基于響應面法的橋梁節(jié)段參數(shù)模型修正

許世展，李楊，馮冠杰，張海龍

(1.鄭州大學 土木工程學院，河南 鄭州 450001；2.中建三局集團有限公司工程總承包公司，湖北 武漢 430000)

有礙于初始建模中存在的結構誤差、階次誤差和參數(shù)誤差，未經(jīng)修正的初始有限元模型很難真實模擬結構的實際響應[1?2]，在橋梁健康監(jiān)測、狀態(tài)評估、車橋耦合振動、抗震分析等精度要求較高的場景中很難應用[3?6]，因此有限元模型修正方法研究是當下的熱點問題。現(xiàn)有研究多通過修正敏感性參數(shù)來使得目標函數(shù)取值最優(yōu)，其中敏感性參數(shù)取值被限定在一定范圍內(nèi)以使其具有明確的物理意義[7?9]，而目標函數(shù)則根據(jù)橋梁靜載測試和動載測試的實測數(shù)據(jù)進行構造，最終使修正后的模型能準確反映實際結構的剛度、質(zhì)量、邊界、動力特性等信息[10]。在模型修正過程中常用的方法有基于靈敏度修正法和響應面法等，郭力等[11]基于靈敏度修正法，通過復域函數(shù)值計算構造參數(shù)對目標函數(shù)的影響矩陣，考慮有限元模型計算值與實測值之間的誤差向量，使用最小二乘法獲得參數(shù)的最優(yōu)取值，進行迭代求解，但計算工作量較大；付波等[12]采用響應面法中的CCD試驗設計，通過對參數(shù)取值和目標函數(shù)值的函數(shù)擬合，獲得兩者的顯式方程，進行優(yōu)化求解獲得參數(shù)的最優(yōu)取值，該方法具有較高的求解效率；任偉新等[13]以某六跨連續(xù)梁為工程背景，采用CCD響應面法進行樣本選取、參數(shù)修正。與采用靈敏度法相比，響應面法計算精度較高、收斂速度較快，表明基于響應面方法的模型修正具有諸多優(yōu)勢，其在模型修正中的使用日益普遍，然而在既有研究中，選擇的敏感性參數(shù)以結構整體參數(shù)為主，如橋梁整跨結構的彈性模量、質(zhì)量密度等[6?15]。而混凝土材性參數(shù)離散性大，在整個主梁空間范圍存在材性差異，尤其涉及施工過程影響時，混凝土材料參數(shù)在全橋范圍內(nèi)差異更為明顯，鋼束應力隨其長度形狀及張拉力大小不同，結構的材料參數(shù)、尺寸、荷載分布等都是具有一定變異性的參數(shù)，必然導致橋梁結構在空間范圍內(nèi)的參數(shù)差異性存在，在模型修正中選擇不考慮材性差異的結構整體參數(shù)不能反映實際情況，同時施工監(jiān)控中的動態(tài)模型修正必然選擇橋梁結構的節(jié)段參數(shù)而非整體性參數(shù)作為待修正參數(shù)，因此研究基于局部參數(shù)而非整體性參數(shù)的模型修正方法具有重要的理論意義和應用價值。本文以某無背索斜拉橋施工過程為工程背景，選取橋梁結構施工過程中的節(jié)段參數(shù)為研究對象，采用響應面法進行施工中的動態(tài)模型修正，相關方法和結論可為同類工程提供有益參考。

1 響應面法模型修正

1.1 參數(shù)篩選原理

參數(shù)篩選試驗基于數(shù)理統(tǒng)計學中的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗理論，是模型修正的關鍵環(huán)節(jié)，用以分析參數(shù)影響的顯著性程度?，F(xiàn)以單參數(shù)正交試驗為例說明參數(shù)篩選的理論依據(jù)。參數(shù)估計時，假設ξ為φ參數(shù)的影響平均值，φi是φ參數(shù)i水平影響下對平均值ξ的偏離程度。則ξ和φi的無偏估計如式(1)～(2)所示。

