基于排隊論的反無人機集群武器部署優(yōu)化方法

高志剛，劉艷彬，陳長遠，馮宇，張雨澤

（1.中國人民解放軍93196部隊，烏魯木齊 841700；2.空軍工程大學 航空工程學院，西安 710038）

近些年來，隨著國內(nèi)外航空技術的發(fā)展，以及網(wǎng)絡、人工智能等前沿技術的不斷進步，無人機因其成本低，體積小，機動性高，可代替人執(zhí)行“枯燥、惡劣、危險、縱深”（Dull、Dirty、Dangerous and Deep，4D）任務等諸多優(yōu)勢得到了迅猛發(fā)展。越南戰(zhàn)爭中，“火蜂”無人機第一次在實戰(zhàn)中投入使用，該無人機在戰(zhàn)場上的出色表現(xiàn)使人們認識到了無人機的新價值。在之后的海灣、阿富汗以及伊拉克戰(zhàn)爭中，美方接連使用過“捕食者”、“全球鷹”和“獵人”等數(shù)十種無人機參與戰(zhàn)斗，在與有人機的數(shù)據(jù)對接、情報偵查和毀傷評估等方面起到了至關重要的作用。隨著未來作戰(zhàn)范圍的日益擴大和戰(zhàn)場環(huán)境的日趨復雜，我們需要對戰(zhàn)場有多位一體、全域覆蓋精確細致的感知能力，單架無人機顯然不能滿足該作戰(zhàn)需求，因此國內(nèi)外軍方和研究人員將更多人力、財力和精力放在了無人機集群協(xié)同作戰(zhàn)上面。無人機集群可搭載不同功能模塊來實現(xiàn)能力互補，通過數(shù)據(jù)鏈進行信息的交互與共享。與此同時，其無中心化和自主化等諸多優(yōu)勢能夠有效地提高整體作戰(zhàn)效能，近年來已經(jīng)由概念變成了現(xiàn)實。2018年1月6日，敘利亞反對派首次使用13架裝有爆炸物的攻擊型無人機對俄羅斯駐敘利亞赫邁米姆空軍基地和塔爾圖斯海軍基地展開了集群式攻擊。雖然此次襲擊沒有對俄方人員造成較大的人員傷亡和財產(chǎn)損失，但無人機集群已經(jīng)展現(xiàn)出巨大的作戰(zhàn)潛力。2019年9月14日，也門胡塞武裝使用18架裝載導彈的無人機通過協(xié)同分工對沙特阿美石油公司的2處油田進行了襲擊，導致多處石油設施發(fā)生連環(huán)爆炸，并燃起大火，襲擊后，無人機集群還對目標進行了毀傷效果評估。2019年3月14日，伊朗革命衛(wèi)隊在波斯灣海域使用近百架無人機編隊進行了大規(guī)模實兵演習，該編隊在成功飛行1 000 km后，對制定目標進行摧毀，取得了顯著的作戰(zhàn)效果。美國早在20世紀90年代末期就提出了無人機集群作戰(zhàn)的構想，進行了大量的試驗研究，近年來也相繼啟動了多個無人機集群項目，并希望在2036年實現(xiàn)無人機集群作戰(zhàn)。比如“小精靈”項目，提出了在運輸機上發(fā)射大量分布式小型無人機，用于執(zhí)行查打任務，并在任務完成后進行回收，可實現(xiàn)無人機集訓的快速部署和重復利用?！吧靳嚒表椖?，美國在該項目基礎上成功完成了103架山鶉無人機以0.6馬赫速度的投放，并演示了編隊飛行和集群偵查決策等群體行為。

這些事件都表明了隨著相關研究的不斷深入和技術運用的日趨成熟，無人機集群作戰(zhàn)在未來戰(zhàn)爭中將扮演重要的角色，對未來戰(zhàn)場攻防局勢的影響也將越來越大。換而言之，無人機集群帶給我們的威脅也將越來越大，勢必會給重要區(qū)域的防空系統(tǒng)帶來嚴峻的挑戰(zhàn)。我們需要根據(jù)來襲無人機集群達到的方向、密度、時間等多個因素來對防空武器進行部署，如果一味追求數(shù)量，則會造成武器資源的浪費和分配不均勻；如果數(shù)量過少或者依靠單一的防空武器和單層防線很難對來襲無人機集群實施有效的攔截打擊，極可能完成不了攔截任務，使我方處于危險境地。因此，面對復雜動態(tài)的無人機集群，如何合理部署防空武器，提高攔截概率，降低防御成本，充分發(fā)揮其作戰(zhàn)效能是目前反無人機集群作戰(zhàn)研究中亟待解決的關鍵技術之一。

