融入數(shù)形結(jié)合思想提升學生的數(shù)學素養(yǎng)

王亞萍 北京市房山區(qū)長陽鎮(zhèn)長陽中心小學

國際學生評估項目（PISA）的概念是：數(shù)學素養(yǎng)是一個人能夠在不同情境中形成、運用和解釋數(shù)學的能力，其中包括數(shù)學推理，運用數(shù)學概念、數(shù)學程序、數(shù)學事實和數(shù)學工具來描述、解釋、預測實際生活。數(shù)學素養(yǎng)能夠幫助個體理解數(shù)學在社會生活中的作用，并做出相對正確的決策和判斷；數(shù)學素養(yǎng)是學生數(shù)學情感態(tài)度與價值觀、數(shù)學知識、數(shù)學能力的綜合體現(xiàn)，也是中國學生必備的核心素養(yǎng)之一。《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年）中指出，數(shù)學課程的四大總目標分別為：知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度，可見問題解決在數(shù)學課程中占據(jù)著十分重要的位置，對學生數(shù)學素養(yǎng)的提高有著非常重要的意義。在平時的教學實踐中，教師會發(fā)現(xiàn)解決問題的種類千姿百態(tài)，結(jié)構(gòu)變化多端，同時也有相當一部分學生在遇見解決問題的題目時愁眉不展，不知從哪里入手，特別是在學完北京版教材六年級上冊分數(shù)乘除法及百分數(shù)的相關(guān)內(nèi)容后設置的與分數(shù)、百分數(shù)有關(guān)的實際問題單元，學生更是一頭霧水。通過仔細分析，學生出現(xiàn)這種狀態(tài)的原因是不能將題目中的數(shù)學信息和問題很好地轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，且不能較好地與實際生活相結(jié)合，進而不能有效地分析出題目中包含的數(shù)量關(guān)系，更無法用相應的、合適的、與實際應用關(guān)聯(lián)的策略去靈活有效地分析和解決問題。

朱智賢在《兒童心理學》一書中指出：“小學生思維發(fā)展的基本特點是從以具體形象思維為主的形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主的形式，但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經(jīng)驗相聯(lián)系的，具有很大程度的具體形象性?！币虼耍m然六年級學生處于小學生涯的末期，抽象邏輯思維有了一定程度的發(fā)展，但是這種發(fā)展還沒有完全成熟。而在解決實際問題的過程中需要學生有很好的邏輯思維，這就出現(xiàn)了矛盾沖突?！皵?shù)形結(jié)合”可以較好地緩解這種沖突。“數(shù)形結(jié)合”是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化解決問題。解決小學數(shù)學的數(shù)形結(jié)合問題就是把數(shù)學問題中的數(shù)學信息和問題通過圖形的方式形象地表示出來，讓學生清楚地明白題目中的數(shù)量關(guān)系，讓數(shù)和形各展所長，實現(xiàn)抽象邏輯思維和具體形象思維之間的和諧統(tǒng)一。接下來，筆者將從北京版教材六年級上冊解決有關(guān)分數(shù)和百分數(shù)的實際問題的完整過程入手，分析“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性。

一、認真審題，獲取題目中有用的數(shù)學信息

隨著新課程改革的逐步推進，解決問題的題目越來越貼近我們的實際生活，敘述也越來越生活化，這與學生熟悉的數(shù)學語言存在一定的差距。同時，很多題目存在抽象、冗長的特點，有的題目還會出現(xiàn)與解決實際問題無關(guān)的干擾信息，導致學生往往抓不住重點，不能很好地理解題目意思，這在無形之中又增加了學生解決問題的難度，所以教會學生“認真審題”是解決問題的第一步。通過審題的過程，可以幫助學生獲取題目中有用的數(shù)學信息，過濾掉與解決問題無關(guān)的干擾信息。

