基于歷史名題的三角單元復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐與研究

紀(jì)亞榮

摘要：著眼于研究三角的歷史名題，好的數(shù)學(xué)問題組能激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的欲望，本節(jié)課選取的三角歷史名題從古到今，有一個(gè)共性，它們都揭示了三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.本節(jié)課是一節(jié)復(fù)習(xí)課，也是一節(jié)大家平時(shí)教學(xué)中不太重視的一節(jié)課.本人想通過這節(jié)復(fù)習(xí)課，既讓學(xué)生感受到歷史名題的魅力，更加讓學(xué)生體會(huì)到貫穿三角單元中最重要的三角函數(shù)性質(zhì)是周期性，周期性帶動(dòng)三角函數(shù)的其他性質(zhì)，沒有周期性其他性質(zhì)沒有附著點(diǎn).

關(guān)鍵詞：三角;歷史名題;周期性

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）18-0008-03

1 引言

三角函數(shù)對(duì)比其他基本初等函數(shù)，它的對(duì)應(yīng)法則與它們不一樣，理解三角函數(shù)的意義需要數(shù)形結(jié)合，吃透三角函數(shù)那么多的性質(zhì)也是不容易的.所以，對(duì)于剛剛學(xué)完三角函數(shù)這章的同學(xué)們而言，很需要三角單元復(fù)習(xí)課幫助他們深入理解三角這個(gè)模塊的知識(shí)，在深入學(xué)習(xí)中不斷提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).三角單元復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)比較多，一節(jié)課容量比較小，故本節(jié)課選取三角函數(shù)周期性這個(gè)點(diǎn)入手，對(duì)三角單元進(jìn)行深入學(xué)習(xí).我們可以創(chuàng)設(shè)物理、生物等自然界中的周期現(xiàn)象的情境，來深入體會(huì)三角函數(shù)是周期函數(shù).

2 教學(xué)片段與實(shí)施

高一學(xué)生學(xué)完三角函數(shù)這章，大部分學(xué)生不知道三角的相關(guān)數(shù)學(xué)史，通過下面兩道歷史名題，激發(fā)學(xué)生深入理解與研究三角的興趣，體會(huì)到三角函數(shù)是研究社會(huì)生活中周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并且有著廣泛地應(yīng)用.

歷史名題1測(cè)量地球的直徑是埃拉托色尼一直想干的事情，他選擇了亞歷山大（A）和塞恩（S）兩個(gè)地方.夏至?xí)r他在亞歷山大樹立直桿AB（垂直于地球表面），測(cè)出正午時(shí)直桿的影長AC.他了解到在夏至這一天正午，太陽位于北回歸線的正上方，此時(shí)塞恩恰好近似位于北回歸線上（實(shí)際上是在北回歸線偏北），故射向S的光線經(jīng)過地心O.他測(cè)得∠CBA等于周角的150，因?yàn)楣饩€可以看作平行，因此得出∠AOS=7.2°.故亞歷山大與塞恩之間的距離是地球大圓圓周的150.通過商隊(duì)的行走時(shí)間，可以知道兩地之間的距離大約為5000斯塔德，故得地球大圓圓周約為250000斯塔德，即為39375km，由此推算地球半徑，得6266km.這與真實(shí)值非常接近.

問題1：閱讀完上面的歷史名題，你有哪些感受？

生1：古人真的敢想，動(dòng)手試驗(yàn)創(chuàng)新能力很強(qiáng)，應(yīng)該也試驗(yàn)了很多次，遇到困難沒有放棄，所以平時(shí)我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中遇到難題時(shí)要想方設(shè)法解決，不可輕易放棄.

