基于Schwarz Christoffel變換的曲流河地質(zhì)建模方法

姬安召， 王玉風(fēng)， 張光生

(隴東學(xué)院能源工程學(xué)院， 慶陽 745100)

在油藏地質(zhì)建模時，如何根據(jù)現(xiàn)有的井位數(shù)據(jù)建立出符合曲流河沉積特征的地質(zhì)模型，這對油藏綜合地質(zhì)評價以及油藏數(shù)值模擬都具有重要意義。然而諸多學(xué)者從沉積學(xué)的角度對曲流河河道的變遷、點(diǎn)壩砂體內(nèi)部結(jié)構(gòu)解剖進(jìn)行了大量研究，這些方法將從半定量與半定性的方面重構(gòu)的曲流河沉積及演化的歷史，使得沉積相的分布情況與砂體的構(gòu)型與實(shí)際沉積演化情況更加吻合[1-2]。在建立曲流河地質(zhì)建模時，這些點(diǎn)壩砂體控制約束地質(zhì)模型的屬性數(shù)據(jù)，按照地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法預(yù)測儲層屬性數(shù)據(jù)。為此，諸多學(xué)者對常規(guī)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法進(jìn)行改進(jìn)，對精細(xì)構(gòu)筑曲流河地質(zhì)模型進(jìn)行研究。在建立曲流河砂體過程中，將多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法與砂體平面展布圖像相結(jié)合，曲流河砂體與夾層在訓(xùn)練圖像與旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)體的雙重因素約束情況下，重構(gòu)了曲流河夾層合理發(fā)育規(guī)模及產(chǎn)狀[3-4]。采取層次模擬、試驗(yàn)篩選、分級預(yù)測交互方式建立點(diǎn)壩砂體形態(tài)，然后利用多點(diǎn)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法建立了點(diǎn)壩內(nèi)部結(jié)構(gòu)模型[5-6]。上述這些研究成果對構(gòu)建曲流河形態(tài)及三維地質(zhì)模型這有重要的意義。

在Schwarz Christoffel變換方面，諸多學(xué)者做了大量的研究。文獻(xiàn)[7]研究了帶狀不規(guī)則封閉區(qū)域到規(guī)則矩形區(qū)域的映射關(guān)系，其核心解決方案需要借助中間的直線帶狀過渡區(qū)域來實(shí)現(xiàn)，這個直線帶狀過渡區(qū)域由復(fù)數(shù)域中的對數(shù)函數(shù)實(shí)現(xiàn)映射的，而規(guī)則矩形區(qū)域的映射函數(shù)是由復(fù)數(shù)域中的第一類雅可比橢圓函數(shù)實(shí)現(xiàn)的。在Schwarz Christoffel映射數(shù)值計算過程中，因?yàn)檫^渡的區(qū)域與實(shí)際區(qū)域，過渡區(qū)域與規(guī)則矩形區(qū)域差異形狀差異大，因次需要選擇合理的點(diǎn)位映射對應(yīng)關(guān)系，若點(diǎn)位選擇不恰當(dāng)，則會引起點(diǎn)位的集聚現(xiàn)象，甚至導(dǎo)致計算結(jié)果不收斂[8]。從帶狀不規(guī)則封閉區(qū)域到直線帶狀過渡區(qū)域映射計算時，需要計算積分方程，該積分方程的積分起點(diǎn)與積分終點(diǎn)均為奇異點(diǎn)，因此解決奇異積分的計算尤為關(guān)鍵，文獻(xiàn)[9]給出的解決方案，即采用高斯雅克比積分方法可以解決Schwarz Christoffel變換中的奇異積分計算問題。但高斯雅可比積分關(guān)鍵是要確定被積函數(shù)積分節(jié)點(diǎn)數(shù)量與積分節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，文獻(xiàn)[10-11]中對不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到直線帶狀過渡區(qū)域的Schwarz Christoffel映射關(guān)系的被積函數(shù)做了近似處理，得到了被積函數(shù)的形式，并給出了被積函數(shù)的節(jié)點(diǎn)及權(quán)值的計算方法。在不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到直線帶狀過渡區(qū)域的Schwarz Christoffel映射數(shù)值計算過程中，無論是邊界點(diǎn)位的映射計算問題，還是映射區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)位的映射計算問題，都要受到循黎曼原理約束，一般計算思路是將通過積分方程的計算得到映射點(diǎn)位，然后建立映射點(diǎn)位前后的對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，將該函數(shù)關(guān)系作為優(yōu)化的目標(biāo)來進(jìn)行求解。然而常規(guī)的優(yōu)化方法都是基于實(shí)變量函數(shù)而言，即使有約束條件，該約束條件可以轉(zhuǎn)化為線性或非線性的等式或不等式約束條件，而二維平面上的Schwarz Christoffel映射問題的約束條件不但要遵循黎曼對應(yīng)原理，還與計算過程中選擇已知點(diǎn)位有關(guān)，因次想要用常規(guī)的線性或非線性的等式或不等式約很困難，在解決多邊形區(qū)域到上半平面Schwarz Christoffel映射問題時，文獻(xiàn)[12]提出了遵循黎曼對應(yīng)原理的一維的實(shí)參數(shù)(上半平面x軸)與二維平面(多邊形區(qū)域)點(diǎn)位的對應(yīng)變化關(guān)系，文獻(xiàn)[13-14]在此基礎(chǔ)之上，建立復(fù)參數(shù)(二維平面)與實(shí)參數(shù)(一維空間點(diǎn)位的對應(yīng)距離)的變換關(guān)系，解決了邊界映射參數(shù)的約束問題。文獻(xiàn)[15]提出了實(shí)際井位與矩形中井位的映射計算方法，這為Schwarz Christoffel變換的建模方法提供的理論計算方法。雖然目前商用的地質(zhì)建模軟件Petrel中提供了主方向可變的變差函數(shù)分析方法，但需要事先確定變差函數(shù)的主方向，并且以固定的數(shù)據(jù)編碼格式輸入到軟件中。