式中：χij為水平φi下第j次試驗結果；m為因素φ水平取值個數(shù)；n為各水平重復試驗次數(shù)。

則每次試驗結果可以表示成式(3)，反映了參數(shù)某水平的影響效應，也反映了誤差大小。

判斷參數(shù)φ對目標函數(shù)是否有顯著性影響是基于數(shù)理統(tǒng)計中的假設檢驗原理，比較參數(shù)水平取值引起的試驗結果變動與試驗誤差引起變動的2個統(tǒng)計量，進行F檢驗，記Φ為參數(shù)水平引起的偏離平均值ξ的組間均方，e為試驗引起的組內(nèi)均方，F(xiàn)檢驗計算值為式(4)所示。

若F是與1相近的數(shù)，則表示這個參數(shù)水平的變化對試驗結果無顯著影響。若F≥1時，一般通過顯著性檢驗表獲得F值對應的顯著性水平P值，當P＜0.05時表示參數(shù)為顯著性參數(shù)，表明參數(shù)對目標函數(shù)具有顯著性影響的概率保證率在95%以上；當P＜0.01時表示參數(shù)為高度顯著性參數(shù)，這時概率保證率在99%以上。

基于以上參數(shù)篩選試驗得到待修正的敏感性參數(shù)，然后對待修正的敏感性參數(shù)進行分析，以顯式的響應面模型逼近目標函數(shù)與設計參數(shù)之間復雜的隱式函數(shù)關系，最后對獲得的顯式響應面模型在實測目標函數(shù)值內(nèi)做最優(yōu)化求解[14?17]，獲得待修正敏感性參數(shù)的修正值。響應面模型可采用2階模型來逼近，如下式所示：

式中：βi表示xi的線性效應；βii表示xi的2階效應；βij表示xi與xj的交互作用效應。

1.2 模型修正流程

模型修正流程如圖1所示，首先建立全橋的初始有限元模型，初始模型的參數(shù)取值、邊界模擬、結構尺寸等均采用設計值，然后對初始模型的結構誤差、階次誤差進行判斷；其次進行參數(shù)篩選試驗，通過Plackett-Burman(P-B)試驗篩選出顯著性參數(shù)(P-B試驗可用最少的試驗次數(shù)達到快速篩選顯著性參數(shù)的目的，但不能區(qū)分參數(shù)的主效應與交叉項的影響[18?19])，根據(jù)顯著性參數(shù)對目標函數(shù)的影響程度確定待修正參數(shù)類別；基于現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)確定目標函數(shù)類別，據(jù)此制定模型修正的響應面法方案，通過對響應面模型的優(yōu)化求解得到待修正參數(shù)的最優(yōu)取值。

圖1 施工階段模型修正流程圖Fig.1 Construction stage model updating flow chart

2 初始模型

2.1 工程背景

某波形鋼腹板無背索斜拉橋跨徑布置為35+60 m，橋梁立面如圖2所示，索塔采用預應力混凝土結構矩形截面形式，塔高53.7 m，塔身水平傾角57°。主梁采用分離式單箱雙室波形鋼腹板箱梁，如圖3所示，其中波形鋼腹板采用厚16 mm的1200型號。斜拉索為7根平行鋼絞線索。施工監(jiān)控過程中選擇結構重要位置設置變形、應力測點，主跨跨中B1及根部B2截面設置正截面應力測點，測點位置如圖3所示；斜拉索S4與主梁頂板錨固位置設置變形測點P1，主塔2號塊和3號塊界面位置設置正應力測點T1，主塔施工節(jié)段設置11個變形測點C1～C11。該橋采用先滿堂支架施工主梁，后分節(jié)段液壓爬模施工主塔的施工步驟，詳細的施工階段信息如表1所示。

表1 施工階段信息Table 1 Construction phase information

圖2 橋梁立面布置圖Fig.2 Layout of bridge elevation

圖3 箱梁截面及應力測點布置圖Fig.3 Box girder section and stress measuring point layout drawing

