時(shí)滯控制下軸向運(yùn)動(dòng)納米梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性研究

朱燦　李夢(mèng)瑤

摘要：在軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)中，速度會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生力學(xué)行為復(fù)雜的橫向振動(dòng)，且對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性有很大的影響。將時(shí)滯控制方法應(yīng)用在兩端簡(jiǎn)支條件下的軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)中，通過(guò)動(dòng)力系統(tǒng)分支理論和冪級(jí)數(shù)法來(lái)考察系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。結(jié)果表明，時(shí)滯和反饋增益系數(shù)對(duì)兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域有很大影響，恰當(dāng)?shù)臅r(shí)滯控制能夠有效增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可以消除系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯控制;穩(wěn)定分析;冪級(jí)數(shù)法;納米梁;軸向運(yùn)動(dòng)

中圖分類號(hào)：O322;O29文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

納米梁是納機(jī)電系統(tǒng)（nano-electromechanical system，NEMS）的基本組成結(jié)構(gòu)，納米梁加工工藝研究、納米梁力學(xué)電學(xué)測(cè)試研究以及納米梁在集成電路和傳感器領(lǐng)域中應(yīng)用研究具有重要意義。MOTE[1-3]對(duì)物體軸向運(yùn)動(dòng)誘發(fā)產(chǎn)生的橫向振動(dòng)已有了很好的研究。YANG和TAN等[4-5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁外部激勵(lì)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)固有頻率之間的關(guān)系。Z等[6]以軸向加速運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，利用攝動(dòng)法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行求解，分別對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的波動(dòng)頻率接近系統(tǒng)自然頻率2倍時(shí)出現(xiàn)的主參數(shù)共振情況以及速度的波動(dòng)頻率為系統(tǒng)兩個(gè)自然頻率的和時(shí)出現(xiàn)的組合參數(shù)共振情況進(jìn)行分析，討論不同共振情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李曉軍和陳立群[7]以兩端固支的軸向運(yùn)動(dòng)梁為研究對(duì)象，建立一種數(shù)值解析的方法，求解得到系統(tǒng)發(fā)生橫向振動(dòng)的自然頻率和模態(tài)。楊曉東和唐有綺[8]在復(fù)模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，得出軸向運(yùn)動(dòng)梁系統(tǒng)在發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí)的頻率和模態(tài)。 SATO等[9]利用中心流形定理和平均法研究帶有時(shí)滯的非線性動(dòng)力系統(tǒng)穩(wěn)定周期解及其穩(wěn)定性，討論時(shí)滯對(duì)該系統(tǒng)自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)的影響。LIU等[10]研究一種時(shí)滯反饋控制參數(shù)的求解方法，并運(yùn)用最優(yōu)化控制方法對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行減振控制。SHANG等[11-12]基于Helmoholtz振蕩器系統(tǒng)，給出時(shí)滯位移反饋對(duì)其安全流域分形侵蝕的影響。LIU等[13]以一類時(shí)滯控制下的懸臂梁為研究對(duì)象，通過(guò)系統(tǒng)的一次和二次共振，發(fā)現(xiàn)速度時(shí)滯及其反饋系數(shù)可以有效地提高該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于時(shí)滯對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的控制的相關(guān)研究還處于初級(jí)階段，為此，文中采用軸向運(yùn)動(dòng)納米梁模型，通過(guò)動(dòng)力系統(tǒng)分支理論和冪級(jí)數(shù)法，研究系統(tǒng)在時(shí)滯控制下軸向運(yùn)動(dòng)納米梁的振動(dòng)行為和穩(wěn)定區(qū)域。

1理論模型

2次諧波共振穩(wěn)定性研究

3組合參數(shù)共振穩(wěn)定性研究

4結(jié)論

研究了兩端簡(jiǎn)支的軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)在發(fā)生橫向振動(dòng)時(shí)，時(shí)滯控制對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。結(jié)果如下：

1）時(shí)滯和反饋增益系數(shù)對(duì)兩端簡(jiǎn)支軸向運(yùn)動(dòng)納米梁系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域有很大影響，恰當(dāng)?shù)臅r(shí)滯控制能夠有效增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可以消除系統(tǒng)的耦合顫振失穩(wěn)現(xiàn)象。

