近地星座異面遍歷交會(huì)軌道全局優(yōu)化

黃岸毅，羅亞中，李恒年

(1. 西安衛(wèi)星測控中心宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710043；2. 國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙 410073；3. 空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410073)

0 引 言

隨著互聯(lián)網(wǎng)星座等大型星座的發(fā)展，低軌空間在軌服務(wù)技術(shù)的重要性越來越突出。通過在軌服務(wù)，可以對衛(wèi)星進(jìn)行部件維修、燃料加注等操作，顯著提高衛(wèi)星壽命，降低發(fā)射成本。對于大型星座中多顆衛(wèi)星需要維護(hù)的情形，在軌服務(wù)航天器在任務(wù)實(shí)施前需要規(guī)劃出合理的交會(huì)次序和飛行時(shí)長，以實(shí)現(xiàn)任務(wù)收益最大化。因此，規(guī)劃算法要能夠盡可能以高效率收斂到接近全局最優(yōu)解。

當(dāng)前這類包含整數(shù)規(guī)劃和實(shí)數(shù)規(guī)劃的混合規(guī)劃問題求解存在的主要困難是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的效率不高，導(dǎo)致優(yōu)化算法收斂緩慢。目標(biāo)函數(shù)一般設(shè)計(jì)為速度增量最小(或者等價(jià)指標(biāo)燃料消耗最小)，當(dāng)考慮近地軌道攝動(dòng)時(shí)，預(yù)估軌道交會(huì)所需的速度增量較為困難。如果采用軌道根數(shù)差分形式，將升交點(diǎn)赤經(jīng)差對應(yīng)的法向脈沖和相位差對應(yīng)的切向脈沖直接疊加，或采用二體解析模型獲得多脈沖交會(huì)的近似解，由于未考慮攝動(dòng)，誤差會(huì)很大，且需要對脈沖位置進(jìn)行尋優(yōu)，效率偏低。數(shù)值優(yōu)化方法需要建立包含每個(gè)脈沖大小和時(shí)刻的優(yōu)化模型，調(diào)用進(jìn)化算法求解，計(jì)算耗時(shí)難以滿足混合整數(shù)規(guī)劃期間大量調(diào)用計(jì)算的需求。因此合理的交會(huì)速度增量解析估計(jì)方法是解決這類規(guī)劃問題的關(guān)鍵。

對于近地長時(shí)間軌道交會(huì)問題，利用攝動(dòng)影響升交點(diǎn)赤經(jīng)長期漂移的規(guī)律，可以通過漂移率間接控制實(shí)現(xiàn)軌道面的重合。文獻(xiàn)[13]將該原理應(yīng)用于星座部署的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對漂移軌道的參數(shù)進(jìn)行離散化和遍歷尋優(yōu)。這些研究沒有完全揭示漂移率控制和瞬時(shí)直接控制在速度增量消耗上的規(guī)律，無法解析得到最優(yōu)的機(jī)動(dòng)策略，準(zhǔn)確度不夠高。Huang等利用半解析的等式約束優(yōu)化方法建立了升交點(diǎn)赤經(jīng)直接控制和漂移率控制混合策略的最優(yōu)交會(huì)近似估計(jì)模型，總速度增量估計(jì)精度較高，但其中四脈沖的計(jì)算都使用了圓軌道假設(shè)，在機(jī)動(dòng)量較大時(shí)每個(gè)脈沖的大小存在一定偏差。

本文根據(jù)星座中衛(wèi)星之間軌道高度和傾角相同的特性，將文獻(xiàn)[14]提出的方法簡化為僅考慮升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差，通過兩次雙脈沖霍曼變軌實(shí)現(xiàn)從初始軌道至漂移軌道以及從漂移軌道至目標(biāo)軌道的轉(zhuǎn)移，代替了文獻(xiàn)[14]中根據(jù)軌道根數(shù)差和圓軌道近似計(jì)算脈沖大小的過程，使得四個(gè)脈沖的計(jì)算更精確。在此基礎(chǔ)上，建立了多星交會(huì)混合整數(shù)規(guī)劃模型，并應(yīng)用混合編碼遺傳算法求解，整體規(guī)劃效率較高。采用文獻(xiàn)[4]中算例進(jìn)行分析對比，本文算法獲得指標(biāo)有顯著提高。

