陳志遠 雷建平 張梓喬
(武漢理工大學(xué)交通與物流工程學(xué)院 武漢 430063)
有限元模型修正本質(zhì)上是一個以模型計算值與實測響應(yīng)值之間的誤差構(gòu)造目標函數(shù),進行優(yōu)化計算,找到目標函數(shù)最優(yōu)解的過程.遺傳算法作為一種經(jīng)典的進化算法,經(jīng)過多年發(fā)展,在模型修正領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.張瑞云等[1]總結(jié)遺傳算法的基本原理,并運用于結(jié)構(gòu)模型修正.朱宏平等[2]對基于遺傳算法的模型修正方法進行改進,并運用在橋梁傳感器布置方案中,證明了該方法的應(yīng)用價值.秦仙蓉等[3]針對岸橋結(jié)構(gòu)的有限元模型修正問題,基于Kriging替代模型及遺傳算法對岸橋結(jié)構(gòu)進行修正.結(jié)果表明該方法能有效修正岸橋結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標準差.陳義成[4]為提高發(fā)動機模型精度,建立整機穩(wěn)態(tài)模型后,針對遺傳算法、微分進化算法和粒子群算法三種優(yōu)化算法進行了機理分析并測試比較了各個算法的修正性能,最終提出一種基于自適應(yīng)變慣性權(quán)重方法的改進粒子群算法,結(jié)果表明:該方法在滿足求解精度要求的同時提高了收斂性能和求解速度.康俊濤等[5]為更好控制鋼桁架拱橋施工過程中標高控制可靠度,采用基于遺傳算法優(yōu)化的SVM模型為代理模型進行計算,并結(jié)合蒙特卡洛法求解施工期間標高控制可靠度,取得了良好的計算結(jié)果.
文中基于雙鏈量子遺傳算法,發(fā)現(xiàn)該算法中轉(zhuǎn)角步長函數(shù)的不足,采用反正弦函數(shù)構(gòu)造新的轉(zhuǎn)角步長函數(shù),并對改進后的算法進行可行性驗證.改進后的雙鏈量子遺傳算法的搜索精度及魯棒性均有提高,具有工程實際價值.
有限元模型修正是結(jié)構(gòu)動力學(xué)中反問題的一種,參數(shù)型有限元模型的修正本質(zhì)是求解多參數(shù)目標函數(shù)的最值,目標函數(shù)的構(gòu)造是否合理直接影響著模型的修正效果.通常情況,目標函數(shù)都是基于理論值與實測值的相對誤差來確定的,其表達式為
(1)
式中:xa為實測響應(yīng);xb為理論響應(yīng).若相對誤差|Ew|小于允許誤差εw,表明理論模型與實際結(jié)構(gòu)相關(guān)性較好.
構(gòu)造出目標函數(shù)后,有限元模型修正問題轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)的實際參數(shù),使得目標函數(shù)|Ew|達到最小值.常用的優(yōu)化算法有粒子群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、遺傳算法等.
遺傳算法將目標函數(shù)的解用染色體表示,多組解即多個染色體構(gòu)成一個種群,通過種群內(nèi)部的遺傳、交叉和變異,逐代更新染色體,當目標函數(shù)值滿足精度要求或達到預(yù)設(shè)的最大代數(shù)時,結(jié)束進化,最終求得多目標函數(shù)的最優(yōu)解.遺傳算法流程見圖1.
