稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及子鏡位置誤差分析

王臣臣，張 蕾，謝 遠(yuǎn)，田 曉，張 帥，張睿釗，朱 梅，楊苗燕，蘇 帥，賀勇衡

(西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077)

0 序言

隨著人類對(duì)光學(xué)系統(tǒng)分辨率的需求越來越高，其口徑由最初的厘米量級(jí)發(fā)展到現(xiàn)在的米量級(jí)，甚至幾十米量級(jí)。受到加工能力的限制，單一口徑反射鏡遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足人們對(duì)高分辨率的需要，稀疏口徑系統(tǒng)的出現(xiàn)則解決了以上困難。1978年美國(guó)在亞里桑那建造的多鏡望遠(yuǎn)鏡(Multiple Mirror Telescope，MMT)是最早的稀疏孔徑成像系統(tǒng), 每塊子鏡的直徑為1.8 m,組成的主鏡等效孔徑相當(dāng)于直徑4.45 m的望遠(yuǎn)鏡，美國(guó)在亞利桑那的MMT實(shí)物圖如圖1所示；美國(guó)波音公司在名為L(zhǎng)ow Cost space Imager的研究項(xiàng)目中設(shè)計(jì)了一個(gè)光學(xué)稀疏孔徑系統(tǒng)，該系統(tǒng)的主鏡由6個(gè)2.2 m的子鏡構(gòu)成,整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)等效口徑為8 m。

圖1 美國(guó)在亞利桑那的MMT實(shí)物圖

通過子鏡拼接得到的大尺寸主鏡，子鏡在位置上需要共焦共相才能成像。由于子鏡背部機(jī)械結(jié)構(gòu)的精度問題，子鏡的拼接位置與理想位置有一定的差異，因此在光學(xué)系統(tǒng)投入應(yīng)用之前需要對(duì)子鏡的位置進(jìn)行檢測(cè)校正。而對(duì)子鏡誤差影響成像質(zhì)量的分析，一般通過理論進(jìn)行，未考慮到系統(tǒng)自身所帶有的球差、彗差、像散等多種像差對(duì)成像質(zhì)量產(chǎn)生的影響。因此需要建立一個(gè)稀疏口徑系統(tǒng)來分析子鏡位置誤差的影響，建立的系統(tǒng)中需要包含系統(tǒng)優(yōu)化過程中所不能校正的多種像差對(duì)成像質(zhì)量的影響，更能真實(shí)的反映系統(tǒng)在多種像差的影響下，位置誤差對(duì)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響，從而對(duì)確定子鏡的位置誤差容限提供一定的參考。

1 稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)

稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)是通過多個(gè)小尺寸子鏡拼接得到較大口徑的主鏡，由于子鏡拼接后得到的主鏡填充因子相比較全口徑光學(xué)系統(tǒng)較小，顯得較為稀疏，所以叫做稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)。目前,針對(duì)子鏡的排列方式，比較典型的子鏡結(jié)構(gòu)有:環(huán)面、環(huán)形、戈萊、三臂等形式。比如，環(huán)面結(jié)構(gòu)的整個(gè)光瞳可以表現(xiàn)為一個(gè)圓環(huán),圓環(huán)面積的大小可以反映通光量的大小，因此改變圓環(huán)內(nèi)外半徑的大小可以對(duì)系統(tǒng)通光面積的大小進(jìn)行改變，當(dāng)內(nèi)徑的大小為零時(shí)，可以得到一個(gè)全口徑大小的反射鏡。

在上面的結(jié)構(gòu)中，環(huán)面應(yīng)用最多，已經(jīng)在多個(gè)望遠(yuǎn)鏡上實(shí)現(xiàn)應(yīng)用，多用于地基上的望遠(yuǎn)鏡，而地基望遠(yuǎn)鏡可以在一定程度上進(jìn)行人為干預(yù)，因此可將子鏡的位置誤差校正到成像允許的公差范圍內(nèi)。而受到運(yùn)載火箭尺寸等限制，稀疏口徑在太空中的應(yīng)用尺寸會(huì)相對(duì)較小，同時(shí)受到條件限制，對(duì)于子鏡的位置誤差檢測(cè)和校正方面，均需要設(shè)備自動(dòng)完成，進(jìn)一步提高了檢測(cè)和校正難度。在太空中完成探索相對(duì)于地基望遠(yuǎn)鏡有著許多優(yōu)點(diǎn)，最為重要的是太空中的望遠(yuǎn)鏡可以免受地球大氣的影響，成像效果更好。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)天基稀疏口徑系統(tǒng)，并完成子鏡位置誤差對(duì)系統(tǒng)成像質(zhì)量的分析，給出每個(gè)子鏡的位置誤差的公差范圍，是稀疏口徑系統(tǒng)進(jìn)入太空應(yīng)用的關(guān)鍵，是完成高分辨探索的重要環(huán)節(jié)。

