槳葉的組合共振理論建模與分析

李貞坤，程起有，朱艷，錢峰，劉晨，代志雄

（中國直升機設(shè)計研究所 直升機旋翼動力學(xué)重點實驗室，江西 景德鎮(zhèn) 333001）

旋轉(zhuǎn)葉片廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域，如風(fēng)力發(fā)電機葉片、飛機發(fā)動機葉片、螺旋槳葉片以及直升機槳葉等。由于共振和顫動引起的槳葉失效問題是槳葉故障的主要原因之一，因此深入地了解旋轉(zhuǎn)槳葉的動力學(xué)行為有助于減少槳葉的振動故障。

細(xì)長的槳葉可視為旋轉(zhuǎn)的懸臂梁，基于線彈性小變形理論，研究者建立了諸多動力學(xué)模型來研究旋轉(zhuǎn)梁的線彈性動力學(xué)行為，如旋轉(zhuǎn)槳葉的共振頻率與模態(tài)等問題。其后，研究者考慮了更復(fù)雜的情況，如旋轉(zhuǎn)梁處于熱環(huán)境、采用復(fù)合材料以及考慮裂紋等，以研究旋轉(zhuǎn)梁的動特性。Qin等研究了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁梁的自由振動特性，考慮了氣動力和濕熱環(huán)境的影響。Xie等采用有限元對含裂紋的旋轉(zhuǎn)梁進(jìn)行了研究，考慮了離心效應(yīng)與裂紋效應(yīng)的耦合。Liang等研究了彎扭耦合旋轉(zhuǎn)梁，討論了控制方程中螺旋項和離心項的作用。Guo等基于鐵木辛柯梁理論，研究了含預(yù)安裝角和扭轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)漸變梁6個位移分量之間的耦合效應(yīng)。

高速旋轉(zhuǎn)的槳葉葉尖周圍的流場非常不穩(wěn)定，在強烈的周期性氣流擾動下可能產(chǎn)生大振幅的非線性振動，而當(dāng)前基于線彈性小變形理論獲得的結(jié)果和結(jié)論不足以解釋觀測到的非線性問題。因此，研究者對旋轉(zhuǎn)槳葉的非線性動力學(xué)行為（如主共振、次共振等）進(jìn)行了研究，同時對功能梯度材料、溫度分布、粘彈性等影響開展了討論。Chen等研究了有預(yù)變形旋轉(zhuǎn)梁的3∶1內(nèi)共振，預(yù)變形來自熱梯度分布，考慮了二次和三次非線性，采用多尺度法求解，并用數(shù)值法進(jìn)行了驗證。Thomas等考慮了不同非線性來源導(dǎo)致的幾何非線性，分別建立了3種模型，采用解析和有限元的方法求解，研究了大撓度下的跳躍行為，以及不同轉(zhuǎn)速下的軟化/硬化特性。Emam等對附著有質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)梁亞結(jié)構(gòu)的主共振進(jìn)行了研究，采用攝動法求解，討論了系統(tǒng)在自由振動和受迫振動下的響應(yīng)。Yao等研究了變轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)梁的動特性，考慮梁的扭轉(zhuǎn)和高溫高速氣流等的影響，采用數(shù)值方法分析了葉片的主共振及1∶1內(nèi)共振。

在上述研究中，研究人員研究了旋轉(zhuǎn)梁的主共振現(xiàn)象，即激勵頻率接近葉片的固有頻率。非線性系統(tǒng)中存在更復(fù)雜的共振機制，其他不接近共振頻率的激勵頻率也可能導(dǎo)致共振，如超諧波共振、亞諧波共振和組合諧波共振。以組合諧波共振為例，當(dāng)槳葉受2個及以上頻率激勵時，如果2個激勵頻率滿足特定的關(guān)系，即使2個頻率均遠(yuǎn)離槳葉共振頻率，槳葉同樣會發(fā)生共振。Inoue等在實驗中證實了風(fēng)輪機葉片存在超諧波共振。Shahgholi等利用諧波平衡法研究了旋轉(zhuǎn)軸的組合共振和次諧波共振。Zhang等探索了預(yù)扭轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)梁的主共振、超諧波和組合諧波共振等情形，采用多尺度法求解，并使用Runge-Kutta法對結(jié)果進(jìn)行了驗證。熊春等采用多尺度法開展了旋轉(zhuǎn)Rayleigh梁在軸向力下的參數(shù)穩(wěn)定性分析，研究了超諧波共振和組合共振。伊海銘等針對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用四階Runge-Kutta法分析了分岔區(qū)域的組合共振特性。

