基于Weibull分布的脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征及其統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法

張 超，白 允，楊楚卿，雷 勇

（湖南科技大學(xué)巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測(cè)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南湘潭 411201）

引言

巖石工程已廣泛存在于公路、鐵路、礦山和土木等領(lǐng)域，各類巖石工程（如地下結(jié)構(gòu)與隧道、邊坡、基礎(chǔ)工程，等等）的變形分析與計(jì)算已成為其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不可或缺的重要內(nèi)容，而合理的巖石本構(gòu)模型是保證巖石工程穩(wěn)定性控制和安全預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。一般而言，應(yīng)力水平是決定巖石表現(xiàn)為脆性變形還是延性變形的關(guān)鍵因素之一［1－2］，當(dāng)圍壓低于脆延轉(zhuǎn)換臨界值時(shí)，巖石內(nèi)部微裂紋迅速擴(kuò)展、相互貫通，應(yīng)力達(dá)到峰值點(diǎn)（極限強(qiáng)度）以后不斷發(fā)生跌落即應(yīng)變軟化，其破壞模式表現(xiàn)為脆性；當(dāng)圍壓高于脆延轉(zhuǎn)換臨界值時(shí)，巖石內(nèi)部微裂紋仍發(fā)生擴(kuò)展并相互貫通，但應(yīng)力達(dá)到極限強(qiáng)度以后不發(fā)生跌落即應(yīng)變硬化。由于巖石脆性變形破壞無(wú)明顯預(yù)兆，產(chǎn)生的危險(xiǎn)性和破壞性極大，是巖石工程災(zāi)害頻發(fā)的主要原因，因此，開(kāi)展脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征及其統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法研究對(duì)巖石工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害防治工作具有重要的理論價(jià)值。

巖石剛性伺服力學(xué)試驗(yàn)機(jī)研發(fā)成功以后，脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線得以實(shí)時(shí)測(cè)得，眾多學(xué)者對(duì)脆性巖石峰后變形力學(xué)特性的研究有了快速進(jìn)展。根據(jù)巖石三軸壓縮試驗(yàn)規(guī)程，可獲得不同圍壓作用下巖石全應(yīng)力應(yīng)變曲線，在此基礎(chǔ)上對(duì)巖石峰后破壞特征進(jìn)行分析，揭示了巖石受荷變形破裂全過(guò)程的基本規(guī)律，尤其是巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程是連續(xù)的，完全破壞以后仍具有殘余承載能力［3］。三軸壓縮條件下巖石變形破壞全過(guò)程模擬方法研究也在不斷探索，由于巖石變形破壞伴隨著內(nèi)部微裂紋不斷孕育、發(fā)展和相互貫通，當(dāng)巖石發(fā)生損傷以后，巖石變形力學(xué)特性已超出彈性理論研究范疇，從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)角度分析巖石變形破裂的物理基礎(chǔ)已發(fā)生改變［4－5］，而巖石材料內(nèi)部存在的大量微裂隙或微孔隙正是損傷力學(xué)理論所研究的范疇［6－7］，于是，基于有效應(yīng)力概念和應(yīng)變等效假設(shè)，將統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論和連續(xù)損傷理論相結(jié)合，提出了統(tǒng)計(jì)損傷的概念，從而建立了脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，其研究?jī)?nèi)容主要集中在巖石幾何損傷模型的構(gòu)建方法［8］、巖石破壞準(zhǔn)則和微元體強(qiáng)度隨機(jī)分布類型［9］、巖石發(fā)生損傷存在閾值的影響［10］以及本構(gòu)模型參數(shù)的確定方法［11］等方面，從而不斷地完善巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型理論，使該類模型盡可能地能夠模擬脆性巖石變形破壞全過(guò)程。然而，目前該類模型理論曲線在描述巖石峰后應(yīng)變軟化行為具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性，即無(wú)法定量地模擬脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線，這就導(dǎo)致難以利用該類模型預(yù)測(cè)脆性巖石達(dá)到極限強(qiáng)度以后的連續(xù)變形過(guò)程，但為文中開(kāi)展脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征及其統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法研究提供了一條可借鑒的途徑。

