一類變系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程離散格式的收斂性分析

屈 威，葉宇航

（韶關學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 韶關 512005）

回火分數(shù)階擴散方程是分數(shù)階擴散方程的推廣［1］.在實際應用中，通常采用指數(shù)的回火得到回火的冪律跳躍步長（空間回火分數(shù)階導數(shù)）和回火的冪律等待時間（時間回火分數(shù)階導數(shù)），其在各類力學與物理行為、反常擴散［2］、歐式期權定價［3］等領域被廣泛的應用.

近年來，關于回火分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值方法得到了廣泛地研究.Li和Deng提出了回火加權移位Grünwald差分算子，并結合Crank-Nicolson（C-N）方法導出求解常系數(shù)Riemann-Liouville（R-L）回火分數(shù)階擴散方程的數(shù)值格式，證明了數(shù)值格式在時間及空間方向都是二階收斂［4］.隨后，Qu和Liang將其結論推廣到一類變系數(shù)的情形，并給出了數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性分析，但收斂性證明所要求的條件較為嚴格，部分數(shù)值實驗表明，當收斂性條件不滿足時，數(shù)值離散格式仍能達到二階收斂性［1］.為了獲得更高精度的數(shù)值算法，文獻［5-7］利用移位回火Grünwald差分算子構造出了具有三階精度的回火差分算子以及高階擬緊算子逼近正規(guī)化R-L回火分數(shù)階導數(shù)，并利用所構造的高階擬緊算子離散具有漂移項的單側正規(guī)化回火分數(shù)階擴散方程，同時，給出了數(shù)值離散格式穩(wěn)定性和收斂性的理論分析.此外，對于Riesz回火分數(shù)階擴散方程也得到了相應地研究.如文獻［8-9］，分別基于新的生成函數(shù)，提出了二階Lubich回火差分算子并結合（2，2）Padé逼近Riesz回火分數(shù)階（階數(shù)大于0小于2）導數(shù)，進而得到求解Riesz回火分數(shù)階擴散方程新的數(shù)值離散格式，基于新格式的穩(wěn)定性和收斂性也做了相應的分析.此外，文獻［10］利用隱式中點法結合Lubich回火差分算子對帶有滿足Lipschitz條件的非線性源項的Riesz回火分數(shù)階平流-擴散方程進行離散，并證明了格式的穩(wěn)定性和收斂性.同時，多個數(shù)值實驗驗證了以上理論結果及所得數(shù)值格式的穩(wěn)定性和收斂性的正確性.

筆者主要研究一類變系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程有限差分離散格式的收斂性，并對文獻［1］中關于離散格式收斂性證明做進一步的擴展.具體地，對離散格式進行等價轉換，利用合同矩陣的性質，給出了離散格式中系數(shù)矩陣不限定在負定性這一條件下的收斂性分析.筆者提出的收斂性證明方法和已有的研究成果相比，需要的條件較弱，具有更廣的適用范圍.考慮帶有狄利克雷（Dirichlet）齊次邊界條件的α階（1＜α＜2）變系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程：

其中a，b和T已知，回火參數(shù)λ為適度大小的非負數(shù)，d（x）為正值有界擴散函數(shù)，非負常數(shù)k1，k2為控制擴散方向上的一組基，且k1+k2≠0，線性源項f（x，t）為定義在［a，b］×［0，T］上的已知函數(shù)，分數(shù)階微分算子分別稱為函數(shù)u（x，t）正規(guī)化R-L回火α（1＜α＜2）階左側和右側導數(shù)，定義為方程（2）和（3），即：

定義1（左、右R-L回火分數(shù)階導數(shù)）設1＜α＜2，函數(shù)u（x，t）定義在區(qū)間［a，b］×［0，T］上，Γ（·）為伽馬函數(shù)，則稱：

當λ=0時，左、右R-L回火分數(shù)階導數(shù)退化成左、右R-L分數(shù)階導數(shù).

1 變系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程的基本結論

在文獻［4］中，Li和Deng提出了一種具有二階精度的回火加權移位Grünwald算子逼近正規(guī)化R-L回火的α階（1＜α＜2）左側和右側導數(shù)的數(shù)值方法，并利用C-N方法逼近一階時間偏導數(shù)，得到了在時間和空間上均具有二階精度的常系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程的離散格式，并證明了該格式的穩(wěn)定性和收斂性.筆者簡要回顧回火加權移位Grünwald算子及相應的結論.

