出了相關(guān)隨機(jī)穩(wěn)定性準(zhǔn)則；Lin 等[16]基于強(qiáng)隨機(jī)無源性理論，研究了互聯(lián)非線性隨機(jī)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的反饋等價(jià)問題和全局穩(wěn)定問題。

但是，在很多實(shí)際情況下(如因地理位置受限，無法直接對(duì)設(shè)備進(jìn)行測量或設(shè)備本身存在不確定性而無法獲得具體數(shù)據(jù)等)無法滿足轉(zhuǎn)移速率完全已知的條件。因此，對(duì)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的建模進(jìn)行擴(kuò)展，進(jìn)一步研究轉(zhuǎn)移速率部分未知甚至完全未知的情形，具體描述如下：

式 中? 表 示 未 知 的 轉(zhuǎn) 移 速 率。 為 了 簡 化，一 般 定 義 集 合Ui=∪?i∈Γ。 其 中，?{j|對(duì)于j∈Γ,λij是已知的}，?{j|對(duì)于j∈Γ,λij是未知的}。 此 外，若≠?，則 可 進(jìn) 一 步 描 述?{,,…,} ，其中m為非負(fù)整數(shù)，滿足1 ≤m≤N且∈Z+，1 ≤≤N,j= 1,2,…,m，表示集合為轉(zhuǎn)移速率矩陣第i行中的第j個(gè)已知元素。若= ?，則表示轉(zhuǎn)移速率完全未知的情形。

Zhang等[17]利用自由權(quán)矩陣方法，得到了具有部分未知或完全未知轉(zhuǎn)移速率的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，討論了具有轉(zhuǎn)移速率部分已知的馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，優(yōu)點(diǎn)是所提決策變量較少。Wang等[18]解決了部分未知轉(zhuǎn)移速率和執(zhí)行器飽和條件下，馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定問題及部分已知轉(zhuǎn)移速率的連續(xù)馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的穩(wěn)定和綜合問題。

上述結(jié)果中連續(xù)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)移速率的要求有一定約束，即其模態(tài)在相互跳躍過程中的轉(zhuǎn)移速率是時(shí)不變的，如果轉(zhuǎn)移速率是時(shí)變的，結(jié)果將不再適用。為此，進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)移速率時(shí)變的情況，此時(shí)的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)變?yōu)榉驱R次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)。Ding等[19]研究了連續(xù)時(shí)間非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；Yin等[20]進(jìn)一步研究了積分非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性問題；Ren等[21]引入狀態(tài)和輸入的時(shí)滯，解決了該類系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制問題。文獻(xiàn)[19-21]均是基于凸多面體結(jié)構(gòu)描述連續(xù)時(shí)間非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的時(shí)變轉(zhuǎn)移速率。

此外，連續(xù)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)模態(tài)在相互跳躍過程中的駐留時(shí)間服從指數(shù)分布，這一限制的約束性較強(qiáng)。實(shí)際上，由于外部環(huán)境干擾及系統(tǒng)設(shè)備本身的老化、故障等因素，系統(tǒng)模態(tài)在相互跳躍過程中的駐留時(shí)間可能服從其他分布，此時(shí)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)無法滿足建模要求。為克服這一問題，探索建立一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，即半馬爾科夫跳躍模型，其轉(zhuǎn)移速率如式(3)。起初假設(shè)一個(gè)時(shí)變量存在已知的上下界，Huang 等[22]為降低穩(wěn)定條件的保守性，提出加入轉(zhuǎn)移速率的上下界，并應(yīng)用一種新的劃分方案；Wang等[23]基于時(shí)變轉(zhuǎn)移概率的下界、上界和奇異值分解方法，提出一個(gè)隨機(jī)穩(wěn)定條件；Yang 等[24]提出采用一種時(shí)變增益調(diào)度方法來解決一類半馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的時(shí)變增益調(diào)度問題，構(gòu)造了更一般的李雅普諾夫函數(shù)，該函數(shù)不僅依賴于系統(tǒng)模態(tài)，還依賴于當(dāng)前系統(tǒng)模式中的駐留時(shí)間，這種方法可將普通時(shí)不變李雅普諾夫函數(shù)作為特殊情況。

但已知轉(zhuǎn)移速率上下界的處理方式仍具一定的保守性。對(duì)此學(xué)者們提出了一種駐留時(shí)間服從威布爾分布的半馬爾科夫模型，該模型進(jìn)一步降低了保守性，不再需要已知轉(zhuǎn)移速率的上下界信息。Zhang 等[25]假設(shè)轉(zhuǎn)移速率隨已知邊界而時(shí)變，駐留時(shí)間在半馬爾科夫過程中服從威布爾分布，將傳統(tǒng)的非線性約束如單邊、單邊約束等推廣到增量二次約束；Wang等[26]探討了切換信號(hào)受非指數(shù)分布的半馬爾科夫過程控制的隨機(jī)系統(tǒng)均方穩(wěn)定性問題；Qi等[27]針對(duì)具有時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)時(shí)間正模糊半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，分析了隨機(jī)穩(wěn)定性和增益問題，考慮的系統(tǒng)涉及與威布爾分布相關(guān)的半馬爾科夫隨機(jī)過程，模糊半馬爾科夫跳躍正系統(tǒng)描述的Lotka-Volterra種群模型等系統(tǒng)需考慮運(yùn)行過程中的突然變化，為此建立了一個(gè)與時(shí)變延遲上界有關(guān)的隨機(jī)穩(wěn)定性的充分判據(jù)。