為此，本研究針對(duì)已有巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型在反映脆性巖石峰后應(yīng)變軟化行為方面存在的缺陷，以微元體強(qiáng)度服從Weibull分布為前提，探討其分布參數(shù)對(duì)脆性巖石損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響，提出一種新型幾何損傷模型，然后結(jié)合統(tǒng)計(jì)損傷的概念，建立能夠定量地模擬脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線的統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型，給出相應(yīng)模型參數(shù)的確定方法，以期解決已有脆性巖石本構(gòu)模型峰后理論曲線存在的強(qiáng)烈隨機(jī)性，進(jìn)一步完善巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的研究?jī)?nèi)容與方法，為各類巖石工程結(jié)構(gòu)變形與分析計(jì)算提供有力的本構(gòu)模型理論依據(jù)，從而更好地進(jìn)行巖石工程穩(wěn)定性控制和安全預(yù)測(cè)。

1 脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型理論及分析

目前，Lemaitre提出的巖石損傷本構(gòu)基本關(guān)系式［6］在巖石損傷力學(xué)理論中具有代表性，也得到了廣泛應(yīng)用，即

式中：σ和ε分別為名義應(yīng)力張量和名義應(yīng)變張量；C和D為巖石材料的彈性矩陣和損傷變量。

巖石材料作為一種天然地質(zhì)材料，其內(nèi)部構(gòu)造不均質(zhì)從而使巖石各微元體強(qiáng)度數(shù)值不盡相同，因此，基于統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度理論假定各微元體強(qiáng)度F服從Weibull分布［7］，即

式中：m和F0為微元體強(qiáng)度的分布參數(shù)。根據(jù)巖石三軸壓縮試驗(yàn)，當(dāng)巖石軸向承受較低荷載時(shí)，巖石內(nèi)部少量的、低強(qiáng)度的微元體發(fā)生破壞，陰影面積較小，如圖1（a）所示，隨著軸向荷載不斷增大，微元體發(fā)生破壞的數(shù)目不斷增多，陰影面積不斷增大，如圖1（b）所示，當(dāng)巖石所受應(yīng)力超過(guò)極限強(qiáng)度以后，大量微元體開(kāi)始迅速發(fā)生破壞，巖石峰后應(yīng)力快速跌落，表現(xiàn)為應(yīng)變軟化，但仍有少量的、強(qiáng)度極大的微元體不能發(fā)生破壞，由此巖石進(jìn)入殘余強(qiáng)度變形階段，但仍具有殘余承載能力。由此可見(jiàn)，陰影面積的變化可用于描述巖石變形破壞過(guò)程中微元體破壞累積過(guò)程，則陰影面積可用于定義損傷變量D，即

圖1 微元體強(qiáng)度F概率密度函數(shù)Fig.1 Probability density function of microelement strength F

將式（3）代入式（1）可得巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型，即

由此可知，要使該模型能夠模擬巖石變形破裂全過(guò)程，需對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行確定。該模型參數(shù)包括巖石材料彈性矩陣C，度量微元體強(qiáng)度F的相關(guān)參數(shù)以及分布參數(shù)m和F0，前兩類參數(shù)可由巖石基本力學(xué)試驗(yàn)獲得，參數(shù)物理意義明確，屬于試驗(yàn)類定常數(shù)，因此關(guān)鍵在于分布參數(shù)m和F0的確定方法。

目前，分布參數(shù)m和F0的確定方法主要有線性擬合法［12］、優(yōu)化反分析法［13］和峰值點(diǎn)法［14］等。線性擬合法首先將本構(gòu)模型方程變換為關(guān)于待擬合參數(shù)的線性方程，然后利用巖石三軸壓縮試驗(yàn)曲線進(jìn)行線性擬合從而獲得特定圍壓作用下分布參數(shù)m和F0的數(shù)值，該方法參數(shù)獲取便捷，但不具有物理意義，而且不同圍壓對(duì)巖石損傷本構(gòu)模型產(chǎn)生不同的影響，導(dǎo)致特定圍壓下分布參數(shù)值對(duì)其余圍壓下巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的適用性較差。優(yōu)化反分析法是將不同圍壓作為不同工況并建立目標(biāo)函數(shù)以及根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定的參數(shù)變化范圍，構(gòu)成一個(gè)有約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，利用單純形法求解分布參數(shù)，但需要基于大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)且獲得的參數(shù)解并不唯一。峰值點(diǎn)法要求本構(gòu)模型方程需同時(shí)滿足如下條件：