1 LEO星座服務(wù)遍歷交會(huì)軌道優(yōu)化問題

本文面向的星座類型為近地Walker星座，特點(diǎn)為所有衛(wèi)星的軌道參數(shù)中僅升交點(diǎn)赤經(jīng)和相位互不相同，且僅考慮軌道傾角不為0、偏心率近似為0的情形。假設(shè)星座中部分衛(wèi)星發(fā)生故障或燃料消耗殆盡，需要由在軌服務(wù)航天器依次交會(huì)這些衛(wèi)星并開展維護(hù)作業(yè)，此時(shí)就要尋找一條最優(yōu)交會(huì)序列及路徑，使得服務(wù)航天器在給定的任務(wù)約束下，以最少的燃料消耗完成任務(wù)，如圖1所示。

圖1 多軌道面星座遍歷交會(huì)路徑

服務(wù)航天器采用脈沖推進(jìn)方式，交會(huì)一顆衛(wèi)星后消耗一定時(shí)間進(jìn)行服務(wù)操作，然后離開并開始與下一顆衛(wèi)星交會(huì)。任務(wù)約束一般包括任務(wù)總時(shí)長約束、交會(huì)停留最小時(shí)長約束、總?cè)剂献畲笾导s束等。

該問題需要求解每次交會(huì)目標(biāo)的順序和交會(huì)時(shí)刻(等同于交會(huì)轉(zhuǎn)移時(shí)長)。對于這個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問題，關(guān)鍵是快速準(zhǔn)確地計(jì)算服務(wù)航天器從一個(gè)目標(biāo)交會(huì)下一目標(biāo)的速度增量。解決了這一問題，任務(wù)代價(jià)也即目標(biāo)函數(shù)就可以快速評價(jià)，從而應(yīng)用各類通用的混合整數(shù)規(guī)劃算法進(jìn)行全局優(yōu)化。

2 圓軌道同傾角攝動(dòng)交會(huì)脈沖快速計(jì)算

目標(biāo)到目標(biāo)之間的脈沖交會(huì)問題可以描述為：已知出發(fā)軌道和目標(biāo)軌道半長軸、傾角相同，分別為和，初始升交點(diǎn)赤經(jīng)和緯度幅角為和，目標(biāo)升交點(diǎn)赤經(jīng)和緯度幅角為和，給定交會(huì)飛行時(shí)間Δ，求解軌道交會(huì)所需的最優(yōu)速度增量。

2.1 漂移軌道組合策略

方法基本思想如下，根據(jù)攝動(dòng)一階分析理論，攝動(dòng)引起圓軌道半長軸、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和緯度幅角的長期變化率為：

(1)

圖2 漂移軌道和霍曼轉(zhuǎn)移示意圖

2.2 滿足Ω約束的脈沖近似最優(yōu)解

設(shè)終端時(shí)刻轉(zhuǎn)移航天器軌道根數(shù)和目標(biāo)軌道根數(shù)有升交點(diǎn)赤經(jīng)差Δ=-。設(shè)漂移軌道的半長軸和傾角相對圓軌道偏差為未知量Δ和Δ，則轉(zhuǎn)移到漂移軌道的兩脈沖霍曼變軌前后的速度大小為：

(2)

式中：為初始圓軌道速度大小，為第一個(gè)脈沖后的速度(橢圓軌道近地點(diǎn))，為第二個(gè)脈沖前的速度(橢圓軌道遠(yuǎn)地點(diǎn))，為第二個(gè)脈沖后的速度。設(shè)起漂階段對升交點(diǎn)赤經(jīng)的直接改變量為Δ，則起漂階段對軌道面法向量的角度改變?yōu)?/p>

(3)

將Δ等分為和作為法向脈沖加入霍曼變軌中，由圖3的幾何關(guān)系可得，霍曼變軌的兩個(gè)脈沖Δ和Δ(,,與Δ的關(guān)系類似)分別為：

圖3 脈沖前后速度矢量

(4)

由漂移軌道控回初始軌道半長軸及傾角時(shí)，將升交點(diǎn)赤經(jīng)直接改變量同樣置為Δ，即總的脈沖對軌道半長軸及傾角的改變量為0，對升交點(diǎn)赤經(jīng)的改變量為2Δ。則對于給定Δ, Δ和Δ，建立漂移軌道和恢復(fù)初始軌道所需的總速度增量為

Δ=2(Δ+Δ)

(5)