在一些實(shí)際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)的模態(tài)并不可以直接被獲取。為克服這一難題，研究者們從觀察者的角度刻畫這一現(xiàn)象并建立了隱馬爾科夫跳躍模型。Xiao等[28]考慮了在連續(xù)時(shí)間下同時(shí)包含隱藏狀態(tài)和觀測狀態(tài)的隱馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫泛函，得到了保證目標(biāo)系統(tǒng)隨機(jī)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件；Wang等[29]解決了同時(shí)具有兩個(gè)切換信號(hào)的分段齊次馬爾科夫鏈的正馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的均方穩(wěn)定問題；謝雨飛等[30]在隱馬爾科夫模型和無線通信子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，討論了具有隨機(jī)和間歇性故障的診斷方法，給出了參數(shù)訓(xùn)練和故障診斷算法；王亞婷等[31]討論了一種基于隱馬爾科夫模型、多層次殘差的分布式拒絕服務(wù)攻擊檢測方法，可用相關(guān)公式提取分布式拒絕服務(wù)攻擊的可觀測和隱式參數(shù)，排列隱含狀態(tài)和觀測狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，通過計(jì)算和分析分布式拒絕服務(wù)攻擊因子來判斷多級(jí)殘差網(wǎng)絡(luò)中是否存在分布式拒絕服務(wù)攻擊。

2.2 離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)移概率部分已知或完全未知的處理和連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)類似，在假設(shè)轉(zhuǎn)移概率完全已知和確定的情況下，離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的綜合問題得到廣泛研究。Fan等[32]考慮到系統(tǒng)同時(shí)具有混合延遲和隨機(jī)擾動(dòng)，通過構(gòu)造與跳躍信號(hào)相關(guān)的新李雅普諾夫函數(shù)，分析了具有部分不穩(wěn)定子系統(tǒng)的離散時(shí)間馬爾科夫跳躍神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均方指數(shù)穩(wěn)定性問題?；跁r(shí)滯劃分方法，Wu等[33]解決了具有時(shí)變時(shí)滯和分段常數(shù)躍遷概率的離散奇異馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性分析問題，對(duì)考慮的系統(tǒng)建立了時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)，給定的結(jié)果不僅取決于時(shí)變延遲，還取決于延遲分區(qū)的數(shù)量。Lee 等[34]通過構(gòu)造與有限路徑相關(guān)的李雅普諾夫函數(shù)，研究了不確定離散時(shí)間馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題。基于積分型隨機(jī)李雅普諾夫函數(shù)方法，Wang等[35]求解了一類不確定馬爾科夫線性雙曲型偏微分方程系統(tǒng)的隨機(jī)指數(shù)穩(wěn)定性問題。

然而，準(zhǔn)確獲取所有轉(zhuǎn)移概率是相當(dāng)困難的。為此，學(xué)者們進(jìn)一步對(duì)離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的建模進(jìn)行擴(kuò)展，研究轉(zhuǎn)移概率部分未知甚至完全未知的情形。Ma等[36]討論了時(shí)變時(shí)滯離散時(shí)間奇異馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題，在充分了解轉(zhuǎn)移概率情況下，給出了系統(tǒng)正則、因果和隨機(jī)穩(wěn)定的時(shí)滯相關(guān)條件；Liu 等[37]在考慮轉(zhuǎn)移概率不確定情況下，研究了具有馬爾科夫跳躍和乘性噪聲的隨機(jī)線性系統(tǒng)的濾波問題，給出了濾波誤差系統(tǒng)是隨機(jī)穩(wěn)定且滿足H∞性能的充分條件；Shen 等[38]研究了部分已知轉(zhuǎn)移概率的離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題，考慮的系統(tǒng)是已知上界不確定和完全未知的。

上述研究的離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)要求模態(tài)在跳躍過程中轉(zhuǎn)移概率是時(shí)不變的，但如果轉(zhuǎn)移概率是時(shí)變的，會(huì)導(dǎo)致模型在許多實(shí)際場景中不適用。為此，進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)移概率是時(shí)變的情況，此時(shí)的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)為非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)。Wang等[39]研究了具有時(shí)滯的非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，考慮的系統(tǒng)是在離散時(shí)域中，因此轉(zhuǎn)移概率的非齊次性被認(rèn)為是有限分段齊次的。