2 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

稀疏口徑系統(tǒng)在應(yīng)用中一般分為天基和地基，依靠人為干預(yù)和調(diào)節(jié)，地基系統(tǒng)的口徑可以做到幾十米大小。而受到運(yùn)載工具尺寸的限制，天基系統(tǒng)的口徑一般被限制在幾米量級(jí)。又由于太空環(huán)境的獨(dú)特性，所以發(fā)展天基系統(tǒng)是十分重要的。對(duì)于稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與常規(guī)的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)相同，通過對(duì)指標(biāo)的計(jì)算得到系統(tǒng)的性能指標(biāo)，選型后完成系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，最后再完成檢測(cè)和裝調(diào)等工作。在進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，系統(tǒng)的焦距不僅會(huì)對(duì)成像質(zhì)量產(chǎn)生影響，還會(huì)影響系統(tǒng)的長(zhǎng)度和重量，大小可以由像元尺寸和探測(cè)器的像元尺寸決定，=，是探測(cè)器像元尺寸大小，為系統(tǒng)的角分辨率。設(shè)定探測(cè)器像元尺寸為10 μm，角分辨率為1.5角秒，可以計(jì)算得出系統(tǒng)的焦距大小為78.83 m。為了能使系統(tǒng)的探測(cè)器對(duì)光學(xué)系統(tǒng)充分采樣，應(yīng)該使艾里斑的直徑充滿兩個(gè)像元尺寸大小，即2.44=2，可以計(jì)算得到系統(tǒng)的通光口徑大小為6 m左右，因此光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)指標(biāo)如表1所示。

表1 光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)指標(biāo)

根據(jù)系統(tǒng)的焦距等參數(shù)指標(biāo)可以判定，系統(tǒng)的選型為反射式，同時(shí)為了增加系統(tǒng)在優(yōu)化過程中的自由度，提高系統(tǒng)的成像質(zhì)量，整個(gè)系統(tǒng)選擇為三反結(jié)構(gòu)，即使用三個(gè)反射鏡來完成系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，所有反射鏡為同軸，為了避免視場(chǎng)被遮擋，選擇偏視場(chǎng)設(shè)計(jì)。優(yōu)化完成后的光學(xué)系統(tǒng)示意圖如圖2所示。

圖2 優(yōu)化完成后的光學(xué)系統(tǒng)示意圖

優(yōu)化系統(tǒng)后需要對(duì)成像質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)的方式有多種，最為常用的評(píng)價(jià)方式有：系統(tǒng)的MTF曲線圖、波前圖及點(diǎn)列圖等。光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線圖如圖3所示，通過MTF曲線圖可以看出，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)曲線接近衍射極限，在50線對(duì)處的大小高于0.25，滿足系統(tǒng)成像質(zhì)量的需要。

圖3 光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線圖

光學(xué)系統(tǒng)的波前圖如圖4所示。從圖4中的波前圖大小可以看出，整個(gè)系統(tǒng)的RMS值大小為0.062 4，基本符合系統(tǒng)成像質(zhì)量的要求。由于視場(chǎng)為偏視場(chǎng)，所以最終的波前圖大小則會(huì)出現(xiàn)傾斜，區(qū)別于常規(guī)視場(chǎng)產(chǎn)生的中間小、邊緣大的波像差，最終的波前產(chǎn)生一邊大、另外一邊逐漸減小的現(xiàn)象。

圖4 光學(xué)系統(tǒng)的波前圖

對(duì)于子鏡的設(shè)計(jì)，采用環(huán)形子鏡排列，子鏡的數(shù)量設(shè)計(jì)為4個(gè)，圍繞光軸進(jìn)行有序排列，子鏡設(shè)計(jì)完成后的稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)示意圖如圖5表示。從優(yōu)化完成的稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)圖中可以看到，主鏡由4塊小尺寸子鏡組成，光線經(jīng)過子鏡反射后分別入射到次鏡和三鏡，最終通過折軸鏡反射后到達(dá)像面。折軸鏡的使用則是為了對(duì)光線的光路進(jìn)行折疊，使光線能直接入射到系統(tǒng)的像面上，同時(shí)也能使得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更加緊促。

