基于抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的變式教學探究
——以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例

324022 浙江省衢州第三中學 湯小青 陳 旭

變式教學的教學策略包括概念性變式和過程性變式

.

概念性變式是指構(gòu)建合適的變異維度，讓學生體驗學習對象的關(guān)鍵方面，形成對概念的本質(zhì)理解

.

過程性變式旨在提供適當?shù)匿亯|，幫助學生形成學習對象與已有知識的內(nèi)在、合理的聯(lián)系

.

兩種變式策略共存互補、相互促進，分別在不同情境、不同階段發(fā)揮作用

.

數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成包含概念、規(guī)則的獲得，命題和模型的提出，知識結(jié)構(gòu)和體系的形成

.

通過概念性變式教學，學生能從多角度體驗學習對象的數(shù)學本質(zhì)，更好地獲得概念和規(guī)則；通過過程性變式，學生能更合理地構(gòu)建知識的內(nèi)部聯(lián)系，形成知識結(jié)構(gòu)和體系

.

因此，變式教學的開展更有利于抽象素養(yǎng)在課堂教學中的落地生根

.

筆者以2018年高考全國卷Ⅰ理科第16題為例，從變式教學層面進行抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的探究

.

一、 原題再現(xiàn)

原題

(2018全國卷Ⅰ理-16) 已知函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

，則

f

(

x

)的最小值為________

.

二、 變式教學設(shè)計

為便于不等式的使用，將原題變?yōu)橐韵伦兪?p>.

變式

已知函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

,則

f

(

x

)的最大值為________

.

(一)單調(diào)性開路

變式解法1：

函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

周期為2π，故只需求解一個周期內(nèi)的最大值即可

.

求導可得

f

′(

x

)=2cos

x

+2cos(2

x

)=2cos

x

+4cos

x

-2=2(cos

x

+1)(2cos

x

-1)

.

故當時，

f

′(

x

)≥0；當時，

f

′(

x

)≤0

.

故函數(shù)

變式解法2：

由萬能公式可得故

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=令則那么則函數(shù)

y

=

g

(

t

)在區(qū)間上

y

′<0，在區(qū)間上

y

′>0

.

所以時，函數(shù)的最大值為

變式1

求函數(shù)的最大值

.

解法1：

換元，令則后續(xù)參見變式解法1

.

解法2：

直接求導進行求解，后續(xù)解答過程略

.

變式2

求函數(shù)的最大值

.

變式2解法與變式1類似，此處略

.

設(shè)計意圖：

利用所學知識尋求普適性的方法是解題教學的首要任務

.

利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，進而解決最值問題，是求解所有可導函數(shù)最值問題的通法

.

從最值的層面更好地構(gòu)建導數(shù)在函數(shù)問題中的價值

.

(二)應用不等式初探

變式解法3：

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，則

f

(

x

)=4sin

x

，那么結(jié)合基本不等式可得當3-3cos

x

=1+cos

x

，即時取等號)，所以當時取得)

.

或者結(jié)合那么可以化為

變式3

求函數(shù)的最大值

.

解法1：

換元，令則

y

=sin

θ

cos

θ

，利用類似變式解法3的方法處理

.

解法2：

利用基本不等式求解，當時取得最大值)

.

變式4

求函數(shù)的最大值

.

解法1：

換元，令則

y

=sin

θ

cos

θ.

解法2：

利用基本不等式求解，當時取得最大值)

.

設(shè)計意圖：

從基本不等式的角度，利用四階基本不等式構(gòu)造和為定值，進而求得乘積的最大值

.

利用三角恒等變換將題中和的形式轉(zhuǎn)化為乘積形式，再結(jié)合不等式進行處理，理順了三角函數(shù)中的不等式使用思路

.

(三)應用不等式再探

變式解法4：

f

(

x

)=4

第一個柯西不等式取得等號的條件和第二個二次型函數(shù)最值取得等號的條件相同，為

變式解法

當時取得等號)

.

變式5

求函數(shù)

y

=

f

(

x

)=sin

x

+sin2

x

+sin3

x

的最值

.

解：

f

(

x

)=sin

x

+sin2

x

+sin3

x

=2(sin

x

cos

x

(柯西不等式等號和二次函數(shù)最大值條件一致，即

設(shè)計意圖：

從乘積和的結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合柯西不等式進行系數(shù)的構(gòu)造，使得前后的等號一致；從乘積的形式，分別構(gòu)造基本不等式，進行系數(shù)的構(gòu)造使得前后的等號一致

.

從結(jié)構(gòu)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)不同的思考角度，多角度揭示問題的本質(zhì)

.

進一步強化利用不等式解決最值問題的基本思路

.

(四)數(shù)形結(jié)合顯威

變式解法6：

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，

P

(cos

θ

+1,sin

θ

)為

C

:+

y

=1上的點，只需求

x

·

y

=

c

的最大值

.

由圖1,令則

h

(

x

)與圓相切時

c

最大

.P

點切線的斜率為所以解得舍去，此時故

圖1 相切求最值

變式6

求函數(shù)

y

=

f

(

x

)=sin(2

x

)+2sin

x

+2cos

x

+2的最大值

.

