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    以題會類 萬法一統(tǒng)
    ——對近兩年衢州市中考試卷壓軸題的評析及思考

    2022-07-08 00:53:38324400浙江省龍游縣教育局教研室李云萍
    中學數學雜志 2022年4期
    關鍵詞:教材探究數學

    324400 浙江省龍游縣教育局教研室 李云萍

    324400 浙江省衢州市教育局教研室 劉 芳

    初中學業(yè)水平考試承擔著評價、選拔、甄別、引領等多項功能,壓軸題作為全卷的重頭戲,更是發(fā)揮著考試風向和教學導向作用

    .

    2021年衢州市初中學業(yè)水平考試(中考)數學卷壓軸題的命制在素材背景、知識考向、試題立意以及呈現(xiàn)形式等方面都是對2020年初中學業(yè)水平考試命題基礎的沿革與創(chuàng)新

    .

    其命題素材均來自教材中的矩形“十字型”例題、習題,成題形式均采用近年熱門的“三段式”

    .

    筆者對近兩年衢州中考數學卷壓軸題進行評析,并給出同類創(chuàng)編試題及教學思考

    .

    一、 真題呈現(xiàn)

    題目1

    (2021衢州卷-24)

    【推理】

    如圖1,在正方形

    ABCD

    中,點

    E

    CD

    上一動點,將正方形沿著

    BE

    折疊,點

    C

    落在點

    F

    處,聯(lián)結

    BE

    ,

    CF

    ,延長

    CF

    AD

    于點

    G.

    (1)求證:△

    BCE

    ≌△

    CDG.

    【運用】

    (2)如圖2,在“推理”的條件下,延長

    BF

    AD

    于點

    H.

    若求線段

    DE

    的長

    .

    【拓展】

    (3)如圖3,將正方形改成矩形,同樣沿著

    BE

    折疊,聯(lián)結

    CF

    ,延長

    CF

    ,

    BF

    交直線

    AD

    G

    H

    兩點,若求的值(用含

    k

    的代數式表示)

    .

    題目2

    (2020衢州卷-24)

    【性質探究】

    如圖4,在矩形

    ABCD

    中,對角線

    AC

    ,

    BD

    相交于點

    O.AE

    平分∠

    BAC

    ,交

    BC

    于點

    E.

    DF

    AE

    于點

    H

    ,分別交

    AB

    ,

    AC

    于點

    F

    G.

    (1)判斷△

    AFG

    的形狀并說明理由

    .

    (2)求證:

    BF

    =2

    OG.

    【遷移應用】

    (3)記△

    DGO

    的面積為

    S

    ,△

    DBF

    的面積為

    S

    ,當時,求的值

    .

    圖1圖2

    圖3圖4

    【拓展延伸】

    (4)若

    DF

    交射線

    AB

    于點

    F

    ,“性質探究”中的其余條件不變,聯(lián)結

    EF.

    當△

    BEF

    的面積為矩形

    ABCD

    面積的時,請直接寫出tan∠

    BAE

    的值

    .

    二、 試題評析

    (一)設計特色

    從“形”上看,近兩年的壓軸試題呈現(xiàn)形式有一定延續(xù)性,新穎簡約,層次分明,三段題干敘述清晰,問題設計坡度合理,蘊含較豐富的思維含量,兼顧整體性又對“個性發(fā)展”的差異性作出有效甄別.試題將圖形性質的探究從特殊引向一般,著力考查圖形通性、解題通法,對學生的思維能力考查隨著設問的深入而逐步提高,符合壓軸題的功能定位

    .

    (二)考查要求

    從考查要求看,試題主要考查“三角形全等證明”“線段倍分證明”“數量關系轉化”“位置關系轉化”“面積關系轉化”的一般方法,以此考查和區(qū)分不同學生的幾何直觀、邏輯推理、運算能力等學科核心素養(yǎng).考查的思想方法也具有普適性,即如何通過通法“設參法”將難點問題轉化為“已知”和“可解”

    .

    符合條件的圖形不唯一,需要分類討論求解,這很好地考查了優(yōu)秀學生對幾何本質的理解以及邏輯推理能力、運算能力,具有一定難度,富有挑戰(zhàn)性

    .

    (三)本源解析

    1

    .