圖5 稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)示意圖

對(duì)于分塊后的光學(xué)系統(tǒng)，同樣對(duì)成像質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，分別采用MTF曲線圖、波前圖、點(diǎn)列圖及PSF圖來對(duì)系統(tǒng)的成像質(zhì)量進(jìn)行說明。稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線圖和波前圖如圖6所示，稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖和PSF圖如圖7所示。從圖6和圖7可知，主鏡通過子鏡拼接后，系統(tǒng)的MTF傳遞函數(shù)的衍射極限有所下降，特別是在中頻25線對(duì)部分，下降了0.2左右，這是由于通過子鏡拼接得到的主鏡，組成的主鏡面積大小小于單一主鏡面積大小，通光量減小，最終導(dǎo)致系統(tǒng)的衍射極限下降。系統(tǒng)整個(gè)曲線仍接近衍射極限，說明系統(tǒng)的成像質(zhì)量良好，特別是在50線對(duì)處，數(shù)值大小僅僅下降了0.1左右。通過圖6可以看出，稀疏口徑的波前圖相對(duì)于單一主鏡的波前圖質(zhì)量要好，系統(tǒng)的波前由原來的0.062 4變?yōu)?042 5，產(chǎn)生變化同樣是由于子鏡組成的主鏡的填充因子小于1，通光面積減小所造成。同時(shí)系統(tǒng)的波前小于二十分之一個(gè)波長(zhǎng)，也符合瑞利關(guān)于系統(tǒng)良好成像需要滿足系統(tǒng)的波前小于二十分之一個(gè)波長(zhǎng)的結(jié)論。從點(diǎn)列圖和PSF圖中也可以看出，系統(tǒng)的成像質(zhì)量良好，可以進(jìn)行成像。但此時(shí)的成像僅僅是針對(duì)子鏡處在理想位置的情況，由于展開機(jī)構(gòu)的精度問題等，系統(tǒng)進(jìn)入軌道后將子鏡展開，展開的子鏡位置與理想位置會(huì)存在一定的差異，即存在一定的位置誤差，對(duì)于系統(tǒng)的成像質(zhì)量產(chǎn)生一定的影響，所以需要對(duì)子鏡的位置誤差影響系統(tǒng)成像質(zhì)量進(jìn)行分析，分析系統(tǒng)子鏡在六個(gè)自由度上不同位置誤差對(duì)成像質(zhì)量影響的大小，最終給出一定的位置誤差容限。

圖6 稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)的MTF曲線圖和波前圖

圖7 稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)列圖和PSF圖

3 子鏡位置誤差的影響分析

對(duì)于子鏡誤差的影響分析中，傳統(tǒng)的方法是直接通過理論分析，得到位置誤差與斯特列爾比之間的關(guān)系曲線，可以得到位置誤差的影響大小。然而傳統(tǒng)的影響分析則沒有考慮到光學(xué)系統(tǒng)實(shí)際像差大小的影響，分析結(jié)果不夠全面。文中建立系統(tǒng)模型，光學(xué)系統(tǒng)優(yōu)化完成后有不能完全校正的各種像差，因此再進(jìn)行位置誤差的分析，可以得到光學(xué)系統(tǒng)在所有像差因素的影響下的成像質(zhì)量，結(jié)果更加真實(shí)可信。對(duì)于稀疏孔徑光學(xué)系統(tǒng)子鏡位置誤差的影響分析中，Wang曾經(jīng)做過一定的研究，但是其模型是針對(duì)Y型結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在實(shí)際應(yīng)用中較少，而針對(duì)應(yīng)用較多的環(huán)形結(jié)構(gòu)則沒有進(jìn)行分析，所以文中的研究就顯得十分重要。

針對(duì)子鏡的位置誤差進(jìn)行賦值，可以得到光學(xué)系統(tǒng)的子鏡沿著六個(gè)自由度方向有不同位置誤差時(shí)所產(chǎn)生的波前數(shù)值，通過計(jì)算波前數(shù)值與斯特列爾比之間的關(guān)系可以得到兩者之間的關(guān)系曲線。

、、軸位移誤差與斯特列爾比關(guān)系圖如圖8所示。從圖中可以看出，由于光學(xué)系統(tǒng)像差的存在，光學(xué)系統(tǒng)的斯特列爾比大小為0.985左右，當(dāng)子鏡沿著X軸發(fā)生一定大小的piston誤差時(shí)，產(chǎn)生的波像差增大導(dǎo)致系統(tǒng)的斯特列爾比降低。隨著移動(dòng)距離的增大，光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量逐漸降低。

圖8 X、Y、Z軸位移誤差與斯特列爾比關(guān)系圖

軸：沿著軸方向移動(dòng)引起的波像差較小，說明子鏡沿著軸方向在一定位移范圍內(nèi)進(jìn)行移動(dòng)造成誤差較小，相對(duì)不敏感。當(dāng)沿著軸移動(dòng)的距離達(dá)1 600 nm時(shí)，波前大小為0.021 2，斯特列爾比為0.982 4。所以對(duì)于沿著軸方向的piston誤差在進(jìn)行分配時(shí)較松。

