高中物理中時(shí)間不收斂問(wèn)題的探討

李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學(xué)，浙江 嘉興 314500)

1 例題呈現(xiàn)與簡(jiǎn)評(píng)

如圖1所示，在水平地面上固定著相距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)粗糙導(dǎo)軌PQ及MN，PQNM范圍內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度可以調(diào)節(jié)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向豎直向上，導(dǎo)軌左側(cè)末端接有電動(dòng)勢(shì)為E、內(nèi)阻為r的電源，開(kāi)關(guān)K控制電路通斷。質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒ab垂直導(dǎo)軌方向靜止置于其上，與導(dǎo)軌接觸良好。電路中其余電阻均忽略不計(jì)。導(dǎo)軌右側(cè)末端有一線(xiàn)度非常小的速度轉(zhuǎn)向裝置，能將導(dǎo)體棒水平方向速度轉(zhuǎn)為與地面成θ角方向且不改變速度大小。導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到恒定的阻力f，導(dǎo)軌棒發(fā)射離開(kāi)導(dǎo)軌后，在空中會(huì)受到與速度方向相反、大小與速度大小成正比的阻力，f0=kv，k為比例常數(shù)。導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只平動(dòng)、不轉(zhuǎn)動(dòng)。調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，閉合開(kāi)關(guān)K，使導(dǎo)體棒獲得最大的速度。

圖1

(1) 求導(dǎo)體棒獲得最大的速度vm；

(2) 導(dǎo)體棒從靜止開(kāi)始達(dá)到某一速度v1的過(guò)程中滑過(guò)的距離為x0，導(dǎo)體棒ab發(fā)熱量為Q，求電源提供的電能及通過(guò)電源的電量q；

(3) 調(diào)節(jié)導(dǎo)體棒初始放置的位置，使其在到達(dá)NQ時(shí)恰好達(dá)到最大速度，最后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體棒以v的速度豎直向下落到地面上。求導(dǎo)體棒自NQ運(yùn)動(dòng)到剛落地這段過(guò)程的平均速度大小。

此題把含源電路和電磁感應(yīng)問(wèn)題與考慮阻力的拋體運(yùn)動(dòng)巧妙地熔于一爐，還設(shè)計(jì)了一個(gè)最值問(wèn)題?？上?，最后的拋體問(wèn)題設(shè)計(jì)犯了一個(gè)科學(xué)性錯(cuò)誤。

2 原題參考答案

本題的前兩問(wèn)是常規(guī)的電磁感應(yīng)與動(dòng)力學(xué)、能量相結(jié)合的綜合題，解題方法也比較常規(guī)，在這里不再贅述，下面著重討論第(3)問(wèn)的解答。

3 問(wèn)題探討

該題第(3)問(wèn)仍然是將動(dòng)量定理和電磁感應(yīng)相結(jié)合，但結(jié)合方式換成了一個(gè)純粹的力學(xué)模型，試題命制者的意圖是讓學(xué)生在水平方向上運(yùn)用動(dòng)量定理求出水平位移，在豎直方向運(yùn)用動(dòng)量定理求出運(yùn)動(dòng)總時(shí)間，但犯了一個(gè)科學(xué)性錯(cuò)誤，導(dǎo)體棒ab不可能以速度v豎直向下落到地面，也就是導(dǎo)體棒ab在水平方向上的分速度不可能是0。

還有一個(gè)經(jīng)典的有關(guān)拋體運(yùn)動(dòng)的錯(cuò)題是：已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力f=kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴的半徑，v為雨滴下落速度，雨滴由靜止開(kāi)始沿豎直方向下落，落地前雨滴已做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，且速率為v0，用a表示雨滴的加速度，g表示重力加速度，下列圖像中可能正確的是( )。

圖2

不少教輔資料上都有這道題，普遍認(rèn)為A選項(xiàng)是對(duì)的，理由是小球受到的阻力隨著速度增大而增大，所以小球下降過(guò)程中加速度一定減小。但這種分析未免草率，只知道阻力隨著時(shí)間增加，加速度在減小，如何確定加速度就是這么平滑地變化？實(shí)際上此問(wèn)題需要解一個(gè)較復(fù)雜的微分方程。

圖3

在此類(lèi)問(wèn)題中，雖然達(dá)到收尾速度需要無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間，但這些與時(shí)間相關(guān)的物理量如電量和熱量卻是收斂的。如含容電路的問(wèn)題：電容器初始電壓為U，導(dǎo)體棒初速度為0，回路電阻為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度是B，不考慮阻力，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)。

圖4

4 結(jié)語(yǔ)

在物理學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，微分方程始終伴隨著物理學(xué)的成長(zhǎng)。高中物理問(wèn)題的解決通常采用初等數(shù)學(xué)方法，難免在一些初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)處理的邊界之處會(huì)出現(xiàn)一些“沖突”，有些問(wèn)題可以回避，有些問(wèn)題要正面面對(duì)并解決，不能出現(xiàn)科學(xué)性的問(wèn)題。