“二次函數(shù)回歸模型
——拋球入籃問(wèn)題”的數(shù)學(xué)建模單元教學(xué)設(shè)計(jì)*

210003 南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 管慧慧

一、 內(nèi)容與內(nèi)容解析

內(nèi)容：

建立生活情境中的二次函數(shù)回歸模型——對(duì)“拋球入籃問(wèn)題”的建模研究

.

內(nèi)容解析：

二次函數(shù)回歸模型是回歸模型概念的一個(gè)下位概念，是與線(xiàn)性回歸模型同級(jí)的概念，因此教學(xué)過(guò)程中要充分應(yīng)用類(lèi)比和化歸的研究方法

.

從整體教學(xué)的理念出發(fā)進(jìn)行單元式設(shè)計(jì)，落實(shí)新課標(biāo)提出的跳出課時(shí)，更為整體地規(guī)劃學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展

.

教師對(duì)教材中具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合，形成相對(duì)完整的單元，以?xún)?yōu)化教學(xué)效果，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造機(jī)會(huì)

.

本單元內(nèi)容基礎(chǔ)來(lái)源于三個(gè)方面

.

蘇教版數(shù)學(xué)教材中，必修3介紹了兩個(gè)變量間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，包括畫(huà)散點(diǎn)圖、最小二乘思想、用最小二乘法求回歸直線(xiàn)方程等內(nèi)容；選修2-3介紹了回歸分析的基本思想和方法；選修2-1介紹了利用導(dǎo)數(shù)求一元函數(shù)最值的方法

.

在此基礎(chǔ)上，學(xué)生在本單元進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)(非線(xiàn)性)回歸模型的建立方法

.

學(xué)生將以自主實(shí)驗(yàn)“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點(diǎn)預(yù)測(cè)拋球能否入籃”為載體，運(yùn)用最小二乘思想，探尋二次函數(shù)回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)如何正確解讀模型的預(yù)測(cè)結(jié)果

.

學(xué)生將經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集和數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，豐富發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的體驗(yàn)，為將來(lái)開(kāi)展其他主題的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)

.

在推導(dǎo)拋球軌跡回歸方程的過(guò)程中，突出數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比、函數(shù)與方程、化歸等思想，有利于學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)思維的魅力和數(shù)學(xué)方法的靈活，提升數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力

.

因此，本單元的教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)體驗(yàn)實(shí)際拋球問(wèn)題的研究過(guò)程，學(xué)生理解二次函數(shù)回歸模型的基本思想和數(shù)學(xué)建模思想，發(fā)展在生活中發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力

.

二、 目標(biāo)和目標(biāo)解析

(1)結(jié)合真實(shí)體驗(yàn)，實(shí)地測(cè)量數(shù)據(jù)，體會(huì)模型的現(xiàn)實(shí)含義，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成合作探究精神和觀察世界的數(shù)學(xué)眼光

.

(2)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)位置點(diǎn)坐標(biāo)，探求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程的建立方法，即根據(jù)最小二乘思想,建立位置點(diǎn)橫縱坐標(biāo)間的二次函數(shù)最佳擬合關(guān)系式

.

體會(huì)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)形結(jié)合思想的重要性，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)真實(shí)問(wèn)題

.

(3)通過(guò)固定變量法，將尋找“二次函數(shù)回歸方程系數(shù)的估計(jì)值”轉(zhuǎn)化成“含參二次函數(shù)求最小值問(wèn)題”，類(lèi)比一元函數(shù)求最值的方法求多元函數(shù)最值，得到二次函數(shù)回歸方程，體會(huì)化歸思想和類(lèi)比思想

.

(4)通過(guò)殘差圖及與實(shí)際拋球結(jié)果對(duì)比，判斷模型的預(yù)測(cè)效果，理解統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用和數(shù)學(xué)結(jié)論回歸現(xiàn)實(shí)的必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活，鍛煉用數(shù)學(xué)思維思考世界

.

三、 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

(1)學(xué)生已熟練掌握了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，對(duì)生活中的拋球活動(dòng)十分熟悉，但數(shù)據(jù)測(cè)量是難點(diǎn)，考驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和工具的巧妙運(yùn)用

.

(2)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化過(guò)程挑戰(zhàn)較大

.