借鑒前人的研究方法及思路，結(jié)合曲流河具有改道改向的特點(diǎn)，將曲流河輪廓看作不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域，通過Schwarz Christoffel變換方法，將曲流河河道的方向映射為規(guī)則區(qū)域矩形的長邊，垂直于河道方向映射為規(guī)則矩陣區(qū)域的短邊。應(yīng)用常規(guī)的地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)方法進(jìn)行矩形區(qū)域油藏物性參數(shù)的預(yù)測時，就可以減少實(shí)際曲流河中因河流改道改向而造成物性分布方向多樣性的影響。根據(jù)Schwarz Christoffel變換原理可知，該映射方法是可逆的，并且遵循保形映射，因此可以將矩形區(qū)域油藏模擬的基本參數(shù)，按照點(diǎn)位的對應(yīng)關(guān)系可以還原到實(shí)際的油藏區(qū)域。

1 基本映射數(shù)學(xué)模型

在復(fù)平面w(不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域)上有N(N>4)邊形，它的頂點(diǎn)與內(nèi)角分別為wb(k)和παk(k=1,2,…,N)。將直線帶狀過渡區(qū)域z邊界上的點(diǎn)映射到不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域w的Schwarz Christoffel映射公式[7]為

(1)

式(1)中：A為伸縮系數(shù)；C為映射中心，m；παk為復(fù)平面w多邊形內(nèi)角，rad；wb(k)為不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域邊界點(diǎn)，m；zb(k)為帶狀過渡區(qū)域邊界點(diǎn)，m；f(ξ)為分段函數(shù)，具體表達(dá)式為

(2)

式(2)中：i為虛數(shù)單位；M為直線帶狀過渡區(qū)域下邊界點(diǎn)的總個數(shù)，個；N為復(fù)平面w不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域頂點(diǎn)的總個數(shù)，個；θ+為規(guī)則直線帶狀過渡區(qū)域左邊的無限遠(yuǎn)點(diǎn)的角度，rad，則θ+=π；θ-為規(guī)則直線帶狀過渡區(qū)域右邊的無限遠(yuǎn)點(diǎn)的角度，rad，則θ-=-π。對于式(1)的奇異積分方程，本文中采用高斯雅克比積分方法進(jìn)行計算。

