基于多目標規(guī)劃的生產(chǎn)企業(yè)原材料訂購與運輸研究

劉增芳 張倩男

【摘 要】企業(yè)的生產(chǎn)離不開原材料，因此原材料訂購與運輸成為每一個生產(chǎn)企業(yè)時刻關(guān)注的問題。針對2021年全國大學生數(shù)學建模競賽C題的問題三和問題四，研究生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題，在問題一及問題二的基礎上，以總成本最低和損耗量最少為目標，分別建立多目標規(guī)劃模型，找到兩種情況達到相對最佳的結(jié)果，得到最優(yōu)的訂購方案，使企業(yè)獲得了更多的利潤。根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應商和轉(zhuǎn)運商的實際情況，以最小損耗量為目標函數(shù)，以轉(zhuǎn)運平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立線性規(guī)劃模型，確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能提高量，并給出未來24周的訂購和轉(zhuǎn)運方案，在一定程度上為生產(chǎn)企業(yè)原材料訂購與運輸問題的決策提供了可靠的理論支撐和實踐指導。

【關(guān)鍵詞】多目標規(guī)劃;訂購和轉(zhuǎn)運方案;線性規(guī)劃模型;MATLAB

【中圖分類號】R927.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-0688（2022）04-0134-04

1 問題背景及重述

原材料是每一個生產(chǎn)企業(yè)開展生產(chǎn)活動的根本，如果失去了材料來源，便意味著這個企業(yè)可能將要面臨破產(chǎn)的風險。原材料除了要滿足企業(yè)生產(chǎn)活動的正常運行，其質(zhì)量與性能也會直接影響成品質(zhì)量，同時若原材料的供給量達不到使用量，也會影響產(chǎn)品銷售量。因此，原材料的訂購成本、質(zhì)量、供貨量都是影響企業(yè)生產(chǎn)效益的重要條件。隨著社會經(jīng)濟的飛速發(fā)展，原材料的相關(guān)問題逐漸凸顯，引起許多生產(chǎn)企業(yè)的重視。從經(jīng)濟效益角度看，原材料的采購成本、運輸成本等直接影響企業(yè)的生產(chǎn)效益。因此，可以從供貨商的供貨量、原材料的訂購、運輸成本等方面，結(jié)合實際情況對相關(guān)數(shù)據(jù)進行深入分析，研究企業(yè)原材料訂購與運輸問題。

2021年全國大學生數(shù)學建模競賽C題[1]旨在引導學生通過背包模型研究企業(yè)原材料訂購與運輸?shù)膬?yōu)化問題。C題：某建筑和裝飾板材的生產(chǎn)企業(yè)所用原材料為A，B，C 3種類型，該企業(yè)需要根據(jù)產(chǎn)能要求確定需要訂購的原材料供應商和相應每周的原材料訂購數(shù)量，確定轉(zhuǎn)運商并委托其將供應商每周的原材料供貨量轉(zhuǎn)運到企業(yè)倉庫。附件1給出了該企業(yè)近5年402家原材料供應商的訂貨量和供貨量數(shù)據(jù)。附件2給出了8家轉(zhuǎn)運商的運輸損耗率數(shù)據(jù)。①問題三：該企業(yè)為了壓縮生產(chǎn)成本，現(xiàn)計劃盡量多地采購A類和盡量少地采購C類原材料，減少轉(zhuǎn)運及倉儲的成本，同時希望轉(zhuǎn)運商的轉(zhuǎn)運損耗率盡量少。請制訂新的訂購方案及轉(zhuǎn)運方案，并分析方案的實施效果。②問題四：該企業(yè)通過技術(shù)改造已具備提高產(chǎn)能的潛力。根據(jù)現(xiàn)有原材料供應商和轉(zhuǎn)運商的實際情況，確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少，并給出未來24周的訂購和轉(zhuǎn)運方案。

針對生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題，根據(jù)原材料的供應鏈管理，利用層次分析法[2]分析權(quán)重，建立多目標規(guī)劃模型[3]，并制訂3種原材料的訂購與運輸方案。最后對方案進行了效果分析，再一次完善了方案，在一定程度上可以為生產(chǎn)企業(yè)原材料訂購與運輸問題的決策提供可靠的理論和實踐指導。

2 基本假設及符號說明

基本假設如下：①假設生產(chǎn)企業(yè)在第一周初始時原材料的儲存量為零。②轉(zhuǎn)運損耗率小與轉(zhuǎn)運公司實力成負相關(guān)。③企業(yè)要保持大于等于滿足兩周生產(chǎn)需求的原材料庫存量[4]。④假設原材料只有轉(zhuǎn)運損耗，沒有庫存損耗[5]。符號說明見表1。

