維修率可變多服務(wù)臺服務(wù)同臺機(jī)器的可修系統(tǒng)

王艷環(huán)，呂勝利

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004)

0 引言

擬生滅過程與矩陣幾何解方法在復(fù)雜隨機(jī)模型分析中得到廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)［1］給出了利用矩陣幾何解方法研究可修排隊系統(tǒng)的一種重要方法。文獻(xiàn)［2－3］研究了兩個修理工的M/M/2 可修排隊系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)概率，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平均隊長，并給出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率存在的條件。文獻(xiàn)［4－5］研究了多服務(wù)臺可修系統(tǒng)的優(yōu)化，模型假設(shè)多服務(wù)臺實(shí)行一對一服務(wù)規(guī)則，用矩陣幾何解法給出了相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。文獻(xiàn)［6］研究了具有備用服務(wù)員的可修排隊系統(tǒng)，限定了服務(wù)員備用休假及一對一的修復(fù)規(guī)則，討論了修理工一對一修復(fù)故障服務(wù)臺的情況，并給出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和數(shù)值結(jié)果。文獻(xiàn)［7－8］討論了具有止步、中途退出和同時休假的M/M/c/N 排隊系統(tǒng)，故障服務(wù)臺排隊規(guī)則為系統(tǒng)中等待的顧客過多則可能不進(jìn)入系統(tǒng)，而進(jìn)入隊列中的顧客也可能因?yàn)榈却牟荒蜔┒鴽]有接受服務(wù)就離開系統(tǒng)，利用分塊矩陣的解法求出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率的矩陣解。文獻(xiàn)［9］通過擬生滅過程的方法，研究了不同服務(wù)率兩服務(wù)臺的穩(wěn)態(tài)平衡條件，并給出了穩(wěn)態(tài)概率向量的矩陣幾何解。文獻(xiàn)［10］利用矩陣幾何解的方法，從可變修復(fù)率角度對可修系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化分析，并討論了可修系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)和數(shù)值結(jié)果。

目前，多數(shù)文獻(xiàn)從修理工個數(shù)、服務(wù)臺數(shù)、排隊規(guī)則和修復(fù)率變化上進(jìn)行討論，深入的研究了可修排隊模型的排隊理論和可靠性理論，但是大量可修排隊系統(tǒng)的模型都是從一對一服務(wù)角度進(jìn)行研究?，F(xiàn)實(shí)生活中，為充分利用現(xiàn)有資源或避免服務(wù)臺閑置，會出現(xiàn)多服務(wù)臺同時服務(wù)一臺故障機(jī)器的情況，因此，基于多對一服務(wù)規(guī)則的可修系統(tǒng)有待進(jìn)一步研究。

1 模型描述

本文研究服務(wù)臺可能發(fā)生故障的可修排隊系統(tǒng)。系統(tǒng)中有N 臺機(jī)器，機(jī)器隨時可能發(fā)生故障。R個服務(wù)臺為故障機(jī)器提供維修服務(wù)，服務(wù)臺隨時可能失效，失效率為α(服務(wù)臺空閑仍會失效)。c(1 ≤c ≤R)個可靠修理工負(fù)責(zé)修理失效服務(wù)臺，修復(fù)率為β。

(Ⅰ)故障機(jī)器按照參數(shù)為λ 的泊松過程到達(dá)。機(jī)器的使用壽命和被服務(wù)時間及服務(wù)臺的使用壽命和被修理時間均為負(fù)指數(shù)分布。服務(wù)過程和故障機(jī)器的到達(dá)過程相互獨(dú)立。機(jī)器發(fā)生故障后由服務(wù)臺提供維修服務(wù)，每個服務(wù)臺同時只能維修一臺故障機(jī)器，但一臺故障機(jī)器可同時被多個服務(wù)臺維修。第一臺故障機(jī)器進(jìn)入服務(wù)系統(tǒng)后，所有有效服務(wù)臺同時開始維修工作，當(dāng)有新的故障機(jī)器進(jìn)入系統(tǒng)時，從占用有效服務(wù)臺多于一個的故障機(jī)器中分出一個服務(wù)臺對其進(jìn)行維修，直至每個被服務(wù)的故障機(jī)器只有一個服務(wù)臺為其服務(wù)。

