考慮滯后效應與吸附作用的非飽和土SWCC分形模型

李慧鑫，曹文貴，陳 可

(1.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082； 2.同濟大學 土木工程學院，上海 200092)

1 研究背景

土-水特征曲線(SWCC)是描述土壤基質(zhì)吸力和飽和度之間關系的曲線，同時也間接描述了其他如土體變形、土體滲透性及土體應力狀態(tài)等基本規(guī)律[1-3],是非飽和土力學中最為基礎的本構模型之一。研究結(jié)果表明[4-6]:一方面，土-水特征曲線存在顯著的滯后特征，在土體干濕循環(huán)的過程中，同吸力的土體在脫濕過程中的含水量要比吸濕過程中的含水量高；另一方面，土壤持水不僅與相對較高含水量條件下的毛細作用有關，還會受到較低含水量條件下的吸附作用的影響[7]。因此，建立同時考慮滯后作用與吸附作用的土-水特征曲線模型，可減小其計算結(jié)果與土壤實際情況的誤差，對于理論研究和實際工程都十分必要。

由于非飽和土的土-水特征曲線測量十分困難且耗時較長，因此，科研人員提出了諸多土-水特征曲線模型用以預測和表征土中的液體流動、應力狀態(tài)和變形等,如Nimmo[8]、Scott等[9]根據(jù)試驗曲線提出的經(jīng)驗模型及Mualem[10]、Parlange[11]根據(jù)土體含水率分布規(guī)律得到的域模型。然而,這些模型僅考慮毛細作用持水，忽略了吸附作用的影響，使得其僅能較好地預測飽和至中等飽和度范圍內(nèi)土壤持水規(guī)律，而高估了非飽和土在低飽和度范圍的基質(zhì)吸力。另有部分學者研究了包含吸附作用的土-水特征曲線模型，如Tuller和Or[12]提出了一個考慮低含水量范圍內(nèi)吸附水的土-水特征曲線模型，Peters和Durner[13]也提出了一個加入了吸附作用持水經(jīng)驗函數(shù)的土-水特征曲線模型。這些模型很好地反映了低飽和度范圍吸附力對土壤持水的作用，但又缺乏對于較高飽和度范圍土壤持水存在的滯后效應的考慮，其曲線模型并不完善?？梢姡斍把芯可形慈婵紤]滯后效應與吸附膜流對土-水特征曲線模型的影響。因此，本文就這一層面展開研究，建立一個同時考慮吸附作用和滯后效應的非飽和土土-水特征曲線模型，以供工程實際參考。

傳統(tǒng)土-水特征曲線模型利用孔隙尺寸參數(shù)、熱力學理論或結(jié)合各類孔隙尺寸分布函數(shù)等方法展開研究[14-16]，近年來，能直接將曲線參數(shù)與土體微觀狀態(tài)聯(lián)系起來的分形理論成為研究土-水特征曲線模型的一種新的有效手段。非飽和土體的孔隙尺寸與形狀的非均勻分布所造成的瓶頸效應(即“墨水瓶”效應)是導致滯后現(xiàn)象的主要因素之一[17]，而根據(jù)研究顯示[18-20]，多孔介質(zhì)的孔隙和顆粒具有明顯統(tǒng)計自相似特征，服從分形冪規(guī)律，因此分形方法對于研究考慮滯后效應的土-水特征曲線模型極為適用。已有學者利用分形理論對土-水特征曲線滯后模型進行了研究，如Guarracino等[21]和Soldi等[22]基于假設的周期性毛細管細觀模型提出了一個考慮滯后效應的非飽和土分形本構模型，楊明輝等[23]在其基礎上建立了一個考慮毛細管迂曲度的分形模型?？梢姡中卫碚撘呀?jīng)成為研究土體微觀分布規(guī)律的有效工具。

綜上所述，本文從土體滲流特性出發(fā)，結(jié)合土壤水分運移規(guī)律，基于分形理論推導得到了一個同時考慮吸附作用和滯后效應的非飽和土土-水特征曲線模型，以期描述全基質(zhì)吸力范圍的非飽和土持水特性。隨后，通過將模型預測結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行對比，驗證了該模型的合理性與有效性。

2 土壤持水機理

描述非飽和多孔介質(zhì)的持水特性，需要明確脫濕與吸濕過程中孔隙水分的運移過程。土壤的持水能力來自毛細作用和吸附作用，這2種物理持水機制作用的吸力范圍不同[24]，在持水機制作用下，土壤的水分運移過程可由圖1[25]表示。

