高階思維視角下的幾何定理教學(xué)
——以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例

200233 上海市世界外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 梁 舒

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，分析和解決問(wèn)題的能力

.

按照布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類(此處看作思維目標(biāo))，教學(xué)目標(biāo)依據(jù)認(rèn)知復(fù)雜程度由低到高分為識(shí)記、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)層次，其中后三層(分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造)被稱為高階思維能力

.

高階思維體現(xiàn)了時(shí)代對(duì)人才素質(zhì)提出的新要求，也是適應(yīng)時(shí)代發(fā)展的關(guān)鍵能力

.

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維，尤其是分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造層次的高階思維

.

學(xué)生高階思維培養(yǎng)的主要場(chǎng)所是數(shù)學(xué)課堂

.

因此，教師在設(shè)計(jì)引入、概念形成、例題處理以及小結(jié)的各個(gè)環(huán)節(jié)上如何設(shè)計(jì)思維任務(wù)，啟發(fā)學(xué)生的高階思維顯得尤為重要

.

筆者以“三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論”為例，闡述對(duì)高階思維視角下課堂實(shí)施的見(jiàn)解

.

一、 教學(xué)環(huán)節(jié)

(一)情境導(dǎo)入

原題

一臺(tái)幻燈片投影儀被安裝在距離屏幕4米處，幻燈片距離投影儀16毫米(如圖1所示)，

AD

∥

BC

，如果幻燈片是一張長(zhǎng)為22毫米、寬為16毫米的圖片，求圖片投影在屏幕上圖像的長(zhǎng)和寬

.

圖1

師：題目中有哪些已知信息？三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件和結(jié)論分別是什么？(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，嘗試將其與已學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系)

生：已知

AD

∥

BC

以及一些線段的長(zhǎng)度

.

條件是有一條平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，結(jié)論是截得的對(duì)應(yīng)線段成比例

.

圖形語(yǔ)言表述如圖所示，其中圖2-1、圖2-2為A字型圖形，圖2-3為X型圖形.

圖2-1圖2-2

圖2-3圖3

生：題目符合A字型

.

(定理轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言后，學(xué)生很容易與A字型聯(lián)系起來(lái))

師：題目滿足性質(zhì)定理的條件，運(yùn)用性質(zhì)定理能否求得圖片投影在屏幕上圖像的長(zhǎng)和寬，能否解決該問(wèn)題？(引導(dǎo)學(xué)生將題目的所求與性質(zhì)定理的結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理的局限)

生：不能

.

如圖3，將問(wèn)題抽象成A字型后，圖像的長(zhǎng)是圖中

BC

的長(zhǎng)，

BC

不在三角形被截的兩邊所在的直線上，性質(zhì)定理的結(jié)論中沒(méi)有涉及這種情況

.

學(xué)生對(duì)比后發(fā)現(xiàn)雖然題目中的圖形符合A字型，也滿足相關(guān)條件，但運(yùn)用性質(zhì)定理的結(jié)論卻無(wú)法解決該問(wèn)題，進(jìn)而產(chǎn)生了認(rèn)知沖突

.

(二)探究三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

師：在性質(zhì)定理的結(jié)論中，有關(guān)的比例線段分別在三角形兩邊所在的直線上，圖形中線段

DE

雖不在三角形被截的兩邊上，但是它和圖形中其他線段之間是否存在比例關(guān)系？(向?qū)W生指明思考的方向)師：先考慮

D

和

E

分別是三角形兩邊中點(diǎn)的特殊情況

.

(學(xué)生已學(xué)習(xí)中位線定理，較容易解決此問(wèn)題)

圖4

問(wèn)題1

如圖4，如果點(diǎn)

D

，

E

分別在△

ABC

的邊

AB

，

AC

上，且

D

，

E

是邊

AB

，

AC

的中點(diǎn)，

DE

∥

BC

，那么成立嗎?師：再考慮

D

和

E

是三角形兩邊上任意一點(diǎn)的一般情況

.

(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般情況進(jìn)行分析思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力)

問(wèn)題2

問(wèn)題1中點(diǎn)

D

和點(diǎn)

E

位置改變時(shí)，圖形存在哪幾種情況？根據(jù)“點(diǎn)的位置移動(dòng)”，學(xué)生可能畫出的圖形如圖5-1—圖5-9所示

.