學(xué)生需要理解線(xiàn)性回歸模型中的最小二乘思想，才能構(gòu)建評(píng)價(jià)函數(shù)辨識(shí)未知量與已知量，才能將“求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程

y

=

ax

+

bx

+

c

系數(shù)的最佳估計(jì)值”轉(zhuǎn)化成“求使評(píng)價(jià)函數(shù)取得最小值時(shí)的

a

,

b

,

c

的值”

.

(3)模型求解環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要類(lèi)比一元函數(shù)求導(dǎo)思想，可能需要教師提示，且計(jì)算量較大，需要Excel操作的自學(xué)能力

.

本單元教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)據(jù)的收集，以及用最小二乘法求一元二次函數(shù)回歸方程的基本思想

.

四、 教學(xué)支持條件分析

學(xué)生借助攝像機(jī)、卷尺、長(zhǎng)尺、三角板、網(wǎng)球、建筑外墻等完成拋球?qū)嶒?yàn)，記錄相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)剪輯軟件、GeoGebra等對(duì)視頻和圖片進(jìn)行后期處理，運(yùn)用Excel輔助求解.學(xué)生已有的線(xiàn)性回歸知識(shí)和一元函數(shù)求導(dǎo)知識(shí)為本節(jié)課的教學(xué)提供了保證.

五、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

本單元分兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行(如圖1所示)

.

課時(shí)1：

預(yù)測(cè)模型類(lèi)型并討論合理性

.

小組合作實(shí)地拋球，視頻記錄并實(shí)地測(cè)量

.

課后對(duì)圖片和視頻做后期處理，形成“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點(diǎn)預(yù)測(cè)拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點(diǎn)數(shù)據(jù)

.

課時(shí)2：

抽取一組材料包中的拋球“不完整”視頻和軌跡的位置點(diǎn)數(shù)據(jù)，學(xué)生通過(guò)建立二次函數(shù)回歸方程，預(yù)測(cè)該次拋球是否入籃，解決問(wèn)題后回歸現(xiàn)實(shí)檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)思想反思模型的應(yīng)用與改進(jìn)

.

課時(shí)1 實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型抽象、數(shù)據(jù)收集

(一)形成模型假設(shè)，確定研究目標(biāo)

問(wèn)題1

做拋球?qū)嶒?yàn)時(shí)，球運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么，怎么刻畫(huà)？

預(yù)設(shè)答案：

根據(jù)物理知識(shí)，不計(jì)阻力的情況下，拋球運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條拋物線(xiàn)，可用一元二次函數(shù)刻畫(huà)

.

問(wèn)題2

實(shí)際拋球過(guò)程中，影響拋球軌跡的因素有哪些？

預(yù)設(shè)答案：

出手速度、角度；考慮到拋球距離不大，阻力、測(cè)量誤差等實(shí)際存在，且不可忽略

.

追問(wèn)1

這些因素中哪些是確定拋球軌跡所必須測(cè)量的？其他因素該怎樣處理？

預(yù)設(shè)答案：

方法不同，測(cè)量的量也不同

.

坐標(biāo)法需要測(cè)量球的一般位置坐標(biāo)，或與

x

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，或頂點(diǎn)坐標(biāo)；參數(shù)法需要測(cè)量出手速度和角度

.

摩擦力、風(fēng)速等外力影響存在但難以測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中應(yīng)盡量控制，使這些因素影響盡量小

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像或軌跡類(lèi)型和影響因素的探討，感知模型要素和適用條件，經(jīng)歷模型準(zhǔn)備環(huán)節(jié)(模型假設(shè)和變量確定)

.

追問(wèn)2

如果需要自己測(cè)量數(shù)據(jù)，確定拋球軌跡，你會(huì)怎樣設(shè)計(jì)測(cè)量方案，為什么？

預(yù)設(shè)答案：

可設(shè)計(jì)比較精準(zhǔn)的坐標(biāo)測(cè)量體系，建立平面直角坐標(biāo)系確定球的位置坐標(biāo)，或用軟件處理圖片，輔助確定球運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置坐標(biāo)

.

測(cè)量出手速度和角度需要特殊工具，課堂實(shí)地測(cè)量較難實(shí)現(xiàn)

.

追問(wèn)3

如何判斷球是否入籃，你會(huì)給出怎樣的判斷標(biāo)準(zhǔn)，為什么？

預(yù)設(shè)答案：

對(duì)“入籃”進(jìn)行定義

.