3 模型的建立與求解

企業(yè)供應鏈戰(zhàn)略[6]有效實施的基礎就是選擇適合企業(yè)的原材料供應商資源，所以在供應鏈模式下，必須采用科學合理的方法選擇供應商。根據(jù)企業(yè)經(jīng)營的實際需要，運用科學的方法對供應商進行評價，最終確定企業(yè)采購的原材料或服務的來源及合作方式。最優(yōu)的原材料保障計劃和保障方案可以為決策層提供科學、合理的輔助決策信息。層次分析法是一種計算簡便且適合于多目標、多準則的系統(tǒng)評價方法，有許多其他方法不可比擬的優(yōu)點。為有效解決生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題，可以將這種分析方法的關(guān)鍵步驟與供應商選擇決策問題相聯(lián)系，用于生產(chǎn)企業(yè)的原材料供應商選擇決策上，以建立供應商評價的遞階層次結(jié)構(gòu)[7]，從而構(gòu)建合適的層次結(jié)構(gòu)模型。層次結(jié)構(gòu)由上而下設定為目標層、準則層和方案層。在遞階層次結(jié)構(gòu)模型構(gòu)建的過程中，通過對各項指標的理論分析，最終將選取合適的供貨商設為目標層，將總供貨量、總采購量、總供貨量與總采購量的差值設定為準則層，以402家供貨商作為方案層。以該理論為依據(jù)選出最佳的供應商，并通過MATLAB軟件[8]對實例進行求解，驗證該方案的有效性和可行性。

針對生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸中需要解決的兩個問題：一是為了壓縮生產(chǎn)成本，該企業(yè)計劃盡量多地采購A類和盡量少地采購C類原材料，減少轉(zhuǎn)運及倉儲的成本，同時希望轉(zhuǎn)運商的轉(zhuǎn)運損耗率盡量少。二是該企業(yè)通過技術(shù)改造已經(jīng)具備了提高產(chǎn)能的潛力，根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應商和轉(zhuǎn)運商的實際情況，需要確定該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少。基于此，需要制訂新的訂購方案及轉(zhuǎn)運方案，并分析方案的實施效果。

3.1 問題三的建模與求解

3.1.1 建立多目標規(guī)劃模型求解

對于問題三，有兩個問題需要解決，第一，企業(yè)為了獲得更多的利潤，要壓縮生產(chǎn)成本，要求盡量多地購買一些成本低的A類原材料，少買B類和C類原材料，3種原材料的轉(zhuǎn)運及倉儲成本是一樣的，此處不做考慮。已知A類和B類原材料的采購單價分別比C類原材料高20%和10%，雖然A類的采購單價高了一些，但是生產(chǎn)同單位的產(chǎn)品中A類消耗最少。第二，供應商原材料轉(zhuǎn)運要保障原材料的損耗量為最少，通過建立多目標規(guī)劃模型求得最佳的轉(zhuǎn)運方案。

（1）建立多目標規(guī)劃模型壓縮成本。為使轉(zhuǎn)運成本和倉儲成本盡量小，那么應在保障生產(chǎn)運行的前提下使總訂購量和存儲量盡量少，由此建立數(shù)學規(guī)劃方程[9]，故得到目標函數(shù)如下：

參考問題二與問題三相同的生產(chǎn)能力約束：

要達到損耗率最低，要滿足與問題二相同的條件下，由庫存狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程[10]，得到：

要滿足生產(chǎn)需要，由問題二相同的約束得到生產(chǎn)保障約束：

（2）建立目標規(guī)劃模型降低損耗率。在轉(zhuǎn)運過程中，供應商供應材料A，B，C會有一定的損耗。在總訂購量和存儲量小條件成立的前提下，要合理調(diào)配轉(zhuǎn)運方案，使總損耗達到最小。問題三要求盡可能減少轉(zhuǎn)運損耗率，由此建立了目標規(guī)劃模型，在此基礎上計算轉(zhuǎn)運損耗量，則目標函數(shù)如下：

要達到損耗率最低，并滿足與問題二下相同的條件，由庫存狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得到：

基于上述條件和目標函數(shù)建立規(guī)劃模型，然后進行求解。

3.1.2 問題三結(jié)果分析

若要壓縮生產(chǎn)成本，減少轉(zhuǎn)運和生產(chǎn)的成本，則可多購進A類原材料，少購進B類原材料，結(jié)果如圖1所示。與問題二的總體進貨量進行對比分析，發(fā)現(xiàn)前10周問題二的進貨量高于問題三，在10～24周內(nèi)問題三的進貨量普遍高于問題二，由此可得，問題三總體進貨量多于問題二。轉(zhuǎn)運方案如圖2所示，滿足轉(zhuǎn)運損耗量最少，則可優(yōu)先選擇T2、T3，其次是T1、T4，這4個轉(zhuǎn)運商在運輸過程中的損耗率較小;而T5、T6、T7、T8因為其轉(zhuǎn)運損耗率高，所以不考慮。