根據(jù)第一類橢圓函數(shù)關(guān)系，可以得出規(guī)則的矩形區(qū)域邊界到直線帶狀過渡區(qū)域邊界的Schwarz Christoffel映射關(guān)系，可表示[7]為

(3)

式(3)中：ub(k)為規(guī)則矩形區(qū)域邊界點(diǎn)位，m；zb(k)為直線帶狀過渡區(qū)域的邊界點(diǎn)位，m；l為第一類橢圓函數(shù)的映射模量；sn()為第一類橢圓函數(shù)。文獻(xiàn)[7-8]中提出了不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到矩形區(qū)域的Schwarz Christoffel映射的數(shù)值計算問題。

2 曲流河內(nèi)部點(diǎn)位與矩形區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)位的映射計算模型

在這個過程中，不規(guī)則帶狀封閉區(qū)域到直線帶狀過渡區(qū)域以及規(guī)則矩形到直線帶狀過渡區(qū)域的邊界的映射點(diǎn)、伸縮系數(shù)都必須是已知的。在上述條件下，才能根據(jù)不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)位計算對應(yīng)的規(guī)則矩形區(qū)域內(nèi)部的保形映射點(diǎn)位。具體計算關(guān)系可表示為

(4)

式(4)中：win(n)為距離wb(n)最近的不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域內(nèi)部的第n個點(diǎn)(win(n)為已知參數(shù))，m；zin(n)為直線帶狀過渡區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)位，是win(n)對應(yīng)的映射點(diǎn)位(zb(k)為已知參數(shù)，zin(n)為待求解參數(shù))，m；下標(biāo)n為多邊形內(nèi)部已知點(diǎn)的編號。zin(n)的求解公式為

(5)

式(5)中：uin(n)為規(guī)則矩形區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)位(uin(n)為待求解參數(shù))，m；l為映射模量。式(4)的數(shù)值計算與式(1)的計算方法類似，但文獻(xiàn)[7]中實(shí)參數(shù)與復(fù)參數(shù)的對應(yīng)關(guān)建立復(fù)雜，根據(jù)文獻(xiàn)[15]提供的方法，采用粒子群(partical swarm optimization, PSO)優(yōu)化算法[16-17]求解二維空間平面點(diǎn)位映射問題，避免復(fù)雜的實(shí)參數(shù)與復(fù)參數(shù)的復(fù)雜關(guān)系的建立。式(5)采用牛頓迭代法對雅克比橢圓函數(shù)的進(jìn)行計算。

3 映射模型的縮放比例問題

3.1 規(guī)則矩形區(qū)域頂點(diǎn)選方法的約定

根據(jù)不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域的形狀，將其邊界映射到規(guī)則矩形邊界時，首先在不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域邊界上選擇兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)被映射為規(guī)則矩形長邊的兩個頂點(diǎn)，然后在不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域邊界選擇其他兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)被映射為矩形短邊的兩個頂點(diǎn)。選擇這四個點(diǎn)在不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域中的形狀盡可能與規(guī)則矩形區(qū)域的形狀匹配?；谝陨峡紤]，規(guī)定選擇的這四點(diǎn)的編號依次為規(guī)則矩形的第一頂點(diǎn)、第二頂點(diǎn)、第三頂點(diǎn)和第四頂點(diǎn)。