由以上文獻(xiàn)總結(jié)可知，文獻(xiàn)中對槳葉的非線性主共振研究較多，次共振特別是組合共振研究較少，而針對直升機槳葉的組合共振研究更少。本文對直升機槳葉的組合共振進(jìn)行了研究，基于哈密頓原理推導(dǎo)出含幾何非線性與非線性慣性的控制方程。采用伽遼金法離散，并使用攝動法中L-P法（Lindstedt-Poincaré method）求解，分析了組合共振發(fā)生條件及相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)，討論了超/次諧波共振與組合共振共存的可能，并對組合共振進(jìn)行了參數(shù)分析，探究了激勵力和阻尼等對共振的影響。

1 建模與求解

1.1 模型建立與無量綱

如圖1所示，以Bo105槳葉為研究對象，將槳葉視為旋轉(zhuǎn)的細(xì)長懸臂梁，繞軸以角速度旋轉(zhuǎn)，槳葉長度為，揮舞方向（方向）上受2個周 期變化分布的力、作用，激勵力頻率分別為、。槳葉軸向和橫向位移分別為(,)、(,)，和分別表示橫坐標(biāo)和時間，、為作用力離固定端的距離。

圖1 槳葉受2個不同激勵頻率的力作用示意及坐標(biāo)關(guān)系 Fig.1 Schematic diagram and coordinate relationship of the blades subjected to two different excitation frequencies

槳葉應(yīng)變能可寫為：

動能和外力功分別為：

根據(jù)哈密爾頓原理，對總能量求變分：

將公式（1）—（3）代入方程（4）進(jìn)行相應(yīng)變換，并保留到三次項，可得旋轉(zhuǎn)梁運動方程為：

式中：為密度；為梁彎曲剛度，其中為彈性模量，為截面慣性矩；為阻尼系數(shù)；為Dirac函數(shù)。等式（5）左邊與時間相關(guān)的三次項為非線性慣性，產(chǎn)生軟化效應(yīng)（Softening Effect），其他非線性項則為幾何大變形引起，產(chǎn)生硬化效應(yīng)（Hardening Effect），含項為旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生。如果令轉(zhuǎn)速為0，方程退化成經(jīng)典的懸臂梁非線性振動控制方程，見式（6）。

使用合適的參數(shù)，式（5）可無量綱化為：

采用的無量綱參數(shù)為：

其中是懸臂梁一階振動頻率：

偏微分方程（7）可采用伽遼金法離散成二階常微分方程：

式中：φ()為懸臂梁各階模態(tài)函數(shù)；q()為對應(yīng)的廣義時間坐標(biāo)。將式（10）代入式（7），并分別乘以對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)φ()，對從0到1積分可得離散后的方程為（取=1）：

式中：上標(biāo)點號(·)和撇號(')分別代表對時間和坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。

1.2 攝動法求解

在控制方程已離散的基礎(chǔ)上，采用攝動法中的L-P法求解上述常微分方程。根據(jù)L-P法，式（11）可以寫為：

取新的時間變量=，并將激勵頻率ω和廣義時間坐標(biāo)q分別展開為的級數(shù)，見式（13）。

則關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)改寫為：

2個外激勵頻率改寫為：

將式（13）—（15）代入方程（12），并令方程兩端同次冪系數(shù)相等，得：

方程（16）的解為：

其中，解的第1項cos （+）表示自由振動，響應(yīng)頻率為旋轉(zhuǎn)梁一階共振頻率，第2、3項表示受迫振動，響應(yīng)頻率與激勵頻率一致。

將方程的解（18）代入方程（17），提取同時含有,的項可得：

由式（19）可知，當(dāng),滿足一定的關(guān)系，有可能發(fā)生組合共振，即：

以2+=為例，此時2+=，為當(dāng)前轉(zhuǎn)速下懸臂梁共振頻率，有：

在式（19）中消除永久項，得幅頻響應(yīng)曲線為：

其中：

1.3 同時存在組合共振與超/次諧波共振

回到公式（19），只保留了同時包含和的項，其余的項被舍棄，以研究組合共振發(fā)生條件。在滿足組合共振條件下，如果、還滿足額外條件，則可能在組合共振產(chǎn)生的同時發(fā)生超諧波或次諧波共振。

