地球自轉(zhuǎn)模型誤差對(duì)高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)定位精度的影響分析

嚴(yán)恭敏，戴晨杰，陳若彤

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，西安 710072）

慣性導(dǎo)航的主要誤差源有慣性傳感器誤差、初始條件誤差和導(dǎo)航解算誤差。毋庸置疑，慣性傳感器及其硬件系統(tǒng)集成的性能在導(dǎo)航精度中發(fā)揮著決定性作用。初始條件誤差主要是指姿態(tài)和方位的初始化誤差，尤其是方位對(duì)準(zhǔn)精度對(duì)自主高精度慣性導(dǎo)航會(huì)產(chǎn)生重要的影響[1,2]。導(dǎo)航解算誤差的影響相對(duì)較小，采用多子樣、高階和迭代等不可交換誤差補(bǔ)償算法后[3-6]，即使是在高動(dòng)態(tài)惡劣環(huán)境下由算法引起的導(dǎo)航誤差也可忽略不計(jì)。

除上述傳統(tǒng)觀點(diǎn)中的三種導(dǎo)航誤差源外，實(shí)際上還有一類(lèi)誤差源經(jīng)常被忽略了，即導(dǎo)航環(huán)境因素誤差。慣性導(dǎo)航一般是在地球表面上進(jìn)行并以地球作為參照物的，慣導(dǎo)系統(tǒng)的外部環(huán)境——地球的幾何形狀、重力場(chǎng)分布以及自轉(zhuǎn)角速度等因素都會(huì)影響導(dǎo)航解算精度。近年來(lái)，地球的幾何形狀參數(shù)建模已經(jīng)非常精確，其厘米級(jí)誤差對(duì)長(zhǎng)航時(shí)慣性定位的百米級(jí)以上精度需求的影響可以不予考慮。重力場(chǎng)垂線偏差對(duì)慣性導(dǎo)航精度的影響較大，已有不少文獻(xiàn)進(jìn)行了深入的研究[7]，重力補(bǔ)償技術(shù)已在航空慣導(dǎo)和測(cè)地車(chē)慣導(dǎo)零速修正等場(chǎng)合獲得了實(shí)際應(yīng)用。目前，在慣性導(dǎo)航領(lǐng)域中尚未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)地球自轉(zhuǎn)角速度的影響進(jìn)行專(zhuān)門(mén)研究。

在慣性導(dǎo)航專(zhuān)業(yè)中，通常認(rèn)為地球自轉(zhuǎn)角速度僅在其自轉(zhuǎn)軸方向存在分量，大小為ωie=15.041067178670319°/h ，而在垂直自轉(zhuǎn)軸方向上的角速率均為零。然而，天文學(xué)研究顯示[8]：由于太陽(yáng)、月球及行星對(duì)地球上赤道隆起部分的作用力矩而導(dǎo)致赤道平面的進(jìn)動(dòng)（赤道歲差），其角速率每年約西移50.39 ″，旋轉(zhuǎn)一周約2.6萬(wàn)年；行星對(duì)地月質(zhì)心繞日公轉(zhuǎn)黃道面影響，造成春分點(diǎn)移動(dòng)（黃道歲差），其角速率每年約東移0.1 ″，而且還會(huì)使黃赤交角在21 °55 ″～24 °18 ″范圍內(nèi)變化。這些運(yùn)動(dòng)信息表明，地球自轉(zhuǎn)軸在慣性空間中的指向并不是恒定不變的，或者說(shuō)地球在垂直于其自轉(zhuǎn)軸的方向上存在微小的轉(zhuǎn)動(dòng)角速率分量，該現(xiàn)象勢(shì)必對(duì)長(zhǎng)航時(shí)高精度的慣導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響。

在天文大地測(cè)量學(xué)中，地球定向參數(shù)（Earth Orientation Parameters, EOP）是描述地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的一組參數(shù)，包含極移、地球自轉(zhuǎn)變化和日長(zhǎng)變化（Length Of Day, LOD）。本文根據(jù)國(guó)際天文聯(lián)合會(huì)（International Astronomical Union, IAU）的歲差章動(dòng)模型和大地測(cè)量學(xué)EOP的LOD數(shù)據(jù)，推導(dǎo)出地球旋轉(zhuǎn)變換矩陣，并獲得了求解精確的地球旋轉(zhuǎn)角速度的方法，給出了傳統(tǒng)地球自轉(zhuǎn)角速度模型誤差的表達(dá)式，修正了傳統(tǒng)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播方程，最后進(jìn)行了長(zhǎng)航時(shí)高精度慣性導(dǎo)航誤差的仿真驗(yàn)證。

