一種不依賴剩余時間估計的巡航導彈多約束制導律

王寧宇，王小剛，白瑜亮，崔乃剛，李 瑜

(1. 哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074)

0 引 言

在現(xiàn)代作戰(zhàn)場景下，巡航導彈作為對地面靜止或慢速移動目標精確打擊的有效武器，相較于易于被預測的彈道導彈，具有射程遠、機動能力強、突防效果好、命中精度高、毀傷效果好等特點。近年來，美、俄、法等國對于巡航導彈開展了大量研究并取得了諸多代表性成果。美國在2013至2015年間多次試飛新一代巡航導彈，實現(xiàn)途徑航路點、規(guī)避障礙、精確打擊等任務，并演示了在線規(guī)劃算法。俄羅斯與印度聯(lián)合研發(fā)了“布拉莫斯”巡航導彈，并于2015年軍演中精確命中退役艦船“阿勒皮”。法國的“飛魚”巡航導彈同樣是在多次戰(zhàn)爭中屢建戰(zhàn)功。

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭的興起，僅滿足終端脫靶量要求的制導律設(shè)計越來越不能滿足現(xiàn)代海戰(zhàn)的需求。巡航導彈在保證傳統(tǒng)等高等速飛行約束的前提下，同樣需要保證一定的末端打擊角度來提高導彈對目標的毀傷效果；同時為實現(xiàn)導彈協(xié)同飽和攻擊，如何控制導彈能夠同時到達目標同樣成為提高打擊能力的關(guān)鍵因素。為有效提升巡航導彈自身的突防能力，實現(xiàn)多巡航導彈編隊完成突防任務，往往需要考慮打擊時機的選取和攻擊角度的控制，因此關(guān)于時間約束和攻擊角度約束的制導律成為各國爭相研究的熱點。

國內(nèi)外眾多學者針對末端角度約束制導律的設(shè)計進行了深入研究，對于末端角度約束制導律的設(shè)計已經(jīng)相當成熟。Tsalik等將圓弧軌跡的概念引入到相對運動方程，針對靜止目標提出了一種角度約束的最優(yōu)偏置制導律。Hu等將滑模變結(jié)構(gòu)算法引入到制導律設(shè)計過程中，設(shè)計出一種“滑模+最優(yōu)”的兩階段角度約束制導策略。不同于傳統(tǒng)垂直平面內(nèi)末端角度約束制導律設(shè)計，文獻[10]基于三維耦合作戰(zhàn)場景，結(jié)合雙曲正切函數(shù)特性推導了一種針對靜止地面目標的非線性反演制導策略。針對于機動目標，文獻[11]將深度學習引入到角度約束制導律設(shè)計過程中，提出一種基于深度強化元學習和剩余飛行時間感知邏輯函數(shù)角度約束的三維制導律。

為了更好地提升對目標的協(xié)同打擊能力，增強對目標的毀傷效果，越來越多的研究人員開展了末端角度/時間雙重約束制導律的研究。Chen等通過精確估計角度約束制導律的剩余時間，設(shè)計期望時間和剩余時間誤差反饋控制器，得到了一種既考慮打擊時間又考慮末端角度約束的制導律。Yan等針對三維靜止目標，通過對帶有末端角度約束飛行軌線的剩余時間進行估算，提出了一種考慮時間和角度約束的彈道成型制導律。文獻[14]基于最優(yōu)控制理論對剩余時間進行精確估計，以此為基礎(chǔ)設(shè)計了一種同時控制時間和末端角度的三維混合制導律。

綜上，目前國內(nèi)外對于攻擊角度和攻擊時間約束制導律開展了深入研究，但大多需要在剩余時間精確估算的前提下開展打擊時間約束制導律研究，其剩余時間估算的準確與否直接影響到最終時間約束制導律的精確性，文獻[15]首先提出不考慮精確剩余時間估算的時間約束制導律設(shè)計。在真實強干擾戰(zhàn)場環(huán)境下，對于剩余時間難以進行精確估計，因此需要開展不依賴剩余時間精確估算的攻擊角度/時間約束制導律的研究，從而設(shè)計更能適應真實戰(zhàn)場環(huán)境的多約束制導律。

