以題會類 萬法一統(tǒng)
——對近兩年衢州市中考試卷壓軸題的評析及思考

324400 浙江省龍游縣教育局教研室 李云萍

324400 浙江省衢州市教育局教研室 劉 芳

初中學(xué)業(yè)水平考試承擔(dān)著評價、選拔、甄別、引領(lǐng)等多項功能，壓軸題作為全卷的重頭戲，更是發(fā)揮著考試風(fēng)向和教學(xué)導(dǎo)向作用

.

2021年衢州市初中學(xué)業(yè)水平考試(中考)數(shù)學(xué)卷壓軸題的命制在素材背景、知識考向、試題立意以及呈現(xiàn)形式等方面都是對2020年初中學(xué)業(yè)水平考試命題基礎(chǔ)的沿革與創(chuàng)新

.

其命題素材均來自教材中的矩形“十字型”例題、習(xí)題，成題形式均采用近年熱門的“三段式”

.

筆者對近兩年衢州中考數(shù)學(xué)卷壓軸題進(jìn)行評析，并給出同類創(chuàng)編試題及教學(xué)思考

.

一、 真題呈現(xiàn)

題目1

(2021衢州卷-24)

【推理】

如圖1，在正方形

ABCD

中，點

E

是

CD

上一動點，將正方形沿著

BE

折疊，點

C

落在點

F

處，聯(lián)結(jié)

BE

，

CF

，延長

CF

交

AD

于點

G.

(1)求證：△

BCE

≌△

CDG.

【運用】

(2)如圖2，在“推理”的條件下，延長

BF

交

AD

于點

H.

若求線段

DE

的長

.

【拓展】

(3)如圖3，將正方形改成矩形，同樣沿著

BE

折疊，聯(lián)結(jié)

CF

，延長

CF

，

BF

交直線

AD

于

G

，

H

兩點，若求的值(用含

k

的代數(shù)式表示)

.

題目2

(2020衢州卷-24)

【性質(zhì)探究】

如圖4，在矩形

ABCD

中，對角線

AC

，

BD

相交于點

O.AE

平分∠

BAC

，交

BC

于點

E.

作

DF

⊥

AE

于點

H

，分別交

AB

，

AC

于點

F

，

G.

(1)判斷△

AFG

的形狀并說明理由

.

(2)求證：

BF

=2

OG.

【遷移應(yīng)用】

(3)記△

DGO

的面積為

S

，△

DBF

的面積為

S

，當(dāng)時，求的值

.

圖1圖2

圖3圖4

【拓展延伸】

(4)若

DF

交射線

AB

于點

F

，“性質(zhì)探究”中的其余條件不變，聯(lián)結(jié)

EF.

當(dāng)△

BEF

的面積為矩形

ABCD

面積的時，請直接寫出tan∠

BAE

的值

.

二、 試題評析

(一)設(shè)計特色

從“形”上看，近兩年的壓軸試題呈現(xiàn)形式有一定延續(xù)性，新穎簡約，層次分明，三段題干敘述清晰，問題設(shè)計坡度合理，蘊含較豐富的思維含量，兼顧整體性又對“個性發(fā)展”的差異性作出有效甄別．試題將圖形性質(zhì)的探究從特殊引向一般，著力考查圖形通性、解題通法，對學(xué)生的思維能力考查隨著設(shè)問的深入而逐步提高，符合壓軸題的功能定位

.

(二)考查要求

從考查要求看，試題主要考查“三角形全等證明”“線段倍分證明”“數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化”“位置關(guān)系轉(zhuǎn)化”“面積關(guān)系轉(zhuǎn)化”的一般方法，以此考查和區(qū)分不同學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理、運算能力等學(xué)科核心素養(yǎng)．考查的思想方法也具有普適性，即如何通過通法“設(shè)參法”將難點問題轉(zhuǎn)化為“已知”和“可解”

.

符合條件的圖形不唯一，需要分類討論求解，這很好地考查了優(yōu)秀學(xué)生對幾何本質(zhì)的理解以及邏輯推理能力、運算能力，具有一定難度，富有挑戰(zhàn)性

.

(三)本源解析

1

.

源于教材，高于教材兩道試題的背景素材均為矩形“十字型”模型下的問題變式及拓展，基礎(chǔ)模型源自浙教版八年級下冊教材第127頁作業(yè)第4題

.

