享受數(shù)學(xué)詩意美

摘 要：高中學(xué)生最大的學(xué)習(xí)問題是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的缺失。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化是一種提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的嘗試。數(shù)學(xué)詩意美對高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣能產(chǎn)生較大的影響，詩詞中所蘊(yùn)含的美好情感、數(shù)量形狀、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法等，都會(huì)激發(fā)高中學(xué)生的巨大興趣，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)詩意美中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識方法和概念原理提高自身的學(xué)習(xí)能力，具有潤物無聲的效果。學(xué)生可在文理兼修中追求詩意美、數(shù)學(xué)美。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 詩意美 DOI：10.12278/j.issn.1009-7260.2022.06.015

一、高中生現(xiàn)狀分析

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中困難重重，有知識體系方面的難度，比如函數(shù)性質(zhì)、立體幾何、圓錐曲線、排列組合等知識;有知識邏輯嚴(yán)密性方面的難度，比如算法、導(dǎo)數(shù)等知識;而最大的障礙是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的缺失。讓高中生逐漸喜歡數(shù)學(xué)并且形成較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教育工作者需要探究和解決的重要問題。

二、數(shù)學(xué)詩意美的理解

張奠宙先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的美學(xué)教育有以下4個(gè)層次：美觀、美好、美妙、完美。無獨(dú)有偶，筆者認(rèn)為每個(gè)同學(xué)必須要經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四種情緒境界，在長期數(shù)學(xué)教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的狀態(tài)，概括引用四個(gè)動(dòng)詞和四句詩詞來描述這四種境界：

第一境界：遭受。一川碎石大如斗，隨風(fēng)滿地石亂走。

第二境界：忍受。此情無計(jì)可消除，才下眉頭卻上心頭。

第三境界：感受。忽如一夜春風(fēng)來，千樹萬樹梨花開。

第四境界：享受。悠然心會(huì)，妙處難與君說。

數(shù)學(xué)與詩詞本不是一家，數(shù)學(xué)是抽象思維活動(dòng)，詩詞是闡述心靈的文學(xué)藝術(shù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能恰到好處地將詩詞引用到課堂上，能夠幫助學(xué)生理解概念，掌握原理，提高解題效率。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)際，簡單梳理在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)的詩意美。

三、數(shù)學(xué)詩意美的類型及簡單分析

（一）詩詞蘊(yùn)含美好情感

1.百歲山廣告“水中貴族百歲山”

百歲山廣告參考了1650年發(fā)生在斯德哥爾摩街頭的一件事，52歲的笛卡爾邂逅了18歲瑞典公主克里斯汀。笛卡爾落魄又不愿接受別人施舍，每天只是拿著紙筆演算數(shù)學(xué)題，被路過的公主克里斯汀發(fā)現(xiàn)，隨后她得知笛卡爾有過人的數(shù)學(xué)天賦。不久笛卡爾收到國王邀請，成為公主的數(shù)學(xué)教師。在隨后的日子里笛卡爾和克里斯汀相愛了，國王驅(qū)逐并最終處死了笛卡爾，在笛卡爾死后，克里斯汀從國王扣留的回信中發(fā)現(xiàn)了笛卡爾寫給她的情書中有r=a（1-sinθ）的數(shù)學(xué)坐標(biāo)方程，這就是著名的“心形線”。她終于讀懂了笛卡爾對她至死不渝的愛情。

在這個(gè)故事里，廣告詞“水中貴族百歲山”、以形表愛的著名圖案“心形線”、對“愛情價(jià)更高”的絕妙詮釋，無不顯示出美妙而偉大的愛情力量，這是真正意義上的數(shù)學(xué)詩意美，不僅能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，更會(huì)給學(xué)生帶來美的享受體驗(yàn)。