漂移軌道需要滿足升交點(diǎn)赤經(jīng)約束：

(6)

(7)

(8)

令=+，則根據(jù)極小值原理，最優(yōu)解應(yīng)滿足：

(9)

展開得方程組：

(10)

式中：

利用文獻(xiàn)[14]中的近似解作為初值：

(12)

使用一種非線性方程求解工具包Minpack簡單迭代即可得到最優(yōu)解，記為Δ,Δ和Δ。

2.3 滿足u約束的脈沖修正解

(13)

式中：Δ′應(yīng)歸一化到[-π,π]。為了滿足交會(huì)約束，需要修正Δ。根據(jù)相位漂移率與半長軸的關(guān)系可得修正量Δ為：

(14)

(15)

綜上，根據(jù)初始軌道和目標(biāo)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)差Δ和相位差Δ，即可通過先后求解式(10)、式(14)和式(15)得到速度增量的近似估計(jì)值以及漂移軌道相對初始軌道的半長軸差、傾角差和升交點(diǎn)赤經(jīng)差。

3 混合整數(shù)規(guī)劃模型與求解

本文的軌道交會(huì)優(yōu)化問題需要求解的變量為：使得總速度增量最小的交會(huì)次序(整數(shù)規(guī)劃)以及在目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移飛行時(shí)長(實(shí)數(shù)規(guī)劃)。這是一個(gè)混合整數(shù)規(guī)劃問題即時(shí)間依賴旅行商問題，可使用混合編碼的遺傳算法(GA)進(jìn)行優(yōu)化。

設(shè)目標(biāo)個(gè)數(shù)為，則優(yōu)化變量={}的維數(shù)設(shè)置為2。其中前個(gè)值用來編碼目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移時(shí)間(取值為0到1的實(shí)數(shù))，后個(gè)值用來編碼目標(biāo)的順序(取值為1到的整數(shù))。航天器在目標(biāo)兩兩之間的轉(zhuǎn)移時(shí)間表示為：

Δ=Δ+(Δ-Δ)

(16)

式中：Δ,Δ分別為任務(wù)約束的最短和最長轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間。交會(huì)時(shí)刻表示為：

(17)

據(jù)五建公司副總工程師王永科介紹，無軌導(dǎo)全位置爬行焊接機(jī)器人能實(shí)現(xiàn)焊接過程中對焊縫的實(shí)時(shí)掃描及跟蹤，運(yùn)動(dòng)過程中無需軌導(dǎo)引，利用磁性吸附和電機(jī)驅(qū)動(dòng)功能能夠沿直線、弧線等曲面實(shí)現(xiàn)自動(dòng)爬行，同時(shí)避免了有限空間和危險(xiǎn)場所人工焊接不便和危險(xiǎn)性，可以有效提高焊接質(zhì)量和效率。

設(shè)Δ為第段轉(zhuǎn)移的速度增量，目標(biāo)函數(shù)一般取為總速度增量：

(18)

利用GA求解，通過種群初始化和逐代進(jìn)化，最后可得最優(yōu)的交會(huì)次序和交會(huì)轉(zhuǎn)移時(shí)長。具體流程此處不再贅述。

4 仿真算例

4.1 速度增量與交會(huì)時(shí)間和軌道根數(shù)差的關(guān)系

設(shè)軌道為半長軸7100 km、傾角98°的圓軌道。初始軌道和交會(huì)軌道只存在Δ為5°，轉(zhuǎn)移時(shí)長為7天時(shí)，本文計(jì)算得到的交會(huì)脈沖總和為440.3 m/s。每組霍曼變軌雙脈沖大小分別為111.1 m/s(近地點(diǎn))和109.1 m/s(遠(yuǎn)地點(diǎn))。作為對比，文獻(xiàn)[14]中估計(jì)結(jié)果為444.1 m/s，每個(gè)脈沖均為111.0 m/s。這是因?yàn)閮H使用圓軌道假設(shè)時(shí)，近地點(diǎn)處脈沖估計(jì)值偏大，遠(yuǎn)地點(diǎn)處脈沖估計(jì)值偏小。文獻(xiàn)[14]針對的軌道需兼顧小偏心率情況，無法應(yīng)用霍曼變軌雙脈沖計(jì)算。而本文針對的是同圓軌道之間的轉(zhuǎn)移，霍曼變軌能夠提高單個(gè)脈沖估計(jì)精度。

