零點存在性定理中的“取點”問題
2022-07-08 00:53:38361000廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校陳志康
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
361000 廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校 陳志康
361026 廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校 陳雨瑾
在解決零點存在性問題時，常常需要結(jié)合圖形來分析，但由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過函數(shù)極限，無法分辨一些函數(shù)圖像在無窮遠(yuǎn)處或間斷點處的性態(tài).
如果想要嚴(yán)格說明零點的存在，只能借助零點存在性定理,即若f
(x
)在[a
,b
]上是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f
(a
)·f
(b
)<0，則存在c
∈(a
,b
)，使得f
(c
)=0，適當(dāng)“取點”來說明函數(shù)值的正、負(fù).
在一些試卷公布的答案中，并沒有對如何“取點”進(jìn)行特別說明，很多學(xué)生不能明白其精髓所在.
正確“取點”要求具備較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以此為抓手提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力正合適不過，如果能解決這些問題，對學(xué)生今后學(xué)習(xí)“極限”這部分的內(nèi)容也會有所幫助.
筆者闡述解決這些問題過程中獲得的感悟.
例1
(2017全國卷Ⅰ理-21) 已知函數(shù)f
(x
)=a
e2+(a
-2)e-x
，a
∈R
.
(1)討論f
(x
)的單調(diào)性；(2)若f
(x
)有兩個零點，求a
的取值范圍.
小問(1) 分析：
可知f
′(x
)=2a
e2+(a
-2)e-1，結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特征，因式分解為f
′(x
)=(2e+1)(a
e-1)，接下來只需考慮a
e-1的符號問題即可得到結(jié)果.
小問(2) 解法1：
由小問(1)可知,若f
(x
)有兩個零點，則a
>0，且f
(x
)在(-∞，-lna
)上單調(diào)遞減，在(-lna
，+∞)上單調(diào)遞增，f
(x
)有兩個零點的必要條件是結(jié)合單調(diào)性可得當(dāng)0<a
<1時，有[f
(x
)]<0，即f
(x
)有兩個零點的必要條件是0<a
<1，又f
(-2)=a
e+(a
-2)e+2>-2e+2>0，故f
(x
)在(-∞,-lna
)有一個零點.
設(shè)正整數(shù)n
滿足則f
(n
)=e(a
e+a
-2)-n
>e-n
>0.
由于因此f
(x
)在(-lna
,+∞)有一個零點，綜上a
的取值范圍為(0,1).
評注:
本題涉及零點存在定理中如何“取點”，學(xué)生不明白如何想到令“x
=-2”和筆者闡述相關(guān)思路.
注意到f
(x
)=a
e2+(a
-2)e-x
，0<a
<1，目標(biāo)是在(-∞，-lna
)上找到x
，使得f
(x
)>0，由于a
e2>0，只要讓(a
-2)e-x
>0，限定x
<0，由于(a
-2)e-x
>a
-2-x
>-2-x
，令-2-x
≥0，得x
≤-2，于是(a
-2)e-x
>a
>0，所以f
(-2)>0.
由于0<a
<1，-lna
>1，所以-2∈(-∞，-lna
)，符合條件.
另一個目標(biāo)是在(-lna
，+∞)上找到n
，使得f
(n
)>0，即a
e2+(a
-2)e-n
>0，由于e>n
，所以a
e2+(a
-2)e-n
>a
e2+(a
-2)e-e=e(a
e+a
-3)>0，得于是當(dāng)設(shè)正整數(shù)n
滿足就有f
(n
)>0，經(jīng)檢驗，符合條件.
事實上，“取點”是經(jīng)過適當(dāng)“放縮”計算得出的，常見的不等式如當(dāng)x
>0時，有e>x
>lnx.
筆者總結(jié)得出以下“取點”技巧.
(1)借助一些常見不等式對超越式放縮，放縮后的不等式容易解出.
(2)不等式放縮的方向要與所需函數(shù)值的正負(fù)一致，如上述找n
的取值需要f
(n
)>0，對f
(n
)中一些式子放縮要往“>”的方向進(jìn)行.
(3)檢驗不等式的解是否在需求范圍內(nèi).
使得f
(x
)>0的自變量的值并不是只有-2和如如何“取點”取決于放縮的程度.
需要說明的是，在尋找使得f
(x
)>0的自變量的值時，盡可能選取較為簡單的結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美.
小問(2)解法2：
由小問(1)可知a
>0.
參變分離，令f
(x
)=0，得令當(dāng)x
>0時，g
′(x
)<0，當(dāng)x
<0時，g
′(x
)>0，所以[g
(x
)]=1-a.g
(x
)有兩個零點的必要條件是[g
(x
)]=1-a
>0，即0<a
<1.
下證充分性(只需在y
軸左側(cè)找一點的函數(shù)值為負(fù)，在y
軸右側(cè)找一點的函數(shù)值也為負(fù)，例如找到x
<0使得g
(x
)<0).
由于當(dāng)x
<0，有e2+e>0，2e<2，取x
=-2就有符合條件.
當(dāng)x
>0，要想有由x
a
的取值范圍為(0,1).
教學(xué)啟示：
教學(xué)時應(yīng)歸納出已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)范圍通常有直接討論函數(shù)零點(解法1)和參變分離(解法2)這兩種策略.
解法1中導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然含參，但形式較為簡單.
解法2的優(yōu)勢在于參變量分離，使得構(gòu)造出的函數(shù)不再含有參數(shù)，為后續(xù)研究帶來方便，同時新構(gòu)造出的函數(shù)形式也較為復(fù)雜.