根據(jù)籃球投籃體驗(yàn)，常見(jiàn)的入籃有“空心入籃”和“打板后入籃”，其中“打板后入籃”本質(zhì)為在籃筐后立板的輔助作用下的入籃，拋球軌跡其實(shí)已發(fā)生改變

.

因此本實(shí)驗(yàn)中將“入籃”定義為“空心入籃”，即拋球軌跡在入籃瞬間并未改變，球入籃筐內(nèi)，且與邊緣無(wú)接觸

.

圖1 “二次函數(shù)回歸模型——拋球入籃問(wèn)題”的單元教學(xué)設(shè)計(jì)圖

對(duì)于“籃筐”的選取，根據(jù)所拋“球”的差異，選用不同“籃筐”

.

“籃球”小組選用標(biāo)準(zhǔn)籃筐；“高爾夫球”“網(wǎng)球”等小組，根據(jù)課堂實(shí)際取材的便利性，用“橫截面為圓形，半徑比所拋球半徑略大的筒狀物(如紙筒、塑料環(huán)等)”替代“籃筐”

.

提出假設(shè)條件

.

因?qū)嶋H“拋球入籃”為空間問(wèn)題，為方便測(cè)量，近似地認(rèn)為(盡量控制)拋球軌跡與籃筐中心點(diǎn)在同一平面內(nèi)，僅測(cè)量水平距離和豎直高度即可確定入籃位置

.

具體如下

.

對(duì)于“高爾夫球”“網(wǎng)球”等小組，拋球前，將籃筐緊貼墻面(籃筐橫截面與墻面垂直)放置并固定

.

拋球時(shí)，實(shí)驗(yàn)者將球貼近豎直墻面拋出，因?qū)嶋H實(shí)驗(yàn)中拋球軌跡平面與墻面距離

d

比球的半徑

r

略小，籃筐半徑

r

比球的半徑

r

大一點(diǎn)，考慮邊緣厚度

d

后，認(rèn)為球的質(zhì)心到墻面距離與籃筐(橫截面)中心到墻面距離近似相等，即

r

+

d

≈

r

+

d

，假設(shè)條件成立(如圖2所示)

.

對(duì)于“籃球”小組，拋球時(shí)盡量保持球的質(zhì)心與籃筐(上橫截面)中心在同一垂直于地面的平面內(nèi)

.

圖2 球與籃筐相對(duì)位置俯視示意圖

圖3 入籃俯視示意圖

提出入籃范圍的確定方法

.

測(cè)量籃筐邊緣厚度

d

，球的半徑

r

，籃筐半徑

r

(如圖3所示)，水平距離、豎直高度等，根據(jù)本組拋球測(cè)量方案確定具體入籃坐標(biāo)范圍

.

設(shè)計(jì)意圖：

探討方法的差異，統(tǒng)一課堂實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)獲取方法，便于學(xué)生參與，也利于課后自主調(diào)整方案

.

(二)小組合作實(shí)驗(yàn)，收集樣本數(shù)據(jù)

考慮到方案各異，且工序較復(fù)雜，拋球過(guò)程短，抓拍困難，成功實(shí)驗(yàn)的挑戰(zhàn)很大，實(shí)驗(yàn)以五人一組進(jìn)行

.

學(xué)生做五組拋球體驗(yàn)，小組討論后細(xì)化方案

.

教師出示以下單元挑戰(zhàn)任務(wù)

.

選擇本組認(rèn)為最可行的方法，確定細(xì)致的測(cè)量和實(shí)施方案，完成一次拋球并以視頻記錄，課后剪輯該次拋球的“不完整”視頻，標(biāo)注“確定拋球軌跡函數(shù)”的必要數(shù)據(jù)，給其他組同學(xué)出題：根據(jù)“不完整”視頻和數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)“球是否入籃”

.

解答完成后，出示該次拋球的“完整”視頻，共同分析預(yù)測(cè)結(jié)果及其原因

.

設(shè)計(jì)意圖：

學(xué)生需結(jié)合求二次函數(shù)的解析式所需的條件，綜合思考實(shí)驗(yàn)方案，確保出題有效性

.

看似“出題”，實(shí)則“被考”

.

問(wèn)題3

闡釋本組實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)收集方案及確定該方案的原因

.

預(yù)設(shè)答案：

關(guān)于球的選取，考慮到獲取的難易、質(zhì)心的確定、追蹤的難易、摩擦力等外力控制，各組經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)對(duì)比，認(rèn)為質(zhì)量較大、外形較小的球體對(duì)于確定球的運(yùn)動(dòng)軌跡更合適

.