2.2 初始有限元模型

波形鋼腹板組合箱梁結構采用三維有限元建模，C55混凝土翼緣板采用Solid45單元模擬，Q345C材料鋼腹板和塔柱鋼橫梁采用Shell181單元模擬，Shell181單元與Solid45單元間通過嵌入式共節(jié)點或約束方程實現(xiàn)約束連接。Strand1860鋼絞線預應力鋼束采用link10單元模擬，link10單元與混凝土Solid45單元間使用CP命令或共節(jié)點方式建立耦合關系，依據(jù)規(guī)范計算施工階段短期預應力損失在初應變中折減扣除后加以考慮[20]。平行鋼絞線斜拉索模擬為只受拉桿單元，建立的有限元模型如圖4所示，共189 876個單元，228 230個節(jié)點，橋梁結構的材料參數(shù)按規(guī)范及設計取值。施工階段模擬時，索塔節(jié)段濕重和爬架模板自重等效為豎向節(jié)點荷載，滿堂支架模擬為只受壓桿單元，施工結構的體系轉換通過單元的生死功能實現(xiàn)，結構的收縮徐變效應采用等效降溫法和根據(jù)按齡期調(diào)整的有效模量法調(diào)整金屬蠕變系數(shù)的方法實現(xiàn)。

圖4 全橋有限元模型Fig.4 Full bridge finite element model

3 施工階段有限元模型修正

根據(jù)圖1所述的施工過程模型修正流程圖逐步進行模型修正。由于施工監(jiān)控中的模型修正是一個動態(tài)過程，其間要經(jīng)歷多次的誤差識別及參數(shù)修正，鑒于篇幅所限，本文僅以斜拉索S4張拉后施工階段模型修正過程為例，說明多參數(shù)模型修正的關鍵技術環(huán)節(jié)。

3.1 參數(shù)篩選試驗

采用P-B試驗篩選顯著性參數(shù)，其中目標函數(shù)設定為該施工階段具有現(xiàn)場實測有效數(shù)據(jù)的6個關鍵監(jiān)測數(shù)據(jù)，即R1—B1跨中截面正應力，R2—B2根部截面正應力，R3—B1跨中截面豎向變形，R4—主塔懸臂7號塊(斜拉索S4張拉后對應的橋塔施工節(jié)段)端部縱橋向變形，R5—主塔懸臂7號塊端部豎向變形，R6—T1主塔根部截面正應力。根據(jù)規(guī)范及相關文獻得到對目標函數(shù)可能存在影響的11個參數(shù)的變異性分布[6?15,20?24]，參數(shù)可能的取值范圍如表2所示。

表2 待篩選參數(shù)Table 2 Parameters to be filtered

待篩選參數(shù)的個數(shù)為11，選用樣本個數(shù)為12的P-B試驗，將每一樣本方案進行一次有限元模型計算，共計算12次，得到6個目標函數(shù)的計算結果，進行顯著性參數(shù)方差分析，若參數(shù)對目標函數(shù)R1～R6概率保證率在95%以上則判斷為顯著性參數(shù)，在此基礎上擬合出顯著性參數(shù)與6個關鍵目標函數(shù)間的顯式關系一次多項式回歸方程，如式(6)～(11)所示。

采用式(6)～(11)中參數(shù)系數(shù)與常數(shù)項的比值作為影響程度系數(shù)并記作λ，用以衡量參數(shù)變化對目標函數(shù)的影響程度，計算結果如表3所示。表中影響程度系數(shù)λ為“?”時，表示參數(shù)為非顯著性參數(shù)，同時將參數(shù)系數(shù)除以參數(shù)系數(shù)最大值得到引入歸一化影響參數(shù)κ，基于監(jiān)控可取的精度條件，將κ大于0.2作為影響程度較大的參數(shù)加以修正。