圖5-1圖5-2

圖5-3圖5-4

圖5-5圖5-6

圖5-7圖5-8

圖5-9

師:大家畫出的圖形與問(wèn)題1中的圖形相比有什么異同？是否可以按某種標(biāo)準(zhǔn)將上述圖形進(jìn)行分類呢？(引導(dǎo)學(xué)生將情況分類，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)定理推論的條件)

生：按照

DE

是否與

BC

平行進(jìn)行分類

.

結(jié)合圖形和已學(xué)性質(zhì)定理，學(xué)生能較為容易地對(duì)圖形進(jìn)行分類，如下所示

.

問(wèn)題3

在圖5-3和圖5-6兩種情況下，是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)給出證明

.

請(qǐng)大家分小組討論，之后每組選出一位同學(xué)分享

.

師：

D

，

E

分別在△

ABC

的邊

AB

，

AC

上時(shí)，如圖5-3的情況如何證明？

圖6-1圖6-2

方法1：

過(guò)

D

作

DF

∥

AC

交邊

BC

于點(diǎn)

F

(如圖6-1)

.

方法2：

延長(zhǎng)

DE

到

G

，使

DG

=

BC

，聯(lián)結(jié)

CG

(如圖6-2)

.

學(xué)生在證明中位線定理時(shí)已經(jīng)運(yùn)用過(guò)方法2，故學(xué)生較易得出此方法

.

對(duì)于方法1，學(xué)生之前沒(méi)有構(gòu)造此類輔助線的經(jīng)歷，可能需要教師引導(dǎo)

.

圖7

師：

D

，

E

在

AB

，

AC

延長(zhǎng)線上時(shí)，圖5-6情況下的X型如何證明呢？學(xué)生在證明性質(zhì)定理的時(shí)候證明過(guò)X型，故可思考得出通過(guò)構(gòu)造輔助線將X型轉(zhuǎn)化為A字型來(lái)解決(如圖7所示)

.

師：從上面的證明中，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)一組同學(xué)分享，其他組補(bǔ)充

.

生：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原來(lái)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例

.

學(xué)生類比性質(zhì)定理的描述，能較為準(zhǔn)確地總結(jié)得出該性質(zhì)定理的推論

.

問(wèn)題4

比較上述證明方法，分析解題思路

.

師：在A字型的證明中運(yùn)用了以下兩種方法

.

(引導(dǎo)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)解題思路，培養(yǎng)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)的能力)

方法1：

運(yùn)用三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理，該定理從一條平行于三角形一邊的直線出發(fā)，結(jié)論中的比例線段都在三角形的被截兩邊所在的直線上，因此，要運(yùn)用該定理，需要將

DE

平移到三角形被截的邊上去

.

故需增添輔助線

.

方法2：

考慮構(gòu)造X型

.

或者從另一個(gè)角度思考，三角形中位線定理的證明是通過(guò)將三角形旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造平行四邊形，本題借鑒該思路

.

建立未知與已知之間的聯(lián)系，將未知轉(zhuǎn)化為已知來(lái)解決

.

可能選擇方法2的學(xué)生較多，因?yàn)橹耙呀?jīng)習(xí)得此方法，而方法1運(yùn)用性質(zhì)定理解決，為今后解決其他問(wèn)題提供思路

.

師：根據(jù)相似三角形的定義，圖5-3、圖5-6、圖5-9中△

ABC

和△

DEF

是否相似？(引導(dǎo)學(xué)生考慮相似問(wèn)題，為后續(xù)相似三角形判定的教學(xué)埋下伏筆)生：將△

DEF

看作是△

ABC

放大(或縮小)得來(lái)的，所以△

ABC

和△

DEF

相似

.

學(xué)生根據(jù)相似三角形的定義，較易得出結(jié)論

.

師：那么，它們是否符合相似多邊形的性質(zhì)呢？

生：根據(jù)平行線的性質(zhì)和已證得的三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的推論，可知△

ABC

和△

DEF

三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，因此，△

ABC

和△

DEF

符合相似多邊形的性質(zhì)

.

(強(qiáng)化相似性的性質(zhì)，為后續(xù)相似三角形的判定打下基礎(chǔ))

(三)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論的應(yīng)用

1

.

在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

圖8

例1

已知

BE

，

CF

是△

ABC

的中線，交于點(diǎn)

G.