    源于教材,高于教材兩道試題的背景素材均為矩形“十字型”模型下的問題變式及拓展,基礎模型源自浙教版八年級下冊教材第127頁作業(yè)第4題

    .

    衢州卷連續(xù)兩年的壓軸題都依托教材同一道習題進行重構創(chuàng)編,持續(xù)研究,不斷創(chuàng)新,這既是出于同一地區(qū)中考命題延續(xù)性的必要,也是出于對同一類問題持續(xù)關注、深度探究的需要

    .

    教材作業(yè)題如下

    .

    圖5

    已知:如圖5,在正方形

    ABCD

    中,

    E

    ,

    F

    分別是

    BC

    ,

    CD

    上的點,

    AE

    BF

    .求證:

    AE

    =

    BF

    .2

    .

    三段設問,關注探究試題從學生最熟悉的基本圖形入手,緊緊圍繞圖形變化過程中相關變量的關系展開研究,考查基本圖形的基本性質,以及邊、角、線段比、面積之間轉化的一般方法

    .

    同時通過設置脈絡清晰、層次連貫的“三段式”問題串,揭示數學探究的一般思路,即“探究推理—遷移運用—拓展提升”,在步步深入的探究過程中探尋圖形變化規(guī)律及數式變化關系.3

    .

    含參運算,分類探索對于試題最后一個小問的“壓軸點”,需要進行含參運算及分類討論,解題過程中涉及兩個參數,分兩種情況解決

    .

    核心知識為軸對稱性質、等腰三角形性質、三角形全等、三角形相似、勾股定理、三角函數、一元二次方程等,滲透的思想方法有特殊到一般、設參轉化、方程模型、分類討論等

    .

    考查數學運算、邏輯推理、直觀想象等關鍵能力.

    三、 同類創(chuàng)編

    筆者基于教材例題、習題的經典模型繼續(xù)探索,以矩形“十字型”模型以及邊、角、線段比、面積比等作為命題“基本單元”進行試題的同類創(chuàng)編,以下是原創(chuàng)壓軸題.

    圖6

    【推斷證明】

    如圖6,在矩形

    ABCD

    中,點

    E

    CD

    的中點,將矩形沿著

    BE

    折疊,點

    C

    落在點

    F

    處,聯(lián)結

    BE

    ,

    CF

    ,延長

    CF

    ,

    BF

    AD

    于點

    G

    ,點

    H.

    (1)判斷△

    GHF

    的形狀并說明理由

    .

    (2)求證:

    GH

    =

    DH.

    【遷移探究】

    (3)記△

    GHF

    的面積為

    S

    ,△

    EFC

    的面積為

    S

    ,當時,求的值

    .

    【應用拓展】

    (4)若

    CF

    ,

    BF

    的延長線交直線

    AD

    于點

    G

    ,點

    H

    ,“推斷證明”中的其余條件不變,聯(lián)結

    AE

    ,

    AF

    ,當△

    AEF

    的面積為矩形

    ABCD

    面積的時,試求tan∠

    EBC

    的值

    .

    從設問上看,本題與2020年衢州卷壓軸題是“孿生兄弟”;從圖形上看,本題與2021年衢州卷壓軸題是“同胞姐妹”,是教材習題和兩道試題的良好“再生產物”

    .

    從考查知識及方法策略上看,本題也是兩道壓軸題的統(tǒng)一綜合

    .

    秉承“以題會類”“一題一課”的變式教學理念,本題作為矩形“十字型”問題探究課的鞏固訓練題,是非常不錯的選擇

    .

    限于篇幅,筆者只提供小問(4)的簡要思路

    .

    圖7

    小問(4)解:

    ①如圖7,點

    G

    A

    點右側,過

    A

    AN

    BH

    N

    ,過

    A

    AM

    EF

    M

    .設

    BC

    =

    m

    ,則

    AB

    =

    km

    ,由△

    CDG

    ∽△

    BCE

    ,得由已知及可得所以因為sin∠

    BAN

    =sin∠

    AHB

    ,可得所以

    圖8

    ②如圖8,點

    G

    A

    點左側

    .