式中：σ1c和ε1c分別為脆性巖石所受應(yīng)力達(dá)到極限強(qiáng)度時(shí)的最大主應(yīng)力及相應(yīng)的主應(yīng)變。由此可見(jiàn)，只需本構(gòu)模型理論曲線經(jīng)過(guò)試驗(yàn)峰值點(diǎn)且具有相應(yīng)的極值特性即聯(lián)立上述方程從而求解分布參數(shù)m和F0，該方法處理簡(jiǎn)捷，物理意義明確，得到了廣泛應(yīng)用。于是，根據(jù)上述參數(shù)確定方法即可獲得巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型理論曲線［11］，如圖2所示，該類模型能夠較好地反映巖石峰前變形特征和應(yīng)變軟化特征，但無(wú)法反映殘余強(qiáng)度變形特征。于是，曹文貴等［15］認(rèn)為巖石發(fā)生損傷破壞后仍具有殘余強(qiáng)度，從而建立了新型巖石損傷模型，在基礎(chǔ)上引入統(tǒng)計(jì)損傷的概念，建立了考慮巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型，使該類模型還能夠反映巖石殘余強(qiáng)度變形特征。然而，上述研究都不能定量地描述脆性巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程，模型理論峰后曲線與試驗(yàn)峰后曲線存在較大偏離現(xiàn)象，究其原因在于2方面：一方面是統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型理論本身存在問(wèn)題，該問(wèn)題非常復(fù)雜，這里暫不討論；另一方面是認(rèn)為本構(gòu)模型理論正確的前提下，其模型參數(shù)確定方法存在的缺陷所造成的，這是建立本構(gòu)模型的重要組成部分，現(xiàn)對(duì)此進(jìn)行分析。

圖2 統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型理論曲線Fig.2 Curves of statistical damage softening constitutive model

如上所述，脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型參數(shù)［16－17］可分兩類：一類為巖石材料彈性矩陣C（如彈性模量E、泊松比μ、內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c）和度量微元體強(qiáng)度F的相關(guān)參數(shù)（如M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則α和κ），其數(shù)值主要取決于巖石物理性質(zhì)，屬于基本力學(xué)參數(shù)，它們不會(huì)因本構(gòu)模型或模型理論的改變而發(fā)生變化，因此，該類模型參數(shù)并非導(dǎo)致模型理論峰后曲線與試驗(yàn)峰后曲線存在較大偏離的原因；另一類為微元體強(qiáng)度服從Weibull分布的參數(shù)m和F0，廣泛采用峰值點(diǎn)法進(jìn)行確定，但峰值點(diǎn)法僅僅要求模型理論曲線需經(jīng)過(guò)試驗(yàn)曲線峰值點(diǎn)且滿足極值特性，由此獲得的2個(gè)方程無(wú)法對(duì)脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征產(chǎn)生任何約束或控制，致使模型理論峰后曲線存在強(qiáng)烈的隨機(jī)性，無(wú)法定量地模擬巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程，同時(shí)由該方程組獲得的分布參數(shù)m和F0數(shù)值具有唯一性，僅適用于模擬特定圍壓作用下脆性巖石應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線。

因此，將在探討分布參數(shù)m和F0對(duì)脆性巖石損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響基礎(chǔ)上，提出一種新型脆性巖石損傷模型，然后結(jié)合統(tǒng)計(jì)損傷的概念，建立能夠定量地模擬脆性巖石峰后應(yīng)力-應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線的統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型。

2 新型脆性巖石損傷模型

由前述分析可知，脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型理論曲線的變化規(guī)律除受巖石材料基本力學(xué)參數(shù)的影響以外，還受損傷變量D變化的影響，但是巖石材料基本力學(xué)參數(shù)屬于試驗(yàn)類定常數(shù)，而損傷變量D的變化規(guī)律主要與分布參數(shù)m和F0密切相關(guān)，因此，分布參數(shù)m和F0對(duì)模型理論曲線的變化規(guī)律產(chǎn)生重要影響，故基于式（3）探討分布參數(shù)m和F0對(duì)損傷變量D產(chǎn)生的影響，如圖3所示，可得：

圖3 分布參數(shù)m和F0對(duì)損傷變量D的影響Fig.3 Effects of distribution parameters m and F0 on damage variable D