生2：這個(gè)歷史名題涉及到弧長，角度，半徑之間的關(guān)系，埃拉托色尼測(cè)出地球半徑后，如果我們知道角度，就可以算出任意兩地之間的距離.這讓我想到了弧度數(shù)公式，即δ.φθ=90°-φ-δ

設(shè)計(jì)意圖1.天文學(xué)的研究促使三角學(xué)的發(fā)展，三角學(xué)與天文學(xué)關(guān)系緊密;2.涉及角與弧長，體會(huì)三角的研究對(duì)象是角與邊;3.如果我是學(xué)生，我會(huì)覺得那個(gè)時(shí)候的人很厲害.4.考查學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的閱讀理解能力以及數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)建模能力.

基于以上的歷史名題，我們新教材課后有一道習(xí)題與此題圖像類似，我稱其為歷史名題改編題，提供給各位讀者繼續(xù)思考，如下：

歷史名題改編題1在地球公轉(zhuǎn)過程中，太陽直射點(diǎn)的緯度隨時(shí)間周而復(fù)始的變化.

假設(shè)地球表面某個(gè)地方正午太陽高度角為θ，δ為這個(gè)時(shí)候太陽直射點(diǎn)的緯度，φ為當(dāng)?shù)氐木暥戎?，則這些量滿足θ=90°-φ-δ.某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點(diǎn)逐漸北移的時(shí)間）為初始時(shí)間，統(tǒng)計(jì)了連續(xù)400天太陽直射點(diǎn)的緯度平均值（太陽直射北半球時(shí)取正值，太陽直射南半球時(shí)取負(fù)值）.下面這些是該科技小組的三處觀測(cè)站成員在春分后第45天測(cè)得的當(dāng)?shù)靥柛叨冉菙?shù)據(jù)：

請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的表格（計(jì)算結(jié)果精確到0.001）

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生需要閱讀理解上述材料，對(duì)于有些學(xué)生而言是有困難的，必要時(shí)刻老師給予提醒與幫助，但大部分學(xué)生有了上一題埃拉托色尼測(cè)地球的直徑的體驗(yàn)后，學(xué)生對(duì)解決這題有了經(jīng)驗(yàn).本題讓學(xué)生體會(huì)到三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并且三角學(xué)與天文地理關(guān)系緊密.現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)反復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來解決.

歷史名題2國科大發(fā)出最具想象力的錄取通知書.讓學(xué)生聆聽來自宇宙深處的聲音！2020年8月10日，中國科學(xué)院大學(xué)發(fā)出首封本科生特殊的錄取通知書，一起送到的是一張黑膠光盤，來自宇宙深處的聲音刻錄在這張光盤上.這些聲音是由該校老師學(xué)生通過“中國天眼”FAST捕獲的15顆脈沖星信號(hào)，且經(jīng)過轉(zhuǎn)換和小限度處理后，以現(xiàn)在音頻的形式展現(xiàn)在大家面前.這其中，13顆脈沖星信號(hào)是首次向全世界公布.

問題2：聽完這來自宇宙深處的聲音之后，有什么感受？

生3：聽覺上此起彼伏，感受上很震撼.

生4：圖像上看起來是正弦函數(shù)，但又不完全是.

師：這里涉及到大學(xué)里的傅里葉級(jí)數(shù)，現(xiàn)在向大家動(dòng)畫形象演示傅里葉級(jí)數(shù)原理.

設(shè)計(jì)意圖周期函數(shù)產(chǎn)生了我們生活中美妙的音樂.聲音中包含了正弦函數(shù)，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是y=Asinwt，音有四要素：音調(diào)、響度、音長和音色.這也都與正弦函數(shù)的參數(shù)相關(guān)，希望激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)周期函數(shù)的興趣.

歷史名題改編題2如左圖（1）所示的是某次試驗(yàn)測(cè)得的交變電流i隨時(shí)間t變化的圖像.將測(cè)得的圖像放大，得到右邊圖像（2）.

求電流i隨著時(shí)間t變化的函數(shù)解析式;

（2）當(dāng)t=0，1600，1150，7600，160時(shí)，求電流i.