另一方面，由于限制離散馬爾科夫跳躍系統(tǒng)模態(tài)在相互跳躍過程中的駐留時(shí)間是服從幾何分布的，導(dǎo)致模型許多實(shí)際場景不適用。為此，提出了離散時(shí)間半馬爾科夫跳躍模型。對(duì)于離散時(shí)間半馬爾科夫模型，駐留時(shí)間并不局限于無記憶分布，系統(tǒng)在某一時(shí)刻的跳轉(zhuǎn)不僅取決于下一時(shí)刻跳轉(zhuǎn)的模態(tài)信息，也取決于先前經(jīng)歷模態(tài)的信息。故半馬爾科夫過程建模隨機(jī)跳躍系統(tǒng)的能力比馬爾科夫的強(qiáng)，且能更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的跳躍動(dòng)力學(xué)。學(xué)者們對(duì)離散時(shí)間半馬爾科夫系統(tǒng)的研究興趣激增，在具有半馬爾科夫躍遷參數(shù)的復(fù)雜跳躍系統(tǒng)穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定研究方面取得了重要成果?；赥akagi-Sugeno(T-S)模型，Zhang 等[40]在文獻(xiàn)[15]的基礎(chǔ)上將得到的理論結(jié)果進(jìn)一步推廣到非線性情況?？紤]到鎮(zhèn)定控制器模態(tài)與系統(tǒng)可能存在延時(shí)，Ning 等[41]在控制器模式切換存在時(shí)滯情況下，討論了離散半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)?？紤]到概率質(zhì)量函數(shù)的不同，Zhang 等[42]在駐留時(shí)間的指數(shù)調(diào)制周期分布情況下，研究了離散半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)。上述結(jié)果多基于離散半馬爾科夫系統(tǒng)駐留時(shí)間具有上界的前提，然而在一些用離散半馬爾科夫系統(tǒng)描述的實(shí)際系統(tǒng)中，駐留時(shí)間不僅存在上界，還存在下界。Ning等[43]給出了該情況下相應(yīng)的穩(wěn)定性分析和鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)方法；Wang等[44]進(jìn)一步分析了一類離散時(shí)間半馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性綜合問題，并給出了這類系統(tǒng)駐留時(shí)間無界的充分穩(wěn)定條件，通過將切換過程駐留時(shí)間截?cái)酁橛薪?，得到了具有部分未知半馬爾科夫核閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制器的存在條件。

由于難以獲得駐留時(shí)間或模態(tài)躍遷的準(zhǔn)確統(tǒng)計(jì)信息，只有部分半馬爾科夫信息的情況下，Shen等[45]研究了具有離散半馬爾科夫跳躍奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，分析了半馬爾科夫跳躍序列的李雅普諾夫函數(shù)的變化趨勢，首次建立了離散時(shí)間半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。Ning 等[46]利用半馬核方法解決了具有駐留時(shí)間上界的離散半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性與鎮(zhèn)定問題，其中半馬核元素的底層系統(tǒng)被認(rèn)為是部分已知的，比半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)完全可用的情形更具一般性?；赥-S模糊模型，Ning等[47]將文獻(xiàn)[46]的結(jié)果進(jìn)一步推廣到離散非線性半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)。

3 復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的魯棒控制問題

馬爾科夫跳躍系統(tǒng)在經(jīng)濟(jì)、飛行控制和機(jī)器人等領(lǐng)域有較強(qiáng)的應(yīng)用背景，前期的成果主要集中在馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定[48]、二次最優(yōu)控制[49]和魯棒控制[50]等方面，研究方法主要是基于Riccati方程。隨著控制理論與數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，矩陣不等式技術(shù)成為研究控制問題的有力工具，使得馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的魯棒控制、模型降階、受限控制和時(shí)滯等問題得到深入研究。

3.1 連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

對(duì)于連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)控制問題，同樣需要考慮系統(tǒng)轉(zhuǎn)移速率是否完全已知，一般包含完全已知、部分未知和一般化的轉(zhuǎn)移速率；還要考慮系統(tǒng)模態(tài)信息能否獲取，并用于控制器設(shè)計(jì)。從模態(tài)信息是否可獲取的角度，設(shè)計(jì)的控制器為模態(tài)依賴與模態(tài)獨(dú)立的控制器。

Zhang等[51]提出了一種基于新型轉(zhuǎn)移概率的模態(tài)無關(guān)保成本控制方法，建立了相應(yīng)控制器存在的充分條件。Shen 等[52]討論了T-S 模糊馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的有限時(shí)間事件觸發(fā)H∞控制問題，建立了一個(gè)充分考慮異步前提的閉環(huán)模糊馬爾科夫跳躍系統(tǒng)有限時(shí)間有界H∞性能分析的充分條件。Tao等[53]為描述系統(tǒng)與控制器之間傳輸不完全的現(xiàn)象，采用一種模態(tài)相關(guān)的隨機(jī)測量衰落模型，通過引入兩個(gè)相互獨(dú)立且依賴于模態(tài)的衰落信道系數(shù)，準(zhǔn)確描述由系統(tǒng)模態(tài)變化引起的通信工作負(fù)載波動(dòng)；為實(shí)現(xiàn)控制器的可靠性，引入一個(gè)附加矩陣，并利用不等式技術(shù)求解設(shè)計(jì)控制器的增益。魯棒控制性能被用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性已得到廣泛應(yīng)用，但尋求最優(yōu)解的研究也在逐步開展，如劉越等[54]闡述了線性馬爾科夫跳躍系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究現(xiàn)狀與進(jìn)展。

