基于速度積分的偽距定位參數(shù)平滑方法

趙書圓 代曉巍 王召剛

（中國人民解放軍91550 部隊(duì) 遼寧省大連市 116023）

偽距是衛(wèi)星導(dǎo)航測量的主要測元之一，其特點(diǎn)是魯棒性強(qiáng)、易實(shí)現(xiàn)、觀測誤差相對較大。研究精度更高的偽距定位參數(shù)處理方法具有實(shí)際應(yīng)用意義。差分解算后，偽距定位中的誤差主要為隨機(jī)誤差，單純采用傳統(tǒng)平滑方法可以降低隨機(jī)誤差的影響，但較依賴平滑窗口的選擇。本文利用位置與速度的測元匹配性，提出一種基于速度積分的偽距定位參數(shù)平滑方法，利用多普勒測速精度較高的特點(diǎn)，積分窗口內(nèi)速度參數(shù)，分離接收機(jī)載體的運(yùn)動(dòng)趨勢，利用穩(wěn)健回歸平滑方法處理平穩(wěn)變化部分，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)趨勢計(jì)算窗口中心的定位平滑結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法可有效降低偽距定位結(jié)果中的隨機(jī)誤差，受窗口選擇影響較小，處理精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法，具備實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。

1 偽距定位參數(shù)平滑方法

衛(wèi)星導(dǎo)航定位的觀測量包括偽距、載波相位和多普勒觀測量三種，其中偽距、載波相位為測距觀測量，多普勒為測速觀測量。偽距指由接收機(jī)利用偽隨機(jī)碼相關(guān)運(yùn)算獲取的衛(wèi)星到接收機(jī)的距離，觀測精度低于載波相位。但由于載波相位定位需要固定整周模糊度，在載體高動(dòng)態(tài)情況下魯棒性較差，而偽距定位魯棒性強(qiáng)、易實(shí)現(xiàn)，因此偽距定位目前仍被廣泛采用。差分解算扣除了偽距定位結(jié)果中的系統(tǒng)誤差，剩余誤差主要是由碼相關(guān)誤差導(dǎo)致的隨機(jī)誤差，需采用平滑方法進(jìn)行抑制。處理三維空間連續(xù)序列點(diǎn)的常用平滑方法主要包括：Savitzky-Golay 平滑（SG 平滑）、局部加權(quán)回歸平滑、穩(wěn)健回歸平滑。

1.1 Savitzky-Golay平滑

SG 平滑算法是一種在時(shí)域內(nèi)基于局域多項(xiàng)式最小二乘擬合的平滑算法。設(shè)平滑窗口的寬度為2m+1，多項(xiàng)式階數(shù)為k-1，各測量點(diǎn)為{x}，測量值為{y}，i=-m,-m+1…,m，則可將任一y表示為關(guān)于x的k-1 階多項(xiàng)式與誤差之和：

其中a為多項(xiàng)式系數(shù)，j=0,…,k-1。SG 平滑算法利用最小二乘法估計(jì)多項(xiàng)式系數(shù)，再用多項(xiàng)式計(jì)算y，得到窗口內(nèi)的平滑結(jié)果，本質(zhì)上是一種加權(quán)平均的平滑算法。

1.2 局部加權(quán)回歸平滑

局部加權(quán)回歸平滑（LOESS）是時(shí)序數(shù)據(jù)處理的常用方法之一，具體流程為：

Step1 輸入待平滑數(shù)據(jù)序列{x}，其中i=1,2,…,N，設(shè)平滑窗口長為L；

Step2 當(dāng)i=k 時(shí)，選取以x為中心，包含L 個(gè)歷元的局部數(shù)據(jù)，作為待平滑數(shù)據(jù)，以與窗口中心的距離為參數(shù)計(jì)算距離權(quán)值，利用加權(quán)最小二乘解算多項(xiàng)式回歸參數(shù)，給出窗口中心x的平滑結(jié)果 ；