本文立足我國當前軍事形勢，考慮了由遠程、中程和近程防空武器所構成的防空系統(tǒng)，基于防空武器效能分析中常用的排隊論模型，對3層防線層層建模，描述來襲無人機集群進入防線的過程，建立突防概率模型，并進行求解。在此基礎上，提出了最少防空武器數(shù)量的“理想?yún)^(qū)”模型和最低防御成本的“最優(yōu)解”，最終得到了同時滿足來襲無人機集群指定突防概率條件下防空武器數(shù)量最小化和攔截成本最低化的部署優(yōu)化方法，具有較強的工程應用價值。

1 反無人機集群的排隊論模型

1.1 排隊論簡介

排隊論是現(xiàn)代防空武器效能分析中應用較為廣泛的一種方法。該方法最早起源于對電話通信排隊連線的研究，當時也叫作話務理論。直到二戰(zhàn)以后，各國學者開始為其賦予工程價值，并廣泛應用于軍事、服務、運輸?shù)戎匾I域，展現(xiàn)出強大的生命力。排隊論主要包括4個指標：輸入過程、服務規(guī)則、服務機構和服務時間，這4個指標構成了排隊論的基本要素。

在對來襲無人機集群進行防御的過程中，防空系統(tǒng)就是“服務機構”，無人機集群中的每個作戰(zhàn)單元就是“顧客”，打擊過程就是“服務過程”，射擊時間就是“服務時間”，所采取的防空策略就是“服務規(guī)則”。因此，當無人機集群要突破防線時，整個防空系統(tǒng)可以看作一個服務臺，遵循“先到先服務”的原則對其進行防空打擊，但如果該防線上的所有武器都在進行對敵打擊，則后到的無人機作戰(zhàn)單元可以視為在殺傷區(qū)逗留過長時間未被射擊從而突防成功。從排隊論角度上講，可以理解為當無人機集群強度超過“服務規(guī)則”下的服務能力后，“顧客”就不會再繼續(xù)等待，從而放棄服務，因此就可以判定沒有達到“服務效果”，即無人機集群突防成功。

1.2 基本假設

1）輸入過程。對于防空系統(tǒng)來講，無人機集群具有數(shù)量多、個體分散、航路不確定以及機動性強等特點，集群中每個作戰(zhàn)單元來襲的時間、方向、密度等都是隨機的，具有排隊論中“顧客流”的性質(zhì)。將進入防空區(qū)域無人機集群中的每個作戰(zhàn)單元看作是泊松流，其來襲相隔時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，如式（1）所示。對于第1層防空系統(tǒng)，輸入目標為集群中所有來襲單元，第2層為已經(jīng)突破第1層防線的來襲單元，依次類推，如圖1所示。

圖1 3層防空系統(tǒng)的排隊模型 Fig.1 Queuing model of three-tier air defense system

式中：為單位時間內(nèi)到達的無人機集群作戰(zhàn)單元平均數(shù)目，即來襲密度；1/為來襲目標的平均到達間隔時間。

在時間內(nèi)，個無人機集群作戰(zhàn)單元到達的概率服從泊松分布，如式（2）所示。

2）服務規(guī)則。防空系統(tǒng)對于無人機集群中作戰(zhàn)單元的射擊服從“先到先服務”的原則，如果同時到達，則服務順序任意。為了方便計算，每架無人機只被1個防空武器射擊，且只射擊1次，不采用多個防空武器對1架無人機同時射擊的方式。對于突破該層防線的飛機，分為2種情況：在單位時間內(nèi)防空武器全在工作，即系統(tǒng)處于“忙碌”狀態(tài)，該飛機未被射擊；飛機雖然被射擊，但未被擊落，仍然突破防線，涉及到防空武器的毀傷率問題。