滑?？刂剖且幌盗凶兘Y(jié)構(gòu)控制，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的變化和外部擾動(dòng)不敏感，特別是對(duì)非線性系統(tǒng)的控制具有魯棒性。在復(fù)雜跳躍系統(tǒng)存在非線性元素時(shí)多使用滑模技術(shù)，故學(xué)者們陸續(xù)提出了有關(guān)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的滑?？刂品椒?。Zhu等[55]利用凸優(yōu)化方法，結(jié)合多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，推導(dǎo)了在控制力可能不足以保證完全漸近穩(wěn)定性情況下的到達(dá)概率和滑動(dòng)概率；Li等[56]設(shè)計(jì)了具有執(zhí)行器故障的馬爾科夫跳躍非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂破鳎O(shè)計(jì)的控制器可在有限時(shí)間內(nèi)將系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡驅(qū)動(dòng)到滑模面，并能在線估計(jì)執(zhí)行器故障、非線性項(xiàng)邊界和外部擾動(dòng)的有效性損失；Cao等[57]采用滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)滑?？刂破?，在所有控制信道都可能發(fā)生執(zhí)行器故障和不匹配的外部干擾情況下，使?fàn)顟B(tài)軌跡在指定的有限時(shí)間間隔內(nèi)被驅(qū)動(dòng)到滑模面。

綜上，作為一個(gè)關(guān)鍵因素，馬爾科夫跳躍過程中的所有轉(zhuǎn)移率被認(rèn)為是完全已知的。盡管部分學(xué)者采用線性系統(tǒng)魯棒控制方法研究轉(zhuǎn)移速率矩陣存在多胞或范數(shù)有界型不確定性，但這種類型的不確定性仍要求轉(zhuǎn)移速率矩陣中每個(gè)元素都有可用信息。對(duì)于物理系統(tǒng)，轉(zhuǎn)移速率的獲取通常通過實(shí)驗(yàn)測量得到，由于測量條件的制約，轉(zhuǎn)移速率矩陣會(huì)出現(xiàn)某些元素在一定范圍內(nèi)變化和無法被測量的現(xiàn)象，致使不能直接使用基于轉(zhuǎn)移速率為完全已知的方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性、控制、濾波和跟蹤等問題。為克服上述不足，Yao等[58]解決了部分轉(zhuǎn)移速率未知的狀態(tài)延遲馬爾科夫跳躍系統(tǒng)H∞控制問題；Zheng等[59]基于滑模控制方法，研究了一類具有部分未知轉(zhuǎn)移速率的連續(xù)時(shí)間馬爾科夫跳躍線性不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問題；Park 等[60]給出了部分未知轉(zhuǎn)移速率和輸入飽和的馬爾科夫跳躍模糊系統(tǒng)低保守性的控制條件，在充分考慮模糊權(quán)值性質(zhì)的情況下，將所有可能的松弛變量納入放縮過程中，推導(dǎo)出了較不保守的穩(wěn)定條件。

上述研究大多假定系統(tǒng)模態(tài)的所有信息可直接獲取，這種假設(shè)在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中并不總是滿足的。為此，連續(xù)時(shí)間隱馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的控制問題近年也得到大量關(guān)注。Wang等[61]設(shè)計(jì)一種異步事件觸發(fā)的滑?？刂坡桑员ＷC得到的閉環(huán)系統(tǒng)軌跡能夠在有限時(shí)間間隔內(nèi)被強(qiáng)制到預(yù)定義的滑模面；Ren 等[62]利用T-S模糊模型方法研究了連續(xù)時(shí)間正隱馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的有限時(shí)間異步控制問題；Han 等[63]研究了連續(xù)隨機(jī)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)基于耗散的異步邊界控制問題，考慮到系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)之間的非同步行為，引入一種更一般不完全觀測概率矩陣和一般未知轉(zhuǎn)移速率矩陣的隱馬爾科夫模型，其中未知轉(zhuǎn)移速率矩陣包含不確定性，將此研究推廣到空間域，使系統(tǒng)的狀態(tài)變化不僅和時(shí)間有關(guān)也和空間有關(guān)。