例如，一個普通的三口之家，茶余飯后，爸爸媽媽為了檢驗孩子新學的分數(shù)乘除法知識，開了一個內(nèi)部交流會。首先由媽媽說：“我的體重是48 千克。”爸爸接著說：“媽媽的體重是我的”并告訴小亮他的體重是媽媽的問：小亮比爸爸輕多少千克？這道題目出現(xiàn)三個人物、三個數(shù)量，當題目中的數(shù)量增加，學生就分析不清其中的關(guān)系了，這時候教師需要引導學生靜下心來，將題目多讀幾遍。這道題目的問題是“小亮比爸爸輕多少千克”，所以我們得分別求出小亮的體重和爸爸的體重。通過多次讀題，學生會發(fā)現(xiàn)爸爸和小亮的體重都與媽媽的體重有關(guān)，所以求小亮和爸爸的體重都得借助媽媽的體重，只不過求爸爸的體重時，爸爸的體重是單位“1”；求小亮的體重時，媽媽的體重是單位“1”。分析到這兒，三者之間的關(guān)系就很清楚了。

再以生活中我們常乘坐的交通工具——高鐵的實際運營情況為例：“2017 年9 月21 日京滬高鐵部分列車運行速度達每小時350 千米，全程運行時間縮短之前全程運行的時間是5 小時，現(xiàn)在需要多長時間？”在這道題目里，有用的數(shù)學信息是：全程運行時間縮短和之前全程運行的時間是5 小時，問題是“現(xiàn)在需要多長時間”。最后的問題與運行時間有關(guān)，從而就可以確定“2017 年9 月21 日京滬高鐵部分列車運營速度達每小時350 千米”是干擾信息，學生在解決問題的過程中應該排除掉干擾信息，只關(guān)注對解決問題有用的數(shù)學信息。但是有很多學生往往會過度看重350 千米這個數(shù)據(jù)信息，認為題目給出的信息都是有用的。

由此可見，良好的審題習慣是小學生必須掌握的一項基本數(shù)學素養(yǎng)，而審題能力是提高學生解決問題能力的關(guān)鍵，更是正確解決問題的前提。當然，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的審題習慣并不是一蹴而就的，必須依靠一定的時間和持續(xù)性的強化訓練。在日常訓練時，教師首先要向?qū)W生提出明確的要求，并指導學生圈畫出關(guān)鍵字眼，建立閱讀的表象，明確數(shù)學的問題，建立數(shù)學信息和數(shù)學問題之間的關(guān)系，為下一步分析題目中的數(shù)量關(guān)系打下堅實的基礎。

二、數(shù)形結(jié)合，分析題目中的數(shù)量關(guān)系

當學生順利通過審題的第一步，成功獲取題目中有價值的數(shù)學信息之后，可能仍會是一頭霧水。此時，教師就需要引導學生運用“數(shù)形結(jié)合”的方法，讓學生通過簡單的圖形、符號和文字做示意圖，標示出題目中的重點數(shù)學信息，將復雜抽象的數(shù)學信息轉(zhuǎn)化為簡單形象的圖形語言，促進學生具體形象思維和抽象邏輯思維的協(xié)同發(fā)展。這樣更有利于打開學生解決問題的思路，幫助學生更好地理解問題、分析問題，并厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，進而采用更加有效的方法解決問題。此外，在平時的教學過程中也時常會出現(xiàn)這樣的情況，當學生遇到難題百思不得其解的時候，腦海中又沒有解決類似問題的經(jīng)驗，教師就需要稍加指點或者以畫草圖的方式演示給學生如何切入題目，打開學生思路，順利解決問題?？梢?，數(shù)學圖像能將復雜的數(shù)學信息簡單化，從而有利于學生數(shù)學思維的表達。