求證：對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，此題運(yùn)用三角形的中位線定理可以容易地證明(如圖8所示，

AD

也是△

ABC

的中線)

.

師：請(qǐng)大家分別用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這一性質(zhì)

.

(引導(dǎo)學(xué)生將符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化)學(xué)生的表述如表1所示

.

圖9

練習(xí)1

如圖9，在上述例題的基礎(chǔ)上再次改變條件，增加兩條平行線，過(guò)

G

分別作

GH

∥

AB

，

GM

∥

AC

,分別交邊

BC

于點(diǎn)

H

，

M.

求證：通過(guò)變式練習(xí)，學(xué)生對(duì)比條件和結(jié)論的異同，找到相似之處作為突破口，增強(qiáng)分析問(wèn)題的能力

.

2

.

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

例2

(例2為上文“情境導(dǎo)入”中的原題，此處略)

解：

如圖1，因?yàn)?p>AD

∥

BC

，所以所以圖像的寬=4米，圖像的長(zhǎng)=5

.

5米

.

學(xué)生學(xué)習(xí)性質(zhì)定理的推論后再解決“情境導(dǎo)入”中的原題，問(wèn)題迎刃而解

.

師：性質(zhì)定理的推論不僅包含了原定理的一些結(jié)論，還拓展了原定理的結(jié)論

.

在實(shí)際生活中，還有哪些問(wèn)題可以運(yùn)用三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論基本圖形A字型來(lái)解決？(引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)反思實(shí)際生活的問(wèn)題)

表1

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離,等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍AG=2GDCG=2GFBG=2GEGD=12AGGD=13ADAG=23ADAG∶GD=2∶1GD∶AD=1∶3AG∶AD=2∶3

生：運(yùn)用自己的影子來(lái)測(cè)量路燈的高度、建筑物的高度或河的寬度等

.

師：請(qǐng)大家根據(jù)上述例子及性質(zhì)定理的基本圖形(A字型圖形和X型圖形)自主編題，要求解題過(guò)程用到三角形一邊平行線性質(zhì)定理的推論，并在小組內(nèi)分享自己的題目，最后每個(gè)小組選一個(gè)方案進(jìn)行班級(jí)分享

.

該環(huán)節(jié)中，學(xué)生需要思考實(shí)際問(wèn)題并將其與性質(zhì)定理的推論結(jié)合，而自主編題要求學(xué)生在分析后對(duì)問(wèn)題進(jìn)行加工、再創(chuàng)造，難度較大，故采用小組的形式，目的是培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造等高階思維能力

.

(四)小結(jié)

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論，對(duì)比三角形一邊的平行線性質(zhì)定理與性質(zhì)定理推論的條件和結(jié)論，它們有何異同？

師：回憶推論導(dǎo)出的過(guò)程，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？是從哪種情況開(kāi)始證明的？(引導(dǎo)學(xué)生回憶，分析證明過(guò)程)

生：從

D

，

E

是三角形的兩邊的中點(diǎn)出發(fā)，接下來(lái)考慮點(diǎn)

D

和

E

位置移動(dòng)的一般情況，在一般情況中分別討論

D

和

E

是三角形兩邊上任意一點(diǎn)和

D

，

E

分別是三角形兩邊延長(zhǎng)線上的情況

.

師：從

D

，

E

是三角形兩邊的中點(diǎn)的特殊情況出發(fā)，再引發(fā)

D

，

E

在三角形兩邊上任意位置的一般情況的討論與證明，從猜想到嚴(yán)格的演繹推理論證，在這個(gè)過(guò)程中我們體會(huì)了從特殊到一般以及類比歸納的數(shù)學(xué)思想

.

(進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透)在考慮點(diǎn)

D

和

E

的位置移動(dòng)的一般情況時(shí)，學(xué)生獨(dú)立分析思考，畫出不同的圖形，體會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，然后對(duì)不同圖形進(jìn)行分類，最后分情況證明結(jié)論

.

在分情況證明中將幾何圖形分解得到基本圖形，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)生體會(huì)分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想

.

在探索推論的過(guò)程中，先由特殊情況(

D

，

E

是三角形兩邊中點(diǎn))猜想哪幾種圖形結(jié)論成立，隨后通過(guò)證明驗(yàn)證之前的猜想，歸納總結(jié)三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論，并對(duì)證明方法進(jìn)行分析評(píng)估，體會(huì)幾何演繹的思想和邏輯推理的方法

.