上述傳統(tǒng)的連續(xù)隱馬爾科夫模型一般包含系統(tǒng)模態(tài)間的跳躍概率及探測器間的檢測概率。Stadtmann等[64]突破傳統(tǒng)隱馬爾科夫模型的約束，提出了一種創(chuàng)新型的隱馬爾科夫模型，該模型包含3 種概率，即系統(tǒng)模態(tài)之間的跳躍概率、探測器對(duì)系統(tǒng)模態(tài)的檢測概率以及探測器模態(tài)之間的跳躍概率。與文獻(xiàn)[63]相比，探測器模態(tài)之間跳躍概率的引入使探測器探測到的模態(tài)包含完整信息，在沒有信息的情況下使獲得的結(jié)果更具通用性。對(duì)于創(chuàng)新型的隱馬爾科夫模型，用基于探測器的控制方法來保證系統(tǒng)的H2性能。

3.2 離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

為保證系統(tǒng)具有良好的抗模型不確定或外部干擾的性能，魯棒控制問題被關(guān)注。Hu等[65]提出了不確定采樣數(shù)據(jù)馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的魯棒控制解決方案；Zhang等[66]研究了一類離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)基于耗散異步控制問題；Liu等[67]通過最優(yōu)輸出反饋控制方法設(shè)計(jì)了具有丟包和輸入延遲的多參數(shù)混合負(fù)載均衡系統(tǒng)的控制器；魏雪雪等[68]針對(duì)一類帶有時(shí)滯和噪聲的離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，研究基于觀測器的有限時(shí)間H∞控制問題，給出有限時(shí)間H∞有界的定義，設(shè)計(jì)基于觀測器的有限時(shí)間H∞控制器，使所得閉環(huán)誤差系統(tǒng)是有限時(shí)間有界的，且滿足規(guī)定的干擾衰減水平。

綜上，作為關(guān)鍵因素，馬爾科夫跳躍過程中的所有轉(zhuǎn)移率被認(rèn)為是完全已知的。然而實(shí)際應(yīng)用中，很難獲得轉(zhuǎn)移概率的確切值，認(rèn)為不確定的轉(zhuǎn)移概率是在一個(gè)沒有精確知識(shí)的可能區(qū)間給出的。Costa等[69]求解轉(zhuǎn)移概率不確定且考慮狀態(tài)和控制變量約束的離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的二次最優(yōu)控制問題；Li等[70]討論了部分已知轉(zhuǎn)移概率下，具有時(shí)滯和兩個(gè)馬爾科夫鏈的離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。另一種建模不確定轉(zhuǎn)移速率或轉(zhuǎn)移概率的方法是范數(shù)有界描述，Karan等[71]利用隨機(jī)李雅普諾夫函數(shù)方法和Kronecker 積變換技術(shù)導(dǎo)出了連續(xù)和離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的充分條件集。與轉(zhuǎn)移概率中假定的多面體或范數(shù)有界的不確定性不同的研究包括文獻(xiàn)[72]中高斯躍遷概率密度函數(shù)量化轉(zhuǎn)移概率的不確定性信息。

當(dāng)轉(zhuǎn)移概率是時(shí)變的，對(duì)應(yīng)的離散馬爾科夫系統(tǒng)則為非齊次的。目前離散非齊次馬爾科夫系統(tǒng)主要有3 種處理方法：將時(shí)變轉(zhuǎn)移概率用凸多孢來描述；考慮時(shí)變的轉(zhuǎn)移概率是周期變化的；考慮分段齊次的轉(zhuǎn)移概率。Yin等[73]用凸多孢來描述時(shí)變轉(zhuǎn)移概率，研究了離散非齊次馬爾科夫系統(tǒng)的控制問題；Zhang等[74]研究了一類轉(zhuǎn)移概率是周期變化的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的非脆弱H∞控制問題；Dong等[75]研究了一類分段齊次轉(zhuǎn)移概率的離散時(shí)間非齊次馬爾科夫跳躍非線性系統(tǒng)的擴(kuò)展耗散滑?？刂?。

另一方面，現(xiàn)有成果多集中于馬爾科夫跳躍系統(tǒng)線性動(dòng)力學(xué)的控制設(shè)計(jì)方面。T-S 模糊模型因具有強(qiáng)大的逼近能力而被廣泛用于處理非線性問題，該模型由一組IF-THEN 規(guī)則組成，描述一組線性子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，線性子系統(tǒng)通過隸屬函數(shù)進(jìn)行加權(quán)[76]。在假設(shè)轉(zhuǎn)移概率完全已知和確定的情況下，T-S模糊馬爾科夫跳躍系統(tǒng)得到廣泛應(yīng)用。Wu等[77]利用模糊控制方法研究了不確定離散時(shí)間馬爾科夫跳躍非線性系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題，提出了一種改進(jìn)的線性矩陣不等式，以緩解微分過程中隨機(jī)李雅普諾夫矩陣與包含控制器變量系統(tǒng)矩陣間的相互關(guān)系；Shen 等[78]研究了T-S 模糊離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的有限時(shí)間事件觸發(fā)H∞控制問題。