表3 修正參數(shù)影響程度結果Table 3 Results of influence degree of updating parameters

3.2 CCD試驗擬合響應面方程

結合當前施工階段的現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)及誤差分析結果，選取R4和R6作為目標函數(shù)，待修正參數(shù)根據(jù)表3確定，參數(shù)取值范圍由表2確定，進行4參數(shù)、2目標函數(shù)的5水平、21試驗樣本的中心復合設計試驗(CCD)，待修正參數(shù)均為新增結構節(jié)段參數(shù)，計算目標函數(shù)結果。根據(jù)中心復合設計試驗結果，對參數(shù)的交叉項和平方項進行顯著性分析，顯著性水平取α=0.05，對應F值為3.2，方差分析的顯著性結果如圖5所示，根據(jù)分析結果可知，高次項K2對目標函數(shù)R4和R6有顯著性影響。

圖5 不同參數(shù)對目標函數(shù)顯著性分析Fig.5 Significant analysis of different parameters towards objective functions

基于以上分析擬合出目標函數(shù)與待修正參數(shù)的顯式響應面方程如式(12)～(13)所示。經(jīng)驗證，式(12)～(13)在當前施工階段中具有較高的擬合精度。

3.3 有限元模型修正

將現(xiàn)場監(jiān)控實測的目標函數(shù)數(shù)據(jù)代入顯式方程式(12)～(13)中優(yōu)化求解，得到待修正參數(shù)最優(yōu)取值如表4所示。

表4結果顯示，修正后的主塔質(zhì)量節(jié)段密度(F)增加0.74%，結合立模情況，當前混凝土澆筑后模板變形較小，結構立模尺寸精確，主塔節(jié)段質(zhì)量接近施工圖設計值，偏差較小。修正后的主塔預應力(G)增大1.17%，修正后的斜拉索索力(K)增加4.26%，受張拉時操作人員水平及其他多種因素影響，該誤差客觀可能發(fā)生，索力張拉誤差在規(guī)范允許偏差范圍內(nèi)；修正后的斜拉索彈性模量(L)增大4.04%，符合參數(shù)變異范圍要求。將修正后的參數(shù)代入有限元模型中計算分析可知，主塔懸臂端頭順橋向位移計算值與實測值間的偏差由5.94%減少到1.98%，主塔根部應力計算值與實測值間偏差由修正前的8.98%減少到1.49%，模型改進效果明顯。

表4 修正參數(shù)設計取值范圍及修正結果Table 4 Updating parameter design value range and correction result

采用修正后的模型繼續(xù)進行施工監(jiān)控，并對后續(xù)施工階段中預測值與實測值有較大偏差的情況進行同樣的處理，保證施工監(jiān)控模型始終與實際結構相吻合，采用此方法，施工監(jiān)控完成后，橋梁成橋狀態(tài)達到設計要求，與設計目標相比最大線形誤差值為1.1%，結構關鍵截面R1～R6數(shù)據(jù)實測值與最終模型計算值吻合較好。

4 結論

1)基于Plackett-Burman試驗的參數(shù)篩選試驗可以較為便捷地在大量參數(shù)中快速篩選出對目標函數(shù)有顯著性影響的參數(shù)，并初步給出顯著性參數(shù)的影響程度系數(shù)，幫助確定待修正的參數(shù)類別，是多參數(shù)模型修正的有利工具。

2)施工監(jiān)控中的動態(tài)模型修正時，選擇節(jié)段參數(shù)作為待修正參數(shù)可以獲得更好地修正模型，通過施工過程中的多次模型修正，可以使模型參數(shù)修正中利用到更多的監(jiān)測數(shù)據(jù)，獲得更為準確的修正模型。

3)根據(jù)無背索斜拉橋成橋狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)的對比分析，采用節(jié)段參數(shù)結合響應面法的動態(tài)模型修正技術，可以準確把握橋梁施工狀態(tài)，精確指導下一階段施工，保證整個施工監(jiān)控過程的控制精度。