圖1 土壤水分運移示意圖Fig.1 Schematic diagram of water movement in soil

如圖1所示，已知孔隙半徑為r，孔隙最大半徑與最小半徑分別為rmax和rmin，在此區(qū)間內(nèi)分別有孔隙半徑r1與r2，在給定的基質(zhì)吸力下存在一個臨界孔隙半徑rc，孔徑rc的毛細管內(nèi)表面賦存少量吸附水膜。以土壤脫濕過程為例，在土壤處于飽和狀態(tài)時，孔隙完全充滿毛細水(如圖1的狀態(tài)Ⅰ)，此時土壤持水的主要作用力為毛細作用力；當土壤吸力達到進氣值后，開始由飽和狀態(tài)轉(zhuǎn)向非飽和狀態(tài)，此時土壤中仍由毛細水填充的較小孔隙與由水膜覆蓋的較大孔隙開始持續(xù)排水(如圖1的狀態(tài)Ⅱ)，土壤持水的作用力由毛細作用和吸附作用共同提供；隨著脫濕過程中吸力進一步提高，土壤含水量逐漸減少，當吸力很高時，土壤孔隙保有極為有限的水分(如圖1的狀態(tài)Ⅲ)，此時液體流動只通過孔隙內(nèi)表面的吸附薄膜進行，土壤持水主要作用力由吸附作用提供。綜上所述，非飽和多孔介質(zhì)的水分運移過程主要為2個階段：中等基質(zhì)吸力范圍內(nèi)由毛細流和吸附膜流共同參與的水分運移階段和高基質(zhì)吸力范圍內(nèi)以吸附膜流為核心的水分運移階段。因此，根據(jù)上述水分運移規(guī)律不同階段所表現(xiàn)的不同特征，可以將土-水特征曲線模型分為3部分:①飽和狀態(tài)下的毛細水組分；②中等飽和度狀態(tài)下土壤脫濕與吸濕過程中的毛細水與吸附水組分總和；③較低飽和度下的吸附水組分。

3 非飽和土微觀孔隙分布分形模型

3.1 建立細觀模型

在多孔介質(zhì)中，分布有大量走向及尺寸大小各異的復雜孔隙，這些孔隙直接影響著多孔介質(zhì)的變形性質(zhì)、強度特征以及滲流特性。為了描述全吸力范圍的土壤持水特征及滯后特性，本文取一具有代表性的單元圓柱體(Representative Element Volume,REV),假定半徑為R，長度為L(見圖 2)，將單元土體內(nèi)的孔隙等效為一束孔徑不一且?guī)в锌缀斫Y(jié)構的毛細管，這些毛細管服從分形規(guī)律。

圖2 REV結(jié)構示意圖Fig.2 Schematic diagram of REV

假設毛細管的半徑具有周期性變化，如圖 3所示，毛細管的周期長度為λ，半徑為r，孔喉的半徑用正弦函數(shù)來表示，以此表達非飽和土的瓶頸效應。

圖3 單根毛細管剖面結(jié)構Fig.3 Structure of single capillary profile

已知毛細管長度為L，包含i個波長(i=1，2，3,…n)，L=nλ,沿滲流方向可將其孔徑r函數(shù)描述為

(1)

式中r′為振幅，定義參數(shù)a=r′/2r(0≤a<0.5)，則式(2)變?yōu)?/p>

(2)

當a=0時，毛細管變成半徑為r的光滑毛細管，此時的土-水特征曲線上沒有瓶頸效應體現(xiàn)。

3.2 用分形方法描述孔隙分布

在3.1節(jié)中得到了毛細管的半徑r(x)，采用Yu和Li[26]等提出的一種研究多孔介質(zhì)的孔隙尺度結(jié)構的分形方法,即可將毛細管半徑與土體飽和度建立起直接聯(lián)系。假設孔隙半徑r從最小值rmin變化到最大值rmax且服從分形定律，有

(3)

式中：N為單位面積上的毛細管數(shù)量；D為分形維數(shù)，在二維幾何空間中1

通過將式(3)微分，可以得到孔隙尺寸范圍在r和r+dr內(nèi)的孔隙數(shù)量為

dN(r)=-DRDr-D-1dr。

(4)

式中-dN(r)>0，其中負號表示孔隙數(shù)量隨著孔隙半徑的增大而減少。

4 土-水特征曲線方程

4.1 細觀模型

根據(jù)文獻[25]所述，毛細管內(nèi)部的吸附水膜厚度用ω表示，則毛細管內(nèi)部的吸附水膜比厚度為

δ=ω/r。

(5)

同時，吸附水膜厚度ω與吸力特征半徑rc和孔隙半徑r有關，因此吸附水膜比厚度δ可用臨界孔隙半徑rc和孔隙半徑r表示為

(6)

式中：α為土壤的吸附強度參數(shù)；β為土壤的吸附能力參數(shù)。

基于前文所述的毛細管細觀模型和土壤孔隙水運移規(guī)律，單個毛細管中水的體積可以通過將長度L上的橫截面積積分獲得，即

(7)