1 地球自轉(zhuǎn)角速度模型誤差

根據(jù)天文學(xué)理論，從協(xié)議天球坐標(biāo)系（比如J2000坐標(biāo)系，簡(jiǎn)記i系）到協(xié)議地球坐標(biāo)系（比如WGS84坐標(biāo)系，簡(jiǎn)記e系）的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣為[9]：

其中，ζ、θ、z為三個(gè)歲差角參數(shù)，ε、Δψ、Δε分別稱(chēng)為黃赤交角、黃經(jīng)章動(dòng)和黃赤交角章動(dòng)，θA為格林尼治視恒星時(shí)（Greenwich Apparent Sidereal Time，GAST），xp和yp是瞬時(shí)極相對(duì)于國(guó)際協(xié)議原點(diǎn)（Conventional International Origin, CIO）的角度值，Rs（?）（s=X,Y,Z）表示繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換矩陣。上述各參數(shù)的詳細(xì)計(jì)算或獲取方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8,9]。特別地，下面僅對(duì)參數(shù)θA作詳細(xì)分析。

格林尼治視恒星時(shí)θA是瞬時(shí)春分點(diǎn)與格里尼治零度經(jīng)線之間的夾角，其變化主要取決于地球自轉(zhuǎn)，同時(shí)與歲差章動(dòng)導(dǎo)致瞬時(shí)春分點(diǎn)的移動(dòng)有關(guān)。θA的計(jì)算公式為：

其中，dJDUT1=JDUT1-JD00為J2000.0參考?xì)v元至儒略日J(rèn)DUT1歷元時(shí)刻的儒略日間隔。

將式(7)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得瞬時(shí)地球自轉(zhuǎn)角速率，如下：

式(8)表示的是瞬時(shí)地球坐標(biāo)系（E系）的Z軸相對(duì)于慣性坐標(biāo)系（i系）的瞬時(shí)角速率，由于幾乎不受極移的影響，也可以認(rèn)為是協(xié)議地球坐標(biāo)系（e系）的Z軸相對(duì)于（i系）的瞬時(shí)角速率。

式(8)中的系數(shù)便是傳統(tǒng)慣導(dǎo)文獻(xiàn)給出的地球自轉(zhuǎn)角速率ωie，即有ωie=15.041067178670319°/h ，其含義是e系的Z軸相對(duì)于i系的“平均”角速率。實(shí)際上，由于地球自轉(zhuǎn)變化（日長(zhǎng)變化），即世界時(shí)UT1不均勻，使得d(UT1)/dt并不嚴(yán)格等于1，地球自轉(zhuǎn)角速率真值將在常值ωie附近波動(dòng)。由此可見(jiàn)，傳統(tǒng)慣導(dǎo)中的地球自轉(zhuǎn)角速度矢量模型是有誤差的，將傳統(tǒng)地球自轉(zhuǎn)角速度記為：

為了更精確地求解地球自轉(zhuǎn)角速度矢量，利用如下方向余弦陣微分方程：

定義地球自轉(zhuǎn)角速度模型誤差，記為：

其中，ηLOD為L(zhǎng)OD一天之中的相對(duì)變化量，可由EOP中的LOD數(shù)據(jù)（以秒為單位）計(jì)算，即有ηLOD=LOD/（24×3600）。

2 慣導(dǎo)誤差傳播方程修正與誤差特性分析

2.1 誤差方程推導(dǎo)

選“東-北-天”地理坐標(biāo)系為導(dǎo)航參考系（簡(jiǎn)記n系），由慣導(dǎo)系統(tǒng)在地球表面所處的經(jīng)度λ和緯度L，可得慣導(dǎo)位置矩陣：

