具有時(shí)滯與擴(kuò)散項(xiàng)的一類捕食者模型的時(shí)空動(dòng)力學(xué)研究

曹姝萍

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 陜西省延安市 716000）

1 引言

自然界存在很多的正負(fù)反饋機(jī)制，這些反饋機(jī)制相互耦合形成的很多非線性特性使得生活中存在大量的斑圖，如如空中云朵，動(dòng)物體表花紋等。這些斑圖的形成不能用熱力學(xué)原理解釋，故人們選擇從動(dòng)力學(xué)角度對(duì)其形成的原因及規(guī)律進(jìn)行研究，形成了斑圖動(dòng)力學(xué)。斑圖動(dòng)力學(xué)的研究開(kāi)始于Turing 對(duì)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。他在論文《形態(tài)形成的化學(xué)基礎(chǔ)》中，從數(shù)學(xué)角度給出了反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing失穩(wěn)導(dǎo)致Turing 斑圖的產(chǎn)生，即穩(wěn)定均勻態(tài)會(huì)在某些條件下失穩(wěn)，并自發(fā)產(chǎn)生空間定態(tài)圖紋。

近幾十年，反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中有關(guān)斑圖的分岔理論研究方法，已經(jīng)取得了很大的發(fā)展。通常，非線性的反應(yīng)擴(kuò)散方程在某些控制參數(shù)的誘導(dǎo)下，會(huì)使得初始處于均勻穩(wěn)定狀態(tài)的系統(tǒng)發(fā)生一定的分岔，從而形成空間或者時(shí)空斑圖形態(tài)。生物種群模型的多樣性為斑圖研究提供了可能性。Segel 等[首次將斑圖動(dòng)力學(xué)理論應(yīng)用到種群研究中，考慮了橈腳類食草動(dòng)物-浮游植物相互耗散的不穩(wěn)定性。近些年來(lái)對(duì)捕食者-食餌模型中的斑圖研究越來(lái)越受到人們的關(guān)注。Wu 等考慮了一類具有 Michaelis-Menten 功能響應(yīng)的捕食者 - 獵物模型，通過(guò)規(guī)范型和中心流形定理確定了該模型在一定參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處可以發(fā)生超臨界或亞臨界 Hopf 分岔。 Upadhyay等研究了具有 Holling 型函數(shù)響應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)的時(shí)空斑圖，考慮了其 Turing 分岔及其不穩(wěn)定性。Cao 等通過(guò)研究一類具有Crowley--Martin 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型的Turing 不穩(wěn)定性、Hopf 分岔及Hopf-Turing分岔，發(fā)現(xiàn)此類模型有瞬態(tài)，雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)模式等豐富的時(shí)空模態(tài)。

Beddington 與DeAngelis等首次提出一類帶有Beddington-DeAngelis(B-D) 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型，充分考慮了捕食者之間的競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。Ghorai 等給出了一類具有相互干擾的B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者-食餌模型在共存平衡點(diǎn)附近的Turing 不穩(wěn)定存在的條件，并利用數(shù)值模擬得到了該模型的斑點(diǎn)、條紋及其混合斑圖形態(tài)。Zuo 等[利用中心流形和正則方程，理論推導(dǎo)了在時(shí)滯下 B-D 捕食者模型的 Hopf 分岔周期解的方向和穩(wěn)定性條件。Zhang通過(guò)弱非線性方法給出了一類具有B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型的振幅方程，通過(guò)對(duì)Turing 不穩(wěn)定性及振幅方程穩(wěn)定性的分析，發(fā)現(xiàn)該模型具有H六邊形斑圖、條狀斑圖，及H六邊形與H六邊形混合狀態(tài)。Huang 等基于耦合映射格子模型對(duì)一類具有B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的離散捕食者模型進(jìn)行了理論分析和數(shù)值模擬，數(shù)值模擬得到了豐富的各種時(shí)空模式，包括規(guī)則和不規(guī)則的斑點(diǎn)、條紋、迷宮、間隙、馬賽克、螺旋、圓形以及介于兩者之間的中間模式。

時(shí)滯在大多數(shù)系統(tǒng)中廣泛存在，如在傳染病學(xué)模型中，一個(gè)感染了某些疾病的人并不會(huì)立即出現(xiàn)癥狀，得過(guò)一段潛伏期才會(huì)發(fā)作，如狂犬病、禽流感、埃博拉病毒等。時(shí)滯會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性給系統(tǒng)帶來(lái)更多的波動(dòng)，而擴(kuò)散通常在時(shí)空系統(tǒng)中起著穩(wěn)定的作用，考慮其對(duì)系統(tǒng)的非均勻空間格局的影響至關(guān)重要。故本文主要考慮一類B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型（B-D 模型）在時(shí)滯影響下 Turing 分岔附近的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為。