這也是探究性研究經(jīng)歷的一般過(guò)程

.

二、 分析與思考

(一)以實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入引發(fā)思考

本節(jié)課以實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入，問(wèn)題滿足三角形一邊的平行線性質(zhì)定理的條件，但是運(yùn)用性質(zhì)定理卻不能解決，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引起學(xué)生的求知欲

.

學(xué)生體會(huì)到問(wèn)題的起源，找到新知識(shí)與原有知識(shí)的聯(lián)系

.

同時(shí)復(fù)習(xí)舊知，并歸類基本圖形，為性質(zhì)定理推論的導(dǎo)出和證明提供途徑，便于將已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)遷移到新的知識(shí)及研究過(guò)程，為本節(jié)課的研究奠定基礎(chǔ)

.

(二)推導(dǎo)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)的高階思維能力

本節(jié)課在性質(zhì)定理的推導(dǎo)過(guò)程中著重培養(yǎng)學(xué)生分析、評(píng)價(jià)問(wèn)題的能力

.

引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題中關(guān)鍵信息“點(diǎn)的位置”，以此為突破口進(jìn)行分析，引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，變化出更多樣的圖形，嘗試綜合全面地思考問(wèn)題

.

在獨(dú)立畫圖、分析思考的過(guò)程中，學(xué)生分析出可能存在的圖形，教師引導(dǎo)學(xué)生將圖形進(jìn)行分類，分別考察圖形的可行性，這也是分析問(wèn)題必須具備的技能

.

在推導(dǎo)完成后，引導(dǎo)學(xué)生思考、評(píng)價(jià)不同的證明過(guò)程，提升學(xué)生分析和評(píng)價(jià)能力，學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—分析論證—評(píng)估—結(jié)論決策”這一探究性研究的完整過(guò)程

.

由猜想到驗(yàn)證，思維反復(fù)調(diào)整

.

最后，學(xué)生體驗(yàn)歸納結(jié)論，從自己的語(yǔ)言提煉成書面語(yǔ)言的過(guò)程，思維不斷完善，有利于思維的整合，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性

.

(三)在應(yīng)用性質(zhì)定理的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生分析、創(chuàng)造的高階思維能力

在性質(zhì)定理的運(yùn)用環(huán)節(jié)中，著重培養(yǎng)學(xué)生的分析、創(chuàng)造的思維能力

.

在性質(zhì)定理應(yīng)用中提出的實(shí)際問(wèn)題正是開(kāi)頭情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問(wèn)題

.

在情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生嘗試從數(shù)學(xué)角度分析實(shí)際問(wèn)題，抽象出數(shù)學(xué)圖形，引發(fā)認(rèn)知沖突，在應(yīng)用性質(zhì)定理的推論這一環(huán)節(jié)，學(xué)生再次分析問(wèn)題，結(jié)合已學(xué)知識(shí)解決該問(wèn)題，學(xué)生分析問(wèn)題的能力得到培養(yǎng)

.

在關(guān)于性質(zhì)定理應(yīng)用的幾何問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)生分析題目的條件和結(jié)論，讓學(xué)生經(jīng)歷再創(chuàng)造的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)三角形重心的性質(zhì)

.

在自主編題環(huán)節(jié)中，學(xué)生具有更大的主動(dòng)性，這一環(huán)節(jié)是學(xué)生對(duì)問(wèn)題分析再創(chuàng)造的過(guò)程

.

學(xué)生需要思考身邊的實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析實(shí)際問(wèn)題，并創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題

.

這一過(guò)程也能培養(yǎng)學(xué)生分析和創(chuàng)造的高階能力，并讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)于生活

.

(四)課堂小結(jié)，反思思維過(guò)程，延伸高階思維

課堂小結(jié)從數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想方面概括本節(jié)課的內(nèi)容

.

引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)方面從模糊走向清晰，從片面到全面

.

注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，提高學(xué)生分析評(píng)價(jià)的能力

.

反思的過(guò)程是對(duì)自身研究問(wèn)題的思維過(guò)程，是對(duì)結(jié)果和思維方法等進(jìn)行再認(rèn)識(shí)、再評(píng)價(jià)的過(guò)程，教師培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，使思維變得越來(lái)越成熟

.