3）服務機構。根據(jù)現(xiàn)代防空作戰(zhàn)實踐證明，單層防線或者單一防空武器難以應對密集且無序的來襲敵機，通常采用不同類型防空武器的混編作戰(zhàn)，構成遠、中、近程立體化防空體系，相互取長補短，形成嚴密的對空火力。本排隊論模型的服務機構是由遠程防空武器A、中程防空武器B和近程防空武器C所組成的防御系統(tǒng)，分別擔任遠程、中程和近程防線的防御任務，如圖1所示。遠程防空武器A可以在最外層防線直接攔截來襲無人機集群，起到先發(fā)制人的效果；中程防空武器B主要是對已經(jīng)突破最外層防線的無人集群作戰(zhàn)單元進行攔截，使其能夠遠離投彈區(qū)域，阻斷其投彈任務；近程防空武器C部署于重點防護目標附近，主要用于攔截具有自殺式行為的無人機及其投放的導彈等武器。

4）服務時間。防空系統(tǒng)作為服務機構，服務時間即射擊周期sj與來襲無人機達到間隔時間一樣，服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，即：

式中：為單位時間內(nèi)射擊的來襲目標平均數(shù)，即服務率；1/為防空武器對來襲目標的平均射擊周期。

2 模型建立與求解

根據(jù)現(xiàn)代防空作戰(zhàn)特點，從影響作戰(zhàn)結果的角度出發(fā)，主要選取無人機集群未被射擊概率、突防成功概率和突防后密度3個評價指標進行建模，結果具有直觀的現(xiàn)實意義。由于本文是3層防線組成的防空系統(tǒng)，需要對每層防線層層建模，過程相互獨立，又緊密聯(lián)系，模型不僅適合3層防線，對于采用本文作戰(zhàn)規(guī)則下的層防線也同樣適用。本文的最終優(yōu)化結果，也是建立在本文排隊論的基本假設和服務規(guī)則下進行優(yōu)化的結果。

2.1 第1層防線

對于第1層防線，假設共有套遠程防空武器A，無人機集群通過該防線時作戰(zhàn)單元數(shù)量為。根據(jù)1.2節(jié)基本假設，其目標流的來襲相隔時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，防空武器的射擊周期服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。這時可以將該情況看作位顧客、個服務臺的排隊系統(tǒng)，基于排隊論模型，利用愛爾朗公式，無人機集群作戰(zhàn)單元未被射擊到的概率為：

式中：表示第1層服務臺工作的數(shù)量，即正在進行射擊的遠程防空武器A的數(shù)量。

1.2節(jié)已指出，突防成功的無人機作戰(zhàn)單元主要包括未被射擊的無人機以及遭遇射擊后仍突防成功的無人機。設防空武器A對無人機集群的毀傷率為，則可得到無人機集群突破第1層防線的概率為：

無人機集群的突防數(shù)量也是接下來要達到第2層防線的來襲數(shù)量，其數(shù)學期望為：

無人機集群突破第1層防線時的毀傷數(shù)量為：

2.2 第2層防線

此時，第2層防線由套中程防空武器B組成，無人機集群中的每個作戰(zhàn)單元視為泊松流，來襲密度為，通過該防線時數(shù)量為，經(jīng)過第1層防線的篩選，可以得到：

假設防空武器B的射擊周期服從參數(shù)為的負指數(shù)分布，這時可以將該情況看作位顧客、個服務臺的排隊系統(tǒng)，則無人機集群作戰(zhàn)單元未被射擊到的概率為：

式中：表示第2層服務臺工作的數(shù)量，即正在進行射擊的中程防空武器B的數(shù)量。

設第2層防線防空武器B對無人機集群的毀傷率為，則可得到無人機集群突破第二層防線的概率為：

突防數(shù)量為：

毀傷數(shù)量為：

2.3 第3層防線

第3層防線由套近程防空武器C組成，經(jīng)過第2層防線的再次攔截后，進入第3層防線的無人機集群中的每個作戰(zhàn)單元仍視為泊松流，來襲密度為，通過該防線時的數(shù)量為，可以得到：

假設防空武器C的射擊周期服從參數(shù)為3的負指數(shù)分布，這時可以將該情況看作位顧客、個服務臺的排隊系統(tǒng)，則無人機集群作戰(zhàn)單元未被射擊到的概率為：