例如，根據(jù)補充的條件，將正確算式的序號填在括號里。

果園里有蘋果樹180棵，________，梨樹有多少棵？

（1）梨樹的棵數(shù)比蘋果樹多25%（）；

（2）梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的25%（）；

（3）梨樹的棵數(shù)比蘋果樹少25%（）；

（4）蘋果樹的棵數(shù)比梨樹多25%（）；

（5）蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的25%（）；

（6）蘋果樹的棵數(shù)比梨樹少25%（）。

A.180×25% B.180÷（1+25%）C.180×（1-25%）

D.180÷25% E.180÷（1-25%）F.180×（1+25%）

像這種數(shù)學信息比較相近的題目，學生更容易發(fā)暈，但是通過畫圖，蘋果樹的棵數(shù)與梨樹的棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系就一目了然了。比如，補充第（1）和第（4）個條件，不同的已知條件，單位“1”就不一樣，根據(jù)“______的前比后”確定單位“1”的規(guī)律，可以知道補充條件（1），單位“1”就是蘋果樹，補充條件（4），單位“1”就是梨樹，從而畫出來的圖也就不一樣，進一步說明兩幅圖所表示的數(shù)量關(guān)系也不一樣。通過畫圖有利于加強數(shù)學信息和線段圖之間的聯(lián)系，加深學生對數(shù)學信息的理解，降低學生分析問題的難度。

圖1

圖2

再比如，還是上面一家三口體重的問題，如果學生讀了幾遍題目之后，還是無從下手，這時候就需要提醒學生畫圖了，學生在畫圖的時候會再次思考這三個人體重之間的關(guān)系。爸爸說：“媽媽的體重是我的”從而知道爸爸是比媽媽重的，所以畫線段圖的時候，代表媽媽體重的線段要比爸爸的短；而小亮的體重是媽媽的從而知道小亮是比媽媽輕的，所以畫圖的時候，代表小亮的線段要比媽媽的短，進而也就有了下面的圖。結(jié)合圖再來看三者之間體重的關(guān)系，就清晰了很多。

圖3

總而言之，在恰當?shù)臅r候運用數(shù)形結(jié)合法不僅能降低解決問題的難度，還可以使學生快速厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，提升學生的思維能力，提高學生對數(shù)學學習的積極性和主動性。

三、根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式解答

當上面兩步順利完成，列出相應的算式對學生來說就不是難點了。依舊以上面梨樹、蘋果樹的問題為例，補充第（1）個條件：梨樹的棵數(shù)比蘋果樹多25%，那么，題目中所包含的數(shù)量關(guān)系就是：梨樹的棵數(shù)是蘋果樹棵數(shù)的（1+25%），再結(jié)合之前課堂中掌握的內(nèi)容，給出單位“1”和分率求分量用乘法，給出分量和分率求單位“1”用除法，所以列式為：180×（1+25%）；補充第（4）個條件：蘋果樹的棵數(shù)比梨樹多25%，題目中所包含的數(shù)量關(guān)系就是：蘋果樹的棵數(shù)是梨樹棵數(shù)的（1+25%），所以列式為：180÷（1+25%）。經(jīng)過這兩個問題的啟發(fā)，補充其他的條件，學生即使不把線段圖畫在紙上，也能將線段圖呈現(xiàn)在腦子里，進而分析出蘋果樹和梨樹之間到底是一種什么樣的數(shù)量關(guān)系，順利列式解答。

四、多種方法驗證，提高題目的正確率

當然，解決問題的學習不是簡單快速得到結(jié)果就好了，而是要在有效解題之后進行自我反思驗證，驗證自己是否有解題紕漏，從而提高正確分析問題、解讀和解決數(shù)學問題的能力。小學高年級的學生已經(jīng)具備一定的歸納和概括能力，引導學生反思驗證可以幫助其在原有知識的基礎上不斷提升能力，讓學生在學習之后可以更加深入的理解知識。同時，反思驗證也是學生發(fā)現(xiàn)自身問題的一種有效手段，是學生解決問題過程中必不可少的一個環(huán)節(jié)，是學生未來發(fā)展路程中必備的品質(zhì)，對學生的成長有著重要的作用。