利用估計(jì)方法對交會(huì)速度增量與Δ,Δ和Δ的關(guān)系進(jìn)行定量分析。當(dāng)Δ為5°時(shí)，對應(yīng)不同轉(zhuǎn)移時(shí)長的Δ變化趨勢以及速度增量中用于改變半長軸、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)的分量如圖4所示。初始軌道和交會(huì)軌道只存在Δ為180°時(shí)，對應(yīng)不同轉(zhuǎn)移時(shí)長的Δ變化趨勢以及各分量如圖5所示。

可見當(dāng)Δ較小時(shí)，改變升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移率的累積時(shí)間較短，最優(yōu)策略更傾向于利用法向脈沖直接改變升交點(diǎn)赤經(jīng)的方式實(shí)現(xiàn)交會(huì)(圖4中虛線，隨著Δ增大顯著下降)；而當(dāng)Δ較大時(shí)，最優(yōu)策略更傾向于改變升交點(diǎn)漂移率的方式實(shí)現(xiàn)交會(huì)(圖4中點(diǎn)劃線和點(diǎn)線，隨著Δ的增大在速度增量中占比變大)，升交點(diǎn)赤經(jīng)的直接改變量占比非常小。

圖4 給定ΔΩ0時(shí)速度增量與轉(zhuǎn)移時(shí)長的關(guān)系

Δ所需的速度增量同樣隨著轉(zhuǎn)移時(shí)長增大而逐漸減小，且在相同轉(zhuǎn)移時(shí)長下，每度相位差所需的速度增量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于每度升交點(diǎn)赤經(jīng)差。這也證明了本文首先根據(jù)升交點(diǎn)赤經(jīng)差計(jì)算控制量(式(10))，然后在解附近根據(jù)相位約束進(jìn)行修正(式(14)和式(15))的思路是正確的。此外還可以看到，由于攝動(dòng)的影響，調(diào)相對半長軸的改變會(huì)引起升交點(diǎn)赤經(jīng)的耦合漂移，因此還是需要一部分面外機(jī)動(dòng)量(圖5中點(diǎn)劃線和點(diǎn)線)抵消這部分?jǐn)z動(dòng)漂移量。

圖5 給定Δu0時(shí)速度增量與轉(zhuǎn)移時(shí)長的關(guān)系

對比單純法向脈沖1°升交點(diǎn)赤經(jīng)需要約130 m/s速度增量，通過升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移策略能夠顯著降低Δ。從圖4和圖5中各分量的變化趨勢來看，當(dāng)Δ較大且允許的轉(zhuǎn)移時(shí)間較短時(shí)，最優(yōu)交會(huì)速度增量Δ主要取決于Δ，相位差Δ的影響要小一個(gè)數(shù)量級(jí)，此時(shí)多星交會(huì)的最優(yōu)次序應(yīng)當(dāng)與升交點(diǎn)赤經(jīng)的排列順序一致；而當(dāng)Δ較小且轉(zhuǎn)移時(shí)間較長時(shí)，最優(yōu)交會(huì)速度增量Δ中Δ與Δ的影響量級(jí)接近，此時(shí)最優(yōu)交會(huì)路徑就需要全局優(yōu)化計(jì)算。下面用兩個(gè)多星交會(huì)算例進(jìn)行驗(yàn)證。

4.2 軌道面大幅度變化的交會(huì)序列優(yōu)化

目標(biāo)航天器分布在8個(gè)軌道面(半長軸7100 km，傾角98°，偏心率0)，有11顆星需要交會(huì)，軌道根數(shù)見表1。兩兩之間的最長轉(zhuǎn)移時(shí)間為60天，停留時(shí)間為0，脈沖推進(jìn)比沖為407.9 s。追蹤航天器初始升交點(diǎn)赤經(jīng)和緯度幅角為0。

表1 目標(biāo)軌道參數(shù)

GA參數(shù)設(shè)置見表2，交會(huì)最優(yōu)序列和速度增量消耗見表3。

表2 GA參數(shù)