衢州卷連續(xù)兩年的壓軸題都依托教材同一道習(xí)題進(jìn)行重構(gòu)創(chuàng)編，持續(xù)研究，不斷創(chuàng)新，這既是出于同一地區(qū)中考命題延續(xù)性的必要，也是出于對同一類問題持續(xù)關(guān)注、深度探究的需要

.

教材作業(yè)題如下

.

圖5

已知：如圖5，在正方形

ABCD

中，

E

，

F

分別是

BC

，

CD

上的點，

AE

⊥

BF

．求證：

AE

=

BF

．2

.

三段設(shè)問，關(guān)注探究試題從學(xué)生最熟悉的基本圖形入手，緊緊圍繞圖形變化過程中相關(guān)變量的關(guān)系展開研究，考查基本圖形的基本性質(zhì)，以及邊、角、線段比、面積之間轉(zhuǎn)化的一般方法

.

同時通過設(shè)置脈絡(luò)清晰、層次連貫的“三段式”問題串，揭示數(shù)學(xué)探究的一般思路，即“探究推理—遷移運用—拓展提升”，在步步深入的探究過程中探尋圖形變化規(guī)律及數(shù)式變化關(guān)系．3

.

含參運算，分類探索對于試題最后一個小問的“壓軸點”，需要進(jìn)行含參運算及分類討論，解題過程中涉及兩個參數(shù)，分兩種情況解決

.

核心知識為軸對稱性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似、勾股定理、三角函數(shù)、一元二次方程等，滲透的思想方法有特殊到一般、設(shè)參轉(zhuǎn)化、方程模型、分類討論等

.

考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等關(guān)鍵能力．

三、 同類創(chuàng)編

筆者基于教材例題、習(xí)題的經(jīng)典模型繼續(xù)探索，以矩形“十字型”模型以及邊、角、線段比、面積比等作為命題“基本單元”進(jìn)行試題的同類創(chuàng)編，以下是原創(chuàng)壓軸題．

圖6

【推斷證明】

如圖6，在矩形

ABCD

中，點

E

是

CD

的中點，將矩形沿著

BE

折疊，點

C

落在點

F

處，聯(lián)結(jié)

BE

，

CF

，延長

CF

，

BF

交

AD

于點

G

，點

H.

(1)判斷△

GHF

的形狀并說明理由

.

(2)求證：

GH

=

DH.

【遷移探究】

(3)記△

GHF

的面積為

S

，△

EFC

的面積為

S

，當(dāng)時，求的值

.

【應(yīng)用拓展】

(4)若

CF

，

BF

的延長線交直線

AD

于點

G

，點

H

，“推斷證明”中的其余條件不變，聯(lián)結(jié)

AE

，

AF

，當(dāng)△

AEF

的面積為矩形

ABCD

面積的時，試求tan∠

EBC

的值

.

從設(shè)問上看，本題與2020年衢州卷壓軸題是“孿生兄弟”；從圖形上看，本題與2021年衢州卷壓軸題是“同胞姐妹”，是教材習(xí)題和兩道試題的良好“再生產(chǎn)物”

.

從考查知識及方法策略上看，本題也是兩道壓軸題的統(tǒng)一綜合

.

秉承“以題會類”“一題一課”的變式教學(xué)理念，本題作為矩形“十字型”問題探究課的鞏固訓(xùn)練題，是非常不錯的選擇

.

限于篇幅，筆者只提供小問(4)的簡要思路

.

圖7

小問(4)解：

①如圖7，點

G

在

A

點右側(cè)，過

A

作

AN

⊥

BH

于

N

，過

A

作

AM

⊥

EF

于

M

．設(shè)

BC

=

m

，則

AB

=

km

，由△

CDG

∽△

BCE

，得由已知及可得所以因為sin∠

BAN

=sin∠

AHB

，可得所以

圖8

②如圖8，點

G

在

A

點左側(cè)

.

過

A

作

AM

⊥

EF

于

M

，過

B

作

BN

⊥

AM

于

N

．設(shè)

BF

=

BC

=

m

，則

AB

=

km

，同理有仍由面積關(guān)系可得因為cos∠

BAN

=cos∠

ABH

，可得所以

四、 教學(xué)導(dǎo)向

(一)立足教材，一題多變

縱觀近幾年浙江各地中考試題，立足教材例題、習(xí)題進(jìn)行改編的試題俯拾皆是，甚至成了中考命題的主流

.