3.2 問題四的建模與求解

3.2.1 問題四的模型建立

對于問題四，該企業(yè)通過技術(shù)改造已具備了提高產(chǎn)能的潛力。需要解決的問題就是在確定有原材料的供應商和轉(zhuǎn)運商的實際情況下，該企業(yè)每周的產(chǎn)能可以提高多少，該問題的根本在于供應商的供貨量要達到最大，轉(zhuǎn)運過程中的損耗率要盡量減小，使得原材料供應量達到最大?？梢越⒁赞D(zhuǎn)運平衡和最大產(chǎn)能為約束條件的線性規(guī)劃模型進行求解，以得到未來24周最優(yōu)的訂購和轉(zhuǎn)運方案。

在材料轉(zhuǎn)運過程中，材料的損耗是一個不可忽視的因素，為了避免出現(xiàn)損耗率過大，現(xiàn)對附件2中的8家轉(zhuǎn)運商240周的損耗率分別求平均值，將其按照升序排列，查看數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：在運輸和儲存的單位費用相同的情況下，損耗率越大，選擇這家供應商的可能性就越小。

其中，Xj表示第j周的最大產(chǎn)量，Zj表示第j周增加的產(chǎn)量。以轉(zhuǎn)運平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立規(guī)劃模型。

3.2.2 結(jié)果分析

通過模型求解得到的最大產(chǎn)量與正常產(chǎn)量做對比，企業(yè)的產(chǎn)能逐步提高。

利用MATLAB解出上述線性規(guī)劃模型，可得到每周訂購數(shù)量的方案（如圖3所示）?？芍趽p耗率最小的情況下最終產(chǎn)能就越大，若減小損耗率可多進A類原材料，少進C類原材料，降低其運輸過程中的損耗。轉(zhuǎn)運方案如圖4所示，可知T1、T2、T3轉(zhuǎn)運商在轉(zhuǎn)運過程中的損耗率最小，可以主要在T1、T2、T3轉(zhuǎn)運商進行轉(zhuǎn)貨，T4轉(zhuǎn)運商次之。T5、T6、T7、T8轉(zhuǎn)運商在轉(zhuǎn)運過程中損耗率高，可以不選擇從該轉(zhuǎn)運商轉(zhuǎn)運原材料。

4 結(jié)論

為了讓該企業(yè)獲得更多的利潤，依據(jù)原材料的供應鏈管理準則研究了生產(chǎn)企業(yè)、原材料供應商、轉(zhuǎn)運商3層供應鏈中的生產(chǎn)運輸和訂購問題。在生產(chǎn)企業(yè)的原材料供應商的選擇決策上，利用層次分析法建立了適合的遞階層次結(jié)構(gòu)模型，也為供應商提供了比較好的選擇決策平臺。層次結(jié)構(gòu)由上而下設定為目標層、準則層和方案層。以此理論為依據(jù)，對生產(chǎn)企業(yè)原材料的訂購與運輸問題給出了有效的解決方案。首先，針對壓縮成本和降低損耗率問題建立了多目標規(guī)劃模型，并對材料進貨量進行對比分析，利用MATLAB軟件求解，給出了最佳的訂購方案和轉(zhuǎn)運方案。其次，根據(jù)現(xiàn)有原材料的供應商和轉(zhuǎn)運商的實際情況，以最小損耗量為目標函數(shù)，以轉(zhuǎn)運平衡和最大產(chǎn)能為約束條件，建立了線性規(guī)劃模型，從而確定了該企業(yè)每周的產(chǎn)能的提高量，并給出了未來24周最優(yōu)的訂購和轉(zhuǎn)運方案。

參 考 文 獻

[1]全國大學生數(shù)學建模競賽組委會.2021年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽賽題[EB/OL].[2021-11-26].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/4d73a36cc88b3

5bd4883c276afe39d89.html.

[2]毛歆，王青，蔡海燕，等.層次分析法在“兩品一械”監(jiān)管重點實驗室評價指標權(quán)重確定中的應用[J].中國藥事，2019，33（12）：1371-1376.

[3]司守奎，孫兆亮.數(shù)學建模算法與應用[M].第2版.北京：國防工業(yè)出版社，2011.

[4]李洪廣.二級庫存-運輸系統(tǒng)的聯(lián)合經(jīng)濟訂購模型[J].裝甲兵工程學院學報，2012，26（2）：29-33.

[5]段曉軍.鋼管訂購和運輸策略[J].數(shù)學的實踐與認識，2001，31（1）：63-66.

[6]萬國華，孫磊.批量運輸?shù)亩庸溝到y(tǒng)的生產(chǎn)和訂購計劃：模型與算法[J].系統(tǒng)管理學報，2012，21（6）：729-735.

[7]秦峰.基于層次分析法的大學課程教育與就業(yè)能力的相關(guān)性研究[J].北京城市學院學報，2019（6）：68-78.

[8]張志涌.精通MATLAB 6.5版[M].北京：北京航空航天大學出版社，2003.

[9]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[10]趙靜，但琦，嚴尚安，等.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[M].北京：高等教育出版社，2014.