分別取兩個正整數(shù)N和M，令空間步長為h=（b-a）/（N+1），時間步長為τ=T/M，則空間和時間的分割分別為xi=a+ih（i=0，1，…，N+1）和tm=mτ（τ=0，1，…，M）.由文獻［4］得，方程（2）和（3）在網(wǎng)格點（xi，tm）處具有如下逼近格式：

其中，φ（λ）=（γ1ehλ+γ2+γ3e-hλ）（1-e-hλ）α.

序列｛｝k≥0滿足關系式：

這里w0（α）=1，當k≥1時，方程（4）中的系數(shù)γi（i=1，2，3）滿足方程（5）：

顯然，在方程組（5）中，方程的未知量的個數(shù)多于方程的個數(shù)，因此，方程組（5）有無窮多解.通過直接計算，可得方程組（5）的3組解：

此外，序列｛gk（α）｝k≥0在方程組（5）解集的基礎上，滿足引理1的性質.

引理 1對于 1＜α＜2，λ≥0，如果γi（i=1，2，3）滿足下列 3個條件之一：

2 數(shù)值離散格式

設｛u（xi，tm）∣0≤i≤N+1，0≤m≤M｝和｛∣0≤i≤N+1，0≤m≤M｝分別為回火分數(shù)階擴散方程（1）的精確解和數(shù)值解.令利用 C-N 隱差分格式離散時間一階偏導數(shù)、二階中心差分離散空間一階偏導數(shù)，以及Li和Deng提出的空間二階回火加權移位Grünwald差分算子離散正規(guī)化R-L回火分數(shù)階導數(shù)［4］，則對i=1，2，…，N和m=1，2，…，M-1，得到式（6）：

該差分格式是無條件穩(wěn)定的，以及在空間和時間上的誤差都滿足2階精度要求，詳見文獻［1］.記則式（6）的矩陣形式為：

其中，I為N階單位矩陣，A=εk1G+εk2GT+η（k2-k1）W，D=diag（d1，d2，…，dN），ρm表示截斷誤差向量，并滿足‖ρm‖∞=O（h2+τ2），W為三對角矩陣，G為Toeplitz矩陣，即：

關于數(shù)值離散格式（6）的收斂性證明在文獻［1］中已經(jīng)展開了討論.然而，文獻［1］中的證明是基于矩陣DA是負定矩陣這一條件的.事實上，當矩陣DA不是負定矩陣時，該離散格式在時間和空間上仍具有二階精度收斂性，這一點也可以從文獻［1］中例2的數(shù)值結果中看出.基于此，受文獻［11］的啟發(fā)，我們將方程（7）進行等價轉換，并探討收斂性在矩陣DA不加負定這一條件時成立的可能性，以下將就此展開討論.

3 收斂性分析

在給出離散格式（6）的收斂性證明之前，先給出一些收斂性分析需要用到的定義及引理.

定義 2設向量v=［v1，v2，…，vN］T∈?N×1，h為空間步長，定義向量v的離散的L2范數(shù)定義為：‖v‖L2=向量v的2-范數(shù)定義為：.由定義2，可得，向量v的L2范數(shù)與2-范數(shù)之間的關系為

引理2令R（z）為在Rez≤0條件下的有界有理函數(shù)，對任一半負定矩陣A，則有：‖R（A）‖2≤成立［12］.

引理3［13］設矩陣A∈?n×n是正定（負定）矩陣，則vTAv＞0（＜0）對所有非零實向量v都成立，當且僅當它的對稱部是正定（負定）的.

接下來，給出離散格式（6）的收斂性證明定理.

定理1設Dm是方程（1）的精確解向量，且um是差分格式（6）的解向量，當系數(shù)γi（i=1，2，3）滿足引理1的假設之一，則：‖Um-um‖L2≤C（h2+τ2），對所有1≤m≤M都成立，其中，C是不依賴于m，τ和h的常數(shù).

證令對j=1，2，…，N有則對0≤m≤M-1有：

由文獻［4］可得，G為負定矩陣.又因為根據(jù)引理3可得，A為負定矩陣.進一步，也為負定矩陣.因此，為可逆矩陣，則方程（9）可化為：

由定義2，向量的L2范數(shù)和2-范數(shù)之間的關系，在方程（11）兩邊同時乘以，得：

其中c0是一個正常數(shù)，更進一步，令um+1‖L2≤C（h2+τ2），即對 1≤m≤M，有：‖Um-um‖L2≤C（h2+τ2）.定理得證.

4 結語

討論了利用C-N方法和回火加權移位Grünwald算子離散一類變系數(shù)回火分數(shù)階擴散方程，得到了方程的數(shù)值離散格式，利用合同矩陣的性質，給出了數(shù)值格式收斂性的理論分析.該收斂性的證明和已有的研究成果相比，所需要的條件較弱，適用范圍更廣.