還以蘋果樹和梨樹的例子來說，當學生自認為問題已經(jīng)解決了，已經(jīng)得到正確結(jié)果的時候，教師需要提醒學生將得出的結(jié)果再放回到原題中進行驗證，檢驗我們的解題思路是否正確；如果不正確，再思考到底哪里出現(xiàn)了問題。教師可以引導學生重現(xiàn)自己的解題思路，看看自己能不能把自己說服，如果自己能給自己講通，就說明有90%的把握做對了這道題。教師還可以引導學生采用多種方法再解這道題，如果所有方法的結(jié)果都是一樣的，那說明解法肯定沒有問題。例如，蘋果樹和梨樹的問題，補充第（1）個條件，經(jīng)過一系列的分析選擇了算式180×（1+25%），到底正確嗎？讓學生換種思路再來看這道題，可以運用方程法，設梨樹的棵樹為x 棵，進而列的方程就是（x-180）÷180=25%，經(jīng)過解方程、計算，發(fā)現(xiàn)兩種方法的結(jié)果是一樣的，這就說明剛才的分析思路沒有問題。

五、適時評價，提升成就感

眾所周知，教學評價是數(shù)學教學的重要組成部分，評價是一個過程，是一個教育的過程，是一個促進學生發(fā)展的過程，是一個師生共建的過程。在當前的教育教學中，評價不再單指教師評價，還包括家長評價、社會評價、生生評價以及學生的自我評價。尤其是學生的自我評價必不可少，學生在自我評價的過程中會看到自己的優(yōu)點，并不斷發(fā)現(xiàn)自己的不足，進而改變自己、完善自己。評價對教育活動起著非常重要的導向作用，它是數(shù)學課堂實施的重要環(huán)節(jié)，科學而有效的課堂教學評價不但可以為高質(zhì)量的教學提供重要保障，而且還有助于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效提升，同樣“問題解決”的學習活動也要重視評價。

當蘋果樹和梨樹這樣看似復雜的數(shù)學問題出現(xiàn)的時候，作為教師的我們首先要放手，給予學生獨立思考空間，在充分思考之后鼓勵學生勇于提出自己的想法。如果學生能運用自己的解題經(jīng)驗并主動運用數(shù)形結(jié)合的思想清晰地闡明自己的思路，可以引導學生進行生生評價，促使學生汲取他人解題過程中的優(yōu)點，教師也要給予學生充分的肯定，同時對學生的思路進行正向的評價而不僅僅是關(guān)注結(jié)果。即使學生的思路出現(xiàn)了小問題，但他只要勇于說出自己的想法就應該受到鼓勵，同時他的問題也為大家提供學習經(jīng)驗。當然學生也要從字跡、思路、回答問題的次數(shù)、聲音等方面對自己做出評價。長此以往，越來越多的學生在解決問題時，就會主動思考、表達自己的想法?？傊?，教師要用有溫度的教學評價向?qū)W生內(nèi)心灑下縷縷陽光，全面關(guān)注學生的未來成長。

我國數(shù)學家張廣厚曾經(jīng)說過：“抽象思維如果脫離直觀，一般是很有限度的。同樣，在抽象中如果看不出直觀，說明還沒有把握住問題的實質(zhì)?！笨梢?，抽象邏輯思維與直觀形象思維有著十分密切的聯(lián)系。在小學高年級解決有關(guān)分數(shù)、百分數(shù)實際問題的過程中，“數(shù)形結(jié)合”思想可以使學生學得輕松而有效，教師要善于根據(jù)學生的實際情況，在引導學生正確審題的前提下，將“數(shù)形結(jié)合”的思想自然而然地融入到教學活動中，使學生的具體形象思維和抽象邏輯思維有機結(jié)合起來，幫助學生更好地分析解題思路，同時對學生的回答給予適時的恰當評價，進一步提高學生解決問題的能力，進而激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。