將方程的解（18）代入方程（17），在所得的方程中提取包含或的項可得：

當(dāng)滿足式（20）任一條件時，會發(fā)生組合共振。若此時、還滿足以下條件之一，則會同時發(fā)生超諧波共振：

類似地，組合共振與次諧波共振會同時發(fā)生，若、還滿足：

以同時存在組合共振與超諧波共振為例，使用公式（20）和式（25），即：

代入式（24）中消除永久項可得幅頻響應(yīng)方程為：

1.4 計算方法驗證

為了驗證本計算方法的有效性，采用L-P法對文獻(xiàn)[24]中懸臂梁非線性振動控制方程進(jìn)行求解，并與文獻(xiàn)中結(jié)果進(jìn)行比較。與文獻(xiàn)一樣采用一階模態(tài)離散，離散后控制方程為：

與1.3節(jié)類似，將激勵頻率ω和廣義時間坐標(biāo)q展開為的級數(shù)，并代入式（29），令方程兩端同次冪系數(shù)相等得：

方程（30）的解為：=cos（+），代入方程（31）消除永久項可得幅頻響應(yīng)方程為：

式（32）與文獻(xiàn)中多尺度法結(jié)果一致，證明本文采用計算方法的正確性。

2 結(jié)果與討論

2.1 組合共振

根據(jù)式（22）可作無量綱幅頻響應(yīng)曲線（如圖2所示），采用的無量綱參數(shù)為：==0.05，=1.5×10。與線彈性振動相比，非線性振動幅頻響應(yīng)曲線與線彈性最顯著的區(qū)別為在共振點附近曲線左右不對稱。由圖2可知，幅頻響應(yīng)曲線展現(xiàn)出向左偏的趨勢，即表現(xiàn)出軟化特性（Softening Effect），且幅頻曲線的頻率與振幅不再是一一對應(yīng)，而是表現(xiàn)出多值性，以及跳躍現(xiàn)象。當(dāng)激勵頻率由小增大，曲線沿著左下半支前行，在虛線處跳躍到右上半支；當(dāng)激勵頻率由大減小，曲線沿著右半支前行，到頂點后跳躍到左下半支。

圖2 無量綱幅頻響應(yīng)曲線 Fig.2 Dimensionless amplitude frequency resonance response curve

由式（18）可知，非線性振動與線彈性振動的另一區(qū)別在于槳葉的響應(yīng)是由2部分組成：自由振動部分cos（+），頻率為旋轉(zhuǎn)懸臂梁共振頻率；受迫振動部分cos（+）+cos （+），響應(yīng)頻率分別對應(yīng)兩激勵力頻率和，且發(fā)生組合共振時存在關(guān)系2+=，令：

取共振時槳葉的時間歷程進(jìn)行分析，如圖3所示。圖3a、b為受迫振動部分2個激勵的響應(yīng)，兩者振幅相同，==0.05，相位不同。圖3c為自由振動部分時間歷程，無量綱振幅=0.11，大于兩激勵力振幅，且略大于兩者的合振幅。圖3d為旋轉(zhuǎn)梁的合響應(yīng)，振幅為三者的疊加，同時放上組合共振響應(yīng)作對比，可以看出，組合共振振幅占總振幅的1/2。

圖3 無量綱時間歷程 Fig.3 Dimensionless time histories at the resonance point: a) excitation force f1; b) excitation force f2; c) the free vibration part; d) the total response (solid line) and combined resonance response (dashed line)

2.2 參數(shù)分析

圖4與圖5分別展示了無量綱自由振動頻響曲線和最大響應(yīng)振幅隨激勵力、的變化。圖4a和圖5a表明，隨著、增大，兩無量綱響應(yīng)振幅均增大，此為兩者共同點。圖4b和圖5b表明，自由振動最大振幅隨受迫激勵力、增加的程度不一。圖4b中，增大，振幅類似于冪指數(shù)增加；增大，振幅成比例增加。