圖1 遺傳算法流程
在遺傳算法中,n維可行解的數(shù)學(xué)形式為x=[x1,x2,…,xn]T,x為一個染色體,x中所有取值稱為等位基因.根據(jù)目標函數(shù)的不同,x可以是一組整數(shù)或是某一范圍內(nèi)的實數(shù),甚至可以是一些純粹的記號.根據(jù)個體的表現(xiàn)型(函數(shù)值),可由一定的規(guī)則計算出個體的適應(yīng)度,適應(yīng)度的計算規(guī)則與目標最優(yōu)解相關(guān),越是接近目標函數(shù)的最優(yōu)點,適應(yīng)度越大,反之越?。?/p>
量子計算中,量子比特起到儲存信息的作用,其本身具有|0〉、|1〉兩個基本狀態(tài),每個量子位都是由這兩個基態(tài)任意線性組成的疊加態(tài),疊加態(tài)|ψ〉的形式為
(2)
式中:ci為概率幅(possibility amplitude);|ci|2的意義為量子態(tài)|φ〉坍縮到其基態(tài)|φi〉的概率.由歸一化特性[6],其表達形式為
(3)
量子態(tài)|ψ〉對應(yīng)著Hilbert空間中的一個向量,基態(tài)|0〉、|1〉對應(yīng)著向量空間中的一對標準正交基,其形式如下:因此,具有n個基因的染色體可用矩陣表示為
(4)
式中:|αi|2+|βi|2=1,i=1,2,…,n.
通常采用量子疊加性來產(chǎn)生初始種群,初始種群采用如下方式進行編碼:
(5)
量子態(tài)無法進行個體適應(yīng)度計算,需要先對量子個體進行測量,再將結(jié)果轉(zhuǎn)化成經(jīng)典信息,最終完成量子個體適應(yīng)度的計算.
由量子比特Q(i)坍縮到一組確定解,確定解形式為
(6)
量子門控制量子態(tài)的旋轉(zhuǎn)對應(yīng)著遺傳算法中的種群進化.量子態(tài)在量子門作用后發(fā)生酉變換,因此量子態(tài)的概率幅在發(fā)生變化后依舊滿足歸一化條件.量子旋轉(zhuǎn)表達式為
(7)
式中:|ψ〉為更新后的量子態(tài);αi和βi為更新后量子態(tài)的概率幅.
量子旋轉(zhuǎn)后,各個基態(tài)的概率幅發(fā)生了變化,種群會朝著適應(yīng)度更高的方向發(fā)展,最終收斂至最優(yōu)種群從而求得最優(yōu)解.通常情況,量子旋轉(zhuǎn)的方向與角度是根據(jù)查表確定的.
DCQGA與QGA的實現(xiàn)步驟基本類似,本節(jié)僅介紹二者的不同點.
在編碼方式上,雙鏈量子遺傳算法中,染色體采用量子比特的兩個概率幅直接進行編碼:
(8)
式中:tij=2π×rand,rand為0~1之間的隨機數(shù);i=1,2,…,m;j=1,2,…,n;m為種群規(guī)模;n為量子位數(shù).
在DCQGA中同樣使用量子旋轉(zhuǎn)門更新染色體,不同的是在種群旋轉(zhuǎn)更新的過程中,轉(zhuǎn)角Δθ是算法收斂的關(guān)鍵,其符號決定著種群進化的方向,其大小決定著種群更新的速度.在QGA中,轉(zhuǎn)角的參數(shù)通過查表來確定,過程繁瑣復(fù)雜且不能有效的利用反饋信息.為改善上述缺點,DCQGA基于梯度步長搜索理論構(gòu)造轉(zhuǎn)角步長函數(shù),充分利用了目標函數(shù)變化率的反饋信息,實現(xiàn)了轉(zhuǎn)角的動態(tài)更新,轉(zhuǎn)角步長函數(shù)為
(9)
相比而言,DCQGA提出了一種基于目標函數(shù)變化率的動態(tài)更新方法,較QGA更為合理,但該函數(shù)所得的實際轉(zhuǎn)角區(qū)間與較為合理的轉(zhuǎn)角區(qū)間[0.005π,0.1π]相差較大,而轉(zhuǎn)角過低影響算法的收斂速度,過高容易引起早熟收斂.
針對上述問題,本文嘗試采用一種新的基于目標函數(shù)搜索點處變化趨勢的轉(zhuǎn)角步長函數(shù),以提高算法的收斂精度.改進的轉(zhuǎn)角步長函數(shù)為
(10)
改進后的函數(shù)滿足轉(zhuǎn)角區(qū)間[0.005π,0.1π],更有利于種群的更新.