Step3 遍歷k，得到局部加權(quán)回歸平滑結(jié)果 。

LOESS 在SG 平滑算法的基礎(chǔ)上引入了距離權(quán)值的概念，本質(zhì)上認(rèn)為距離待平滑點(diǎn)越近的數(shù)據(jù)點(diǎn)相似程度越高，這也符合連續(xù)序列點(diǎn)的直觀特征，可以有效避免SG 平滑產(chǎn)生的欠擬合問題。但該算法受處理窗口內(nèi)野值的影響較大，易產(chǎn)生過擬合。

1.3 穩(wěn)健回歸平滑

穩(wěn)健回歸平滑（RLOESS）是LOESS 的改進(jìn)方法，在LOESS 基礎(chǔ)上引入了穩(wěn)健準(zhǔn)則，計(jì)算LOESS 平滑后的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差值，以差值絕對值中值的6 倍為判決門限，重新計(jì)算歷元的穩(wěn)健權(quán)值，差值超過判決門限則歷元穩(wěn)健權(quán)值為0，最后將穩(wěn)健權(quán)值與距離權(quán)值作為新權(quán)值再進(jìn)行加權(quán)回歸。

如圖1 所示，RLOESS 的具體流程為：

圖1： RLOESS 算法流程圖

Step1 輸入待平滑數(shù)據(jù)序列{x}，其中i=1,2,…,N，設(shè)平滑窗口長為L；

Step2 當(dāng)i=k 時(shí)，選取以x為中心，包含L 個(gè)歷元的局部數(shù)據(jù)，作為待平滑數(shù)據(jù)，以與窗口中心的距離為參數(shù)計(jì)算距離權(quán)值，利用加權(quán)最小二乘解算多項(xiàng)式回歸參數(shù)，給出窗口中心x的平滑結(jié)果 ；

Step3 遍歷k，得到第一次平滑結(jié)果 ；

Step4 仍選取以x為中心，包含L 個(gè)歷元的待平滑數(shù)據(jù)，計(jì)算窗口內(nèi)待平滑數(shù)據(jù)序列與第一次平滑結(jié)果的差值；

Step5 計(jì)算判決門限M，大小為差值絕對值中值的6 倍；

Step6 計(jì)算穩(wěn)健權(quán)值，差值絕對值大于M 的歷元穩(wěn)健權(quán)值為0，差值絕對值越小，穩(wěn)健權(quán)值越大；

Step7 計(jì)算最終權(quán)值，大小等于穩(wěn)健權(quán)值與距離權(quán)值之積，再利用加權(quán)最小二乘解算多項(xiàng)式回歸參數(shù)，給出窗口中心x的穩(wěn)健回歸平滑值 ；

Step8 遍歷k，得到穩(wěn)健回歸結(jié)果 。

實(shí)際計(jì)算表明，當(dāng)存在野值時(shí)，RLOESS 的穩(wěn)健準(zhǔn)則可以有效識別窗口內(nèi)的野值，并通過將野值的穩(wěn)健權(quán)值賦為0，從而消除了野值對窗口內(nèi)平滑結(jié)果的影響，在兼顧了LOESS 不易欠擬合優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，避免了平滑算法被野值干擾，提升了算法的魯棒性。

2 本文方法

2.1 傳統(tǒng)平滑方法的局限性

傳統(tǒng)平滑方法主要是從定位參數(shù)本身統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，并不關(guān)注待平滑參數(shù)的內(nèi)在特征。當(dāng)載體高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，數(shù)據(jù)的平滑效果與窗口的選擇有很大的關(guān)系。當(dāng)窗口選擇較大時(shí)，由于未采用先驗(yàn)信息，直接平滑會(huì)使運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)失真，影響數(shù)據(jù)處理的精度，如圖2 中4s 窗口平滑結(jié)果所示。當(dāng)窗口選擇較小時(shí)，“拐點(diǎn)”處的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)特征雖然被保留下來，但平穩(wěn)段的平滑效果較差，平滑結(jié)果仍受隨機(jī)誤差影響，存在許多“鋸齒”狀突起，如圖3 中0.4s 窗口平滑結(jié)果所示。