則有

(8)

式中：

(9)

T=1+a2+4a/π 。

(10)

4.1.1 主脫濕曲線模型

為了獲得土壤從飽和到干燥過程的主脫濕曲線，假設REV處于飽和狀態(tài)，在壓力水頭h下開始排水，孔隙半徑在r與r(1-2a)之間波動?？梢酝ㄟ^式(11)將孔隙半徑與壓力水頭h聯(lián)系起來，即

(11)

式中:C=2σcosθ/(ρg)，σ為表面張力，θ為接觸角(本文假設為定值)；ρ為孔隙水密度；g為重力加速度。由圖1可見，若壓力水頭h小于臨界半徑rc所對應的水頭，即孔隙半徑>rc時，毛細管變?yōu)榉秋柡蜖顟B(tài)，由此得出，半徑r(1-2a)>rc的毛細管開始脫濕，同時半徑為rmin到rc/(1-2a)的毛細管狀態(tài)處于完全飽和狀態(tài)。

因此，根據(jù)飽和度定義有

(12)

(13)

進一步得到

(14)

其中:

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

其中:

(20)

(21)

(22)

(23)

可得

(24)

其中:

(25)

(26)

(27)

其中:

(28)

(29)

整理得到主脫濕曲線為

(30)

4.1.2 主吸濕曲線模型的建立

為了獲得土壤從干燥到飽和過程的主吸濕曲線，假設REV處于干燥狀態(tài)，在壓力水頭h下開始吸水。由圖 1可知，壓力水頭h大于臨界半徑rc所對應的水頭，即半徑r

(31)

(32)

可得

(33)

其中:

(34)

(35)

(36)

其中:

(37)

(38)

同理有

(39)

(40)

可得

(41)

(42)

可得到主吸濕曲線為

(43)

由此得到脫濕與吸濕過程中以飽和度Se與水頭高度h之間的關系曲線表示的土-水特征曲線方程，該模型包含孔喉參數(shù)a、吸附強度參數(shù)α、吸附能力參數(shù)β、分形維數(shù)D、最小水頭高度hmin及最大水頭高度hmax6個參數(shù)。

4.2 數(shù)據(jù)驗證

4.2.1 模型驗證

通過對比本文提出的土-水特征曲線模型的預測曲線與文獻[27]中的試驗數(shù)據(jù)來驗證本文模型的合理性,并利用最小均方偏差(RMSD)評價預測結(jié)果,RMSD可表示為

表1 模型參數(shù)和最大/最小吸力水頭與RMSDTable 1 Fitting values of model parameters and maximum and minimum suction head and RMSD

圖4 本文模型與試驗數(shù)據(jù)對比Fig.4 Comparison of SWCC between modelling and experimental data

從圖4可見，各組試驗數(shù)據(jù)與本文模型吻合良好。本文選用的6組試驗數(shù)據(jù)的吸力水頭最大值均為 1×105m，可以很好地反映非飽和土在全基質(zhì)吸力范圍的土-水特征曲線的持水性質(zhì)，總的來看，毛細作用主導時滯后效應明顯，在吸附膜流傳導中不存在滯后現(xiàn)象。

對比土類曲線發(fā)現(xiàn)，砂質(zhì)土壤對于較高飽和度下毛細水的滯后持水性與低飽和度下吸附水持水性的擬合效果最為理想。對比表1土類可知，砂土的吸附能力低于黏質(zhì)土壤，毛細作用持水范圍小于黏質(zhì)土壤，吸力水頭更低。這是因為黏質(zhì)土壤中親水礦物含量更高，土顆粒的比表面積更大，且土顆粒與平均孔隙半徑都較小，所以具有更高的吸力水頭，從而增大了它的毛細作用持水范圍。

對比圖4中的(a)—(f)可發(fā)現(xiàn)，在低飽和度范圍下，黏質(zhì)土壤孔隙中的吸附水含量比砂質(zhì)土壤更高，且曲線更為和緩。這些結(jié)果出現(xiàn)的原因在于在排水過程中，砂質(zhì)土壤孔隙較大排水較快使其曲線走勢更為陡峭，黏質(zhì)土壤吸附作用特征更為顯著是由于其孔隙較小，在排水過程中賦存了更多的水分。

另一方面，由圖4可知，與脫濕曲線相比，吸濕曲線的模型計算值與試驗數(shù)據(jù)更加吻合，這是由于本文的SWCC曲線方程為分段函數(shù)，而孔喉參數(shù)a的存在使吸濕過程和脫濕過程無法完全同步，在擬合過程中吸濕曲線先于脫濕曲線達到下一階段以滿足相同的邊界條件，因此脫濕曲線末尾階段的模型計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)略微有一定誤差。脫濕曲線由擬合試驗數(shù)據(jù)得到的參數(shù)a、D、α、β決定，吸濕曲線由理論計算獲得。因此，可以通過擬合脫濕曲線試驗數(shù)據(jù)確定參數(shù)，然后使用式(30)和式(43)實現(xiàn)從脫濕曲線預測吸濕曲線。