    A

    AM

    EF

    M

    ,過

    B

    BN

    AM

    N

    .設

    BF

    =

    BC

    =

    m

    ,則

    AB

    =

    km

    ,同理有仍由面積關系可得因為cos∠

    BAN

    =cos∠

    ABH

    ,可得所以

    四、 教學導向

    (一)立足教材,一題多變

    縱觀近幾年浙江各地中考試題,立足教材例題、習題進行改編的試題俯拾皆是,甚至成了中考命題的主流

    .

    任取一份試卷,可以發(fā)現(xiàn)由教材改編的試題不勝枚舉,教材中的例題、習題,特別是經典例題、習題,往往不止一次被改編利用,這類試題源于教材,活于教材,又高于教材,在思想方法上,具有類比遷移和拓展探究性,讓學生有“似曾相識”的親切感

    .

    這就啟發(fā)教師在日常教學中要發(fā)揮教學智慧,更好地利用教材、研究教材,把握好教材的編寫意圖,挖掘教材的教育價值,引導學生深度研究教材例題、習題,重視對教材例題、習題(特別是重點題型或者基本圖形)進行改編、演變、整合、拓展等一題多變的“再創(chuàng)造”行為,讓學生感受“變”的現(xiàn)象中蘊藏“不變”的本質,在“不變”的本質中探索“變”的規(guī)律,逐步達到以題會類、融會貫通的境界

    .

    (二)以題會類,一法多用

    上文提及的三道壓軸題都是通過遴選教材典型例題、習題,衍生創(chuàng)編不同的變式題,基于教評學一致的原則,由題想教,以題會類,由題思法,法可融通

    .

    這啟發(fā)教師平日進行復習教學時可設計有價值、有意義的“一題一課”教學模式

    .

    它歸屬于變式教學的一種,通過一道題的深入研究,挖掘內在的學習線索,設計一組不同層次的探究題,組織學生進行相關的數學活動,以達成一定的教學考查目標

    .

    譬如上文原創(chuàng)試題的小問(4)思路明晰,設參法一目了然

    .

    而對于2021年衢州中考卷24題小問(3),如圖9,同樣可借助設參法搭建思維路徑,其中一種解答的簡要步驟如下

    .

    第一步:假設

    DH

    =4

    m

    ,

    HG

    =5

    m

    ,令由△

    CDG

    ∽△

    BCE

    ,得第二步:由∠

    D

    =∠

    HFE

    =90°,根據勾股定理得方程第三步:解關于

    x

    的一元二次方程,并求得

    圖9

    由上可見,設參法、構造方程等策略可成功轉化復雜圖式的數量關系和面積關系,體現(xiàn)以題會類,一法多用

    .

    通過矩形“十字型”問題探究重組零碎知識,提煉方法策略,突出以培養(yǎng)數學思維為目標指向的數學教學,最終實現(xiàn)數學思維方法的傳遞和思考過程的交流,這是“一法多用”變式教學的靈魂和核心所在

    .

    (三)思想升華,萬法一統(tǒng)

    笛卡兒曾說:“我所解決的每個問題,都將成為一個范例,用于解決其他問題

    .

    我們解決問題的價值在于獲得一種方法和能力,以便于遷移應用

    .

    ”來源于教材矩形“十字型”問題的“三段式”壓軸題展示了同一類問題的解決方略

    .

    從知識角度看,它們無不與正方形、等腰三角形、直角三角形有關;從解題方法角度看,其解答都離不開構造法,構造三角形全等或相似,構造直角三角形運用勾股定理,還離不開設參法,轉化線段和面積數量關系;從數學思想角度看,它們滲透了轉化化歸、分類討論、方程等思想;從核心素養(yǎng)角度看,它們培養(yǎng)學生數學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)和關鍵能力

    .

    關于矩形背景試題的思維導圖(如圖10所示,圖見文末)生動再現(xiàn)了一類試題所蘊含的知識、方法、思維的精髓,這體現(xiàn)了數學的魅力、教學的智慧

    .

    思想升華、萬法一統(tǒng)真正促使學生深刻理解解決問題的程序與步驟,引導學生有邏輯、有序地思考和知識建構,這種循序漸進、拾級而上的教學過程與方法正體現(xiàn)出數學育人的力量所在,是培養(yǎng)學生數學理性思維的有效載體

    .

    圖10

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