式中，sα、cα分別表示sinα和cosα。

對(duì)如下角速度坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式：

式中，

M1的具體定義詳見(jiàn)文獻(xiàn)[10]；δW為因極移引起的在n系上投影的地球自轉(zhuǎn)誤差，注意到，有δWY cL+δWZ sL=0成立，也就是極軸方向的極移誤差為零；δω、δω為因歲差章動(dòng)而引起的地球自轉(zhuǎn)軸的擺動(dòng)角速率誤差（垂直于地球自轉(zhuǎn)軸），它們均是在瞬時(shí)天球坐標(biāo)系（N系）上投影的，不受地球自轉(zhuǎn)的影響。將δ轉(zhuǎn)換到導(dǎo)航系（n系）過(guò)程中，將受到地球自轉(zhuǎn)角矩陣RZ（-θE）的調(diào)制作用。x p、y p是瞬時(shí)極相對(duì)于CIO的角度值，其方向分別是從CIO指向0 °經(jīng)線和270 °經(jīng)線方向，兩者大小一般小于0.5 ″。

將式(14)代入捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差傳播方程[10]，可求得失準(zhǔn)角誤差φ、速度誤差δvn和位置誤差δp方程，分別為：

2.2 誤差特性分析

首先，在式(15)中，假設(shè)極移為0.5 ″，則極移誤差δW的幅值約為ωie×0.5′=3.6×10-5°/h；而δ的幅值僅約為1×10-6°/h量級(jí)，可見(jiàn)短時(shí)間內(nèi)（比如1 d內(nèi)）δW比δ的影響大得多。δW在1/4個(gè)修拉周期內(nèi)引起的失準(zhǔn)角波動(dòng)幅值約為3.6×10-5°/h × 84.4 min/4= 0.05 ″。在式(16)中，假設(shè)慣導(dǎo)速度vn大小幅值為10 m/s，則由δW引起的加速度誤差等效為水平失準(zhǔn)角僅約為(2×10 m/s×3.6×10-6°/h) /g=7.2×10-5″。因此，速度誤差式(16)的最后一項(xiàng)可以忽略不計(jì)，本文所提出的捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差傳播方程僅需在姿態(tài)誤差式(15)的最后增加即可。

3 數(shù)值仿真驗(yàn)證

3.1 地球自轉(zhuǎn)角速度誤差仿真

不考慮極移的影響，調(diào)用天文標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)（Standards Of Fundamental Astronomy, SOFA）提供的開(kāi)源程序（iauPn06a和iauGst06a函數(shù)）[11]，并從地球自轉(zhuǎn)服務(wù)網(wǎng)站（www.iers.org）下載LOD數(shù)據(jù)[12]，計(jì)算2000年～2020年間的地球自轉(zhuǎn)角速度誤差δ，其三軸分量如圖1所示，它們的均值為[-0.008-0.633-0.131]T×10-6°/h。圖1(a)(b)顯示，X軸和Y軸的波動(dòng)峰峰值約為1×10-6°/h，該波動(dòng)主要由章動(dòng)引起；歲差在N系的Y軸投影形成了Y軸曲線的常值誤差；圖1(c)中的Z軸均值為負(fù)，顯示了地球自轉(zhuǎn)角速率的減速現(xiàn)象，Z軸波動(dòng)反映了地球自轉(zhuǎn)的不均勻，相對(duì)不均勻性（穩(wěn)定度）約為：。

圖1 地球自轉(zhuǎn)角速度誤差Fig.1 The Earth's angular velocity errors

3.2 長(zhǎng)航時(shí)純慣導(dǎo)誤差仿真

這里在慣性器件仿真中考慮了地球自轉(zhuǎn)角速率模型誤差的影響，但在慣性導(dǎo)航更新算法中仍然采用傳統(tǒng)的地球自轉(zhuǎn)參數(shù)式(9)。

于地理位置L=0，λ=0處進(jìn)行靜基座純慣導(dǎo)仿真（高度通道固定不更新），仿真中假設(shè)慣性器件是理想無(wú)誤差的，且假設(shè)慣導(dǎo)的初始導(dǎo)航參數(shù)（姿態(tài)、方位角、速度和位置）準(zhǔn)確已知。從2016年1月1日開(kāi)始，共進(jìn)行了100 d的純慣導(dǎo)仿真，導(dǎo)航誤差如圖2所示。采用捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差傳播模型式(15)-(17)遞推獲得的誤差曲線與圖2重合，驗(yàn)證了誤差傳播模型的正確性，不再重復(fù)展示。