解：

f

(

x

)=sin(2

x

)+2sin

x

+2cos

x

+2=2(sin

x

+1)·(cos

x

+1)，

P

(cos

θ

+1,sin

θ

+1)為

C

:=1上的點，求

x

·

y

=

c

的最大值

.

令則

h

(

x

)與圓相切時

c

最大，

P

點(cos

θ

+1,sin

θ

+1)切線的斜率為所以解得(cos

θ

=-1舍去)，故

變式解法7：

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=2sin

x

·(1+cos

x

)，構(gòu)造單位圓的內(nèi)切等腰三角形，如圖2，設(shè)∠

BOD

=

x

，則

DO

=cos

x

，

CD

=1+cos

x

，

BD

=sin

x

，

AB

=2sin

x

，所以

S

△=sin

x

(1+cos

x

)，所以要求函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

的最大值等價于求

S

△面積的最大值

.

設(shè)∠

COB

=

α

,∠

AOB

=

β

,∠

AOC

=

γ

,則由琴生不等式可得當時取等號

圖2

設(shè)計意圖：

此題利用“sin

θ

(1+cos

θ

)”構(gòu)造圓

C

:+

y

=1，利用“2sin

x

(1+cos

x

)”構(gòu)造單位圓的內(nèi)切三角形的面積

.

以三角函數(shù)的特性為媒介，從圖形角度詮釋三角表達的內(nèi)涵，利用圖形轉(zhuǎn)化解題方向

.

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學的重要思維，通過多角度探究，學生經(jīng)歷多維度思考，提升數(shù)形結(jié)合的思維層次

.

(五)高觀點立意

變式解法8：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數(shù)，由琴生不等式可得

y

=

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

=sin

x

+sin

x

+sin2

x

=sin(π-

x

)+sin(π-

x

)即當時取等號)

.

當時，故函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

在區(qū)間(0,π)上最大值為函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

在區(qū)間(0,π)上的最小值必然大于-1，因為函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

是奇函數(shù)，所以在(-π,0)上的最大值小于由周期性可得函數(shù)

f

(

x

)=2sin

x

+sin2

x

的最大值為

變式7

求函數(shù)的最大值

.

解：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數(shù)，由琴生不等式可得即當時取等號)

.

變式8

求函數(shù)的最大值

.

解：

因為

y

=sin

x

在為上凸函數(shù)，由琴生不等式可得即時取等號)

.

設(shè)計意圖：

2019年人教版高中數(shù)學新教材必修一第三章復習參考題中就有“求證：若

g

(

x

)=

x

+

ax

+

b

，則這一與函數(shù)凹凸性緊密結(jié)合的題型

.

從函數(shù)的凹凸性到琴生不等式，利用琴生不等式解決函數(shù)的最值問題，為函數(shù)最值的知識結(jié)構(gòu)增加了重要的組成部分，也可將琴生不等式的使用條件一般化為“

y

=

f

(

x

)=

a

sin(

bx

)+

c

sin(

dx

)，其中

ab

=

cd

”

.

三、 反思與總結(jié)

(一)通過變式教學設(shè)計完善知識結(jié)構(gòu)，形成知識體系

函數(shù)最值問題的知識結(jié)構(gòu)和體系較為復雜，結(jié)合三角公式、三角函數(shù)可以實現(xiàn)形式的多變性，在多種形式的基礎(chǔ)上融合多種方法，進而幫助學生更好地抽象出函數(shù)最值問題的知識結(jié)構(gòu)和體系

.

從通法的角度利用導數(shù)研究單調(diào)性求最值，結(jié)合萬能公式，再利用求導求最值；將基本不等式、柯西不等式的形式特點和三角函數(shù)的公式變形進行有機結(jié)合，讓結(jié)構(gòu)的形式和問題的實質(zhì)相融合；利用問題的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造反比例函數(shù)和圓的相切、構(gòu)造單位圓的內(nèi)切三角形面積，讓抽象的代數(shù)與直觀的圖形相融合；從函數(shù)的凹凸性觀點，進一步揭示問題的實質(zhì)

.

(二)通過變式教學設(shè)計一題多解，抽象出問題的實質(zhì)，提升思維品階

數(shù)學核心素養(yǎng)水平的提升，思維能力的進階，是一個有序的過程

.

通過合理的變式教學設(shè)計、多維度逐層深入的變式，學生經(jīng)歷由通性通法到多種不等式探究、再到數(shù)形結(jié)合、最后在高觀點下立意的探究過程，在逐層深入的過程中逐步揭開問題的實質(zhì)，不斷提升數(shù)學核心素養(yǎng)水平，發(fā)展高階思維

.

(三)通過變式教學設(shè)計多題一解，抽象方法的內(nèi)涵，形成一般性結(jié)論

在變式教學設(shè)計中，每一維度都設(shè)計多個變式，實現(xiàn)多題一解，使學生多角度認知方法，形成一般性的結(jié)論

.