生5：由交變電流的產(chǎn)生原理我們得知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用i=Asin（wx+φ）來刻畫，其中w2π表示頻率，A表示振幅，φ表示初相.由圖可知，電流的最大值為5（A），因此振幅A=5，電流變化的周期為150（s），頻率為50Hz，即w2π=50，所以w=100π，再由初始狀態(tài)（t=0）的電流約為4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ約為π3，所以電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式是i=5sin（100πt+π3），t∈0，+

SymboleB@

，所以第二問的解決就相對(duì)而言容易多了.

設(shè)計(jì)意圖交變電流是理想化的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，可以用三角函數(shù)模型準(zhǔn)確地描述它的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律.學(xué)生解決這道題相對(duì)而言比較容易，鼓勵(lì)學(xué)生多多發(fā)言.通過這個(gè)題目給我們啟發(fā)，歷史名題2所呈現(xiàn)的問題背景是多么的讓學(xué)生震撼，那么我們?cè)趺礃痈木幙梢宰屇壳暗母咧袑W(xué)生接受呢？我想這個(gè)題給我們提供了線索，我們可以截取聲波中部分圖形，將其放大，結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)簡(jiǎn)單的部分進(jìn)行命題.這其中當(dāng)然少不了信息技術(shù)的運(yùn)用，所以作為當(dāng)代教師必須具備較高的知識(shí)素養(yǎng)和責(zé)任當(dāng)擔(dān)，讓我們的研究繼續(xù)傳承下去.

3 設(shè)置自主探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生分組自主研究課本習(xí)題

自出生之日起，呈周期變化的有人的體力、情緒、智力等心理、生理狀況.根據(jù)心理學(xué)家的統(tǒng)計(jì)，人體節(jié)律分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律三種.這些節(jié)律的時(shí)間周期分別為23天、28天、33天.每個(gè)節(jié)律周期又分為高潮期、臨界日和低潮期三個(gè)階段.以上三個(gè)節(jié)律周期的半數(shù)為臨界日，這就是說11.5天、14天、16.5天分別為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律的臨界日.

設(shè)計(jì)意圖人體是一個(gè)包含多種周期運(yùn)動(dòng)的生物體，醫(yī)學(xué)上把周期為24小時(shí)的生理運(yùn)動(dòng)稱為中周期運(yùn)動(dòng)，如血壓、血糖濃度的變化;小于24小時(shí)的叫短周期運(yùn)動(dòng)，如心跳，脈搏;大于24小時(shí)的叫長周期運(yùn)動(dòng)，如人的情緒、體力、智力等.

創(chuàng)設(shè)情境，博古通今解三角應(yīng)用題.整節(jié)課創(chuàng)設(shè)歷史名題這樣的情境，跟學(xué)生之間的互動(dòng)一問一答，歷史名題的選取從古到今，把類似的歷史名題放到一起讓學(xué)生對(duì)比研究學(xué)習(xí).不能想當(dāng)然，覺得周期性很簡(jiǎn)單，在教學(xué)過程中就有意識(shí)的忽略它，而是要讓學(xué)生明白周期性屬于三角函數(shù)，盡管別的函數(shù)也有周期性，但是我們要讓學(xué)生腦海中一想到周期性就馬上浮現(xiàn)三角函數(shù).這樣的題組教學(xué)是很有必要的，有名題的引領(lǐng)，生活情境的滲透，讓學(xué)生明白生活和數(shù)學(xué)密不可分.

基于歷史名題的三角單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐仍處于摸索階段，希望通過此文能拋轉(zhuǎn)引玉，吸引更多的研究者去實(shí)踐研究，讓三角函數(shù)單元知識(shí)能更加系統(tǒng)的呈現(xiàn)在學(xué)生面前.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 周龍虎，王博.核心素養(yǎng)視域下數(shù)學(xué)歷史名題的教學(xué)探討[J].中國數(shù)學(xué)教育報(bào)，2020（3）：28-31.

[責(zé)任編輯：李璟]