多數(shù)組選擇高爾夫球或網(wǎng)球，也有組愿意用籃球嘗試，通過(guò)放大拋球距離，相對(duì)縮小測(cè)量誤差

.

關(guān)于拋球方案，各組選擇的二次函數(shù)模型集中在一般式

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

,

b

,

c

為參數(shù))，以及頂點(diǎn)式

y

=

a

(

x

-

h

)+

k

(

a

,

h

,

k

為參數(shù))，

x

為水平距離(或相對(duì)水平距離)，

y

為豎直高度(或相對(duì)縱向距離)

.

具體方案因數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置和個(gè)數(shù)各異，大致分為以下三類(lèi)

.

方案1

(頂點(diǎn)式模型

y

=

a

(

x

-

h

)+

k

)：出手點(diǎn)和籃筐在同一高度，拋球并記錄過(guò)程，視頻抓取球的最高點(diǎn)位置坐標(biāo)

.

方案2

(一般式模型

y

=

ax

+

bx

+

c

)：自制坐標(biāo)網(wǎng)格，直接追蹤拋球軌跡的位置點(diǎn)坐標(biāo)(如圖4所示)

.

圖4 方案2示例

方案3

(一般式模型

y

=

ax

+

bx

+

c

)：通過(guò)后期圖片處理或追蹤軟件確定拋球軌跡的位置點(diǎn)坐標(biāo)(如圖5所示)

.

圖5 方案3示例

追問(wèn)

對(duì)比這三種方案，最具代表性(可涵蓋其他方案知識(shí)點(diǎn))的方案是哪個(gè)？

預(yù)設(shè)答案：

方案1僅適于特殊情境的投籃問(wèn)題，最高點(diǎn)位置難捕捉

.

方案2可收集到一般位置點(diǎn)的坐標(biāo)，涵蓋方案1知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)在于如何制作合適的坐標(biāo)體系并精確測(cè)量坐標(biāo)

.

方案3思想與方案2相似，難點(diǎn)在于后期編輯軟件和數(shù)學(xué)軟件的使用

.

方案2、方案3更具代表性

.

學(xué)生建立坐標(biāo)系收集數(shù)據(jù).一組學(xué)生嘗試記錄拋球方案并根據(jù)建筑外墻輔助測(cè)量坐標(biāo)和誤差(如圖6所示)，一組學(xué)生用Photoshop合成完整拋球路徑、用GeoGebra軟件對(duì)坐標(biāo)進(jìn)行精確定位(如圖7所示)

.

圖6

圖7

設(shè)計(jì)意圖：

積累現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)，感受數(shù)據(jù)測(cè)量的難度和“模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的近似描述”的含義，為理解數(shù)學(xué)建模思想以及樣本與總體、隨機(jī)誤差、回歸方程等統(tǒng)計(jì)概念打下基礎(chǔ)

.

課時(shí)2 數(shù)學(xué)模型的建立、求解、應(yīng)用與反思

(三)實(shí)際問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”——建立回歸方程

多數(shù)小組選擇了方案2或方案3，本節(jié)課選擇一組學(xué)生的測(cè)量數(shù)據(jù)為例繼續(xù)研究

.

問(wèn)題4

根據(jù)位置點(diǎn)坐標(biāo)，如何確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數(shù)？

預(yù)設(shè)答案：

選取測(cè)量較精準(zhǔn)的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)一般式

y

=

ax

+

bx

+

c.

學(xué)生充分嘗試后產(chǎn)生困惑

.

測(cè)量誤差已控制到最小，為什么代入不同的三點(diǎn)坐標(biāo)，得到的系數(shù)值差別很大?

追問(wèn)1

為什么同組學(xué)生運(yùn)用相同坐標(biāo)系，選擇同一次拋球軌跡上的不同三點(diǎn)，求得的二次函數(shù)表達(dá)式卻不相同？

預(yù)設(shè)答案：

測(cè)量的是樣本位置點(diǎn)，因?yàn)榇嬖谡`差，這些點(diǎn)并不會(huì)完全落在所假設(shè)的拋物線(xiàn)上，而是落在那條曲線(xiàn)附近，所以用待定系數(shù)法求出的二次函數(shù)表達(dá)式不同

.