2.如泣如訴的情詩——?dú)W拉公式

歐拉公式：eiπ+1=0

心中既有i，何故不表白？

夢里合如1，醒時(shí)各分離。

春去春又來，e人空等待。

忍看花凋0，不是浪漫π。

數(shù)學(xué)插上了聯(lián)想的翅膀，歐拉公式竟變成如泣如訴的情詩。詩中0、1、e、i、π等極具魅力內(nèi)涵的數(shù)字或字母，在形式上若即若離，以諧音巧妙表達(dá)悲戚的感情。在冪的形式中，指數(shù)與底數(shù)的層級錯(cuò)位形象表達(dá)“e人空等待”的無奈。而“忍看花凋0”一語雙關(guān)，既突出了公式左重右輕、化繁為簡的走向特點(diǎn)，又突出從過程的煎熬到結(jié)果的不忍。在本詩中，學(xué)生能體會(huì)到諸如公式的內(nèi)容與形式、過程與結(jié)果，巧妙的諧音、豐富的聯(lián)想。尤其是“聯(lián)想”恰好體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)抽象”“直觀想象”兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二）詩詞蘊(yùn)含數(shù)量形狀

1.著名的百羊問題

甲趕羊群逐草茂，乙拽一羊隨其后。戲問甲及一百否？甲云所說無差謬。

所得這般一群湊，再添半群小半群。得你一只來方湊，玄機(jī)奧妙誰猜透？（《算法統(tǒng)宗》程大位）

該詩是著名的百羊問題。意思是一個(gè)牧羊人在放牧，有人牽著一頭羊從后面趕來，問牧羊人“你這群羊有100只嗎？”牧羊人說：“如果我再有這樣一群羊，加上這群羊的一半又一半，連同你的這只羊，就剛好滿100只，請問這群羊有多少只？”

現(xiàn)在來看，這是一道非常簡單的數(shù)學(xué)題，設(shè)這群羊有x只，根據(jù)題意可得：

2x+x+x+1=100，解得x=36。

數(shù)學(xué)有三種語言：文字語言、圖形語言、符號語言。熟練進(jìn)行數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化，是學(xué)生應(yīng)具備的基本素質(zhì)。本詩反映出古人表達(dá)數(shù)學(xué)問題時(shí)語言的高度概括，能較好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)實(shí)際問題的閱讀抽取能力、文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化的能力，也考查了具有四兩撥千斤功效的方程思想。題目不難，意義重大。

2.數(shù)學(xué)點(diǎn)線面體

（1）兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。（杜甫《絕句》）

全詩一句一景，對草堂周圍明媚秀麗的春景進(jìn)行了細(xì)致入微的刻畫。從點(diǎn)線面體的遞進(jìn)緯度，勾畫出四幅獨(dú)立又相關(guān)的冬日和諧的立體畫卷。把數(shù)學(xué)中的點(diǎn)線面體刻畫得淋漓盡致。

（2）大漠孤煙直，長河落日圓。（王維《使至塞上》）

詩中既有直線“孤煙”和平面“大漠”的線面垂直關(guān)系，又有平面視覺的落日圓和地平線相離、相切、相交的直線和圓的位置關(guān)系，從中可以讓學(xué)生形象地理解直線和圓的位置關(guān)系、理解線面垂直關(guān)系。詩中有畫，形神兼?zhèn)洹?/p>

3.時(shí)間與空間

前不見古人，后不見來者;念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下。（陳子昂《登幽州臺(tái)歌》）

詩人站在歷史長河中，以自己為原點(diǎn)畫出一維數(shù)軸，瞻前顧后刻畫了時(shí)間綿長，天地悠悠刻畫了空間遼闊，呈現(xiàn)出三維立體幾何空間。全詩將時(shí)間和空間放在一起思考，能讓學(xué)生感受到自然的偉大，個(gè)體的渺小，能對大自然產(chǎn)生敬畏之心，以至于愴然涕下。同一首詩里，時(shí)間與空間的概念，有限與無限的概念，一維到三維的遞進(jìn)，都呈現(xiàn)在眼前，體現(xiàn)出詩人陳子昂是時(shí)空構(gòu)圖方面的高手。

