簡論基于教材習題的變式訓練

201399 上海市南匯第二中學 潘 春

《上海市中小學數(shù)學課程標準》(以下簡稱“課標”)指出：數(shù)學課程不僅應該重視教學的內(nèi)容和要求，更應該充分關注課程中的學習過程，創(chuàng)設有利于學生、教師發(fā)揮主體性和創(chuàng)造性的條件.要遵循認知心理發(fā)展的規(guī)律，合理組織教學內(nèi)容；要展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和應用的過程；要為學生探索求知創(chuàng)設合適的情景，重視從問題出發(fā)、設計以解決問題的活動為基礎的數(shù)學認識過程；要建立合理的數(shù)學學習訓練系統(tǒng)；要向學生提供豐富的學習資源，使學生的認知過程提升.

在日常的教學實踐中,教師講解的內(nèi)容多為教材上的習題，教材習題應該怎樣講解？是照著教材直接搬給學生嗎？近幾年的中考試卷中不少試題靈感源于教材，難度又高于教材.習題是數(shù)學教材的重要組成部分，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源.一道普通的教材習題可能蘊藏著豐富的教學功能，教師應重視教材習題的講解與變式訓練.由一道題引申出一串題，由單向練習發(fā)展為多向練習，挖掘源于教材習題又高于習題的變式練習，促使學生思維靈活應變，由表及里、層層深入，拓展學生思維，提高學生綜合運用知識和自主學習的能力.筆者結合教學實踐，闡述教學過程中的幾種“變法”.

一、 變條件或結論，提高學生的類比、歸納能力

很多學生習慣于機械式、呆板地解題，如果略微改變條件或結論，解題就會出現(xiàn)問題，究其原因是學生思維僵化，沒有真正掌握知識的本質，不善于聯(lián)想類比.如果能在教材的習題中通過改變條件或結論進行變式訓練，形成題組，對易誤解的概念、性質、結論進行類比，讓學生清晰地認識到知識的本質，會有更好的教學效果.

學生在七年級第二學期學習等腰三角形時，形如例1(滬教版七年級第二學期練習冊習題14.5填空題)的題型經(jīng)常出現(xiàn).如果略微改變例1的條件，學生解題就很容易出錯.在課堂上將例題與變式放在一起，形成一個題組，能讓學生進行明確的比較，更容易記住并掌握等腰三角形的性質.

例1如果等腰三角形的一個底角為34°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式1如果等腰三角形的一個內(nèi)角為34°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式2如果等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式3如果等腰三角形的一個外角為140°，那么與這個外角不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

六年級第二學期教材第50頁中有一道關于環(huán)形跑道的例題，在這道例題的教學中，可以改變例題的結論，使得題目變得更具探索性.其變式2需要進行分類討論，考查了學生思維的嚴密性.

例2小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習跑步和競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點同向出發(fā)，幾分鐘后兩人第一次相遇？

變式1小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習跑步和競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點反向出發(fā)，幾分鐘后兩人第一次相遇？

變式2小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習跑步和競走(各自跑完一圈就停下)，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點反向出發(fā)，幾分鐘后兩人相距100米？

在七年級第一學期公式法因式分解的教學中，可對公式中的a和b不斷進行變式，先將公式中的a和b變換為單個字母或數(shù)字，再換成單項式，再到多項式，形成有梯度的題組，使學生逐步掌握從易到難的公式法因式分解.這一過程中題目由淺入深，有梯度的變式能讓學生達到熟練運用公式的效果.

例3a2-b2=(a+b)(a-b).

變式1x2-1=(x+1)(x-1).

變式24x2-1=(2x+1)(2x-1).

變式34x2-9=(2x+3)(2x-3).

變式44x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y).

變式54(x-1)2-1=[2(x-1)+1]·[2(x-1)-1].

變式64(x-1)2-9(y+1)2=[2(x-1)+3(y+1)][2(x-1)-3(y+1)].

上述三道例題改變教材中習題的條件或結論，讓學生練習在知識、方法上有關聯(lián)而在形式上又不同的題目組成的題組，使學生加深對一些基本知識、公式及重要的數(shù)學思想方法的領會，達到觸類旁通的境界,并且拓展了學生思維的深度和廣度，使學生克服思維中的絕對化，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的數(shù)學能力.