式中：表示第3層服務臺工作的數(shù)量，即正在進行射擊的近程防空武器C的數(shù)量。

同理，設第3層防線防空武器C對無人機集群的毀傷率為，則可得到無人機集群突破第3層防線的概率為：

由于本層防線為最后一道防線，完成突防的作戰(zhàn)單元意味著最終突防成功，其數(shù)量用來表示：

毀傷數(shù)量為：

2.4 第m層防線

為了使模型具有普遍性，根據(jù)上述3層防線各個指標的求解，可推廣得到當防線有層時，各個指標的通用表達式。無人機集群作戰(zhàn)單元在第層防線未被射擊概率P為：

式中：j為第層防線防空武器數(shù)量；n為該防線正在射擊的防空武器數(shù)量；λ為來襲密度；1/為防空武器對來襲目標的平均射擊周期。

無人機集群突破第層防線的概率為：

式中：p為第層防線防空武器對無人機集群的毀傷率。

第層防線突防數(shù)量為：

式中：N為第層防線突防數(shù)量，也是第1層防線的來襲目標數(shù)量。

第層防線的毀傷數(shù)量為：

3 仿真分析

3.1 案例求解

在某次要點奪控行動中，紅方使用無人機集群對藍方某個區(qū)域內(nèi)的重點防護目標進行突襲，藍方設置遠、中、近3層防線，防空武器分別為A、B和C 3種類型，其射擊周期分別服從參數(shù)為=1、=和=4的負指數(shù)分布，每類武器在同一時間只能對一個來襲目標進行射擊，具體參數(shù)見表1。假定來襲的無人機集群中的每個作戰(zhàn)單元符合泊松流形式，來襲密度=8架/min，來襲時間為8 min，來襲總數(shù)為64架。如果要求來襲目標的最終突防概率不大于0.1，現(xiàn)有防空武器能否滿足，若滿足要求，優(yōu)化其兵力部署。

表1 防空武器參數(shù) Tab.1 Air defense weapon parameters

利用第2節(jié)所建立的模型，對每層防線的防空效能進行層層求解，得到無人機集群通過每層防線時的未被射擊概率、突防成功概率和突防后密度，見表2。

從表2中結果可知，在現(xiàn)有防空武器裝備所構成的三層防空系統(tǒng)下，來襲無人機集群的最終突防概率為7.1%，能夠滿足不大于0.1的突防概率要求。同時，可以發(fā)現(xiàn)利用本文現(xiàn)有的防空武器，來襲無人機集群通過第三層防線時被射擊的概率幾乎可以達到100%，但是仍有7.1%的無人機作戰(zhàn)單元突防成功。這說明當防空武器數(shù)量滿足來襲無人機集群強度時，提高武器毀傷率對于提高作戰(zhàn)效能有很大的幫助。

表2 各層防線防空效能計算結果 Tab.2 Calculation results of air defense effectiveness of each layer of defense line

3.2 結果分析與優(yōu)化

為滿足多層次、立體化攔截的要求，鑒于第1層防線的遠程防空武器數(shù)量為1，因此不作為變量進行分析。研究每層防線防空武器的數(shù)量問題就變成了第2、3層防線防空武器的數(shù)量問題（下同），在滿足無人機集群突防概率不大于0.1的情況下，使得第2、3層防線的防空武器數(shù)量組合最小，從而得到防空武器部署優(yōu)化模型為：

基于上述模型，將第2、3層防線的中程、近程防空武器數(shù)量作為變量，與2.2節(jié)和2.3節(jié)所建立模型相結合，得到中程、近程防空武器數(shù)量與無人機集群最終突防概率的關系，如圖2所示。

圖2 防空武器數(shù)量–目標突防概率關系 Fig.2 Relationship between number of air defense weapons and target penetration probability

從圖2中可以看到，隨著中程、近程防空武器數(shù)量的增加，無人機集群突防概率呈現(xiàn)出“前快后慢”的變化趨勢。在云圖中突防概率≤0.4的區(qū)域，隨著武器數(shù)量的增加，其坡度的變化越來越緩慢，說明在這個區(qū)域逐漸出現(xiàn)了“飽和式攻擊”。因此，在進行防空武器兵力部署時，不一定要追求數(shù)量上的越多越好，數(shù)量過多反而會加大兵力負擔，降低效費比，造成浪費。