2）當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生次諧波共振時(shí)，位移時(shí)滯量、速度時(shí)滯量和位移反饋增益系數(shù)對(duì)系統(tǒng)發(fā)生次諧波共振的穩(wěn)定區(qū)域影響較小，但穩(wěn)定性隨著速度反饋增益系數(shù)的增加而減弱。

3）當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生組合參數(shù)共振時(shí)，位移時(shí)滯量對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響較小，位移反饋增益系數(shù)增大會(huì)減弱系統(tǒng)的穩(wěn)定性，速度時(shí)滯量和速度反饋增益系數(shù)增加則會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。參考文獻(xiàn)：

[1]MOTE C D. A study of band saw vibration[J]. Journal of the Franklin Institute， 1965， 279（6）： 430-444.

[2] MOTE C D. On the non-linear oscillation of an axially moving string[J]. Journal of Applied Mechanics， 1966， 33（2）： 463-464.

[3] MOTE C D. Dynamic stability of axially moving materials[J]. Shock and Vibration Digest， 1972， 4（4）： 2-11.

[4] YANG B， TAN C A. Transfer function of one dimensional distrubuted parameter systems[J]. Journal of Applied Mechanics， 1992， 59（4）： 1009-1014.

[5] TAN C A， CHUNG C H. Transfer function formulation of constrained distributed parameter systems[J]. Journal of Applied Mechanics， 1993， 60（4）： 1004-1011.

[6] Z H R， PAKDEMIRLI M， BOYACL H. Non-linear vibrations and stability of an axially moving beam with ti-me-dependent velocity[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2001， 36（1）： 107-115.

[7] 李曉軍， 陳立群. 關(guān)于兩端固定軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2005， 24（1）： 22-23.

[8] 楊曉東， 唐有綺. Timoshenko模型軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)特性分析[J]. 機(jī)械強(qiáng)度， 2008（6）： 903-906.

[9] SATO K， YAMAMOTO S， OKIMURA T，et al. Dynamic motion of a nonlinear mechanical system with time delay： analysis of the forced vibration by an averaging method[J]. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers Series C， 1995，61（585）：1861-1866.459EE679-44BB-44BD-8CBE-ABA3FE118A74

[10]LIU C C， JI H L， SUN H Y， et al. Optimal delayed control of nonlinear vibration resonances of SDOF system[J]. Transactions of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics， 2014， 31（1）： 49-55.

[11]SHANG H L， WEN Y P. Erosion of safe basins in a softening duffing system and its control with time-delay position feedback[J]. Journal of Vibration and Shock， 2012，31： 11-15.

[12]SHANG H L， HAN Y B， LI W Y. Suppression of chaos and basin erosion in a nonlinear relative rotation system by delayed position feedback[J]. Acta Physica Sinica， 2014， 11： 88-95.

[13]LIU C X， YAN Y， WANG W Q. Primary and secondary resonance analyses of a cantilever beam carrying an intermediate lumped mass with time-delay feedback[J]. Nonlinear Dynamics， 2019， 97（2）： 1175-1195.

[14]ERINEGEN A C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves[J]. Journal of Applied Physics， 1983， 54（9）： 4703-4710.

[15]YANG X D， ZHANG W. Nonlinear dynamics of axially moving beam with coupled longitudinal-transversalvibrations[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 78（4）： 2547-2556.

（責(zé)任編輯：曾晶）

Stability Analysis and Time Delay Feedback of

Axially Moving Nano Beams

ZHU Can， LI Mengyao

（Faculty of Civil Engineering and Mechanics， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）Abstract： Due to the existence of the velocity， the system will have lateral vibration behavior during the operation of the axially moving nano beams system. The mechanical behavior is very complex and will affect the stability of the system during the operation. In this paper， the timedelay control is applied to the axially moving nano beams system with both sides simply supported. The stability of the system is investigated by means of the dynamic system branching theory and the power series method. The results show that different delay and feedback gain coefficients will affect the stability region of the axially moving nano beams system， and appropriate delay control can effectively enhance the stability of the system， and eliminate the coupling flutter instability of the system.

Key words： time delay feedback; stability analysis; power series method; nano beams; axial motion459EE679-44BB-44BD-8CBE-ABA3FE118A74