圖2： 4s 窗口平滑結(jié)果示意圖

圖3： 0.4s 窗口平滑結(jié)果示意圖

通過上述分析可知：傳統(tǒng)平滑方法僅適用于平穩(wěn)變化的序列數(shù)據(jù)，當(dāng)定位參數(shù)變化非平穩(wěn)時(shí)，無論怎樣調(diào)整窗口大小，都難以取得理想的平滑效果。但如果可以通過先驗(yàn)信息分離定位參數(shù)的變化趨勢，將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，再利用平滑方法抑制隨機(jī)誤差，平滑處理的效果將大大提高。

2.2 衛(wèi)星導(dǎo)航定位測速原理

在衛(wèi)星導(dǎo)航測量中，定位與測速分別通過偽距、多普勒兩種不同測元解算得到。

定位參數(shù)解算的主要依據(jù)為偽距觀測方程：

圖4： 差分定位原理示意圖

上式稱為差分觀測方程，等式左側(cè)為差分改正后的偽距觀測量，等式右側(cè)傳播誤差與衛(wèi)星鐘差通過差分改正被消去，聯(lián)立接收機(jī)對至少4 顆衛(wèi)星的差分觀測方程即可解算接收機(jī)的定位參數(shù)。通過上式可知，碼相關(guān)隨機(jī)誤差是定位誤差中的主要部分，在工程實(shí)踐中，隨機(jī)誤差的方差一般不超過5m。

多普勒觀測量表征的是衛(wèi)星與接收機(jī)間徑向相對移動(dòng)產(chǎn)生的載波相位頻移，在實(shí)際觀測中，將相鄰兩個(gè)歷元的載波相位之差作為多普勒觀測值。速度參數(shù)解算的主要依據(jù)為多普勒觀測方程：

在不考慮傳播路徑及硬件帶來的誤差時(shí)，載波相位觀測本身的精度可達(dá)毫米級；綜合各種誤差影響，載波相位定位的精度通常也可達(dá)到分米至厘米級。由于載波相位觀測值可認(rèn)為是多普勒觀測值的積分，若對解算得到的速度參數(shù)進(jìn)行積分，在不考慮積分常數(shù)的前提下，其結(jié)果中的誤差應(yīng)與載波相位定位結(jié)果中的誤差量級相當(dāng)，遠(yuǎn)低于偽距定位結(jié)果中的隨機(jī)誤差。因此可將速度參數(shù)積分結(jié)果作為平滑窗口內(nèi)定位參數(shù)的高精度先驗(yàn)信息，在平滑前去除參數(shù)中的運(yùn)動(dòng)趨勢，避免運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)特征被平滑影響而失真。但由于積分運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生累計(jì)誤差，因此還需要對窗口內(nèi)積分結(jié)果的精度進(jìn)行具體分析。

2.3 速度積分結(jié)果精度分析

設(shè)起始時(shí)刻為t，時(shí)間間隔為Δ t，則定位x 與速度v 的關(guān)系為：

由式（11）可知，積分結(jié)果的精度不超過測速精度與窗口時(shí)長之積。由于多普勒屬于相對觀測量，不存在整周模糊度和周跳，魯棒性較強(qiáng)，差分解算后的測速精度可達(dá)0.1m/s。設(shè)窗口為4s，則積分結(jié)果的精度在理論上遠(yuǎn)高于GPS 偽距定位的理論精度，積分產(chǎn)生的累計(jì)誤差可忽略不計(jì)。