針對巡航導彈末端多約束制導律需要解決的剩余時間估計誤差大的難題，本文通過推導航向相對運動方程，得到了航向平面最優(yōu)制導律；通過設(shè)計基于飛行時間誤差的指數(shù)型附加航向角，推導出一種不依賴剩余時間估計的航向角度/時間最優(yōu)制導律;通過在線求解時間增益系數(shù)保證導彈能夠按照期望時間對目標進行精確打擊，并基于不同期望打擊時間實現(xiàn)彈道的在線自適應機動。接下來通過求解常規(guī)偏置導引律的閉環(huán)軌跡方程，給出制導律收斂初始條件。最后，通過仿真驗證了本文提出算法的正確性和有效性，并針對不同初始條件和不同末端約束作戰(zhàn)場景進行了制導律適應性驗證。

1 巡航導彈運動數(shù)學模型

在不考慮地球自轉(zhuǎn)和地球曲率的情況下，巡航導彈主要受到推力、空氣動力、重力作用，為實現(xiàn)本文大航程航向制導律設(shè)計，采用位置坐標系下的三維運動模型,如下：

(1)

式中：為速度；為飛行路徑角；為巡航導彈質(zhì)心到地心的距離；為航向角；為經(jīng)度；為緯度；為推力；為攻角；為傾側(cè)角；為阻力；為升力；為地球引力加速度。

阻力和升力的計算方式采用：

(2)

式中：為巡航彈特征面積；=/2為飛行動壓，其中為大氣密度，采用常規(guī)大氣密度公式計算：

=exp(-)

(3)

式中：=141×10m與=1225kg/m為常系數(shù)；=-為飛行高度，其中為地球平均半徑。

式(2)中和分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，采用如下經(jīng)驗公式：

(4)

圖1給出了巡航導彈飛行過程中的彈目相對運動關(guān)系，其中，表示巡航導彈；表示打擊目標點；表示巡航導彈的飛行速度；表示平均地球半徑大小為6371.001 km；和分別表示巡航導彈飛行過程中的經(jīng)度和緯度；和分別表示目標點的經(jīng)度和緯度；表示期望航向攻擊角度；表示巡航導彈剩余射程；為航向視線角表示彈目連線與北向的夾角；表示彈目連線在地球上的投影與地心形成的地心角；航向速度前置角Δ為視線角和航向角的差值，表示為：

圖1 彈目相對運動關(guān)系圖

(5)

因此根據(jù)俯仰平面內(nèi)的相對運動方程，可推導得到航向平面相對運動方程如下：

(6)

彈目地心角和視線角采用球面三角形公式計算：

=arccos(sinsin+

coscoscos(-))

(7)

(8)

推力表達式為：

(9)

在巡航導彈制導飛行過程中，需要對導彈速度方向和大小同時控制推力大小{o,o,o}和過載大小{,}來完成進攻任務，其中代表彈道系下向過載，代表彈道系下向過載。具有末端攻擊角度和時間約束的巡航制導需要滿足末端條件如下：

(10)

式中：為終端打擊時間；為期望攻擊時間。

2 攻擊角度/時間約束制導律

本節(jié)基于上一節(jié)中的巡航導彈運動模型，首先基于二階無靜差系統(tǒng)設(shè)計等高飛行制導律，通過反饋速度誤差項完成等速制導律推力指令設(shè)計；在此基礎(chǔ)上，分別推導航向最優(yōu)制導律(Heading optimal guidance law，HOGL)和航向攻擊角度約束最優(yōu)制導律(Heading impact angle optimal guidance law，HIAOGL)，設(shè)計了一種指數(shù)型附加航向誤差項，并通過末端約束條件完成附加項增益系數(shù)的在線求解，實現(xiàn)兩種不依賴于剩余時間精確估計的時間約束制導律設(shè)計。所提出的攻擊角度/時間約束制導律設(shè)計架構(gòu)如圖2所示。

圖2 巡航導彈攻擊角度/時間約束制導律設(shè)計架構(gòu)

2.1 等高等速制導律

巡航導彈在執(zhí)行進攻作戰(zhàn)任務過程中，需要維持一定的飛行速度和較低飛行高度以躲避艦船雷達探測系統(tǒng)以接近目標，進而完成對目標的打擊任務，本節(jié)開展等高等速制導律的設(shè)計。