（1）隨著微元體強(qiáng)度F的增大，損傷變量D不斷增大且曲線形狀表現(xiàn)為“S型”，損傷變量D的數(shù)值變化區(qū)間為[0，1]。

（2）分布參數(shù)F0保持不變，隨著分布參數(shù)m的增大，損傷變化率（?D/?F）不斷增大，D-F曲線形狀保持為“S型”并繞著定點(diǎn)A作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)巖石損傷本構(gòu)基本關(guān)系式即式（1）可知，損傷變化率增大使（1-D）的數(shù)值快速降低，巖石峰后應(yīng)力跌落加快，其破壞模式表現(xiàn)為脆性程度增大。

（3）分布參數(shù)m保持不變，隨著分布參數(shù)F0的增大，損傷變化率（?D/?F）不斷減小，D-F曲線形狀保持為“S型”且趨于向微元體強(qiáng)度F增大方向移動(dòng)。根據(jù)巖石損傷本構(gòu)基本關(guān)系式即式（1）可知，損傷變化率減小使（1-D）的數(shù)值慢速降低，巖石峰后應(yīng)力跌落減慢，其破壞模式表現(xiàn)為脆性程度減小。

由此可見(jiàn)，分布參數(shù)m和F0對(duì)損傷變量D的變化規(guī)律產(chǎn)生重要影響，進(jìn)而影響巖石峰后應(yīng)力跌落即峰后應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征，然而根據(jù)特定圍壓作用下巖石三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由峰值點(diǎn)法確定的分布參數(shù)m和F0數(shù)值具有唯一性，使現(xiàn)有巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型針對(duì)特定圍壓情況僅能夠產(chǎn)生一條理論曲線，而且此條理論曲線由于峰值點(diǎn)法的原因而峰后表現(xiàn)出強(qiáng)烈的隨機(jī)性，無(wú)法定量地模擬巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程。然而，峰值點(diǎn)法處理簡(jiǎn)捷，參數(shù)物理意義明確即分布參數(shù)m為巖石材料的均勻系數(shù)，分布參數(shù)F0為微元體強(qiáng)度統(tǒng)計(jì)均值，因此，本研究在繼承該方法優(yōu)越性的前提下，經(jīng)過(guò)不斷地嘗試和驗(yàn)證，擬引入?yún)?shù)λ和η，提出新型脆性巖石損傷模型，即

式中：σi、σ′i和σr分別為脆性巖石表觀應(yīng)力、有效應(yīng)力和殘余應(yīng)力。在分布參數(shù)m和F0數(shù)值保持唯一性的情況下，參數(shù)λ和η能否使在此基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型定量地模擬出脆性巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程，將在第4節(jié)進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

3 脆性巖石變形破裂過(guò)程統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法

根據(jù)損傷力學(xué)理論可知，脆性巖石可抽象為由損傷部分和未損傷部分組成，而未損傷部分的變形力學(xué)特性服從廣義虎克定律［18］，即

式中：E和μ分別為脆性巖石彈性模量和泊松比；σ′i、σ′j和σ′k分別為未損傷部分在i、j和k方向的有效應(yīng)力；εi為脆性巖石在i方向的應(yīng)變。由于三軸壓縮試驗(yàn)條件下巖石試件在軸向荷載壓縮方向發(fā)生破裂變形并逐漸喪失承載能力，圍壓約束巖石試件發(fā)生側(cè)向變形并起到提高軸向承載能力的作用，因此可近似認(rèn)為巖石試件損傷主要發(fā)生在軸向，忽略側(cè)向圍壓方向發(fā)生的損傷。于是，式（8）可改寫(xiě)為

于是，將式（9）代入式（7）可得

其中，

由于脆性巖石變形破裂行為的本質(zhì)是微元體發(fā)生破壞的數(shù)目不斷增多的過(guò)程，因此，本文在考慮脆性巖石力學(xué)特性受應(yīng)力狀態(tài)的影響基礎(chǔ)上，將M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則［17］作為判斷微元體是否發(fā)生破壞的依據(jù)，即

其中，

式中：φy和cy分別為脆性巖石所受應(yīng)力達(dá)到損傷閾值時(shí)的內(nèi)摩擦角與黏聚力。根據(jù)損傷變量D變化規(guī)律可知，當(dāng)脆性巖石僅發(fā)生彈性變形時(shí)，微元體未發(fā)生破壞，損傷變量D等于0；當(dāng)脆性巖石發(fā)生損傷變形時(shí)，微元體開(kāi)始發(fā)生破壞且破壞數(shù)目不斷增多，損傷變量D不斷增大；當(dāng)脆性巖石變形持續(xù)增大而應(yīng)力不再增加時(shí)，微元體破壞數(shù)目已達(dá)上限，損傷變量D等于1/λ并保持不變。于是，新型脆性巖石損傷模型下?lián)p傷變量D可表述為