追問(wèn)2

產(chǎn)生誤差的原因有哪些？

預(yù)設(shè)答案：

誤差是隨機(jī)的，產(chǎn)生的原因較為復(fù)雜，可能有以下原因

.

(1)測(cè)量誤差

.

(2)圖像的保真誤差

.

(3)真實(shí)環(huán)境中的多種影響因素，如風(fēng)阻、摩擦力、實(shí)驗(yàn)時(shí)用質(zhì)點(diǎn)近似球體等，選用二次函數(shù)模型近似還原拋球軌跡，本身也存在誤差

.

追問(wèn)3

有了這些認(rèn)識(shí)，怎樣確定“最能代表拋球軌跡”的二次函數(shù)？

預(yù)設(shè)答案：

根據(jù)回歸分析知識(shí)，只能用二次函數(shù)回歸方程來(lái)近似表達(dá)拋球軌跡方程

.

所以不能僅取三點(diǎn)，而是要多取一些數(shù)據(jù)點(diǎn)，尋找“離這些點(diǎn)都近的那條拋物線(xiàn)”的二次函數(shù)方程

.

設(shè)計(jì)意圖：

學(xué)生體會(huì)到回歸模型的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)模型的確定性關(guān)系有區(qū)別，隨機(jī)誤差客觀存在

.

問(wèn)題5

怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)“離這些點(diǎn)都近的拋物線(xiàn)”？

預(yù)設(shè)答案：

類(lèi)比線(xiàn)性回歸模型刻畫(huà)“離所有點(diǎn)都近”的方法，就是求“使縱向距離(殘差)平方和最小”的二次函數(shù)的系數(shù)值，也即是求使取得最小值時(shí)的

a

,

b

,

c

的值

.

追問(wèn)1

不妨將建立的這個(gè)新函數(shù)稱(chēng)為評(píng)價(jià)函數(shù)，評(píng)價(jià)函數(shù)的自變量是什么？

預(yù)設(shè)答案：

點(diǎn)的位置坐標(biāo)(

x

,

y

)為已知量，

a

,

b

,

c

為未知量，評(píng)價(jià)函數(shù)是以

a

,

b

,

c

為自變量的三元二次函數(shù)，因而可以記為

追問(wèn)2

如何用評(píng)價(jià)函數(shù)刻畫(huà)拋球軌跡？

預(yù)設(shè)答案：

求拋球軌跡的二次函數(shù)回歸方程=

ax

+

bx

+

c

系數(shù)的最佳估計(jì)值，即求“使評(píng)價(jià)函數(shù)取得最小值時(shí)的

a

,

b

,

c

的值”

.

設(shè)計(jì)意圖：

“模型抽象”以實(shí)現(xiàn)描述性語(yǔ)言的數(shù)學(xué)化，從實(shí)際情境進(jìn)入數(shù)學(xué)世界，深入理解最小二乘思想

.

(四)模型求解——求回歸方程

問(wèn)題6

探究評(píng)價(jià)函數(shù)何時(shí)取得最小值

.

預(yù)設(shè)答案：

f

(

a

,

b

,

c

)是以

a

,

b

,

c

為自變量的三元二次函數(shù)，整理形式后，則有如果評(píng)價(jià)函數(shù)是一元函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值

.

但評(píng)價(jià)函數(shù)是三元(變量)函數(shù)，且從結(jié)構(gòu)上預(yù)判，直接展開(kāi)求解計(jì)算量太大

.

追問(wèn)1

(教師可提示性提問(wèn)) 如果將其中一元(如

a

)看作自變量，固定其余兩個(gè)量(如

b

，

c

)，即將

b

，

c

看作參數(shù)，類(lèi)比一元函數(shù)求導(dǎo)方法，我們可以得到怎樣的表達(dá)式？(視需要，教師也可引入偏導(dǎo)數(shù)的概念)

預(yù)設(shè)答案：

(1)將

a

視作唯一變量，有當(dāng)時(shí)，

f

(

a

)取得最小值

.

(2)將

b

視作唯一變量，有當(dāng)時(shí)，

g

(

b

)取得最小值

.

(3)將

c

視作唯一變量，則有當(dāng)時(shí)，

h

(

c

)取得最小值

.