針對(duì)離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的模態(tài)信息無法獲取，Costa 等[79]提出了基于探測器的方法，其主要思想是盡管系統(tǒng)模態(tài)信息無法直接獲取，但利用探測器估計(jì)的狀態(tài)設(shè)計(jì)控制器。這種基于隱馬爾科夫模型的控制器設(shè)計(jì)方法不僅有自身的轉(zhuǎn)移概率信息，還需觀測概率信息。正如前面提到的，馬爾科夫跳躍系統(tǒng)可能無法獲取轉(zhuǎn)移概率信息，同理觀測概率信息也可能無法完全獲取。因此，基于隱馬爾科夫模型的控制器設(shè)計(jì)方法需考慮轉(zhuǎn)移概率信息部分未知及觀測概率部分未知的情況。Song 等[80]考慮部分未知的觀測概率情況，研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯和隨機(jī)擾動(dòng)的不確定馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的異步滑?？刂茊栴}。為了一般化，Li等[81-82]考慮轉(zhuǎn)移概率信息部分未知及觀測概率部分未知的情況，基于T-S模糊模型將所得的結(jié)果推廣到非線性系統(tǒng)。

考慮到離散半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)中轉(zhuǎn)移概率可能未知，Shen 等[83]研究了具有不完全半馬核信息和執(zhí)行器故障的半馬爾科夫跳躍非線性系統(tǒng)的容錯(cuò)模糊控制問題。針對(duì)離散半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)中系統(tǒng)模態(tài)信息可能未知，Li 等[84]考慮了未知概率信息情況。基于T-S 模糊模型，Cai 等[85]考慮了非線性離散隱半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的控制問題，將得到的結(jié)果推廣到具有不完全半馬核信息情況。

4 復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的濾波和狀態(tài)估計(jì)問題

狀態(tài)反饋是現(xiàn)代控制系統(tǒng)中最常用的控制策略之一。實(shí)際應(yīng)用中系統(tǒng)的狀態(tài)很難直接測量，加之系統(tǒng)會(huì)受到外部擾動(dòng)或環(huán)境噪聲的干擾，直接獲取系統(tǒng)狀態(tài)更困難，為此引入狀態(tài)濾波和估計(jì)。狀態(tài)濾波是通過測量系統(tǒng)的輸入和輸出來估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)，常用的濾波方法有Kalman濾波、線性最小均方差濾波和H∞濾波等。Kalman濾波器的設(shè)計(jì)需精確已知系統(tǒng)模型且噪聲輸入為嚴(yán)格高斯過程[86]，應(yīng)用局限性大。實(shí)際應(yīng)用中當(dāng)噪聲為非高斯過程時(shí)，較多關(guān)注H∞濾波、無源性濾波、能量-峰值(L2-L∞)濾波、耗散濾波等的設(shè)計(jì)。目前為止，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)在濾波問題上取得了重要進(jìn)展。復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的濾波器/狀態(tài)估計(jì)器從結(jié)構(gòu)看主要為與模態(tài)相關(guān)和模態(tài)無關(guān)的濾波器。模態(tài)相關(guān)的濾波器能完全獲取系統(tǒng)工作模態(tài)信息，能保證濾波器與系統(tǒng)的工作模態(tài)一致；模態(tài)無關(guān)的濾波器/狀態(tài)估計(jì)器只有單一的工作模態(tài)，與系統(tǒng)工作模態(tài)無關(guān)。

4.1 連續(xù)時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

Shen 等[87]提出了理想可靠的濾波器設(shè)計(jì)方法，通過使用期望濾波器的簡單表達(dá)式計(jì)算濾波器的參數(shù)；Wu 等[88]考慮了具有時(shí)滯的奇異馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的H∞濾波問題，在有界實(shí)引理和馬爾科夫過程跳躍率部分已知的情況下，給出了保證模態(tài)無關(guān)濾波器存在的充分條件；Liu 等[89]針對(duì)馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)因無法獲取模態(tài)信息而無法濾波的問題，設(shè)計(jì)了一種獨(dú)立于模態(tài)信息的濾波器；顏秋林等[90]研究了帶有時(shí)滯的廣義馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的H∞濾波問題，其中時(shí)滯依賴有界實(shí)引理。陳淼等[91]針對(duì)一類具有馬爾科夫跳躍參數(shù)的Ito 類型不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)，討論魯棒非脆弱濾波器的設(shè)計(jì)，在被控對(duì)象及濾波器同時(shí)存在不確定性的情況下，使閉環(huán)濾波誤差系統(tǒng)的魯棒隨機(jī)指數(shù)均方穩(wěn)定，且干擾抑制性能指標(biāo)小于給定上界。