巡航導彈飛行高度需要滿足如下條件：

(11)

Δ=()-

(12)

對式(1)中第四式求導可得：

(13)

由于地心距可表示為：

=+

(14)

將式(14)代入式(13)可得：

(15)

對式(12)求二階導并將式(15)代入可得：

(16)

對式(1)中的第二式進行改寫：

(17)

將式(17)代入式(16)可得：

(18)

考慮巡航導彈在飛行過程中具有二階動力學特性，因此可將高度控制回路轉(zhuǎn)化為經(jīng)典控制理論中的二階無靜差系統(tǒng)，可得到如下高度特性關(guān)系式：

(19)

式中：表示高度特性阻尼比；表示高度特性自然頻率。將式(16)代入式(19)可得高度控制指令：

(20)

對于等速巡航飛行需要滿足如下條件：

(21)

式中：為巡航導彈的巡航速度大小。巡航導彈對于速度大小的控制需要根據(jù)導彈的實際飛行狀態(tài)和發(fā)動機推力大小來控制，由式(1)中第一式可知推力在體坐標系下的表達式如下所示：

(22)

(23)

2.2 攻擊角度/時間約束制導律建模

對式(6)中的第二式求導可得：

(24)

將式(5)和(6)代入式(24)中可得：

(25)

針對末端約束僅為位置約束而無角度約束問題，可基于最優(yōu)控制原理求解式(25)得到HOGL為：

(26)

針對航向平面內(nèi)末端攻擊角度約束問題，選取末端航向角之差和航向視線角速率作為狀態(tài)變量：

(27)

結(jié)合式(25)和(27)，可得航向平面運動內(nèi)狀態(tài)方程如下：

(28)

(29)

2.3 攻擊時間約束制導律

為保證在制導律末端能夠按照期望攻擊時間打擊目標，需要滿足以下條件：

(30)

制導律式(26)以能量消耗最小作為性能指標完成航向誤差的消除。因此，為了控制打擊時間，設(shè)計能夠令巡航導彈能在航向產(chǎn)生自適應機動的附加航向誤差項Δ，并將其附加到制導律式(26)中，本文設(shè)計附加航向誤差如下：

(31)

式中：為時間增益系數(shù)，滿足>0。其中僅包含當前飛行時間，進而完成不依賴剩余時間估計的附加航向誤差項設(shè)計。

由式(31)可知，隨著時間增益系數(shù)的增加,巡航導彈航向機動軌跡增大；巡航導彈接近目標的過程中，飛行時間將滿足→，此時隨著附加航向誤差減小,最優(yōu)制導律將占據(jù)主導，因此所設(shè)計制導律既保證了打擊時間約束又滿足了制導精度要求。將式(31)代入式(6)中第一式可得：

(32)

式中：為附加射程，通過調(diào)整附加射程來滿足期望打擊時間。將式(32)從當前時刻積分到期望打擊時刻可得：

(33)

為保證在制導律末端滿足()=0，由式(33)可得關(guān)于時間增益系數(shù)的表達式如下：

(34)

由式(34)可得，時間增益系數(shù)與導彈速度、期望打擊時間和附加射程相關(guān)，由于在求解過程中附加射程()無法計算，因此對附加射程進行重構(gòu)，實現(xiàn)對的求解?？蓸?gòu)造如下函數(shù)：

(35)

對式(35)進行求導可得：

(36)

令()=(+1)ln(+1)-1，求導可得：

′()=ln(+1)+1

(37)

由式(37)可知()為單調(diào)遞增函數(shù)，其最小值(0)=-1，同樣可構(gòu)造如下函數(shù)：

(38)

對式(38)求導可得：

(39)

在>0條件下′()>0恒成立，因此可得到()=(0)=1->0，將其代入式(36)可知′()<0恒成立，由此可知式(35)是單調(diào)遞減函數(shù)，可得到如下極值參數(shù)：

(40)

根據(jù)式(40)可對剩余射程重構(gòu)如下所示：

(41)

由式(41)可知，隨著→滿足→0；結(jié)合式(31)可知，隨著飛行時間接近期望時間，附加航向誤差Δ趨向于零。將式(41)代入式(34)可得：

(42)