圖2 100天純慣導(dǎo)誤差Fig.2 Inertial navigation errors within 100 days

根據(jù)圖2分析，可得到以下結(jié)論：

（1）東向通道中的北向失準(zhǔn)角φN和東向速度δVE都比較小，但會(huì)隨時(shí)間不斷累積導(dǎo)致經(jīng)度誤差δλ緩慢增加。經(jīng)度誤差δλ主要是由地球自轉(zhuǎn)誤差中的Z軸分量δωiNe,Z引起的。不難理解，日長(zhǎng)變化LOD乘以地球自轉(zhuǎn)角速率所得角度值，即為慣導(dǎo)系統(tǒng)在該時(shí)間段內(nèi)的經(jīng)度解算誤差。

（2）北向通道中的東向失準(zhǔn)角φE、北向速度δVN和緯度誤差δL都以地球自轉(zhuǎn)為周期（1d）振蕩發(fā)散，它們主要由地球自轉(zhuǎn)誤差中的Y軸分量δω造成。δω除了引起東向失準(zhǔn)角φE外，還會(huì)導(dǎo)致天向失準(zhǔn)角φU，兩者都受到地球旋轉(zhuǎn)周期RZ（-θE）的調(diào)制作用。

在慣性導(dǎo)航算法中若將地球自轉(zhuǎn)角速度修正為：

式(18)表示對(duì)地球自轉(zhuǎn)角速度的X軸和Y軸補(bǔ)償歲差的影響，重做純慣導(dǎo)解算仿真，結(jié)果如圖3所示。與圖2相比，圖3在100 d時(shí)的緯度誤差δL從140 m降低到了50 m（降低了60%以上），基本消除了歲差的影響，剩余的緯度誤差δL主要是由章動(dòng)導(dǎo)致的。除北向通道外，天向失準(zhǔn)角φU誤差也減小了不少，從4.4 ″下降到了1.5 ″。這說(shuō)明，進(jìn)行地球自轉(zhuǎn)角速度的歲差修正對(duì)長(zhǎng)航時(shí)導(dǎo)航精度的提升效果還是比較明顯的。

圖3 100天純慣導(dǎo)誤差（歲差修正后）Fig.3 Inertial navigation errors within 100 days (after precession correction)

顯然，在實(shí)時(shí)慣導(dǎo)應(yīng)用過(guò)程中，如果能夠預(yù)測(cè)dUT1（或LOD）的變化趨勢(shì)[13]，對(duì)該趨勢(shì)進(jìn)行建模和補(bǔ)償，將有助于減小純慣導(dǎo)解算的經(jīng)度誤差，針對(duì)該問(wèn)題就不再仿真贅述了。由于極移的周期較長(zhǎng)（約為一年），根據(jù)當(dāng)前極移值或僅需進(jìn)行簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)，容易補(bǔ)償大部分極移誤差的影響。

4 結(jié) 論

根據(jù)IAU歲差章動(dòng)模型和EOP日長(zhǎng)變化數(shù)據(jù)，本文求解獲得了精確的地球自轉(zhuǎn)角速度數(shù)值，它在垂直于地球自轉(zhuǎn)軸的方向上存在1×10-6°/h量級(jí)的角速率波動(dòng)。長(zhǎng)航時(shí)純慣性導(dǎo)航仿真結(jié)果顯示，使用傳統(tǒng)的地球自轉(zhuǎn)角速度模型，會(huì)引起0.1 n mile/100 d的導(dǎo)航定位誤差。因此，在高精度慣導(dǎo)系統(tǒng)中，比如當(dāng)陀螺漂移誤差小于1×10-5°/h時(shí)，有必要考慮采用本文提出的地球自轉(zhuǎn)角速度建模方法，以減小導(dǎo)航環(huán)境因素誤差的影響。

致謝：感謝西安理工大學(xué)的翁浚提供的幫助。