具有垂直傳染的隨機(jī)SIR傳染病模型的定性分析

葉麗霞，蘭德新，陳芳媛

（武夷學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，福建 武夷山 354300）

1 研究背景

傳染病是由各種病原體引起的能在人與人、動物與動物或人與動物之間相互傳播的一類疾，尤其是2019年我國出現(xiàn)的新冠狀病毒（COVID-19），傳播速度快，感染性極強(qiáng)，已嚴(yán)重危害人類的生命健康和國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展[1-2]。因此，對傳染病建立數(shù)學(xué)模型，研究其傳播規(guī)律，為人們防控疾病和研發(fā)疫苗提供相應(yīng)的理論依據(jù)[3-4]。目前，對傳染病模型已建立許多研究成果，如具有帶病毒變異的SIR模型解的漸近形態(tài)[5]，基于隔離控制的無垂直傳染SIR模型的穩(wěn)定性分析[6]，考慮染病母體的新生兒可以接種的具有垂直傳染的SIR傳染病模型的定性分析[7-8]，具有時滯和脈沖疫苗接種的SIR傳染病模型的分析等[9]。

然而在現(xiàn)實情況中，環(huán)境因素，如濕度，降水和溫度等對疾病病菌的傳播起著重要的作用[10]。李瓊等考慮種群之間的部分作用系數(shù)受到隨機(jī)因素的干擾，建立一類具有飽和感染率的隨機(jī)SIR傳染病模型的性質(zhì)分析[11]。ZHU等提出一類具有離散延遲的隨機(jī)SIR傳染病模型并建立無病平衡點的穩(wěn)定性[12]。因此，在研究傳染病模型的過程，環(huán)境隨機(jī)因素的干擾是不可避免的，基于隨機(jī)干擾的傳染病模型具有十分重要的研究意義[13-20]。

在汪金燕模型的基礎(chǔ)上[8]，考慮易感體、染病體的死亡率b1,b2受到環(huán)境白噪聲的干擾：b1→b1+σ1B（t），b2→b2+σ2B（t），其中B（t）是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，σi（i=1,2）>0分別為它們的強(qiáng)度，建立一類具有垂直感染的隨機(jī)SIR傳染病模型。通過建立合理的Lyapunov函數(shù)，運(yùn)用It?積分，建立該系統(tǒng)依期望全局漸近穩(wěn)定的判別準(zhǔn)則，并利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，驗證所建理論的準(zhǔn)確性與有效性。

2 主要結(jié)論

研究的模型描述如下：

其中：A為輸入率（單位時間內(nèi)由于人口遷徙及出生而進(jìn)入易感者的數(shù)量），S（t）,I（t）,R（t）分別表示易感個體的數(shù)量、傳染病個體的數(shù)量、免疫個體的數(shù)量。記總?cè)丝贜（t）=S（t）+I（t）+R（t）。τ（τ＞0）表示傳染病患者從染病到能夠傳染給易感者的間隔時間，β表示傳染率，γ表示傳染病患者的恢復(fù)率。b表示t時刻傳染病患者的出生率系數(shù)，b1、b2、b3分別表示t時刻易感個體、染病個體和免疫個體的死亡率，b1＜min｛b2,b3｝。

假設(shè)只對染病者未被感染的新生兒進(jìn)行接種，接種率為m，垂直感染率設(shè)為p（p+q=1）。

It?積分在隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性研究中起著重要的作用，對于隨機(jī)系統(tǒng)dx（t）=f（x,t）dt+g（x,t）dB（t），設(shè)V（x,t）是關(guān)于x和t的正定函數(shù)，且和存在，則存在一個隨機(jī)微分算子

其中：LV（x,t）=Vx（x,t）f（x,t）+（1/2）trac［gT（x,t）Vxx（x,t）g（x,t）］+Vt（x,t）。

定理2.1 若系統(tǒng)(1)滿足以下條件：

證明 構(gòu)造Lypunov函數(shù)

利用It?積分，則有

由已知條件（1）、（2）、（3），則二次型矩陣Ξ為負(fù)定矩陣，則E[d V]=E[LV]＜λmax（Ξ）‖ξ（t）‖2＜0,這里E表示隨機(jī)過程的期望，則系統(tǒng)(1)在處是依期望全局漸近穩(wěn)定的。

推論2.1假設(shè)系統(tǒng)（1）免疫個體的死亡率b3=0。若系統(tǒng)（1）滿足則該系統(tǒng)在平衡點（S*（t），I*（t），R*（t））＝處是依期望全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 示例

考慮系統(tǒng)(1)的初始值為S（0）=10,I（0）=5,I（0）=1。選取A=0.3，b=0.1，β=0.1，P=0.08，q=0.92，m=0.8，b1=0.2，b2=0.2，b3=0.01，γ=0.01，σ1=0.1，σ2=0.1?？傻媚Ｐ腿缦?

Matlab數(shù)學(xué)軟件中運(yùn)行結(jié)果如圖1。

圖1 系統(tǒng)（1）S（t），I（t），R（t）隨t的變化Fig.1 System（1）S（t），I（t），R（t）change with t

從圖1中可以看出S（t），I（t），R（t）隨t的變化情況。隨著t的增大，S（t），I（t），R（t）最終將趨于穩(wěn)定(特別在t≥30之后系統(tǒng)(1)全局漸近穩(wěn)定)。

4 結(jié)論

基于實際應(yīng)用背景，考慮加入隨機(jī)干擾，研究具有垂直感染的隨機(jī)SIR傳染病模型，對該系統(tǒng)分析其依期望全局漸進(jìn)穩(wěn)定。定理2.1給出該系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的一個充分條件，并給出定理2.1的推論，考慮該系統(tǒng)個體具有較強(qiáng)的免疫力，分析該系統(tǒng)參數(shù)和干擾系數(shù)的關(guān)系，而且表明該系統(tǒng)具有較強(qiáng)的抗干擾性。最后，通過1個實例并借助Matlab軟件作圖，具體描述該系統(tǒng)個體密度隨時間的變化情況。