式中：Fs為損傷變量D恰好達(dá)到1/λ時(shí)的微元體強(qiáng)度值。由于脆性巖石損傷演化過(guò)程是連續(xù)的，由式（15）可確定出Fs，即

于是，將式（15）代入式（10）可得脆性巖石變形破裂過(guò)程統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法，即

要使式（17）能夠模擬出脆性巖石變形破裂過(guò)程，還需給出分布參數(shù)m和F0以及參數(shù)λ和η的確定方法。于是，本研究考慮峰值點(diǎn)法的優(yōu)越性并繼承其參數(shù)確定方法，可得分布參數(shù)m和F0的解析表達(dá)式，即

其中，

由于參數(shù)λ和η變化對(duì)脆性巖石損傷演化規(guī)律及其損傷本構(gòu)模型理論曲線產(chǎn)生的影響未知，因此暫無(wú)法給出其確定方法，需參數(shù)分析之后給出相應(yīng)表達(dá)。值得注意的是，現(xiàn)有脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型是最大主應(yīng)力σ1和最大主應(yīng)變?chǔ)?之間的理論曲線，而三軸壓縮條件下脆性巖石實(shí)測(cè)曲線是軸向應(yīng)力σ1t和軸向應(yīng)變?chǔ)?t之間的試驗(yàn)曲線，兩者曲線之間存在明顯差異，需給出它們之間的理論關(guān)系，即

式中，εc為靜水壓力下巖石產(chǎn)生的初始應(yīng)變，其數(shù)值為（1-2μ）σ3/E。于是，將式（22）和式（23）代入式（17）可得脆性巖石修正統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型。

4 參數(shù)（λ和η）分析及本構(gòu)模型驗(yàn)證

YUMLU.M等［19］基于三軸壓縮試驗(yàn)機(jī)給出了圍壓分別為3，5和8 MPa作用下砂巖軸向應(yīng)力與軸向應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線，如圖4所示，砂巖彈性模量E=27.0 GPa，泊松比μ=0.25，內(nèi)摩擦角φy=50°，黏聚力cy=13.17 MPa。為了清楚地表明已有脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型理論曲線存在的缺陷以及采用本文模型和方法所帶來(lái)的優(yōu)越性，首先將參數(shù)λ和η均賦數(shù)值為1，本文模型則轉(zhuǎn)化為已有脆性巖石損傷本構(gòu)模型［15］，將其模型理論曲線與試驗(yàn)曲線進(jìn)行比較，然后再對(duì)參數(shù)λ和η進(jìn)行分析，討論其影響并給出其確定方法，最后對(duì)本文模型和方法的可行性與合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

4.1 不考慮參數(shù)λ和η影響的脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型分析

為了不考慮參數(shù)λ和η的影響，將參數(shù)λ和η均賦數(shù)值為1，則本文模型轉(zhuǎn)化為已有脆性巖石損傷本構(gòu)模型［15］，根據(jù)已有方法可得其模型理論曲線σ1－ε1、修正模型理論曲線σ1t－ε1t以及砂巖損傷演化曲線D－ε1t，并將已有理論曲線與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如圖4所示，可以看出：

圖4 已有模型理論曲線［15］（λ=η=1）與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.4 Comparison of experimental data of sandstone and theoretical curves of existing model［15］（λ=η=1）

（1）已有模型理論曲線σ1－ε1能夠定性地反映砂巖線彈性、屈服硬化、應(yīng)變軟化和殘余強(qiáng)度等4個(gè)變形階段，但存在明顯缺陷，對(duì)于峰值強(qiáng)度之前，隨著圍壓的增大，已有模型理論曲線與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離程度不斷增大，對(duì)于峰值強(qiáng)度之后，已有模型理論曲線明顯偏離砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)，且與圍壓水平無(wú)關(guān)。

（2）修正模型理論曲線σ1t－ε1t能夠定量地描述砂巖峰值強(qiáng)度之前的試驗(yàn)曲線，盡管峰值強(qiáng)度之后的修正模型理論曲線與砂巖試驗(yàn)曲線的偏離程度減小，但兩者之間的差距仍然不可忽略或近似。

