基于DOB的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)魯棒控制

摘? 要：針對(duì)一類具有外部干擾的系統(tǒng)，提出一種基于干擾觀測(cè)器和線性矩陣不等式的魯棒控制方法。針對(duì)具有外部干擾的分?jǐn)?shù)階非線性不確定系統(tǒng)，利用系統(tǒng)狀態(tài)變量設(shè)計(jì)了干擾觀測(cè)器。基于干擾觀測(cè)器的輸出，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的魯棒狀態(tài)反饋控制器，并將控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一類分?jǐn)?shù)階不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。應(yīng)用分?jǐn)?shù)階Lyapunov理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并獲得閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)一步基于LMI控制器參數(shù)的求解方法。最后，用Newcastle機(jī)器人控制系統(tǒng)仿真驗(yàn)證了提出的控制方法有效性。

關(guān)鍵詞：干擾觀測(cè)器;魯棒控制;分?jǐn)?shù)階;時(shí)滯非線性系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TP391.9? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2096-4706（2022）06-0075-04

Robust Control of Fractional Nonlinear Systems Based on DOB

LI Hengbo

（School of Computer Science， Guangdong University of Science and Technology， Dongguan? 523083， China ）

Abstract： A robust control method based on disturbance observer and linear matrix inequality is proposed for a system with external disturbances. In view of the fractional order nonlinear uncertain system with external disturbances， this paper designs disturbance observer by using the system state variable. Based on the output of the disturbance observer， it designs a robust state feedback controller for fractional nonlinear systems， and the design problem of controller is converted into a kind of robust stability problems of fractional uncertain systems. It applies fractional Lyapunov theory to analyze the stability of the closed-loop system and obtain a further solution method based on the LMI controller parameters of the closed-loop system. Finally， the effectiveness of the proposed control method is verified by the Newcastle robot control system simulation.

Keywords： disturbance observer; robust control; fractional order; time delay nonlinear system

0? 引? ?言

分?jǐn)?shù)階微積分作為控制領(lǐng)域中一個(gè)新的研究方向，越來越引起人們的關(guān)注。分?jǐn)?shù)階微積分理論是在傳統(tǒng)微積分理論的基礎(chǔ)上拓展而來的，即將普通意義下微積分運(yùn)算的微分階次和積分階次從整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)和復(fù)數(shù)[1]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分在多個(gè)領(lǐng)域中起到了越來越重要的作用。分?jǐn)?shù)階微積分在整數(shù)階微積分的基礎(chǔ)上增加了微分和積分兩個(gè)自由度，工程上利用分?jǐn)?shù)階微積分算子使描述的數(shù)學(xué)模型更為精確。另一方面，分?jǐn)?shù)階的遺傳特性與記憶性為進(jìn)一步改善系統(tǒng)的控制性能提供了條件。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特性，也是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提。文獻(xiàn)[2]針對(duì)階次在（0，1]范圍內(nèi)的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)提出了無時(shí)滯的分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)Lyapunov方程系列穩(wěn)定性理論。文獻(xiàn)[3]基于Lyapunov-Krasovskii理論和隨機(jī)穩(wěn)定性理論，研究了時(shí)滯分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)的魯棒穩(wěn)定性。

在實(shí)際控制工程和控制理論中，通常把系統(tǒng)受到的自身參數(shù)和外部干擾或結(jié)構(gòu)的不確定性視為擾動(dòng)。幾乎在所有的控制工程系統(tǒng)中，干擾和模型不確定性是不可避免的，如何使控制系統(tǒng)在有干擾的情況下具有強(qiáng)魯棒性成為設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)控制器必須考慮的一個(gè)重要問題。干擾觀測(cè)器對(duì)干擾進(jìn)行估計(jì)時(shí)，不需要對(duì)干擾信號(hào)建立精確的數(shù)學(xué)模型，而且其本身的結(jié)構(gòu)非常簡(jiǎn)單，所以避免了大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，并能很好地滿足工程需要。目前，干擾觀測(cè)器被廣泛應(yīng)用于許多高精度運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[4]提出了將速度擾動(dòng)觀測(cè)器對(duì)無人機(jī)視軸系統(tǒng)進(jìn)行反饋補(bǔ)償，擾動(dòng)信號(hào)由分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行抑制。文獻(xiàn)[5]采用非線性干擾觀測(cè)器對(duì)時(shí)變干擾進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，從而實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)械臂的穩(wěn)定控制。

本文設(shè)計(jì)了一類分?jǐn)?shù)階時(shí)滯不確定系統(tǒng)的魯棒控制器，可以有效地改善干擾抑制的性能，用線性外源系統(tǒng)提供的干擾信息建立干擾觀測(cè)器。用干擾觀測(cè)器的輸出設(shè)計(jì)了魯棒控制策略，可以實(shí)現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。

1? 預(yù)備知識(shí)

在分?jǐn)?shù)階微積分理論發(fā)展過程中，出現(xiàn)了很多種分?jǐn)?shù)階微積分定義，并且從某種意義上來說某些定義具有一定的等價(jià)性。由于在初始條件下Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分定義與整數(shù)階微積分定義的方式一致，所以本文在接下來的內(nèi)容中用Caputo微積分定義。57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236

定義1.1：Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分定義：

式中，n-1≤α≤n，n∈N。

注1.1：Γ為Gamma函數(shù)，用歐拉積分定義為：。

Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.1：;

性質(zhì)1.2：由Caputo微積分定義得到，當(dāng)0≤α≤1時(shí)，其中，

。

本文考慮不確定系統(tǒng)的非線性如下：

=Φ（t），t∈[-h，0]? （1）

其中是狀態(tài)向量，是控制輸入向量，是系統(tǒng)外部干擾。A，Ad和B是常數(shù)矩陣，Φ（t）是系統(tǒng)的初始向量。

假設(shè)不確定系統(tǒng)（1）具有以下形式：

ΔA（t）=DF1（t）E（2）

其中，D，E為已知常數(shù)矩陣，表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的不確定性，F(xiàn)1（t）為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)的時(shí)變矩陣且滿足：