可通過數(shù)值方法求解式(42)得到，實現(xiàn)附加航向誤差的設(shè)計。

綜上，將附加航向誤差Δ代入原最優(yōu)制導律式(26)中，并結(jié)合式(6)中第二式得到一種不依賴剩余時間估計的航向攻擊時間最優(yōu)制導律(Heading impact time optimal guidance law，HITOGL)。

(43)

式中：-3sin Δ為航向誤差控制項，保證末端航向打擊精度；-3sin Δ為攻擊時間控制項，保證攻擊時間滿足約束。本制導律通過設(shè)計具有快速收斂特性的附加航向誤差Δ，基于末端約束在線求解最優(yōu)時間增益系數(shù)，完成HITOGL制導律設(shè)計。

2.4 攻擊角度/時間約束制導律

為同時實現(xiàn)末端角度和時間約束，本節(jié)在航向攻擊角度約束最優(yōu)制導律(HIAOGL)基礎(chǔ)上設(shè)計附加航向誤差，來保證攻擊時間約束。

將式(6)中第二式除以第一式可得：

(44)

結(jié)合式(44)和式(6)中的第一式可重新構(gòu)建航向相對運動方程如下：

(45)

式(45)為復雜非線性運動方程，直接用附加航向誤差來實現(xiàn)打擊時間約束是難以完成的。因此在Δ為小角度情況下進行泰勒展開可得：

(46)

具有攻擊角度/時間約束的巡航制導律需要滿足的末端條件如下：

(47)

式中：第一式表示采用航向制導律機動后，附加航向誤差Δ最終在=時刻收斂到零；第二式表示在=時刻末端航向攻擊角度趨近于；第三式表示在=時刻導彈對目標可以滿足精確打擊要求。為滿足以上約束，可設(shè)計附加航向誤差Δ如下：

Δ=(-)(1-e-(-))

(48)

由式(48)可知，在期望攻擊時刻滿足約束Δ()=0，保證了原制導律的收斂性。且通過采取(1-e-(-))項的設(shè)計可以保證在剩余射程較大時，附加航向角可以快速收斂；在剩余射程較小時產(chǎn)生的航向機動誤差較小，不影響HIAOGL制導律的收斂精度。因此不依賴剩余時間估計的攻擊角度/時間約束制導律設(shè)計轉(zhuǎn)化為參數(shù)和的求解，將式(48)代入式(46)的第一式可得：

(49)

(50)

因此式(49)化簡為：

(51)

對式(51)從當前時刻積分到期望攻擊時刻可得：

(52)

結(jié)合式(47)中的第二式末端航向攻擊角度約束，式(52)可改寫為：

(53)

將航向機動誤差式(48)代入式(46)中第二式可得：

(54)

將式(54)從當前時刻積分到期望打擊時刻可得：

()-()=

(55)

結(jié)合式(47)中的第三式末端位置約束求解可得：

(56)

結(jié)合式(53)和(56)為一個代數(shù)方程組，此方程組只包含兩個時間增益系數(shù)和，因此可采用數(shù)值方法求解。將式(48)附加到HIAOGL中，可得到一種不依賴剩余時間估計的航向角度/時間最優(yōu)制導律(HITAOGL)：

(57)

彈道系下向過載如下：

(58)

因此，將式(43)和式(57)代入到式(58)中便可實現(xiàn)所需約束條件的制導飛行。本文所提出的不依賴剩余時間估計的制導律，有效解決了現(xiàn)有制導律對于剩余時間精確估計的強依賴性的問題，極大地提高了角度/時間約束制導律在工程中的應用。

3 制導律收斂性分析

本節(jié)通過求解常規(guī)航向偏置導引律的閉環(huán)解，HITOGL和HITAOGL兩制導律的收斂特性，得到制導律收斂條件。

由文獻[21]可得常規(guī)航向偏置導引律形式如下：

(59)

對式(5)進行求導，并將式(6)和式(59)代入可得：

(60)

令d=||d，對偏置項進行歸一化處理如下：

(61)

將式(61)代入式(60)可得：

(62)

式中：符號變量表示偏置項的符號，所以=±1為常值。

將式(62)兩方程相除可得：

(63)

當≠2時，求解方程(63)可得：

(64)

(65)