總速度增量為887.62 m/s，最優(yōu)交會(huì)序列沿著赤經(jīng)從小到大的路徑，且最優(yōu)交會(huì)時(shí)長均為容許最長時(shí)間，這也與4.1節(jié)的分析吻合。同時(shí)表3還列出了文獻(xiàn)[14]方法得到的速度增量以及使用文獻(xiàn)[19]基于進(jìn)化算法的四脈沖優(yōu)化方法得到的最優(yōu)解，可見本文估計(jì)結(jié)果更接近進(jìn)化算法，但差別較小。本文方法單次估計(jì)耗時(shí)0.18 ms(CPU：4.2 GHz)，小于文獻(xiàn)[14](1 ms)和進(jìn)化算法(600 s以上)。

表3 最優(yōu)交會(huì)路徑

4.3 軌道面小幅度變化的交會(huì)與重構(gòu)路徑優(yōu)化

該算例來源于文獻(xiàn)[4]，1顆服務(wù)航天器交會(huì)8顆無剩余燃料的目標(biāo)衛(wèi)星。與4.1節(jié)交會(huì)任務(wù)略有不同的是，服務(wù)航天器最大轉(zhuǎn)移飛行時(shí)長為600(為標(biāo)稱軌道周期)，在交會(huì)每個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星后需要停留一定時(shí)間(10到600之間)，且為目標(biāo)加注燃料(100 kg+自身重構(gòu)機(jī)動(dòng)所需燃料)。自身重構(gòu)機(jī)動(dòng)是指每個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星在加注完成后即開始機(jī)動(dòng)，將自身的軌道面和相位重新調(diào)整到預(yù)定的8個(gè)位置之一，最終使8顆衛(wèi)星形成完整星座構(gòu)型。

其設(shè)定的目標(biāo)互相之間升交點(diǎn)赤經(jīng)偏差較小，屬于共面星座長期攝動(dòng)產(chǎn)生的偏差，此時(shí)軌道面調(diào)整和相位調(diào)整所需的控制量相近，交會(huì)路徑更需要進(jìn)行全局優(yōu)化。因此，待優(yōu)化變量維數(shù)是4(目標(biāo)個(gè)數(shù)=8)。其中增加維變量以描述交會(huì)后停留的加注時(shí)長(實(shí)數(shù))，另外維變量描述每個(gè)目標(biāo)衛(wèi)星在完成加注后需要到達(dá)的星座軌位的序號(hào)(整數(shù))。任務(wù)優(yōu)化指標(biāo)為航天器初始質(zhì)量，可根據(jù)航天器結(jié)構(gòu)質(zhì)量、任務(wù)過程中消耗的燃料質(zhì)量以及為星座加注的燃料質(zhì)量遞推計(jì)算：

(19)

服務(wù)航天器軌道高度為7792.137 km，傾角52°，偏心率為0，初始升交點(diǎn)赤經(jīng)為100°，緯度幅角20°。目標(biāo)星初始軌道高度和傾角相同，其它根數(shù)見表4。

表4 目標(biāo)星軌道參數(shù)

對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果如表5～6和圖6所示。平均單次服務(wù)消耗燃料為4.432 kg，與文獻(xiàn)[4]中8.333 kg的結(jié)果對比，燃料消耗降低了約46.8%。文獻(xiàn)[4]中最優(yōu)交會(huì)路徑為1-7-4-5-8-2-3-6，本文最優(yōu)路徑為7-4-1-5-8-2-3-6。

圖6 服務(wù)路徑及重構(gòu)路徑

表5 文獻(xiàn)[4]的優(yōu)化結(jié)果

算法在普通電腦上運(yùn)行約5 min即可收斂到最優(yōu)解。本文使用多脈沖估計(jì)模型替代了原文獻(xiàn)中的雙脈沖近似模型，且不需要對飛行圈數(shù)進(jìn)行遍歷尋優(yōu)，因此優(yōu)化性能和效率得到很大提高。

表6 本文獲得的最優(yōu)解詳情

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種軌道高度和傾角相同時(shí)基于升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移軌道的異面交會(huì)組合機(jī)動(dòng)策略，通過等式約束優(yōu)化方法獲得最優(yōu)四脈沖解。利用這種快速脈沖求解方法建立了多星交會(huì)序列的混合整數(shù)規(guī)劃模型，通過遺傳算法獲得交會(huì)次序、交會(huì)時(shí)刻的最優(yōu)解。仿真算例證明本方法規(guī)劃求解耗時(shí)短，且結(jié)果更優(yōu)?？蛇m用于近地在軌服務(wù)、星座構(gòu)型重建等任務(wù)的快速優(yōu)化設(shè)計(jì)和分析。