二、 變圖形，提高學生的邏輯思維能力

很多學生自開始學幾何起數(shù)學成績就有所下降，這是因為他們的幾何邏輯思維能力還不夠，解答幾何題時沒能深入了解圖形間的變化規(guī)律或知識點間內(nèi)在的聯(lián)系.變式訓練是提高學生邏輯思維能力、提高解幾何題目能力的方法之一.在課堂上可以改變教材習題的圖形，在圖形的變化中使學生更加深入地掌握當堂課所要學習的性質、定理，也可以使學生更靈活地將所學知識運用到更多題目中.這樣的變式訓練能有效提高教學效率，提高學生的邏輯思維能力.

例4(滬教版八年級第二學期教材第98頁)

求證：順次聯(lián)結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

變式1求證：順次聯(lián)結矩形四條邊的中點，所得的四邊形是菱形.

變式2求證：順次聯(lián)結菱形四條邊的中點，所得的四邊形是矩形.

變式3(滬教版八年級第二學期練習冊第50頁) 已知：如圖1-1，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，點M，N，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC，AB，DC的中點.求證：四邊形MENF是菱形.

變式4已知：如圖1-2，四邊形ABCD中，AC=BD，點M，N，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC，AB，DC的中點.求證：四邊形MENF是菱形.

圖1-1圖1-2

變式5已知：如圖1-3，四邊形ABCD中，點M，N，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC，BD，AC的中點.求證：四邊形MENF是平行四邊形.

變式6已知：如圖1-4，四邊形ABCD中，點M，N，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC，BD，AC的中點，且AB=CD，求證：四邊形MENF是菱形.

圖1-3圖1-4

例4和變式3分別是教材和練習冊上的配套習題.改變這兩道題目的條件或圖形，組成一個題組，學生通過對這組題目的辨別，高效地串起相關知識點，加深對題目知識點的理解，提高解題能力和歸類能力.

變圖形是一種重要的變式訓練手段，也是近年來中考試題中的熱點問題.可以通過點的運動,翻折、平移、旋轉、剪切、割補等方法來變圖形，將發(fā)散的條件從圖形的某一部分轉移到適當?shù)男碌奈恢蒙?集中、匯集已知條件和求證結論，拓寬解題思路，不僅有助于學生從運動變化的角度去認識事物，了解圖形間的聯(lián)系，還能培養(yǎng)學生的邏輯思維能力以及綜合運用知識的能力.

三、 變內(nèi)容，即一法多用，提高學生求同存異的能力

數(shù)學的思想方法有很多，但學生總是不能很好地運用或根本不知道某些方法的用法.很多時候教師在教學中只是教，學生呆板地模仿，這樣的教學缺乏對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，學生僅僅停留在被動學習的層面.有時為了提高數(shù)學成績，學生和教師都步入“題海戰(zhàn)術”的誤區(qū).將一法多用運用到課堂教學中，不僅能提高學生對數(shù)學方法的掌握能力，也能提高學生學習數(shù)學的興趣.同時，課標要求“教師通過對教學內(nèi)容的‘問題化’組織，將教學內(nèi)容轉化為符合學生心理特點的問題，激發(fā)學生的學習興趣，促進學生的自主探究與合作交流”.在課堂教學中進行一法多用的變式訓練時，可以讓學生合作交流，達到課標的這一要求.

在幾何圖形中，“倍長中線法”是常用的解題方法，學生卻總是忽略這種方法.為使學生對這一方法的印象更為深刻，筆者利用教材中的一道例題將其引入后，立刻給出變式訓練，同時在課堂中采用學生合作交流的模式，讓學生自主研究.

例5(八年級第一學期教材第97頁例題) 已知：如圖2-1，D是BC上的一點，BD=CD,∠1=∠2.求證：AB=AC.

圖2-1圖2-2

教材例題示范了如何用倍長中線法旋轉一個三角形構造一對全等三角形(如圖2-2所示)，但僅靠這道題還不足以讓學生理解和掌握這一方法，所以課堂上筆者又給出了以下變式練習.