4.陰陽平衡對稱美

空山新雨后，天氣晚來秋。明月松間照，清泉石上流。（王維《山居秋暝》）

王維為我們勾畫出一幅美妙的太極圖，表達(dá)了你中有我的和諧之美與數(shù)學(xué)的對稱美，這首詩是在表達(dá)秋天雨后傍晚清新濕潤的清爽氣候，同時(shí)，大自然安靜和諧太極圖的中心對稱美，更具有哲學(xué)層面的禪意。

（三）詩詞蘊(yùn)含數(shù)學(xué)概念

1.極限概念

（1）故人西辭黃鶴樓，煙花三月下?lián)P州。孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流。（李白《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》）

本詩第三句“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”描述了隨著時(shí)間的推移，好友的船漸漸地消失在海平面上，由大到小最后徹底消失。其實(shí)那船還依然存在于江面，只是已不在李白的視野中，比較形象地描述了極限的概念。該句已經(jīng)成為廣大教師在極限教學(xué)中最常引用的詩句。

（2）無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來。（杜甫《登高》）

該詩中，前一句是“具象無限”，“所有的落木”這個(gè)看得見摸得著的具象無限被我們一覽無余。而后一句是“抽象無限”，不可數(shù)名詞長江水沒完沒了“滾滾”而來，盡管到現(xiàn)在為止還是有限的，卻永遠(yuǎn)不會(huì)停止。兩種無限，卻都共同體現(xiàn)出悲壯的人文情懷。

2.整體與局部概念

天街小雨潤如酥，草色遙看近卻無。最是一年春好處，絕勝煙柳滿皇都。莫道官忙身老大，即無年少逐春心。憑君先到江頭看，柳色如今深未深。（杜甫《早春呈水部張十八員外二首》）

“草色遙看近卻無”這句詩相當(dāng)傳神和有哲理。整體的草色只能遙看，一旦近了，處于局部狀態(tài)，那種“草色”就“近看無”了。刻畫的是整體和局部的關(guān)系。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到審?fù)觐}無從下手的困惑。如果能將問題化整為零各個(gè)擊破“先到江頭看”，往往會(huì)打通思路，使問題迎刃而解。

3.零點(diǎn)存在定理

松下問童子，言師采藥去。只在此山中，云深不知處。（賈島《尋隱者不遇》）

作者從文學(xué)角度描述的是“云深不知處”的蒼茫意境，而從數(shù)學(xué)的角度來看，我們會(huì)更加關(guān)注隱者在山中的不確定性。他到底在哪里？云深不知處，但是他確實(shí)就在此山中，這不就是數(shù)學(xué)中的零點(diǎn)存在定理么？那個(gè)x0在哪里，我們不知道，但是的確存在于山中，存在于x0∈[a，b]中。想象一下，學(xué)生在這首詩的啟發(fā)下去理解零點(diǎn)存在定理，會(huì)更加形象直觀，豁然開朗。

4.詩詞表達(dá)函數(shù)

白日依山盡，黃河入海流。

欲窮千里目，更上一層樓。（王之渙《登鸛雀樓》）

這絕對是一首美妙的好詩，字字有詩意，句句是函數(shù)。讓學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的無限向往。下面以幾個(gè)具體的函數(shù)表達(dá)式來粗線條解讀詩句所描述的函數(shù)圖像。

白日依山盡。函數(shù)f（x）=│3sinx+│sinx，x∈[0，2π]的圖像猶如兩座高低不一的大山，太陽從兩山之間落下，描述了黃昏白日依山盡的畫面。

黃河入海流。函數(shù)f（x）=sin4x的圖像如滾滾波濤，奔騰入海流。

欲窮千里目。橢圓（x-2）2+y2≤1與圓（x-2）2+4y2=4的公共區(qū)域恰如一只眼睛，非常形象地勾畫出一只千里目。

更上一層樓。取整函數(shù)f（x）=[x]是左開右閉的分段函數(shù)，層層遞進(jìn)，更上一層樓。

在中學(xué)時(shí)代，教師除了給我們分析這首詩句的函數(shù)特點(diǎn)之外，還與學(xué)生一起追問，更上一層樓是多高？是我們現(xiàn)代人一層樓3米高么？不妨做個(gè)估算：