為比較GA、QGA、DCQGA、改進DCQGA四者在性能上的差異,選取二維Ackley’s函數(shù)進行測試,比較四種算法的收斂精度、收斂次數(shù)及收斂用時.二維Ackley’s函數(shù)形式為
(11)
算法初始參數(shù)設(shè)置:基因位長度20,個體數(shù)量50,GA算法交叉概率0.7,變異概率0.05,最大迭代數(shù)100.每種算法各運行20次,計算結(jié)果對比見表1.
表1 算法結(jié)果對比表
由表1可知:改進轉(zhuǎn)角步長函數(shù)后的雙鏈量子遺傳算法S_DCQGA是一種搜索精度高、魯棒性強的優(yōu)化算法,具有一定的實用價值.
以計算跨徑為4 m的懸臂工字鋼梁為例,假定鋼材因外界環(huán)境作用發(fā)生銹蝕,結(jié)構(gòu)實際靜動力響應(yīng)與初始有限元模型計算結(jié)果相比,出現(xiàn)較大偏差.
假定鋼板兩側(cè)銹蝕厚度相等,銹蝕后頂板、腹板、底板有效厚度分別減少了6.5,1.8和2.7 mm.選取頂板、腹板、底板的有效厚度和質(zhì)量密度作為待修正參數(shù),通過響應(yīng)面法對該模型進行修正,因篇幅原因這里不再贅述.本例初始響應(yīng)面函數(shù)采用二次多項式與動態(tài)權(quán)重法確定目標函數(shù)形式:
f=α1(1+Y1′/21.81)2+α2(1+Y2/22.18)2+
α3(1+Y3/28.23)2+β1(1-f1/8.059)2+
β2(1-f2/22.212)2+β3(1+f3/50.048)2
(12)
式中:f為目標函數(shù)值;αi、βi為動態(tài)權(quán)重系數(shù).
確定目標函數(shù)形式后,采用改進雙鏈量子遺傳算法(S_DCQGA)對目標函數(shù)進行迭代求解,得到修正后的參數(shù)值,將修正后的各參數(shù)值代回有限元模型進行計算,最終得到修正后有限元模型.
修正前后參數(shù)值及相對誤差見表2,靜動力響應(yīng)數(shù)據(jù)比較表見表3.
表2 參數(shù)修正前后比較表
表3 參數(shù)修正前后響應(yīng)比較表
由表2~3可知:幾何參數(shù)修正后整體較參數(shù)終值小,質(zhì)量密度修正后較參數(shù)終值大,分析認為這是由于初始有限元模型中未考慮預(yù)應(yīng)力鋼束的剛度、橋面鋪裝的剛度影響,各參數(shù)修正后誤差最大為2.09%;靜力響應(yīng)修正后整體較終值響應(yīng)大,動力響應(yīng)修正后整體較終值響應(yīng)小,修正效果較為明顯.
為直觀反應(yīng)模型修正結(jié)果,靜動力響應(yīng)值修正前后誤差見圖2.各響應(yīng)修正前后誤差均有大幅度縮小,最低誤差降至1.31%,表明基于改進雙鏈量子遺傳算法的有限元模型修正技術(shù)具有良好的實際意義和實用價值.
圖2 靜動響應(yīng)修正前后誤差比較圖
文中基于量子遺傳算法及響應(yīng)面法的有限元模型修正,并改進量子遺傳算法,實現(xiàn)了對懸臂式工字鋼梁的模型修正,修正后各響應(yīng)誤差有明顯降低、修正后參數(shù)接近參數(shù)終值,修正效果良好,并驗證了采用改進DCQGA算法對參數(shù)迭代求解的可行性.
有限元模型修正的效率及準確性很大程度上取決于算法的性能,量子計算的應(yīng)用目前還僅僅處于借鑒其思想的仿真階段,遠沒有挖掘出其真正的潛力.后續(xù)研究將進一步開發(fā)量子計算的能力并與其它優(yōu)化算法相結(jié)合,構(gòu)造出性能更加優(yōu)越的算法.