將突防概率0.1作為臨界值，把=0.1的平面作為臨界面與突防概率模型相交，其交線定義為“臨界線”。可以得到，在“臨界線”兩側分別為滿足防御要求的武器數(shù)量和不滿足防御要求的武器數(shù)量。為了更形象表達，將圖2的相交平面進行投影，然后將投影區(qū)域數(shù)字化和網(wǎng)格化，進而得到了在指定突防概率條件下每層防線的武器數(shù)量與防御效果，如圖3所示。將“臨界線”兩側分別定義為危險區(qū)和安全區(qū)，通過圖3可以直觀地看到中程、近程防空武器數(shù)量組合所對應的防御效果。在紅色安全區(qū)，防空武器數(shù)量可以任意搭配，均能夠保證不大于0.1的無人機集群突防概率，越靠近“安全線”，防空武器的總數(shù)量越少，即“安全線”內(nèi)側的武器組合總數(shù)量大于外側的武器組合總數(shù)量。在“安全線”內(nèi)側的武器組合中，“安全線”轉折處的武器組合總數(shù)量最小且相同。在滿足盡可能用最少武器總數(shù)量達到指定防空效果的前提下，將該處的區(qū)域定義為“理想?yún)^(qū)”，顯然，本文有2個“理想?yún)^(qū)”可供選擇。

圖3 武器數(shù)量與防御效果對照 Fig.3 Comparison chart of weapon quantity and defense effect

根據(jù)3.2.1節(jié)結果可知，雖然可能出現(xiàn)多組處在“理想?yún)^(qū)”的防空武器組合，但其總體防御成本必然存在差異，因此當防空系統(tǒng)中武器總數(shù)量相同時，經(jīng)濟效益將是決定武器組合“最優(yōu)解”的重要因素。對于層防線的防空系統(tǒng)，其總體防御成本可以利用數(shù)學中期望值的概念進行求解。將單個來襲目標在每層防線中的被射擊概率和單次攔截成本乘積的總和定義為防空系統(tǒng)對單個來襲目標防御成本的期望值，再把期望值與目標總數(shù)相乘，即可得到總體防御成本，見表3。

表3 單個來襲目標進入第m層的防御成本 Tab.3 Defense cost of a single incoming target entering layer m

防空系統(tǒng)對單個來襲目標防御成本的期望值如式（23）所示：

由于無人機集群總數(shù)為定值，式（23）所求的對單個來襲目標防御成本即可代替總體防御成本，對本文部署優(yōu)化結果無影響。根據(jù)第2節(jié)所建立模型，結合前文已經(jīng)求得的“安全區(qū)”和“理想?yún)^(qū)”結果，在此基礎上將攔截成本考慮其中，得到在滿足指定突防概率條件下，防空武器總數(shù)量最小，防御成本最低的最優(yōu)解。經(jīng)過求解，得到在滿足不大于0.1的突防概率條件下，遠程、中程和近程防空武器分別為1、5、3套的數(shù)量組合對單個來襲目標防御成本達到最低，為89.2萬元，是本文“理想?yún)^(qū)”內(nèi)的最優(yōu)解。

4 結論

立足我國當前軍事形勢，基于排隊論模型，對3層防線構成的防空系統(tǒng)層層建模，描述無人機集群來襲過程，得到了本文案例中無人機集群未被射擊概率、突防成功概率和突防后密度等指標的結果。

1）在滿足指定突防概率條件下，將防空武器數(shù)量作為優(yōu)化目標，建立防空武器部署優(yōu)化模型，發(fā)現(xiàn)隨著中程、近程防空武器數(shù)量的增加，無人機集群突防概率呈現(xiàn)出“前快后慢”的變化趨勢。當防空武器數(shù)量滿足來襲無人機集群強度時，提高防空武器毀傷率對于提高作戰(zhàn)效能有很大的幫助。

2）提出“安全線”和“理想?yún)^(qū)”模型對防空武器組合進行劃分，直觀便捷地得到了能夠滿足指定突防概率和最小數(shù)量的武器組合，具有較強的工程價值。

3）在最小數(shù)量的武器組合基礎上，將防御成本作為優(yōu)化目標，利用期望值概念計算防空系統(tǒng)對單個來襲目標的防御成本，得到了當遠程、中程和近程防空武器分別為1、5、3套時，總體防御成本最低，對單個來襲目標的防御成本為89.2萬元，是“理想?yún)^(qū)”內(nèi)的“最優(yōu)解”。