整理后得到一個(gè)關(guān)于

a

,

b

,

c

的方程組：

追問(wèn)2

現(xiàn)有一組同學(xué)的六個(gè)觀察數(shù)據(jù)點(diǎn)(20，8)，(90，60)，(120，68)，(150，65)，(170，60)，(180，55)，怎樣求“使評(píng)價(jià)函數(shù)取得最小值的

a

,

b

,

c

的值”？

預(yù)設(shè)答案：

根據(jù)該組數(shù)據(jù)，

n

=6，得方程組

代入數(shù)據(jù)，因數(shù)值較大，用Excel輔助計(jì)算，整理得

用Excel的函數(shù)功能求解此方程組，得二次函數(shù)的回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086

.

設(shè)計(jì)意圖：

體會(huì)化歸思想，通過(guò)固定變量法解決多元二次函數(shù)求最值的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“模型求解”

.

(五) 模型的應(yīng)用與檢測(cè)——預(yù)測(cè)“拋球是否入籃”

問(wèn)題7

怎樣用所得函數(shù)預(yù)測(cè)“拋球是否入籃”？

預(yù)設(shè)答案：

讀取該組同學(xué)提供的數(shù)據(jù)包

.

選用了高爾夫球，球半徑

r

=2

.

2cm，籃筐設(shè)定在縱坐標(biāo)為0處，籃筐內(nèi)半徑

r

=3

.

8cm, 籃筐邊緣厚度

d

=1

.

2cm，得到“入籃”位置點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍區(qū)間(243.4cm,246.6cm),數(shù)值落在區(qū)間內(nèi)可判定“投中”

.

根據(jù)回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086=0，解得“入籃”位置點(diǎn)的橫坐標(biāo)為245

.

748cm，在預(yù)定區(qū)間,可判定本次拋球“入籃”

.

設(shè)計(jì)意圖：

思考如何運(yùn)用模型進(jìn)行實(shí)際預(yù)測(cè)，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論如何“回譯”到生活中

.

問(wèn)題8

模型合理嗎？怎樣檢測(cè)？

預(yù)設(shè)答案：

(1)計(jì)算殘差，繪制殘差圖，觀察殘差圖發(fā)現(xiàn)本次預(yù)測(cè)合理(如圖8所示)

.

圖8

(2)觀察投球的實(shí)際結(jié)果，對(duì)比該次拋球的“完整”視頻，同樣發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)正確

.

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析和現(xiàn)實(shí)結(jié)果對(duì)照，經(jīng)歷“模型檢測(cè)”，關(guān)注思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

.

(六)模型的反思與統(tǒng)計(jì)分析

問(wèn)題9

如果同一次拋球還觀察到第7組位置數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)一定滿(mǎn)足所得二次函數(shù)回歸方程=-0

.

00501

x

+1

.

295932

x

-15

.

9086嗎？

預(yù)設(shè)答案：

不一定

.

設(shè)計(jì)意圖：

再次反思回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別

.

問(wèn)題10

怎樣選取數(shù)據(jù)點(diǎn)有利于得到合理的二次函數(shù)回歸方程？

預(yù)設(shè)答案：

(1)考慮到統(tǒng)計(jì)取樣的有效預(yù)測(cè)范圍，數(shù)據(jù)點(diǎn)越接近籃筐位置越利于減少模型“外推”預(yù)測(cè)時(shí)的誤差

.

(2)盡量分散選取到不同位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)

.

(3)數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，求解時(shí)的計(jì)算量越大，適量選取代表性數(shù)據(jù)點(diǎn)即可

.

追問(wèn)

用Excel對(duì)這六組數(shù)據(jù)直接進(jìn)行二次函數(shù)擬合，能得到怎樣的回歸方程？

預(yù)設(shè)答案：

操作后發(fā)現(xiàn)，與以上所得回歸方程一致(選擇合適的近似數(shù)位，如圖9所示)

.

圖9 Excel對(duì)六組數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果

設(shè)計(jì)意圖：

引發(fā)學(xué)生思考數(shù)據(jù)的選擇方式與模型預(yù)測(cè)效果優(yōu)劣的可能關(guān)聯(lián)，同時(shí)關(guān)注到運(yùn)用軟件進(jìn)行二次函數(shù)擬合時(shí)，所得計(jì)算結(jié)果背后的數(shù)學(xué)原理

.