3.2 規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到帶狀過渡區(qū)域的映射比例的確定

根據(jù)油藏邊界(不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域邊界)到直線帶狀過渡區(qū)域邊界的對應(yīng)關(guān)系，油藏邊界上選擇的第一頂點(diǎn)到第二頂點(diǎn)之間點(diǎn)被映射到直線帶狀過渡區(qū)域的下邊界，油藏邊界上選擇的第三頂點(diǎn)到第四頂點(diǎn)之間點(diǎn)被映射到直線帶狀過渡區(qū)域的上邊界。根據(jù)上述的映射對應(yīng)關(guān)系，記油藏邊界選擇的第一頂點(diǎn)到第二頂點(diǎn)之間所有點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)之間的距離之和為L1，記油藏邊界選擇的第三頂點(diǎn)到第四頂點(diǎn)之間所有點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)之間的距離之和為L2，將L1與L2的平均值作為直線帶狀過渡區(qū)域x方向的伸縮系數(shù)。同理，記油藏邊界選擇的第二頂點(diǎn)到第三頂點(diǎn)之間所有點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)之間的距離之和為L3，記油藏邊界選擇的第三頂點(diǎn)到第四頂點(diǎn)之間所有點(diǎn)相鄰兩點(diǎn)之間的距離之和為L4，將L3與L4的平均值作為直線帶狀過渡區(qū)域y方向的伸縮系數(shù)。

3.3 直線帶狀過渡區(qū)域到矩形區(qū)域的映射比例的確定

根據(jù)映射對應(yīng)關(guān)系式(5)可知，直線帶狀過渡區(qū)域上下邊界的長度與規(guī)則矩形區(qū)域的高度對應(yīng)，直線帶狀過渡區(qū)域的高度與矩形區(qū)域的寬對應(yīng)。根據(jù)映射模量l，對第一類完全橢圓函數(shù)積分進(jìn)行計算，可得規(guī)則矩形區(qū)域的四頂點(diǎn)，計算第一類完全橢圓函數(shù)可得矩形的高度Kp(l′)和寬度2K(l)，具體的計算公式為

(6)

(7)

式中：K(l)為矩形寬度的一半；Kp(l′)為矩形的高度；其中l(wèi)和l′的關(guān)系為l=1-l′。文獻(xiàn)[18]中給出了第一類完全橢圓函數(shù)數(shù)值積分的具體計算方法。

4 實(shí)例分析

X油田位于鄂爾多斯盆地，截至2017年7月，研究區(qū)鉆井78口，其中直井50口，水平井28口，目前采油井70口，累積采油24.48×104m3。X砂巖油藏為屬于河流相沉積，屬于小型的地層加背斜構(gòu)造復(fù)合圈閉，油藏整體無統(tǒng)一的油水界面，含油面積79.6 km2。含油范圍既受巖性尖滅線限制，也受構(gòu)造控制。

4.1 曲流河邊界到矩形油藏邊界映射的計算

4.1.1 油藏邊界映射點(diǎn)位的選擇

X砂巖油藏局部區(qū)域?qū)儆谇骱映练e，河道開始由西南向東北發(fā)展，中間經(jīng)過改道后又轉(zhuǎn)向東方向。根據(jù)河道的大致走向，確定出研究區(qū)的邊界，井位的分布如圖1所示，油藏邊界離散了38個點(diǎn)。按照3.1節(jié)給出的點(diǎn)位選擇方法，確定了油藏邊界四個頂點(diǎn)將被映射為規(guī)則矩形區(qū)域的區(qū)域頂點(diǎn)，37號點(diǎn)為第一頂點(diǎn)，16號點(diǎn)為第二頂點(diǎn)，17號點(diǎn)為第三頂點(diǎn)，36號點(diǎn)為第四頂點(diǎn)。

4.1.2 曲流河邊界到矩形區(qū)域邊界點(diǎn)位計算結(jié)果

根據(jù)文獻(xiàn)[7]的求解思路，計算出圖1的映射模量為5.577 054。根據(jù)文獻(xiàn)[14]高斯雅可比積分方法以及積分路徑的確定方法，采用高斯雅克比積分方法計算式(2)的積分，按照Levenberg Marquardt算法計算式(2)的積分方程組，得到直線帶狀過渡區(qū)域邊界映射點(diǎn)位和規(guī)則矩形區(qū)域邊界點(diǎn)位的分布情況，如圖2所示。計算得到的伸縮系數(shù)A=3.93×106+1.29×106i。圖2(a)中的直線帶狀過渡區(qū)域的下邊界37～16號點(diǎn)被映射到規(guī)則矩形區(qū)域的高度的一條邊上，直線帶狀過渡區(qū)域的高度方向點(diǎn)位被映射到規(guī)則矩形區(qū)域的寬度方向，但圖2(b)中是沒有考慮實(shí)際油藏與映射后油藏的比例縮放。