變式1如圖2-3，在△ABC中，若AB=8,AC=6，求BC邊上的中線AD長度的取值范圍.(可通過如圖2-4的倍長中線法解決)

圖2-3圖2-4

變式2(2020山東中考) 問題探究：小紅遇到這樣一個問題.如圖2-5，在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍.她的做法是延長AD到E，使DE=AD，聯(lián)結BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.請回答下列各題.

(1)小紅證明△BED≌△CAD的判斷理由是________.

(2)AD的取值范圍是________.

(3)如圖2-6，AD是△ABC的中線，在AD上取一點F，聯(lián)結BF并延長交AC于點E，使AE=EF，求證：BF=AC.

圖2-5圖2-6

要將一種方法學好、學透不是易事，好辦法之一就是變式訓練.通過變內(nèi)容但不變方法來達到深化某種數(shù)學方法的目的，學生能觸類旁通，舉一反三，以有限的訓練去領悟數(shù)學的機智.這既能讓學生減負，不用通過“題海戰(zhàn)術”來掌握某種方法，又能提高學生對數(shù)學學習的求知欲.

四、 變方法，即一題多解，提高學生的發(fā)散性思維能力

目前學生有一個較為普遍的問題：思維單一，不夠嚴密、完整.在題目講解中，教師可通過變方法有效地訓練學生從不同角度考慮問題，提高學生思維的嚴密性和發(fā)散性.一題多解可以溝通知識間的聯(lián)系，幫助學生加深對所學知識的理解，促進思維的靈活性，提高解決問題的能力，使其品嘗到學習成功的快樂.

在講解習題時，教師往往會將自己的解題思路強加給學生，不給學生“試錯”的機會.教師應該樹立以學生為中心的理念，讓學生去分析問題、解決問題、反思問題，讓他們通過獨立思考或合作研究等方式充分展示自己的解題思路，把課堂真正交給學生.在《數(shù)學學科基本要求》中有如下例題(例6)，筆者對這道例題采取讓學生自己講解的方法.課堂上學生一個接著一個講解自己的方法，最后筆者又讓學生對自己和同伴的方法進行比較，看看誰的方法更好，分別運用了哪些知識點.一節(jié)課下來，學生學得不亦樂乎，意猶未盡，課后還在積極討論.在課堂上進行這樣的一題多解的變式訓練雖然會花不少時間，可能一節(jié)課只能講解一道題，但這是值得的.因為這樣的變式訓練既能使學生觸類旁通，雖解一題，但實際解了多題，又有助于總結方法，發(fā)現(xiàn)方法，使知識升華，還能使學生印象深、興趣濃，有助于優(yōu)良思維品質的形成.

圖3-1

方法1：如圖3-2，過點E作BC的平行線，交AB于點G.

方法2：如圖3-3，過點D作AB的平行線，交BC于點H.

方法3：如圖3-4，聯(lián)結AE并延長交BC的延長線于點I.

圖3-2

圖3-3

圖3-4

一題多解的實質是以不同的論證方式反映條件和結論的本質聯(lián)系，這種變式在幾何題中尤其多.這種變式訓練要求學生從不同角度思考問題、解決問題，既能開闊思路，又能引發(fā)學生學習的興趣，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

教材習題是全面評價學生在知識技能、數(shù)學思維、問題解決和情感態(tài)度等方面綜合能力的重要依據(jù)，也是考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效載體，值得深入研究.教材是教師備課、教學的行動指南，教師對教材的理解透徹與否、對教材的使用科學與否直接關系到教學效果.教師可以通過適當改變習題的條件、結論、圖形、方法等，引導學生反思教材習題的變式訓練，幫助學生鞏固所學知識、拓寬思路，舉一反三，逐步提高數(shù)學思維能力.對教材習題進行變式訓練必須先明白習題本身蘊含的知識點以及設計意圖，再結合學生實際情況進行變式，讓變式訓練更具針對性，使教學內(nèi)容更深入學生的最近發(fā)展區(qū).