在面對不需要嚴(yán)格推理證明的選擇、填空題時，可以讓學(xué)生結(jié)合圖形分析，如參變分離法可以考慮f
(x
)的零點即為函數(shù)與y
=a
圖像有兩個交點，只需畫出草圖(如圖1所示)進(jìn)行分析即可得到正確答案.
圖1
例2
(2015全國卷Ⅰ文-21) 設(shè)函數(shù)f
(x
)=e2-a
lnx.
(1)討論f
(x
)的導(dǎo)函數(shù)f
′(x
)的零點個數(shù).
(2)略.
分析：
依題意得若a
≤0，無零點；若a
>0，f
′(x
)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.
現(xiàn)在的目標(biāo)就是在定義域上找點m
,n
，滿足f
′(m
)<0,f
′(n
)>0.
由函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，f
′(a
)=2e2-1>0(把含參項變?yōu)槌?shù)項，因此可取x
=a
)，所以關(guān)鍵在于找到m
，使得f
′(m
)<0.
教師在教學(xué)過程中最好從圖像的角度切入分析，的零點即函數(shù)y
=2e2與的交點，這兩類函數(shù)是學(xué)生比較熟悉的，圖2、圖3分別對應(yīng)了a
<0和a
>0時的圖像.
圖2
圖3
從函數(shù)的增長趨勢看，m
應(yīng)當(dāng)足夠小，越接近0越好.
如取并不合適.
為了使結(jié)果比較“好看”，繼續(xù)縮小m
的值，取令f
′(m
)=2e-4<0，得只需取就有因此問題得到解決.
評注：
從參變量分離的角度一樣能解決此問題，即2x
e2-a
=0(x
>0) ①.
方程①的解也可以看作是g
(x
)=2x
e2-a
在[0，+∞)上的零點(擴(kuò)大定義域)，而當(dāng)x
≥0時，注意到g
′(x
)=2(2x
+1)e2>0，所以g
(x
)在[0，+∞)單調(diào)遞增，g
(0)=-a
<0，g
(a
)=2a
e2-a
>2a
-a
>0，所以g
(x
)=2x
e2-a
在[0，+∞)上有唯一零點，問題得到解決.
在這個過程中化歸思想起了很大的用處，原本函數(shù)的端點無法代入，從而無法確定符號，將函數(shù)延拓為g
(x
)=2x
e2-a
，使這個問題得到圓滿解決.
教學(xué)啟示：
對于“取點”的策略，除了借助不等式放縮以外，還可以歸納得出以下兩種方法.
方法1：
把含參項消去變?yōu)槌?shù)項，如上面分析取x
=a.
方法2：
想要說明存在x
使f
(x
)-h
(x
)<0，可借助中間量α
，說明f
(x
)<α
,h
(x
)>α
即可.
在這里可用方法2找m
，目標(biāo)是即限定0<m
<1，于是2e2<2e，只需得顯然取符合題意.
例3
(2020福州質(zhì)檢理-21) 已知函數(shù)(1)略.
(2)當(dāng)a
>0時，函數(shù)h
(x
)=f
(x
)-g
(x
)恰有三個不同的零點，求實數(shù)a
的取值范圍.
分析：
依題意得只需討論y
=-ax
+x
-4a
的符號.
當(dāng)設(shè)y
=-ax
+x
-4a
的兩個零點為x
,x
(x
<x
)，由韋達(dá)定理可以判斷0<x
<2<x
，所以h
(x
)在(0,x
),(x
,+∞)上單調(diào)遞減，在(x
,x
)上單調(diào)遞增，又h
(2)=0，所以2是h
(x
)的零點，而h
(x
)>h
(2)=0，h
(x
)的圖像如圖4所示(只要在(2，+∞)上找到m
，使得h
(m
)<0即可).
當(dāng)x
足夠大時，y
=ax
的“增長趨勢”相較大，因此這里選擇m
要盡可能大，當(dāng)所以令考慮到構(gòu)造出常數(shù)取值不符要求，說明m
還不夠大.
繼續(xù)嘗試取則令則則所以y
=ln8-4+0.
5.
5<0，因此因為所以存在x
∈(2,+∞)使得又即均為h
(x
)的零點，所以當(dāng)時，函數(shù)h
(x
)=f
(x
)-g
(x
)恰有三個不同的零點.
圖4
評注：
上面利用到構(gòu)造常數(shù)法、放縮法尋求m
，這里可提供另一種放縮方式.
對放縮，利用不等式lnt
<t
，于是設(shè)則令得則時，有令得當(dāng)找到x
∈(2,+∞)使得h
(x
)=0后，并不需要在(0,x
)找另一個零點，原因是該零點與x
有特殊的數(shù)量關(guān)系，往往在對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)三者疊加的函數(shù)中零點會存在這樣的關(guān)系.
教學(xué)啟示：
在函數(shù)的教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生對幾類初等函數(shù)的增長趨勢進(jìn)行比較，更有利于解決這些問題，當(dāng)x
足夠大時，增長趨勢從大到小的函數(shù)分別是指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(正指數(shù))、對數(shù)函數(shù).
上文對進(jìn)行變形時，正是考慮到這一點.
“取點”的過程是一個不斷試錯的過程，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、猜想、計算、證明等思維活動，這些過程能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力.
在教學(xué)中，教師要教會學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)，追求通性通法，有效的解題是有專注的選擇和有進(jìn)展的試錯.
教師也可以在日常教學(xué)過程中強(qiáng)化學(xué)生對常見函數(shù)增長趨勢的認(rèn)識，讓學(xué)生走向更高的層次.
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