任取一份試卷，可以發(fā)現(xiàn)由教材改編的試題不勝枚舉，教材中的例題、習(xí)題，特別是經(jīng)典例題、習(xí)題，往往不止一次被改編利用，這類試題源于教材，活于教材，又高于教材，在思想方法上，具有類比遷移和拓展探究性，讓學(xué)生有“似曾相識”的親切感

.

這就啟發(fā)教師在日常教學(xué)中要發(fā)揮教學(xué)智慧，更好地利用教材、研究教材，把握好教材的編寫意圖，挖掘教材的教育價值，引導(dǎo)學(xué)生深度研究教材例題、習(xí)題，重視對教材例題、習(xí)題(特別是重點題型或者基本圖形)進(jìn)行改編、演變、整合、拓展等一題多變的“再創(chuàng)造”行為，讓學(xué)生感受“變”的現(xiàn)象中蘊藏“不變”的本質(zhì)，在“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，逐步達(dá)到以題會類、融會貫通的境界

.

(二)以題會類，一法多用

上文提及的三道壓軸題都是通過遴選教材典型例題、習(xí)題，衍生創(chuàng)編不同的變式題，基于教評學(xué)一致的原則，由題想教，以題會類，由題思法，法可融通

.

這啟發(fā)教師平日進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)時可設(shè)計有價值、有意義的“一題一課”教學(xué)模式

.

它歸屬于變式教學(xué)的一種，通過一道題的深入研究，挖掘內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索，設(shè)計一組不同層次的探究題，組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)活動，以達(dá)成一定的教學(xué)考查目標(biāo)

.

譬如上文原創(chuàng)試題的小問(4)思路明晰，設(shè)參法一目了然

.

而對于2021年衢州中考卷24題小問(3)，如圖9，同樣可借助設(shè)參法搭建思維路徑，其中一種解答的簡要步驟如下

.

第一步：假設(shè)

DH

=4

m

，

HG

=5

m

，令由△

CDG

∽△

BCE

，得第二步：由∠

D

=∠

HFE

=90°，根據(jù)勾股定理得方程第三步：解關(guān)于

x

的一元二次方程，并求得

圖9

由上可見，設(shè)參法、構(gòu)造方程等策略可成功轉(zhuǎn)化復(fù)雜圖式的數(shù)量關(guān)系和面積關(guān)系，體現(xiàn)以題會類，一法多用

.

通過矩形“十字型”問題探究重組零碎知識，提煉方法策略，突出以培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維為目標(biāo)指向的數(shù)學(xué)教學(xué)，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法的傳遞和思考過程的交流，這是“一法多用”變式教學(xué)的靈魂和核心所在

.

(三)思想升華，萬法一統(tǒng)

笛卡兒曾說：“我所解決的每個問題，都將成為一個范例，用于解決其他問題

.

我們解決問題的價值在于獲得一種方法和能力，以便于遷移應(yīng)用

.

”來源于教材矩形“十字型”問題的“三段式”壓軸題展示了同一類問題的解決方略

.

從知識角度看，它們無不與正方形、等腰三角形、直角三角形有關(guān)；從解題方法角度看，其解答都離不開構(gòu)造法，構(gòu)造三角形全等或相似，構(gòu)造直角三角形運用勾股定理，還離不開設(shè)參法，轉(zhuǎn)化線段和面積數(shù)量關(guān)系；從數(shù)學(xué)思想角度看，它們滲透了轉(zhuǎn)化化歸、分類討論、方程等思想；從核心素養(yǎng)角度看，它們培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力

.

關(guān)于矩形背景試題的思維導(dǎo)圖(如圖10所示，圖見文末)生動再現(xiàn)了一類試題所蘊含的知識、方法、思維的精髓，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力、教學(xué)的智慧

.

思想升華、萬法一統(tǒng)真正促使學(xué)生深刻理解解決問題的程序與步驟，引導(dǎo)學(xué)生有邏輯、有序地思考和知識建構(gòu)，這種循序漸進(jìn)、拾級而上的教學(xué)過程與方法正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)育人的力量所在，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理性思維的有效載體

.

圖10