問(wèn)題11

有同學(xué)發(fā)現(xiàn)，如果用三次函數(shù)擬合給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，

r

值更高，怎樣看待這個(gè)現(xiàn)象？

預(yù)設(shè)答案：

判斷擬合效果時(shí)，除了考察統(tǒng)計(jì)指標(biāo)值，更應(yīng)該結(jié)合模型機(jī)理進(jìn)行分析，不能憑借單一的統(tǒng)計(jì)量下結(jié)論

.

根據(jù)物理知識(shí)和公式推演，拋球軌跡近似符合一元二次函數(shù)，不能僅通過(guò)

r

值高低簡(jiǎn)單推翻模型假設(shè)

.

設(shè)計(jì)意圖：

解決疑惑點(diǎn)，認(rèn)識(shí)模型機(jī)理分析與統(tǒng)計(jì)分析結(jié)合的重要性，不能機(jī)械地理解統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

.

六、 總結(jié)提升

問(wèn)題12

請(qǐng)從知識(shí)內(nèi)容、思想方法等方面說(shuō)說(shuō)本單元的學(xué)習(xí)收獲

.

預(yù)設(shè)答案：

對(duì)于這一開(kāi)放式問(wèn)題，可著重總結(jié)以下幾點(diǎn)

.

1

.

數(shù)據(jù)測(cè)量和數(shù)學(xué)建模的過(guò)程

.

2．最小二乘思想求二次函數(shù)回歸方程的方法

.

3

.

模型效果的檢測(cè)

.

4

.

模型結(jié)果在實(shí)際情境中的解讀、統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用等

.

設(shè)計(jì)意圖：

回顧數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，在實(shí)踐中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

.

問(wèn)題13

如果時(shí)間充裕，研究“拋球入籃”問(wèn)題時(shí)，你還會(huì)嘗試怎樣的不同方案？

預(yù)設(shè)答案：

可嘗試不同的模型類(lèi)型和收集數(shù)據(jù)的方式，如測(cè)量出手角度和初始速度，建立二次函數(shù)的參數(shù)式模型

.

設(shè)計(jì)意圖：

讓學(xué)生體會(huì)方法的可遷移性，探索同一問(wèn)題的不同研究角度，同時(shí)意識(shí)到建模不是一次性的學(xué)習(xí)過(guò)程

.

問(wèn)題14

本單元所學(xué)建模方法還可幫助你研究生活中哪些問(wèn)題？

預(yù)設(shè)答案：

運(yùn)動(dòng)會(huì)投擲的標(biāo)槍、噴泉設(shè)計(jì)、炮彈的發(fā)射、飛車(chē)飛越海峽、火山噴出的巖漿、節(jié)日的煙花等

.

設(shè)計(jì)意圖：

探討模型在其他情境中運(yùn)用的可能，為未來(lái)的學(xué)習(xí)和研究做準(zhǔn)備

.

七、 目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

課時(shí)1作業(yè)

對(duì)圖片和視頻做后期處理，形成“根據(jù)拋球軌跡上的數(shù)據(jù)點(diǎn)預(yù)測(cè)拋球能否入籃”的材料包，包含該次拋球“不完整”視頻、“完整”視頻和軌跡的位置點(diǎn)數(shù)據(jù)

.

采用小組互評(píng)和教師課堂觀察相結(jié)合方式，從方案可行性、視頻及數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性、題目合理性、個(gè)人貢獻(xiàn)度等維度對(duì)提交的作業(yè)進(jìn)行評(píng)分

.

課時(shí)2作業(yè)及單元作業(yè)

1

.

如表1，請(qǐng)畫(huà)出以下四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，用最小二乘法以函數(shù)型

y

=

ax

+

bx

+

c

擬合，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出擬合效果圖和殘差圖，并與運(yùn)用Excel或圖形計(jì)算器所得的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)

.

設(shè)計(jì)意圖：

直接復(fù)現(xiàn)本單元最小二乘法求解二次函數(shù)及其殘差的方法，關(guān)注模型求解和分析

.

2

.

完成一道來(lái)自其他組的題目，課堂交流展示選題理由、建模過(guò)程，或?qū)⒊晒谱鞒珊?bào)展示

.

表1

x值0.5122.5y值4.85.55.43.6

設(shè)計(jì)意圖：

延續(xù)課堂探討，充分尊重學(xué)生的探究成果，注重方案的多樣性和探究的自主性，個(gè)人探究與小組合作結(jié)合

.

3

.