當(dāng)系統(tǒng)模態(tài)信息完全無法獲取時(shí)，模態(tài)無關(guān)濾波器非常有用，但由于其忽略所有可用的模態(tài)信息，存在一定的保守性。為此，F(xiàn)ang等[92]用隱馬爾科夫跳躍原理表示目標(biāo)系統(tǒng)與濾波器之間的異步情況；Ren等[93]討論了一類具有不完全轉(zhuǎn)移速率的馬爾科夫跳躍非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間異步濾波問題。另一方面，影響網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)主要因素是數(shù)據(jù)包在信道傳輸過程中存在時(shí)延。Liu 等[94]研究了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中存在傳輸和網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延等通信缺陷的穩(wěn)定性問題，提出一種基于記憶的混合系統(tǒng)，由己知公式計(jì)算得到最大允許傳輸時(shí)延，依靠具有記憶的混合系統(tǒng)李雅普諾夫泛函方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，獲得相應(yīng)的穩(wěn)定性條件?；隈R爾科夫跳躍系統(tǒng)的特點(diǎn)，模擬網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中出現(xiàn)隨機(jī)時(shí)延、數(shù)據(jù)丟失等情況進(jìn)行濾波估計(jì)引起廣泛關(guān)注，Zhang等[95]研究了一類轉(zhuǎn)移概率部分未知的離散時(shí)間馬爾科夫跳躍線性系統(tǒng)H∞濾波問題，利用線性矩陣不等式推導(dǎo)得到濾波誤差系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且有界的實(shí)引理，數(shù)值示例證明其方法有效可行。

制藥、發(fā)酵、石油化工等領(lǐng)域普遍缺乏在線傳感器。因此，狀態(tài)估計(jì)是控制學(xué)科中的一個(gè)重要研究課題。Xia 等[96]利用T-S 模糊模型，研究了一類非線性半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的擴(kuò)展耗散估計(jì)問題，提出了保證估計(jì)誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性和擴(kuò)展耗散性質(zhì)的充分條件；Li等[97]研究了一類具有利普希茨型非線性和轉(zhuǎn)移速率不確定或未知情況下的非線性馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的故障估計(jì)問題；Zha等[98]研究了受網(wǎng)絡(luò)攻擊的事件觸發(fā)非線性馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的有限時(shí)間H∞異步狀態(tài)估計(jì)問題，提出采用一種自適應(yīng)事件觸發(fā)方案來應(yīng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的容量約束，建立了一種新的狀態(tài)估計(jì)誤差系統(tǒng)模型。

4.2 離散時(shí)間復(fù)雜跳躍系統(tǒng)

離散時(shí)間馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的濾波問題也受到廣泛關(guān)注，Kalman濾波、基于交互多模型算法的濾波、線性最小均方誤差估計(jì)等濾波方法應(yīng)用較多?？紤]到系統(tǒng)中驅(qū)動(dòng)的附加噪聲統(tǒng)計(jì)量可能不準(zhǔn)確，且這也是一種常見情況，H∞濾波因?yàn)V波理論背景強(qiáng)大而被大量關(guān)注。在離散時(shí)間域，Seiler 等[99]從二階矩穩(wěn)定性角度推導(dǎo)了馬爾科夫跳躍系統(tǒng)H∞濾波的充要條件；Hua 等[100]基于模糊規(guī)則相關(guān)的李雅普諾夫函數(shù)，采用模式相關(guān)的對(duì)數(shù)量化器，得到保證濾波誤差系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定且具有給定的H∞或l2-l∞性能指標(biāo)的充分條件，解決了離散時(shí)間T-S 模糊非齊次馬爾科夫跳躍系統(tǒng)的H∞濾波和l2-l∞濾波問題；Cheng 等[101]解決了一類具有平均駐留時(shí)間切換、時(shí)變轉(zhuǎn)移概率、離散時(shí)間的馬爾科夫跳躍系統(tǒng)有限時(shí)間估計(jì)問題，建立了保證馬爾科夫跳躍系統(tǒng)具有有限時(shí)間有界的充分條件和濾波有限時(shí)間有界性。

若模態(tài)跳躍信息不可用，則需采用與模態(tài)無關(guān)的濾波方法。Blackmore等[102]提出了主動(dòng)估計(jì)方案，其中控制輸入用來區(qū)分實(shí)際模態(tài)序列和可能的模態(tài)序列。在不確定轉(zhuǎn)移概率方面，Yang等[103]研究了具有不確定躍遷概率的馬爾科夫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的事件觸發(fā)問題，給出了估計(jì)誤差系統(tǒng)均方指數(shù)極限有界的充分條件。當(dāng)轉(zhuǎn)移概率不確定時(shí)，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)更困難。Tugnait[104]提出了一種自適應(yīng)狀態(tài)估計(jì)的次優(yōu)算法，其中極大似然估計(jì)方法被用于估計(jì)轉(zhuǎn)移概率。

考慮到系統(tǒng)模態(tài)信息可能無法直接獲取，Todorov 等[105]引入一種基于檢測器的離散馬爾科夫狀態(tài)空間聚類，這種設(shè)置中，集群對(duì)應(yīng)于可由單個(gè)檢測器響應(yīng)識(shí)別的狀態(tài)集；除賦予控制器給定簇中馬爾科夫狀態(tài)之間的加權(quán)概念外，在給定發(fā)射概率的情況下，要求在不超過N步的時(shí)間內(nèi)返回狀態(tài)簇?；陔[馬爾科夫模型，Li 等[106]研究了離散時(shí)間馬爾科夫跳躍神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的H∞濾波問題，給出一種改進(jìn)的神經(jīng)元激活函數(shù)分割方法，其中系統(tǒng)模態(tài)不能直接獲取，由隱馬爾科夫模型提供估計(jì)的模態(tài)。在離散時(shí)間半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)方面，Cai等[107]基于隱半馬爾科夫模型，提出了觀測模態(tài)依賴的狀態(tài)估計(jì)器設(shè)計(jì)方法。