圖4 不同激勵力f1下的無量綱頻響曲線和最大振幅 Fig.4 Dimensionless frequency response curve (a) and the maximum amplitude (b) under different excitation force f1

圖5 不同激勵力f2下的無量綱頻響曲線和最大振幅 Fig.5 Dimensionless frequency response curve (a) and the maximum amplitude (b) under different excitation force f2

作最大振幅與激勵力大小的比值圖，如圖6所示?？梢钥闯?，/呈線性關(guān)系，/為常數(shù)，表明組合共振振幅與激振力呈線性關(guān)系，卻與呈平方關(guān)系，即在當(dāng)前受力形勢下（激勵頻率）對組合共振的振幅影響更大。

圖6 Amax/ fi隨fi變化（i=1,2） Fig.6 Ratio of Amax/ fi with different fi (i=1,2)

激勵力位置對響應(yīng)的作用如圖7所示。無量綱參數(shù)和表示激勵力、與固定端的距離。由圖7 可知，隨著的增加，即激勵力遠(yuǎn)離固定端，曲線振幅相應(yīng)增加；的影響趨勢與一致。仔細(xì)對比圖7a、b可知，響應(yīng)的振幅隨變化更劇烈。這與前文觀察的現(xiàn)象一致，與相關(guān)聯(lián)，響應(yīng)振幅與成正比，而僅與成正比，因此響應(yīng)隨的變化更大。

圖7 響應(yīng)隨激勵力位置的變化 Fig.7 Changes of position of the excitation force on the response

如前文所述，組合共振的存在極大地提高了旋轉(zhuǎn)梁橫向運動的振幅。對比圖3c、d可知，組合共振使得振幅提高了1倍，極大地增加了槳葉的不穩(wěn)定性和破壞的可能。不同阻尼下自由振動部分的無量綱頻響曲線如圖8所示。由圖8b可知，增大阻尼能迅速地減小自由振動部分振幅，如無量綱阻尼從3×10增大到6×10，振幅降低了50%。因此，增大阻尼能有效抑制組合共振強度，防止旋轉(zhuǎn)梁振幅過大而導(dǎo)致潛在的破壞。

圖8 不同阻尼下的無量綱頻響曲線和最大振幅 Fig.8 Dimensionless frequency response curve (a) and maximum amplitude (b) under different damping;

2.3 超諧波共振與組合共振共存

圖9 有超諧波共振存在的組合共振（CR+SR）與 普通組合共振（CR）對比 Fig.9 Comparison of combination resonance (CR+SR) with the coexistence of super-harmonic resonance and commom combination resonance (CR)

3 結(jié)論

本文研究了旋轉(zhuǎn)梁橫向運動下受到2個激勵力的組合共振，采用Hamilton原理推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)梁控制方程，同時考慮了幾何非線性與非線性慣性。采用L-P法對控制方程進(jìn)行求解，獲得了組合共振發(fā)生條件和共振時的幅頻響應(yīng)曲線方程，對組合方程進(jìn)行參數(shù)分析，并進(jìn)一步研究同時存在超/次諧波共振與組合共振的條件，研究獲得如下結(jié)論：

1）當(dāng)兩激勵頻率滿足2±=、2±=或1/2(±)=條件之一時，旋轉(zhuǎn)梁可能發(fā)生組合共振，此時槳葉的響應(yīng)既有2個激勵頻率成分，又有自由振動成分。

2）以2±=條件為例進(jìn)行的分析表明，旋轉(zhuǎn)梁表現(xiàn)出軟化特性，組合共振中自由振動部分占主導(dǎo)，其振幅與兩受迫振動振幅疊加相當(dāng)。

3）參數(shù)分析表明，在2±=條件下，激振力的大小和位置對組合共振影響更大，振幅與呈平方關(guān)系，與呈線性關(guān)系。

4）在條件1）滿足的情況下，若=1/3或=1/3，會同時存在超諧波共振；若=或=，會同時存在次諧波共振。=1/3的結(jié)果表明，同時存在超諧波共振時，會進(jìn)一步增加組合共振的振幅。