圖10展示了某地一座拱橋，請(qǐng)用本單元所學(xué)建模方法給出拱橋的最佳擬合曲線(xiàn)方程，并確定這座橋的最大通行高度，將成果寫(xiě)成2000字左右的研究小論文

.

圖10

設(shè)計(jì)意圖：

從實(shí)際問(wèn)題的模型抽象出發(fā)，完整復(fù)現(xiàn)本單元的建模過(guò)程，再次體會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決生活問(wèn)題的方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模小論文的撰寫(xiě)能力

.

八、 教學(xué)反思

(一)挑戰(zhàn)性的建模教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)習(xí)變得自主

不少高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)仍停留在以考點(diǎn)為導(dǎo)向的重復(fù)性訓(xùn)練模式，亟需將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐运仞B(yǎng)為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)方式

.

數(shù)學(xué)建模具有“用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題”的特點(diǎn)

.

選擇貼合學(xué)生生活的素材合理設(shè)計(jì)教學(xué)，能幫助學(xué)生逐步建立自主思考的思維習(xí)慣，有利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

.

本單元建?；顒?dòng)中，無(wú)論是數(shù)據(jù)收集，還是“是否入籃”的判斷，解決的方案都不唯一，每一步均需細(xì)致考量，有時(shí)理論推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果還會(huì)產(chǎn)生矛盾

.

這與解決教材、試卷中確定性問(wèn)題的方法差異很大，學(xué)生在一個(gè)個(gè)具體環(huán)節(jié)中直觀感受到了認(rèn)知沖突，進(jìn)而促發(fā)自主思考，激活原有知識(shí)框架并不斷矯正認(rèn)知偏差，獲取對(duì)“隨機(jī)誤差”“回歸方程”等抽象概念的深層理解，從“一個(gè)”問(wèn)題上升到“一類(lèi)”問(wèn)題進(jìn)行思考，在挑戰(zhàn)中體會(huì)到“學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的趣味

.

(二)有探究張力的問(wèn)題串，讓思考走向深入

數(shù)學(xué)建模教學(xué)涉及的知識(shí)較豐富，環(huán)節(jié)較為復(fù)雜，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)相對(duì)缺乏，需要教師設(shè)計(jì)“中心突出、有探究張力”的問(wèn)題串進(jìn)行策略引導(dǎo)

.

本單元通過(guò)14組問(wèn)題串的討論，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生通過(guò)觀察生活、猜想、實(shí)驗(yàn)，形成觀察世界的“數(shù)學(xué)眼光”

.

再通過(guò)“實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化”，學(xué)生經(jīng)歷分析、類(lèi)比、創(chuàng)造等一系列思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界

.

在“模型反思”環(huán)節(jié)，學(xué)生深入體會(huì)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)建模思想和統(tǒng)計(jì)思想，形成思考世界的“數(shù)學(xué)思維”

.

教師對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)追問(wèn)，讓學(xué)生逐步看清問(wèn)題的癥結(jié)，實(shí)現(xiàn)思維突破

.

(三)開(kāi)放性的設(shè)計(jì)，讓發(fā)展呈現(xiàn)多元

開(kāi)放性意味著學(xué)生可進(jìn)行個(gè)性化設(shè)計(jì)，在小組合作中充分發(fā)揮自己優(yōu)勢(shì)，讓不同層級(jí)的學(xué)生都有問(wèn)題可想，都有貢獻(xiàn)和收獲，都在自己原有水平上得到發(fā)展

.

單元作業(yè)中也考慮到學(xué)生的多樣化需求，分別設(shè)置基礎(chǔ)任務(wù)和挑戰(zhàn)性任務(wù)，評(píng)價(jià)時(shí)加入過(guò)程性評(píng)價(jià)，充分關(guān)聯(lián)學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)和成長(zhǎng)點(diǎn)

.

(四)現(xiàn)代技術(shù)條件的支持，讓過(guò)程變得高效

充分利用現(xiàn)代技術(shù)可讓教學(xué)活動(dòng)更加生動(dòng)、高效

.

本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)于技術(shù)支持條件下的探究活動(dòng)表現(xiàn)出極大熱情，呈現(xiàn)出豐富而個(gè)性鮮明的實(shí)驗(yàn)成果，為模型分析和反思奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

.

通過(guò)Excel和圖形計(jì)算器等處理復(fù)雜數(shù)據(jù)，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了準(zhǔn)確率，確保單元探究高效而中心突出

.