圖1 油藏邊界映射為矩形區(qū)域的頂點(diǎn)選擇結(jié)果Fig.1 Selection result of the reservoir boundary mapped to the rectangular region vertex

圖2 油藏邊界-帶狀過渡區(qū)域邊界-矩形邊界映射圖Fig.2 Reservoir boundary banded transition region boundary rectangular boundary map

4.1.3 精度評定結(jié)果

采用Levenberg Marquardt算法時，積分方程迭代計算的絕對誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖3曲線1所示。在迭代前11次中，迭代次數(shù)與絕對誤差呈線性關(guān)系下降。迭代次數(shù)從11～29到次時，絕對誤差下降緩慢，下降到10-2數(shù)量級，但迭代次數(shù)達(dá)到30次以后，絕對誤差下降很快，說明在接近映射點(diǎn)位真值的局部范圍內(nèi)，Levenberg Marquardt算法在計算不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到直線帶狀過渡區(qū)域邊界點(diǎn)位映射時的效果較好。在X油藏實(shí)例的計算中，采用Levenberg Marquardt算法計算積分方程式(2)的絕對誤差達(dá)到6.959×10-14m。

牛頓迭代法計算復(fù)參數(shù)雅克比橢圓函數(shù)的絕對誤差與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖3曲線2所示。從曲線2可以看出，牛頓迭代法計算是的效率很高，在迭代5次時，邊界上38個點(diǎn)的絕對誤差達(dá)到10-14數(shù)量級，主要原因是雅克比橢圓函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是存在的，在計算的區(qū)域中不存在奇點(diǎn)。采用牛頓迭代法計算雅克比橢圓函數(shù)的絕對誤差達(dá)到1.776×10-15m。最后通過綜合精度評價，得出整理映射計算的絕對誤差為6.451×10-10m。

圖3 油藏邊界-帶狀過渡區(qū)域-矩形邊界映射計算絕對誤差與迭代次數(shù)關(guān)系Fig.3 Relationship between absolute error and iteration times of reservoir boundary banded transition region rectangular boundary mapping calculation

4.2 油藏中的井位到矩形區(qū)域中的井位映射計算

通過上述計算得到直線帶狀過渡區(qū)域中38口井的井位，如圖4所示。通過式(4)和式(5)的計算，得到X油藏38口井在矩形區(qū)域中的位置，如圖5所示。這里特別需要說明的是，從油藏邊界到帶狀過渡區(qū)域邊界在映射過程中存在這井位的縮放問題，同時從直線帶狀過渡區(qū)域到矩形區(qū)域映射也存在井位的縮放問題。但這兩者對井位縮放比例是不一樣的，前者是井位的整體縮放，而后者在x軸方向和y軸方向縮放的比例是不一致的。圖5中給出的矩形區(qū)域的映射井位是沒有考慮x軸方向和y軸方向的伸縮系數(shù)，但在后續(xù)矩形區(qū)域油藏地質(zhì)建模時需要考慮比例的縮放問題。

通過表1可以看出，在不考慮縮放比例情況下，計算出X砂巖油藏的井位在直線帶狀過渡區(qū)域中的點(diǎn)位絕對誤差也在10-11m以下。這樣的精度是能夠滿足工程計算的需要，同時也說明本文中所給出的PSO算法在求解積分方程式(4)是可行的。通過表1中的第3、第7列可以看出，在設(shè)定積分方程點(diǎn)位精度為10-10m情況下，迭代次數(shù)沒有超過設(shè)下，通過多種隨機(jī)性和確定性模擬的方法對比，最后選用了沉積相控制下的序貫高斯模擬方法，模擬了X砂巖油藏在映射后規(guī)則矩形區(qū)域中的孔隙度的分布，如圖6所示，孔隙度沿著規(guī)則矩形區(qū)域的高度方向(即映射后的河道方向)呈現(xiàn)條帶狀的分布。定500次，最大的PSO迭代次數(shù)61次。在表1中第4、第8列反映了牛頓迭代法計算雅克比橢圓函數(shù)的絕對誤差，其絕對誤差在10-15數(shù)量級以下。