假設(shè)每個服務(wù)臺的維修率為μ。當(dāng)多個服務(wù)臺服務(wù)同臺故障機(jī)器時，服務(wù)臺之間會相互影響，各自的維修率會發(fā)生變化。此時，服務(wù)臺維修率μn定義為

此時，若再有故障機(jī)器到達(dá)，或有正在進(jìn)行維修工作的服務(wù)臺失效，則新到達(dá)的或被中斷服務(wù)的故障機(jī)器排隊等待，最先被中斷服務(wù)的故障機(jī)器排在隊首。當(dāng)一個服務(wù)臺完成服務(wù)任務(wù)后，若有故障機(jī)器等待服務(wù)，則立即對其進(jìn)行服務(wù);否則，該服務(wù)臺參與服務(wù)系統(tǒng)中最先進(jìn)入的且正在被維修的故障機(jī)器。

(Ⅱ)服務(wù)臺可能隨時發(fā)生故障。服務(wù)臺失效后立即排隊等待修理，修理工負(fù)責(zé)修理失效服務(wù)臺且相互獨(dú)立，同一服務(wù)臺只能被一個修理工修理。服務(wù)臺修復(fù)如新且立即開始工作，維修系統(tǒng)中等待維修的故障機(jī)器或維修系統(tǒng)中最先進(jìn)入的且正在被維修的故障機(jī)器，若系統(tǒng)中無故障機(jī)器則空閑。

(Ⅲ)失效服務(wù)臺數(shù)少于修理工人數(shù)時，失效服務(wù)臺立即被修理;否則，失效服務(wù)臺等待修理。失效服務(wù)臺的到達(dá)服從泊松分布且先到先服務(wù)。

2 矩陣求解

系統(tǒng)的狀態(tài)空間為{(i，n):i = 0，1，…，R;n = 0，1，…，N}，其中，i 為系統(tǒng)中的失效服務(wù)臺數(shù)，n 為系統(tǒng)中的故障機(jī)器數(shù)。做如下規(guī)定:

p0(n)≡服務(wù)臺均正常時，系統(tǒng)中故障機(jī)器數(shù)為n 的概率;

pi(n)≡失效服務(wù)臺數(shù)為i 時，系統(tǒng)中故障機(jī)器數(shù)為n 的概率;

pR(n)≡服務(wù)臺都失效時，系統(tǒng)中故障機(jī)器數(shù)為n 的概率。

轉(zhuǎn)移概率矩陣Q 為

其中，

Ai，Bi，Ci均為N +1 階方陣，I 是N +1 階單位陣。且有

設(shè)P 表示Q 的穩(wěn)態(tài)概率向量，

其中，Pi= {Pi(0)，Pi(1)，Pi(2)，…，Pi(N)}，0 ≤i ≤R，Pi為1 × (N +1)階向量。

求解穩(wěn)態(tài)方程PQ = 0 ，可得以下等式

通過簡單的替換可得

其中，

又有

3 優(yōu)化分析

設(shè)系統(tǒng)性能指標(biāo)為:L0≡系統(tǒng)中服務(wù)臺均正常時，故障機(jī)器數(shù)平均值;Li≡系統(tǒng)中失效服務(wù)臺數(shù)為i 時，故障機(jī)器數(shù)平均值;L ≡系統(tǒng)里故障機(jī)器數(shù)平均值;Lq≡隊列里故障機(jī)器數(shù)平均值;E［O］≡系統(tǒng)里正常工作機(jī)器數(shù)平均值;E［D］≡系統(tǒng)里失效服務(wù)臺數(shù)平均值;E［I］≡系統(tǒng)里空閑服務(wù)臺數(shù)平均值;E［B］≡系統(tǒng)里繁忙服務(wù)臺數(shù)平均值;O.U. ≡服務(wù)臺利用率;M.A. ≡機(jī)器利用率。

表達(dá)式如下:

利用所給性能指標(biāo)，建立單位時間內(nèi)的平均費(fèi)用函數(shù)，計算維修率μ 為多少時，費(fèi)用函數(shù)最小。下面引入費(fèi)用參數(shù):C1為單位時間內(nèi)每臺故障機(jī)器等待維修的費(fèi)用;C2為單位時間內(nèi)每臺故障機(jī)器被維修時費(fèi)用;C3為一臺空閑服務(wù)臺單位時間費(fèi)用;C4為一臺服務(wù)臺忙時單位時間內(nèi)的費(fèi)用;C5為一臺失效服務(wù)臺單位時間內(nèi)費(fèi)用。

可得單位時間內(nèi)平均費(fèi)用函數(shù)為

在該模型中，若改變系統(tǒng)中服務(wù)臺維修率μ，系統(tǒng)各性能指標(biāo)則會受到一定影響。設(shè)N = 5，R = 3，c = 2，α = 0.1，β = 6.0，λ = 0.6，C1= 25，C2= 20，C3= 15，C4= 15，C5= 18 。利用式(1)～式(5)和Matlab 編程求解不同維修率時的穩(wěn)態(tài)概率，進(jìn)而可得系統(tǒng)各性能指標(biāo)，然后再利用式(6)計算不同維修率時，單位時間內(nèi)的平均費(fèi)用。最后，利用Matlab 對維修率μ 和單位時間內(nèi)的平均費(fèi)用F(R)進(jìn)行插值擬合，結(jié)果見圖1。

圖1 單位時間內(nèi)平均費(fèi)用與維修率間的關(guān)系

從擬合數(shù)據(jù)可以得出:當(dāng)μ =1.3 時，F(xiàn)(R)有最小值73.752 5 元。

4 結(jié)束語

文中建立了維修率可變的多服務(wù)臺同時服務(wù)同臺故障機(jī)器的可修排隊模型，利用矩陣方程求解法給出了穩(wěn)態(tài)概率向量，通過數(shù)值算例分析了服務(wù)臺維修率對模型的具體影響。本模型可以應(yīng)用在港口集裝箱裝貨等類似問題中，不僅考慮到多臺裝卸車對同一個集裝箱進(jìn)行裝車，還考慮到裝卸車裝箱率間的相互影響，更具有實(shí)際意義。

［1］ 田乃碩，岳德權(quán).擬生滅過程與矩陣幾何解［M］.北京:科學(xué)出版社，2002:252－263.

［2］ 呂勝利，李靜鉑，岳德權(quán).兩個修理工的M/M/2 可修排隊系統(tǒng)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報:A 輯，2008，28(6):1109－1118.

［3］ Al-seedy R O.A Transient Solution of the Non-truncated Queue M/M/2 with Balking and An Additional Server for Longer Queues［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，156(3):763－769.

［4］ Liu S Q，Lv S L，Wang D H. Optimization Analysis of Machine Repairable System［C］// 2009 Chinese Control and Decision Conference.2009:4925－4929.

［5］ 呂勝利，劉書慶，王德華.多服務(wù)臺可修系統(tǒng)的優(yōu)化分析［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2011，41(1):101－108.

［6］ 岳德權(quán)，馬金旺，馬明建，等.具有備用服務(wù)員的可修排隊系統(tǒng)分析［J］.山東大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2009(3):39－44.

［7］ Sharma R R，Rai R C.Optimal Us Services on Express Basis in the Case of Balking and Reneging［J］.European Journal of Operational Research，1993，66:113－123.

［8］ Yue D，Yue W.Advanced in Queuing Theory and Network Applications［M］.New York:Springer，2009:165－180.

［9］ 余君，岳德權(quán)，田瑞玲.兩個不同服務(wù)臺的可修排隊系統(tǒng)的矩陣幾何解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2008，31(5):894－900.

［10］ 呂勝利，劉書慶，肖欣.具有可變修復(fù)率的M/M/R 可修系統(tǒng)的優(yōu)化分析［J］.運(yùn)籌與管理，2010，19(4):95－107.