(66)

(67)

當=1時，為滿足軌跡收斂需要滿足<且Δ<π2，求解式(67)可得：

(68)

當=-1時，為滿足軌跡收斂需要滿足>且Δ>-π2，求解式(67)可得：

(69)

由此，通過根據(jù)初始條件判斷不等式(68)或式(69)是否成立判斷彈道軌跡收斂情況。由此得到滿足HITOGL和HITAOGL軌跡收斂的仿真初始條件，為本文設(shè)計的制導律在工程中實際應用提供了參考。

4 仿真分析

4.1 不依賴精確剩余時間制導律驗證

表1 仿真場景設(shè)定

表2 仿真約束條件

采用上文中設(shè)計的HITOGL和HITAOGL兩種制導律進行仿真分析，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示：

圖3 速度與高度變化曲線

圖4 推力和航向過載變化曲線

圖5 航向角和飛行軌跡變化曲線

由圖3可知，HITOGL和HITAOGL在采用等高等速制導律飛行速度在85 s之后收斂穩(wěn)定且速度誤差均在0.01 m/s以內(nèi)；飛行高度在3.8 s之后均收斂穩(wěn)定，且高度誤差均在0.1 m以內(nèi)。由圖4(a)可知，在等高等速制導律作用下，在初始階段需要增加推力來實現(xiàn)速度和高度趨于期望值，在等高等速飛行階段，推力大小穩(wěn)定；由圖4(b)可知，采用HITOGL和HITAOGL航向過載均在1以內(nèi)。

4.2 不依賴剩余時間估計制導律算法適應性分析

通過改變期望攻擊時間和攻擊角度約束,驗證HITAOGL對不同作戰(zhàn)任務的適應性。

不同期望攻擊時間的仿真結(jié)果如圖6和表3所示，其中攻擊角度誤差均在0.2°以內(nèi)，實際攻擊時間誤差均在0.1 s以內(nèi)，隨著期望攻擊時間的增加，導彈的位置誤差也隨之增加。

表3 不同期望攻擊時間條件下打擊結(jié)果

圖6 不同期望攻擊時間條件下航向角和飛行軌跡曲線

同樣,不同攻擊角度約束的仿真結(jié)果如圖7和表4所示，其中攻擊角度誤差均在1°以內(nèi)，時間誤差均小于0.2 s，位置誤差均小于1 m，隨著攻擊角度約束和初始航向角之差增大，實際攻擊角度誤差和實際攻擊時間誤差也逐漸增大。

表4 不同期望攻擊角度條件下打擊結(jié)果

圖7 不同期望攻擊角度條件下航向角和飛行軌跡曲線

經(jīng)過200次蒙特卡洛打靶仿真得到平均脫靶量為0.64 m，終端攻擊角度誤差平均值為0.41°，攻擊時間誤差平均值為0.13 s，說明本文設(shè)計的制導律在干擾因素的影響下具有良好的魯棒性。

最后，為驗證HITAOGL的魯棒性，設(shè)置服從均勻分布的干擾因素(見表5)并進行200次蒙特卡洛打靶仿真,結(jié)果見表6。

表5 干擾因素列表

表6 打靶結(jié)果

5 結(jié) 論

本文針對巡航導彈末端多約束制導問題，設(shè)計了一種不依賴剩余時間估計的制導律，實現(xiàn)了末端航向攻擊角度/時間約束精確制導飛行。首先，通過對航向彈目相對運動關(guān)系進行重構(gòu)，將附加航向誤差項附加到HOGL中得到滿足攻擊時間約束的HITOGL；在此基礎(chǔ)上，通過將角度約束制導律與時間約束制導律相結(jié)合，設(shè)計不依賴剩余時間約束附加項，通過在線求解時間增益系數(shù)實現(xiàn)軌跡的自適應在線機動，進而實現(xiàn)HITAOGL的設(shè)計。通過求解通用偏置導引律閉環(huán)軌跡，給出滿足HITAOGL的顯式收斂初始條件。最后通過數(shù)學仿真驗證了本文設(shè)計的制導律的有效性、收斂性和魯棒性，經(jīng)過200次蒙特卡洛打靶仿真得到平均攻擊角度誤差為0.41°，平均時間誤差為0.13 s。