（3）砂巖損傷演化曲線D－ε1t形狀基本表現(xiàn)為“S型”，當(dāng)砂巖未發(fā)生損傷即處于彈性變形階段時(shí)，損傷變量D為0，當(dāng)砂巖進(jìn)入屈服硬化和應(yīng)變軟化階段時(shí)，損傷變量D由0逐漸增大，直至砂巖進(jìn)入殘余強(qiáng)度變形階段，損傷變量D等于1并保持不變，可見(jiàn)D－ε1t能夠?qū)ι皫r階段性變形特征進(jìn)行合理闡釋。

由此可見(jiàn)，不考慮參數(shù)λ和η影響的脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型及其修正模型存在明顯缺陷，它們均無(wú)法很好地模擬脆性巖石峰后應(yīng)力跌落過(guò)程，因此為了解決該問(wèn)題，文中提出了新型脆性巖石損傷模型即式（7），進(jìn)而在此基礎(chǔ)上建立了脆性巖石修正統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型。

4.2 參數(shù)λ和η分析

為了探討參數(shù)λ和η的影響并給出其確定方法，文中采用控制單參數(shù)變量方式即將參數(shù)λ和η分別賦數(shù)值為1，考慮單參數(shù)的變化對(duì)脆性巖石損傷演化規(guī)律及其損傷本構(gòu)模型理論曲線產(chǎn)生何種影響，分別如圖5和圖6所示。

圖5 參數(shù)λ對(duì)模型理論曲線和損傷演化規(guī)律的影響（η=1）Fig.5 Effects of parameterλon theoretical curves and damage evolution law（η=1）

圖6 參數(shù)η對(duì)模型理論曲線和損傷演化規(guī)律的影響（λ=1）Fig.6 Effects of parameterηon theoretical curves and damage evolution law（λ=1）

（1）不同圍壓作用下峰值強(qiáng)度之前模型理論曲線不受參數(shù)λ和η變化的影響，繼承了已有修正理論模型（λ=η=1）的優(yōu)點(diǎn)，能夠很好地反映砂巖線彈性變形階段和屈服硬化變形階段，不同圍壓作用下峰值強(qiáng)度之后模型理論曲線受參數(shù)λ和η變化影響顯著。

（2）控制參數(shù)η不變（賦參數(shù)η數(shù)值為1），隨著參數(shù)λ的增大，峰值強(qiáng)度之后的模型理論曲線應(yīng)力跌落過(guò)程加快，殘余應(yīng)力降低，損傷變化率增大，損傷演化理論曲線形狀基本保持為“S型”并繞固定點(diǎn)A作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，從而表明參數(shù)λ與Weibull分布參數(shù)m對(duì)損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響一致。

（3）控制參數(shù)λ不變（賦參數(shù)λ數(shù)值為1），隨著參數(shù)η的增大，峰值強(qiáng)度之后的模型理論曲線應(yīng)力跌落過(guò)程減慢，殘余應(yīng)力增大，損傷變化率增大，損傷演化理論曲線形狀基本保持為“S型”并趨于向軸應(yīng)變減小方向移動(dòng)，從而表明參數(shù)η與Weibull分布參數(shù)F0對(duì)損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響接近相同。

由此可見(jiàn)，參數(shù)λ和η對(duì)損傷演化理論曲線的影響與Weibull分布參數(shù)m和F0對(duì)損傷演化理論曲線的影響是等效的，這表明基于峰值點(diǎn)法確定的Weibull分布參數(shù)m和F0數(shù)值在保持不變的情況下，通過(guò)改變參數(shù)λ和η的數(shù)值來(lái)影響損傷演化理論曲線變化規(guī)律，進(jìn)而使統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型能夠模擬脆性巖石峰值強(qiáng)度之后的應(yīng)力跌落過(guò)程，這一研究思路是可行的。

根據(jù)參數(shù)λ和η分析可知，參數(shù)λ和η的變化對(duì)不同圍壓作用下峰值強(qiáng)度之前模型理論曲線不產(chǎn)生影響，但對(duì)峰值強(qiáng)度之后模型理論曲線變形特征起著關(guān)鍵作用。由于巖石峰值后區(qū)變形特征可由脆性指標(biāo)和殘余應(yīng)力進(jìn)行表征，因此可提出參數(shù)λ和η的確定方法如下：