2.4 基于速度積分的偽距定位參數(shù)平滑方法

根據(jù)以上分析可知，在偽距定位參數(shù)平滑中引入速度積分作為先驗(yàn)信息可有效提高偽距定位參數(shù)平滑效果，具體處理流程為：

Step1 輸入待平滑定位參數(shù)序列{x}，以及對應(yīng)的速度參數(shù)序列{v}，其中i=1,2,…,N，設(shè)平滑窗口長為L；

Step2 當(dāng)i=k 時(shí)，選取以x為中心，包含L 個(gè)歷元的局部數(shù)據(jù)，作為待平滑數(shù)據(jù)，對對應(yīng)的速度參數(shù)進(jìn)行積分，得到窗口內(nèi)載體的運(yùn)動(dòng)趨勢；

Step3 將窗口內(nèi)待平滑定位參數(shù)減去速度參數(shù)積分值得到去趨勢結(jié)果，再4 利用RLOESS 對去趨勢結(jié)果進(jìn)行平滑，得到窗口內(nèi)各歷元的平滑值；

Step4 將x對應(yīng)的速度參數(shù)積分值與平滑值相加，得到基于速度積分的定位參數(shù)平滑結(jié)果；

采用本文方法平滑后的定位參數(shù)如圖5 中紅色數(shù)據(jù)點(diǎn)所示。

圖5： 本文方法處理前后定位參數(shù)對比示意圖

對比圖1 圖2，本文方法的處理結(jié)果在平滑窗口為同樣為4s 的情況下，保留了定位參數(shù)變化非平穩(wěn)處的運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)特征，同時(shí)在平穩(wěn)段平滑效果也與傳統(tǒng)方法相當(dāng)。以下采用實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文方法對偽距定位數(shù)據(jù)的平滑效果。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本實(shí)驗(yàn)以某載體運(yùn)動(dòng)軌跡的偽距差分定位參數(shù)為例，驗(yàn)證本文方法的數(shù)據(jù)平滑效果。以某設(shè)備為基準(zhǔn)站，對發(fā)射系下三個(gè)方向的偽距差分定位參數(shù)進(jìn)行解算，再將解算結(jié)果分別采用SG 平滑、LOESS、RLOESS 及本文方法進(jìn)行平滑，平滑窗口大小為4s。采用雷達(dá)、光測等其他多類高精度觀測手段的數(shù)據(jù)融合結(jié)果作為參考值，分別計(jì)算平滑前后載體運(yùn)動(dòng)軌跡定位參數(shù)的均方根誤差，結(jié)果如表1 所示。

表1： 不同平滑方法處理結(jié)果均方根誤差（單位：米）

分析表中結(jié)果可知：對比原始數(shù)據(jù)，文中方法處理結(jié)果精度提升明顯，剩余殘差平均僅為原始數(shù)據(jù)殘差的14.3%；對比其他方法，文中方法利用速度積分得到了定位參數(shù)變化趨勢，保證了運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)特征不受平滑窗口內(nèi)平穩(wěn)變化部分影響，平滑效果受窗口選擇影響較小，總體精度優(yōu)于SG 平滑，對比LOESS 及RLOESS 方法精度提升了20%～30%，平滑效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)平法方法，更適用于偽距差分定位數(shù)據(jù)的平滑處理。

4 結(jié)論

本文分析了傳統(tǒng)平滑方法處理偽距定位數(shù)據(jù)的局限性，提出了一種基于速度積分的偽距定位參數(shù)平滑方法。該方法在保證運(yùn)動(dòng)細(xì)節(jié)部分精度的同時(shí)，可有效降低隨機(jī)誤差及野值對定位參數(shù)的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文中方法對定位參數(shù)精度的提升效果明顯，同時(shí)處理精度也優(yōu)于傳統(tǒng)方法。該方法利用了衛(wèi)星導(dǎo)航數(shù)據(jù)中各測元的精度特性，將數(shù)值積分、回歸平滑、穩(wěn)健估計(jì)等方法應(yīng)用到偽距定位參數(shù)處理工作中，取得了良好的效果，具備實(shí)際的工程應(yīng)用價(jià)值。