圖4 從油藏內(nèi)部井位到帶狀過渡區(qū)域映射井位分布Fig.4 Mapping well location distribution from internal well location of reservoir to banded transition area

圖5 帶狀過渡區(qū)域到矩形油藏映射井位示意圖Fig.5 Schematic diagram of mapping well location from banded transition area to rectangular reservoir

表1 PSO算法求解積分方程與牛頓迭代法求解雅克比橢圓函數(shù)絕對誤差數(shù)據(jù)表Table 1 Absolute error data of solving integral equation by PSO algorithm and Jacobian elliptic function by Newton iterative method

4.3 矩形區(qū)中地質(zhì)模型建立及物性參數(shù)的分析

根據(jù)不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到帶狀過渡區(qū)域的映射比例的確定方法，計算得到油藏邊界37號點(diǎn)到16號點(diǎn)之間的距離為19 863.6 m，36號點(diǎn)到17號點(diǎn)之間的距離為24 596.6 m，二者之間的平均值為22 230.1 m，即x方向的伸縮系數(shù)為22 230.1。計算得到油藏邊界37號點(diǎn)到36號點(diǎn)之間的距離為2 498 m，16號點(diǎn)到17號點(diǎn)之間的距離為2 239 m，二者之間的平均值為2 364 m，即y方向的伸縮系數(shù)為2 364。根據(jù)式(6)和式(7)計算得到直線帶狀過渡區(qū)域到矩形區(qū)域的映射比例參數(shù)K=1.57，Kp=18.9。因此在建立規(guī)則矩形區(qū)域的構(gòu)造模型、地層模型時，只要涉及平面位置的參數(shù)，需要對平面位置參數(shù)的x與y值乘以對應(yīng)的伸縮系數(shù)即可。例如對映射后規(guī)則矩形區(qū)域的井位及油藏邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)，對x坐標(biāo)乘以22 230.1，再除以2K；對y坐標(biāo)乘以2 364，再除以Kp，通過上述處理，就得到考慮伸縮系數(shù)的矩形區(qū)域的數(shù)據(jù)。在地層及沉積相的控制。

4.4 矩形區(qū)域地質(zhì)模型的還原

4.4.1 原地質(zhì)模型

根據(jù)映射前的原始數(shù)據(jù)，在地層與沉積相的約束性下，使用序貫高斯模擬技術(shù)，模擬了X砂巖油藏原始的孔隙度參數(shù)場的分布情況，如圖7所示。在模擬的過程中，擬合了南西北東向的變差函數(shù)，因次模擬的孔隙度分布主要主變程方向，而河道是沿著砂體是隨著河道的改向而變化的，這與實(shí)際的砂體分布有差異。根據(jù)圖7(b)～圖7(d)可以看出，研究區(qū)2、3、5各個小層都呈現(xiàn)同樣的趨勢。

圖6 矩形區(qū)域中X砂巖油藏巖心實(shí)驗(yàn)孔隙度分布模擬結(jié)果Fig.6 Simulation results of porosity distribution of X sandstone reservoir in rectangular area

圖7 X砂巖油藏映射變換前的孔隙度分布Fig.7 Porosity distribution of X sandstone reservoir before mapping transformation

4.4.2 矩形油藏建立的注意事項(xiàng)

(1)采用矩形區(qū)域映射數(shù)據(jù)進(jìn)行建模時，可以將上下左右四個邊界可以向中心移動一個網(wǎng)格步長的距離。這樣做的目的是保證在矩形中形成的網(wǎng)格完全位于映射邊界內(nèi)部，以免在后續(xù)網(wǎng)格數(shù)據(jù)還原過程中有網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處于映射邊界的外部。