（3）

函數(shù)表示系統(tǒng)的非線性，且滿足以下假設(shè)。

假設(shè)1.1：f（0）=0且f（x（t））f（x（t））對(duì)于x滿足全局Lipschitz條件：

其中U是合適維數(shù)的已知矩陣。

2? 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

假設(shè)系統(tǒng)（1）的干擾d（t）來源于如下線性外源系統(tǒng)：

（4）

其中，和。W和V是已知適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

在工程應(yīng)用中許多不同種類的干擾可以用這個(gè)模型描述。在文章的下面部分中，考慮系統(tǒng)（1）和干擾動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（4）需要以下假設(shè)。

假設(shè)2.1：（A，B）可控，（W，V）可觀。

為了估計(jì)和重構(gòu)未知干擾d，構(gòu)造如下干擾觀測(cè)器：

（5）

其中，L∈Rn×n是待定的干擾觀測(cè)器增益矩陣。

定義干擾估計(jì)誤差，由式（1），（4）和（5）得：

（6）

通過設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益矩陣L可以實(shí)現(xiàn)干擾近似的目的，若L滿足（6）則系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和魯棒性。

注2.1：從（6）可以看出，增益矩陣L是干擾觀測(cè)器（5）的一個(gè)非常重要的設(shè)計(jì)參數(shù)。L的選擇不僅能影響觀測(cè)器的穩(wěn)定性，而且能使系統(tǒng)在不確定因素LΔA（t）x（t）下具有魯棒性。

3? 分?jǐn)?shù)階魯棒控制器的設(shè)計(jì)

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)可以直接測(cè)量得到，本文的目的是設(shè)計(jì)魯棒控制器使系統(tǒng)（1）魯棒漸近穩(wěn)定?，F(xiàn)設(shè)計(jì)如下魯棒控制器：

為了獲得分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，下面提出基于Lyapunov理論的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)的新方法。給出了下面定理得到本文的主要結(jié)果。

引理3.1：存在矩陣或向量X，Y，對(duì)任意常數(shù)α>0，滿足以下不等式：

（13）

定理3.1：對(duì)于給定正數(shù)α3和α4，若存在常數(shù)α1>0和α2>0，矩陣，，，，滿足LMI條件，那么閉環(huán)系統(tǒng)在控制律（7）的作用下魯棒漸近穩(wěn)定，進(jìn)一步漸近穩(wěn)定控制器參數(shù)選擇為和。

4? 仿真

針對(duì)Newcastle機(jī)器人[6]控制系統(tǒng)，采用分?jǐn)?shù)階PDα控制方法驗(yàn)證所提方法的有效性。選取機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)為：m=2 500 kg，c=32 Ns/mm，k=44.5 N/mm，Kp=100，KD=100。進(jìn)行MATLAB仿真時(shí)，各矩陣參數(shù)如下：

τM=1，τD=0.5，并取分?jǐn)?shù)階階次α=0.9。

由線性外源系統(tǒng)（4）產(chǎn)生的系統(tǒng)干擾d（t）描述為：

選取α3=α4=1，利用MATLAB LMI工具箱求解LMI得到：

雖然分?jǐn)?shù)階微分算子可以近似用傳遞函數(shù)來表示，但傳遞函數(shù)模塊不能直接設(shè)置初值，若設(shè)置初值必須將傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式。為了實(shí)現(xiàn)仿真分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，在simulink平臺(tái)上，可通過使用state-space（狀態(tài)空間）模塊來實(shí)現(xiàn)。根據(jù)（α=0.1～0.9，步長(zhǎng)0.1，逼近誤差2 dB）的逼近公式，如α=0.9可近似為：。仿真中，選取初始狀態(tài)的值為，初始干擾值為d0=[-1.2，-1，-0.1]T，干擾觀測(cè)器的初始值為。

圖1顯示了開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線，由圖可見，具有外部開環(huán)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯不確定系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖2分別顯示了在觀察器（5）的作用下，外部干擾及其觀測(cè)值的仿真曲線，易見，設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器能對(duì)外部干擾進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)。在控制律（7）的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示，由圖可見，設(shè)計(jì)的控制器不但能使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，而且能有效抑制外部干擾。對(duì)于不具有外部干擾的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng)（18），采用了最優(yōu)控制方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，結(jié)果如圖4所示。

5? 結(jié)? 論

本文提出基于分?jǐn)?shù)階時(shí)滯干擾觀測(cè)器不確定系統(tǒng)的魯棒控制。為了增強(qiáng)干擾抑制性能和魯棒性，用線性外源系統(tǒng)干擾近似系統(tǒng)的干擾，并由干擾觀測(cè)器的輸出，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯不確定系統(tǒng)的魯棒控制方法。用觀測(cè)器的輸出反饋到控制器作為外部干擾的補(bǔ)償，以抵消干擾從而達(dá)到擾動(dòng)抑制的目的。在構(gòu)建的系統(tǒng)下，用直接Lyapunov理論和LMI方法得到閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件和控制器的參數(shù)。最后用仿真證明設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階魯棒控制策略的有效性。

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作者簡(jiǎn)介：李亨博（1990—），女，瑤族，湖南永州人，講師，碩士研究生，研究方向：智能控制。

收稿日期：2022-02-22

基金項(xiàng)目：廣東科技學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目（青年項(xiàng)目）（GKY-2020KYQNK-8）57BA3E12-9874-42DC-8917-AA60F86E9236