5 結(jié)論與展望

目前，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)主要研究對(duì)象有馬爾科夫跳躍系統(tǒng)、半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)和隱馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，基于轉(zhuǎn)移速率/概率是否時(shí)變，可將上述三類系統(tǒng)分為齊次的和非齊次。需要指出的是，相對(duì)于齊次復(fù)雜跳躍系統(tǒng)，非齊次復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的控制綜合與狀態(tài)估計(jì)問題的研究成果較少。此外，復(fù)雜跳躍系統(tǒng)相關(guān)的控制和濾波/狀態(tài)估計(jì)問題，主要考慮轉(zhuǎn)移速率/概率的信息是否可知及系統(tǒng)模態(tài)信息是否可知兩方面。盡管結(jié)果多種多樣，但復(fù)雜跳躍系統(tǒng)在非線性以及網(wǎng)絡(luò)化方面面臨挑戰(zhàn)，未來工作可從以下方面考慮。

1)復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)的建模、分析與控制。已有學(xué)者對(duì)復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)進(jìn)行了研究，如采取1型T-S模型處理非線性復(fù)雜跳躍系統(tǒng)。然而，該種方法的建模需要完備的隸屬度信息，存在一定的局限性。隨著對(duì)T-S 模型研究的深入，區(qū)間2型的T-S 模型可以描述隸屬度函數(shù)的不確定性，比1型T-S 模型更加一般?，F(xiàn)有一些基于區(qū)間2型的T-S 模型來處理復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)的研究成果，但還有待進(jìn)一步完備。此外，現(xiàn)有的復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)的研究多集中于非線性馬爾科夫跳躍系統(tǒng)，在非線性半馬爾科夫跳躍系統(tǒng)、非線性隱馬爾科夫跳躍系統(tǒng)等種類復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)的研究并不多見。因此，如何處理復(fù)雜非線性跳躍系統(tǒng)的建模、分析與控制問題仍是重難點(diǎn)問題。

2)網(wǎng)絡(luò)化復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的分析與控制。隨著信息物理系統(tǒng)和人工智能的發(fā)展，現(xiàn)代控制系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)通訊密不可分。目前網(wǎng)絡(luò)化環(huán)境下復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的研究主要集中于：考慮單一的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象，如網(wǎng)絡(luò)時(shí)滯、網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)丟包等，在實(shí)際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象可能同時(shí)出現(xiàn)多種；網(wǎng)絡(luò)安全沒有得到充分考慮，分析數(shù)據(jù)安全問題的研究大多是使用Bernoulli隨機(jī)過程來模擬隨機(jī)的攻擊，并考慮攻擊概率完全已知的情況。然而，在沒有大量數(shù)據(jù)支持下，攻擊者的攻擊概率是無法精確獲取的，且大部分研究只考慮了單一網(wǎng)絡(luò)攻擊情況，沒有延伸到更加復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)攻擊情況。通常在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，系統(tǒng)受到的攻擊可能不只來自單一類型的攻擊，攻擊者可能在條件允許的情況下，對(duì)系統(tǒng)實(shí)施復(fù)雜的混合攻擊。因此，如何建立合適的數(shù)學(xué)模型描述復(fù)雜跳躍系統(tǒng)可能遭遇的多種網(wǎng)絡(luò)攻擊情況，解決其安全控制和濾波問題，也是復(fù)雜跳躍系統(tǒng)面臨的頗具挑戰(zhàn)性問題。

3)基于學(xué)習(xí)的復(fù)雜跳躍系統(tǒng)控制/濾波、安全控制/安全估計(jì)。隨著工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)和人工智能技術(shù)的迅速發(fā)展，工業(yè)現(xiàn)場產(chǎn)生的大量在線、離線數(shù)據(jù)給復(fù)雜跳躍系統(tǒng)的控制與決策提供了新思路，即如何在保證設(shè)定的控制效果前提下放寬對(duì)模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)信息獲取的要求。學(xué)習(xí)控制是較好的解決方案之一，是一種基于數(shù)據(jù)的前向?qū)W習(xí)控制方法，在執(zhí)行-評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)的框架下，通過在線或離線迭代學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)控制器的更新，可一定程度上克服復(fù)雜跳躍系統(tǒng)建模困難的問題。目前，基于學(xué)習(xí)的控制研究已得到一定發(fā)展，但針對(duì)復(fù)雜跳躍系統(tǒng)基于學(xué)習(xí)的控制和濾波、系統(tǒng)安全控制與安全估計(jì)等問題的研究卻不充分，值得進(jìn)一步研究。