我們把地球近似看作球體，PA為視線，與球面相切于點(diǎn)A，于是OA⊥PA，根據(jù)題意PA=1000里=500公里，地球半徑為OA=R=6370公里，設(shè)樓高PB=x，則有（x+R）（x+R）2=R2+PA2，解得x=19.6公里。所以千里目就是19.6公里，按當(dāng)前每層樓3米計(jì)算，需要登上6534層樓的高度才可窮千里目。大家熟悉的上海東方明珠塔高468米，所以折合下來相當(dāng)于418個(gè)東方明珠塔的高度。可見古人的想象力之豐富，氣魄之龐大。

（四）詩詞蘊(yùn)含數(shù)學(xué)方法

1.反證法

若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽？（蘇軾《琴詩》）

該詩頗有特色，以疑問句形式表述，還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)反證法。如果“琴上有琴聲”是正確的，那么放在匣中應(yīng)該“鳴”?，F(xiàn)在既然不鳴，那么原來的假設(shè)“琴上有琴聲”就是錯(cuò)的。由此可見，人文的論辯和數(shù)學(xué)的證明，都需要遵循邏輯規(guī)則。數(shù)學(xué)解題中的反證法運(yùn)用的是正難則反的思路，若正面求解困難，則可以從結(jié)論的反面出發(fā)，先否定原結(jié)論不成立，然后順著否定的假設(shè)推理，直到推出矛盾，即意味著假設(shè)的結(jié)論不成立，于是原命題成立。

2.多角度看問題的轉(zhuǎn)化思想

橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。（蘇軾《題西林壁》）

詩中蘊(yùn)含著化歸與轉(zhuǎn)化思想、發(fā)散思維、一題多解;同時(shí)還蘊(yùn)含著三視圖。從不同視角看幾何體，會(huì)得到不同的直觀圖，即立體幾何三視圖。本詩前兩句給學(xué)生的啟示是要善于從不同視角看數(shù)學(xué)問題，可建構(gòu)一題多解策略，訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性。后兩句是說解題局部受阻時(shí)不妨從整體去把握，模糊地分析可能會(huì)有更好的效果。

3.變與不變的思想

朱雀橋邊野草花，烏衣巷口夕陽斜。舊時(shí)王謝堂前燕，飛入尋常百姓家。（劉禹錫《烏衣巷》）

滄海桑田，物是人非。舊時(shí)達(dá)官顯貴早已煙消云散，曾經(jīng)居住的地方也變成尋常老百姓的院落，可燕子卻不管這些，依舊飛回原來的棲息地筑巢。人生易老天難老，物質(zhì)是永恒不變的，所以要珍惜當(dāng)下。該詩還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的變與不變的思想，也就是常量與變量思想。

數(shù)學(xué)文化的魅力一旦滲入到學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)就會(huì)變得更加平易近人;當(dāng)數(shù)學(xué)詩意美一旦融入數(shù)學(xué)文化活動(dòng)中，詩詞中所蘊(yùn)含的美好情感、數(shù)量形狀、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法等，就會(huì)激發(fā)高中學(xué)生的巨大興趣。詩意的凝練寄托、巧妙寓意就會(huì)讓學(xué)生在感性中喜歡數(shù)學(xué)、實(shí)踐中理解數(shù)學(xué)、整體上熱愛數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 尤善培《追求詩意的數(shù)學(xué)課堂》，《基礎(chǔ)教育參考》2014年第1期。

[2] 鄭毓信、王憲昌、蔡仲《數(shù)學(xué)文化學(xué)》，四川教育出版社1999年。

[3] 張奠宙、木振武《數(shù)學(xué)美與課堂教學(xué)》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2001年第11期。

[4] 尤學(xué)慧《HPM視角下的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐》浙江師范大學(xué)2009碩士論文。

（賈會(huì)新，中學(xué)高級教師，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)文化）

（本文為作者主持的甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度一般課題“基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)文化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐研究”階段成果之一，立項(xiàng)號：GS[2021]0701）