張超等［20］綜合考慮全應(yīng)力應(yīng)變曲線峰前峰后對(duì)巖石脆性程度的共同影響，提出巖石的新脆性指標(biāo)B L，可表示為

其中，

式中：ε1r為巖石所受應(yīng)力為殘余應(yīng)力時(shí)的應(yīng)變。B L數(shù)值越大，代表巖石脆性程度越高，由式（24）～式（25）可得ε1r的表達(dá)式，即

將式（26）代入式（12）可得巖石所受應(yīng)力恰好達(dá)到殘余應(yīng)力σr時(shí)的Fs，即

于是，將式（27）代入式（15）可得微元體強(qiáng)度達(dá)到Fs時(shí)的巖石損傷變量Ds，即

根據(jù)連續(xù)性損傷條件，由式（15）可得參數(shù)λ的確定方法，即

根據(jù)巖石殘余強(qiáng)度變形階段特征可得

于是，將式（17）第3式代入式（30）可得參數(shù)η和參數(shù)λ的數(shù)值相等。

4.3 考慮參數(shù)λ和η影響的脆性巖石修正統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型驗(yàn)證

根據(jù)上述參數(shù)的確定方法可得出文中理論模型相關(guān)參數(shù)，如表1所示，將其代入考慮參數(shù)λ和η影響的脆性巖石修正統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型，可得不同圍壓下砂巖變形破壞全過(guò)程理論曲線，并將其與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，如圖7所示。

圖7 本文修正理論模型曲線與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Fig.7 Comparison of experimental data of sandstone and theoretical curves of proposed model

表1 理論模型相關(guān)參數(shù)Table 1 Related parameters of theoretical model

由此可見(jiàn)，本研究修正理論模型能夠準(zhǔn)確地描述砂巖峰值強(qiáng)度之前線彈性和屈服硬化等變形階段，繼承了已有修正理論模型（λ=η=1）的優(yōu)點(diǎn)，也能夠較好地模擬出砂巖峰值強(qiáng)度之后試驗(yàn)曲線即應(yīng)變軟化和殘余強(qiáng)度變形階段，盡管理論曲線應(yīng)變軟化階段與砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)尚存些許偏離，究其原因，本文模型和方法不適用于脆性指標(biāo)趨于極大的極端情況，也未考慮砂巖初始損傷所帶來(lái)的影響，但它明顯縮小砂巖峰值強(qiáng)度之后應(yīng)力跌落過(guò)程與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏離程度，表明本文模型和方法具有一定的合理性與可行性。

5 結(jié)論

針對(duì)已有脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型在模擬脆性巖石峰值強(qiáng)度之后應(yīng)力跌落過(guò)程存在強(qiáng)烈的隨機(jī)性，提出新型脆性巖石損傷模型，在此基礎(chǔ)上建立脆性巖石變形破裂過(guò)程統(tǒng)計(jì)損傷模擬方法，可得如下結(jié)論：

（1）在模擬三軸壓縮試驗(yàn)條件下軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線時(shí)，需對(duì)脆性巖石統(tǒng)計(jì)損傷軟化本構(gòu)模型進(jìn)行修正，即對(duì)最大主應(yīng)力-最大主應(yīng)變與軸向應(yīng)力-軸向應(yīng)變兩者之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

（2）Weibull分布參數(shù)m和F0能夠使理論模型很好地模擬出脆性巖石峰值強(qiáng)度之前變形過(guò)程，但無(wú)法對(duì)脆性巖石峰值強(qiáng)度之后變形過(guò)程起到約束作用，從而使峰后理論模型曲線存在強(qiáng)烈的隨機(jī)性。

（3）參數(shù)λ和η變化對(duì)峰值強(qiáng)度之前理論模型曲線不產(chǎn)生影響，但對(duì)峰值強(qiáng)度之后理論模型曲線產(chǎn)生強(qiáng)烈影響，它們與分布參數(shù)m和F0對(duì)損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響等效，即參數(shù)λ與分布參數(shù)m對(duì)損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響一致，參數(shù)η與分布參數(shù)F0對(duì)損傷演化規(guī)律產(chǎn)生的影響接近相同。

（4）本文修正理論模型不僅能夠準(zhǔn)確地脆性巖石峰值強(qiáng)度之前變形過(guò)程，也能夠明顯縮小脆性巖石峰值強(qiáng)度之后應(yīng)力跌落過(guò)程與試驗(yàn)曲線的偏離程度，表明本文模型和方法具有一定的合理性與可行性。