(2)將PETREL軟件建立的網(wǎng)格數(shù)據(jù)導(dǎo)出為ECLIPSE格式的十進(jìn)制數(shù)據(jù)時，應(yīng)包含角點(diǎn)網(wǎng)格數(shù)據(jù)的關(guān)鍵字COORD。PETREL軟件默認(rèn)的網(wǎng)格編號是從左上角開始，即系統(tǒng)默認(rèn)的坐標(biāo)原點(diǎn)在左上角，因此導(dǎo)出的x方向的數(shù)據(jù)沒有問題，而導(dǎo)出的y方向的數(shù)據(jù)均為負(fù)值。實(shí)際矩形邊界的映射數(shù)據(jù)y值均為正值，實(shí)映射數(shù)據(jù)以北方向作為y軸的正方向，而PETREL軟件中的y軸的正方向?yàn)槟戏较颍虼藋值出現(xiàn)負(fù)值情況。因此必須取消y值前面的符號才能進(jìn)行映射計算。

(3)模型數(shù)據(jù)縮放比例的還原。圖8為考慮縮放比例以后建立的地質(zhì)模型，因此在矩形油藏網(wǎng)格及井位的數(shù)據(jù)還原式，對x、y坐標(biāo)數(shù)據(jù)分別乘以矩形區(qū)域x、y方向的縮放系數(shù)2K與Kp，然后再除以帶狀區(qū)域的x、y方向的縮放系數(shù)2 462.986和22 230.606。

(4)特殊點(diǎn)的處理，若矩形區(qū)域的映射數(shù)據(jù)包含0值，則將其重置為一個很小的數(shù)，如0.000 001，以免在積分是出現(xiàn)奇異值問題。

將矩形區(qū)域的地質(zhì)模型通過Schwarz Christoffel逆變換，將屬性參數(shù)還原到原油藏的實(shí)際邊界區(qū)域中，圖8反映了還原后的孔隙度分布情況。通過圖8可以看出，進(jìn)行映射變換處理，孔隙度變化方向基本沿著河道方向，符合基本的地質(zhì)規(guī)律。矩形區(qū)域中的規(guī)則正交網(wǎng)格也被映射到實(shí)際油藏的模型中，也保持了一定的正交性。

圖8 從矩陣區(qū)域還原到實(shí)際油藏邊界的X砂巖油藏孔隙度分布Fig.8 Porosity distribution of X sandstone reservoir restored from matrix area to actual reservoir boundary

5 結(jié)論

(1)采用粒子群優(yōu)化算法求解了從不規(guī)則油藏內(nèi)部點(diǎn)位到直線帶狀過渡區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)位的數(shù)值映射計算，粒子群算法迭代的最大次數(shù)為61次，映射井位的絕對誤差在10-11m以下,說明粒子群算法在計算不規(guī)則油藏內(nèi)部點(diǎn)位到直線帶狀過渡區(qū)域內(nèi)部點(diǎn)位是可行的。

(2)采用牛頓法對雅克比橢圓函數(shù)進(jìn)行求解得到矩形區(qū)域的映射點(diǎn)位，映射的點(diǎn)位絕對誤差在10-15數(shù)量級以下，說明牛頓法在計算雅克比橢圓函數(shù)是可行的。

(3)從油藏邊界到直線帶狀過渡區(qū)域邊界存在井位的縮放，但縮放的大小與伸縮系數(shù)A的大小有關(guān)，是對井位的整體縮放。從直線帶狀過渡區(qū)域到規(guī)則矩形區(qū)域映射對井位的縮放，在x軸方向和y軸方向縮放的比例是不一致的，主要取決于雅克比橢圓函數(shù)映射模量的大小，而映射模量的大小取決于矩形邊界的四個頂點(diǎn)。

(4)根據(jù)不規(guī)則封閉帶狀區(qū)域到規(guī)則矩形區(qū)域Schwarz Christoffel變換基本原理，建立曲流河模型邊界映射到規(guī)則矩形區(qū)域邊界的數(shù)學(xué)模型。以X砂巖油藏為例，選擇了該區(qū)域中38口井，建立的映射前后的地質(zhì)模型，并對物性參數(shù)進(jìn)行了分析。通過分析對比，采用Schwarz Christoffel映射后建立的地質(zhì)模型及分析的物性參數(shù)更加符合地質(zhì)規(guī)律。