4.2.2 模型對比

在4.2.1節(jié)已通過與試驗數(shù)據(jù)的對比驗證了本文模型的可行性，本小節(jié)將通過與其他模型對比，進一步評價本文模型的優(yōu)越性。楊明輝等[23]基于分形理論提出了一個非飽和土土-水特征曲線的理論分形模型：

(45)

式(45)為脫濕曲線函數(shù)表達式，式(46)為吸濕曲線函數(shù)表達式。其中，a為孔喉半徑參數(shù)，DT與Df為分形維數(shù)，其余參數(shù)物理意義與本文模型相同。表2給出了2個模型擬合6組試驗數(shù)據(jù)的RMSD值，圖5為2個模型計算Se值與實測Se值的散點圖，顯示了本文模型(式(30)、式(43))與楊明輝等[23]所提出的土-水特征曲線分形模型(式(45)、式(46))的對比情況。

表2 2個SWCC分形模型的RMSDTable 2 RMSD of two SWCC models

圖5 本文模型與楊明輝[23]模型對比Fig.5 Comparison between the model in this paper and Yang’s model[23]

從表3可以看出，與楊明輝等[23]提出的SWCC分形模型相比，對于每一種土壤本文所提出的模型都表現(xiàn)更好。2個模型之間的差異可以清楚地顯示為相對飽和度Se計算值與實測值的散點圖，如圖5所示。圖5中散點圖的橫坐標代表6組試驗數(shù)據(jù)的實測Se，縱坐標代表利用本文模型與楊明輝等[23]模型計算得到的Se，實線代表實測值與計算值相等的情況，數(shù)據(jù)點越接近實線則說明模型的擬合效果越好。由圖5可知，2個模型擬合效果較為良好，但本文所提出的模型計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)更為接近。

2個模型的總體性能可以通過RMSD的平均值(aveRMSD)來反映，本文模型脫濕曲線(式(31))aveRMSD為0.221，楊明輝等[23]提出的分形模型脫濕曲線(式(46))aveRMSD為0.279，本文模型吸濕曲線(式(44))aveRMSD為0.183，楊明輝等[23]提出的分形模型吸濕曲線(式(47))aveRMSD為0.283。由于楊明輝等[23]提出的SWCC曲線分形模型僅考慮了毛細水組分而忽略了吸附水組分，因此其相對飽和度計算值與試驗實測值誤差較大，特別是在低飽和度范圍，其誤差更為明顯。而本文所提出的SWCC曲線分形模型Se計算值非常接近試驗實測值，相對飽和度Se計算值與實測值的數(shù)據(jù)集顯示出更好的線性關系，可見本文所提出的SWCC曲線分形模型具有明顯的優(yōu)越性。

5 結(jié) 論

本文基于分形理論，將土壤孔隙等效為一束具有周期性孔喉且其孔徑分布服從分形定律的毛細管，結(jié)合土壤水分運移規(guī)律對非飽和土不同水力過程的土-水特征曲線的滯后效應以及持水機制進行分析，得出以下結(jié)論：

(1)提出了一種考慮吸附膜流的多孔介質(zhì)不飽和流動水力特性的估算理論分形模型，并得到了包含孔喉半徑參數(shù)a、分形維數(shù)D、吸附強度參數(shù)α、吸附能力參數(shù)β和最小、最大水頭高度(hmin、hmax)6個參數(shù)的土-水特征曲線函數(shù)表達式，其可通過擬合脫濕曲線獲得模型參數(shù)，然后用于預測吸濕曲線。通過與試驗數(shù)據(jù)和其他研究成果的對比，證明了該模型的合理性，同時該模型具有明顯優(yōu)越性，可有效反映土-水特征曲線的滯后效應和非飽和土在低飽和度范圍內(nèi)的持水特性。

(2)根據(jù)持水機制將土壤中孔隙水運移過程分為分別以毛細作用與吸附作用共同主導和以吸附作用為核心的2個階段繪制曲線，從非飽和土土-水特征曲線上反映出毛細管傳導中存在滯后現(xiàn)象，但在吸附膜流傳導中不存在滯后現(xiàn)象。

(3)在利用不同種類的土壤試驗數(shù)據(jù)對該模型進行驗證時，通過對比不同類型土壤的持水特征參數(shù)，發(fā)現(xiàn)砂質(zhì)土壤的吸附能力普遍低于黏質(zhì)土壤，毛細作用持水范圍小于黏質(zhì)土壤，在低飽和度范圍下的殘余水含量更低。