三角函數(shù)的概念課例

張巧芬

教材分析

“三角函數(shù)”是普通高中人教A版新教材《數(shù)學》（必修第一冊）第五章的一節(jié)新授課。本節(jié)課具有承上啟下的重要作用。一方面，三角函數(shù)是對函數(shù)概念的一個加深也是對弧度制意義的一種深化;另一方面，三角函數(shù)是刻畫圓周運動規(guī)律的重要模型，是勻速圓周運動的最本質(zhì)的體現(xiàn)。

學情分析

其次在本章內(nèi)容之前，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念，并抽象了指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等，對于如何用某類函數(shù)刻畫相應現(xiàn)實問題的變化規(guī)律總結(jié)了一定的經(jīng)驗。即學生要經(jīng)歷“背景—研究對象—對應關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程。

教學目標

1、了解三角函數(shù)的背景，體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切關(guān)系。

2、經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。

教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義

教學難點：影響單位圓上點的坐標變化因素分析，三角函數(shù)的定義方式的理解

教學思路

1、復習回顧，揭示課題

讓學生復習推廣后的角的概念和弧度制，為接下來研究三角函數(shù)概念的學習做好鋪墊。

2、創(chuàng)設(shè)情境，明確背景

在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型之一”的先行組織下，提出問題：現(xiàn)實世界而中存在著各種各樣的“周而復始”的變化現(xiàn)象，圓周運動是這類現(xiàn)象的代表。其特點是一個質(zhì)點P繞圓心O作勻速圓周運動，那么它的運動規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？

3、歸納探究，發(fā)現(xiàn)共性

本環(huán)節(jié)主要圍繞“如何建立勻速圓周（單位圓）運動的數(shù)學模型”這一三角函數(shù)的本質(zhì)展開，在三角函數(shù)中，影響單位圓上點的坐標變化因素較多，為了破除學生在對應關(guān)系認識上的定勢，幫助他們搞清楚三角函數(shù)的“三要素”，先讓學生明確“給定一個特殊角，如何得到對應的函數(shù)值”（建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系），再借助信息技術(shù)，通過恰時恰點的問題串，引導學生經(jīng)歷“任意角a→a的終邊OP→單位圓上點P的橫、縱坐標”的過程，使學生獲得以下對應關(guān)系，

任意角（弧度）對應于點P的縱坐標? （1）

任意角（弧度）對應于點P的橫坐標 ? （2）

4、生成概念，恰當命名

學生確認（1）（2）就是刻畫圓周運動的函數(shù)模型，然后讓學生以小組討論進行函數(shù)的命名及數(shù)學符號的表達，學生能從知識的類比與延伸思想方法中得到啟發(fā)，繼續(xù)沿用“正弦、余弦”名稱和記號的結(jié)論。將“銳角三角形”自然融化到“任意角三角函數(shù)”函數(shù)體系中，表現(xiàn)出數(shù)學發(fā)展過程中的和諧之美。由于學生始終把注意力集中在三角函數(shù)的“函數(shù)特性上”，可以使學生再一次認識函數(shù)的本質(zhì)。

教學實錄

1、復習回顧，揭示課題

問題1、學習了任意角和弧度制，你印象最深刻的是什么？

師生活動：學生復習回顧上節(jié)課的內(nèi)容，并用自己的語言概括總結(jié)上節(jié)課的核心內(nèi)容。

設(shè)計意圖：通過回顧任意角和弧度制，為接下來的探究做好鋪墊

問題2、生活中有哪些圓周運動？

師生活動：學生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行交流，舉例說明。

設(shè)計意圖：通過學生自身對現(xiàn)實生活中圓周運動現(xiàn)象的表達與交流，讓學生體會客觀世界“周而復始”變化現(xiàn)象，為抽象數(shù)學概念埋下伏筆并引出課題。

3、創(chuàng)設(shè)情境，明確背景

問題3、“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型之一”，圓周運動在生活中隨處可見，如游樂場的摩天輪。為了便于刻畫這種生活中常見的圓周運動，我們可以把該問題抽象為一個質(zhì)點P繞圓心O作勻速圓周運動，那么它的運動規(guī)律該用什么函數(shù)模型描述呢？

追問1、如圖1所示，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，請你建立一個函數(shù)模型，刻畫位置變化情況。

追問2、根據(jù)已有的研究函數(shù)的經(jīng)驗，你認為可以按怎樣的路徑研究上述問題？

師生活動：學生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行交流，通過討論得出研究路徑是：明確研究背景→對應關(guān)系的特點分析→下定義→研究性質(zhì)。

4、歸納探究，發(fā)現(xiàn)共性

下面我們利用直角坐標系來研究上述問題。如圖2所示，以單位圓的圓心為原點，以射線為軸的非負半軸，建立直角坐標系，點，點的坐標為，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)角，終止位置為

問題4、當時，點的坐標是什么？當，點的坐標又是什么？他們唯一確定嗎？

師生活動：

追問：（3）當時，求點的坐標要用到什么知識？求點的坐標的步驟是什么？點P的坐標唯一確定嗎？

生1：求點P的坐標要用到直角三角形性質(zhì).畫出的終邊，過點作軸的垂線交軸于M，在OMP中，利用直角三角形的性質(zhì)可得點的坐標

（4）如何利用上述經(jīng)驗求當時，點的坐標？

生：利用三角形性質(zhì)求出終邊與單位圓的交點的坐標，即為點的坐標。