軸:沿著軸進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的波像差大小隨著子鏡移動(dòng)距離的增大而增大，當(dāng)子鏡沿著軸方向移動(dòng)2 000 nm時(shí)，子鏡產(chǎn)生的波像差大小為0.021 74，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比為0.981。因此在對(duì)子鏡沿著軸方向離心的公差分配上公差相對(duì)較松。

軸：子鏡沿著軸進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的波像差隨著移動(dòng)距離的增大而增大。沿著坐標(biāo)軸的負(fù)向進(jìn)行移動(dòng)，移動(dòng)相同的位移之后，隨著子鏡中心距離光軸的距離越遠(yuǎn)，產(chǎn)生的波相差越大。當(dāng)移動(dòng)距離為-50 nm時(shí)，產(chǎn)生的波像差大小為0.046 4，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比為0.918 5。當(dāng)子鏡沿著坐標(biāo)軸正向進(jìn)行移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的波像差大小隨著子鏡移動(dòng)距離的增大而增大。沿著坐標(biāo)軸移動(dòng)距離為50 nm時(shí)，子鏡產(chǎn)生的波像差大小為0.044 7，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比為0.924 1。而針對(duì)系統(tǒng)成像需要將系統(tǒng)的波像差大小控制在二十分之一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比大小為0.9左右，所以在軸方向上的位置誤差應(yīng)該控制在50 nm的范圍內(nèi)才能保證系統(tǒng)的正常成像。

在對(duì)子鏡位置誤差模擬分析中可以看出，在沿著坐標(biāo)軸、軸移動(dòng)時(shí)，外層子鏡在移動(dòng)一定距離的范圍內(nèi)產(chǎn)生的波像差小于理想位置波像差；沿著軸方向移動(dòng)時(shí)，中層子鏡和外層子鏡同樣在一定距離的范圍內(nèi)產(chǎn)生的波像差大小小于理想位置波像差。出現(xiàn)這種情況的原因主要是光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量是由多種像差共同作用的結(jié)果，包括piston誤差、傾斜誤差、球差、彗差、像散、場(chǎng)曲和畸變等，由于這些像差之間可以相互進(jìn)行補(bǔ)償，因此最終的成像質(zhì)量會(huì)優(yōu)于之前的結(jié)果。可以看出在對(duì)子鏡進(jìn)行坐標(biāo)軸正方向移動(dòng)時(shí)，部分移動(dòng)的位移可以在一定程度上對(duì)于其他像差等進(jìn)行補(bǔ)償，降低光學(xué)系統(tǒng)總體的波像差，成像質(zhì)量得到一定提高。

、、軸傾斜誤差與斯特列爾比關(guān)系圖如圖9所示。在對(duì)傾斜誤差影響的模擬中，子鏡在沿著坐標(biāo)軸進(jìn)行傾斜后，光學(xué)系統(tǒng)的斯特列爾比隨著傾斜角度的增大而下降，其中子鏡沿著、軸進(jìn)行傾斜時(shí)，得到的關(guān)系圖中每個(gè)子鏡傾斜相同的角度，系統(tǒng)的斯特列爾比變化規(guī)律基本一致。子鏡在沿著軸傾斜+0.000 05°和-0.000 05°，光學(xué)系統(tǒng)的波像差大小約為0.060 8和0058 5，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比大小為0.864 2和0.873 6。當(dāng)子鏡沿著軸進(jìn)行相同角度的傾斜時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生的波像差大小分別為0058 7和0058 7，對(duì)應(yīng)的斯特列爾比大小分別為0.872 8和0.872 8。由于光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量沿著、坐標(biāo)軸的傾斜誤差比較敏感，因此需要對(duì)子鏡的傾斜誤差進(jìn)行嚴(yán)格控制，確保光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量滿足要求。而沿著軸方向產(chǎn)生傾斜角度的影響相對(duì)于、軸較小。

圖9 X、Y、Z軸傾斜誤差與斯特列爾比關(guān)系圖

4 結(jié)論

通過對(duì)稀疏口徑光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，對(duì)比全口徑光學(xué)系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)成像質(zhì)量由于主鏡的填充因子減小而有所降低，特別是MTF傳遞函數(shù)的中頻部分，而系統(tǒng)的波前則有所提高。針對(duì)子鏡的位置誤差影響分析得到位移誤差影響最大的為沿著光軸方向產(chǎn)生的piston誤差，在系統(tǒng)進(jìn)行良好成像的要求下，需要保證子鏡展開后相對(duì)于理想位置的誤差沿著光軸方向不超過50 nm；而傾斜誤差則在、兩個(gè)自由度上產(chǎn)生的影響較大，需要控制在0.000 05°的范圍內(nèi)才能保證系統(tǒng)進(jìn)行成像。