2 時(shí)滯B-D模型及穩(wěn)定性分析

本文考慮一類帶有 B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型。

2.1 模型（1-2）的穩(wěn)定性分析

2.2 Turing分岔?xiàng)l件

3 數(shù)值模擬

由1.2 節(jié)的穩(wěn)定性分析可得模型（1-2）的參數(shù)α、β 與時(shí)滯τ 的關(guān)系，如圖1 所示，Turing 分岔線（黑線）和受不同時(shí)滯影響下的Hopf 分岔線將整個(gè)參數(shù)區(qū)域分成了四個(gè)區(qū)域，其中:1 表示Turing 區(qū)域；2 表示均勻定態(tài)解穩(wěn)定；3 表示Hopf-Turing 區(qū)域，均勻定態(tài)解不穩(wěn)定，系統(tǒng)會(huì)受到Turing 分岔及Hopf 分岔的共同影響；4 表示Hopf 區(qū)域，系統(tǒng)受到Hopf分岔影響從空間均勻態(tài)發(fā)生時(shí)間周期震蕩相變。由圖1 可得時(shí)滯的引入加大了Turing 不穩(wěn)定區(qū)域，影響了模型（1-2）在Hopf-Turing 區(qū)域的斑圖形態(tài)，對(duì)Hopf 區(qū)域影響較小。

圖1： 不同時(shí)滯下模型（1-2）分岔

下面采用MATLAB 軟件模擬給出模型（1-2）中的Turing 斑圖。這里初值選取在E處作隨機(jī)小擾動(dòng)的值，方程采用歐拉向前差分格式及周期邊界。時(shí)間步長(zhǎng) ，空間步長(zhǎng)h=1.25，空間網(wǎng)格劃分為100×100。由于反應(yīng)物u與v 的空間斑圖類似，故僅給出變量u 的斑圖形成，并且一些參數(shù)取值固定：b=0.9，c=0.6，D=0.01，D=1。

圖2 給出了不同α 和 β 值下變量u 的斑圖形態(tài)，由圖1(a-d)中得到當(dāng)α=0.095 時(shí)，隨著β 值的增大，u 的Turing斑圖從熱點(diǎn)到六邊形斑圖到六邊形與條形斑圖混合斑圖，最后條形斑圖完全占據(jù)空間。圖2(e-f)給出了當(dāng)α=0.2 時(shí)，不同β 值下u 產(chǎn)生四邊形斑圖和冷點(diǎn)斑圖。圖2 展示了系統(tǒng)在Turing 區(qū)域豐富的斑圖形態(tài)。

圖2： 模型（1-2）在不同參數(shù)下u 的斑圖形態(tài)

圖3 給出了模型(1-2)在Turing 區(qū)域內(nèi)不同τ 值下u 隨時(shí)間變化的斑圖形態(tài)，通過(guò)圖3(a)與圖3(c)的對(duì)比，圖3(b)與圖3(d)的對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)時(shí)滯不改變模型（1-2）斑圖的結(jié)構(gòu)，但會(huì)影響Turing 斑圖生成的進(jìn)程。

圖3： 當(dāng)α=0.2,β=0.07 時(shí)不同τ 值下u 隨時(shí)間演化的Turing 斑圖

圖4 給出了參數(shù)α 與β 受時(shí)滯τ 的影響在不同區(qū)域下的斑圖。由圖4 得時(shí)滯會(huì)影響均勻定態(tài)解的穩(wěn)定性。給定α=0.1，β=0.018，當(dāng)τ=0 時(shí)，系統(tǒng)處于圖1 中的Hopf-Turing區(qū)域，當(dāng)τ=15 時(shí)，系統(tǒng)處于Turing 區(qū)域。圖4(a)與(b)中的斑圖形態(tài)相同，說(shuō)明在Hopf-Turing 區(qū)域中Turing 不穩(wěn)定占主導(dǎo)地位。

圖4： 當(dāng)α=0.1,β=0.018 時(shí)不同τ 值下u 的Turing 斑圖形態(tài)

4 總結(jié)和展望

本章主要研究了時(shí)滯對(duì)具有 B-D 功能響應(yīng)函數(shù)的捕食者模型在 Turing 分岔區(qū)域附近的時(shí)空動(dòng)力學(xué)行為的影響。通過(guò)穩(wěn)定性分析確定了Turing 斑圖生成的參數(shù)條件，給出了參數(shù)空間α 與β 參數(shù)空間下系統(tǒng)的分岔分布空間。通過(guò)數(shù)值模擬，首先給出了無(wú)時(shí)滯下模型在Turing 區(qū)域各種斑圖形態(tài)，其次通過(guò)給出不同 值下 隨時(shí)間變化的斑圖形態(tài)，說(shuō)明了時(shí)滯不改變模型斑圖的結(jié)構(gòu)形態(tài)，僅影響斑圖生成的進(jìn)程。進(jìn)一步通過(guò)固定參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)時(shí)滯會(huì)影響模型的穩(wěn)定性。最后發(fā)現(xiàn)模型在Hopf-Turing 區(qū)域中受Turing 不穩(wěn)定的影響也會(huì)產(chǎn)生Turing 斑圖，需要進(jìn)一步對(duì)此區(qū)域進(jìn)行分析討論。