循環(huán)荷載作用下粉砂巖疲勞流變損傷模型研究

苗勝軍，楊鵬錦，王 輝，梁明純，王亞欣

(1. 北京科技大學(xué)城市地下空間工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；2. 北京科技大學(xué)土木工程系，北京 100083)

巖體工程在施工及運(yùn)營階段經(jīng)常會受到循環(huán)荷載作用，如地下硐室的爆破開挖與支護(hù)、水庫周期性蓄水和放水、巖鹽儲氣庫的注氣和采氣過程等[1]。定量化研究循環(huán)荷載作用下巖石的疲勞損傷特性及其變形演化規(guī)律，對巖體工程長期穩(wěn)定性評價(jià)具有重要的理論指導(dǎo)意義。

國內(nèi)外學(xué)者對巖石的疲勞變形特性開展了大量的研究。Bagde等[2?3]通過疲勞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)砂巖疲勞強(qiáng)度隨著頻率和應(yīng)力幅值的增加而趨于減??；Jind?ich等[4]定性地研究了不同幅值、不同頻率循環(huán)荷載下砂巖的流變特性，發(fā)現(xiàn)平均應(yīng)力和幅值對巖石變形特征的影響比頻率更為顯著；Rashid等[5?6]對比分析了花崗巖和砂巖的疲勞破壞機(jī)制。楊永杰等[7]認(rèn)為單軸循環(huán)荷載下煤巖體的疲勞強(qiáng)度“門檻值”不超過其單軸抗壓強(qiáng)度的81%；葛修潤等[8]和章清敘等[9]發(fā)現(xiàn)巖石循環(huán)加卸載過程中軸向不可逆變形可劃分為初始變形、等速變形和加速變形3個(gè)階段；郭印同等[10]通過鹽巖疲勞試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，改變上限應(yīng)力和平均應(yīng)力會顯著影響疲勞破壞的進(jìn)程；盧高明等[11]發(fā)現(xiàn)圍壓對軸向變形有一定強(qiáng)化作用，且變形比強(qiáng)度更適合作為巖石疲勞破壞的依據(jù)。

循環(huán)荷載作用下，巖石變形破壞表現(xiàn)出顯著的時(shí)間效應(yīng)，黃明等[12]基于巖石流變特性建立了廣義Kelvin-Voigt體的正弦加載蠕變模型；許宏發(fā)等[13]將損傷變量引入累積塑性應(yīng)變中，推導(dǎo)了高周期和低周期循環(huán)荷載作用下巖石軸向塑性應(yīng)變方程；王軍保等[14]基于低頻循環(huán)荷載蠕變試驗(yàn)，推導(dǎo)了循環(huán)荷載下Burgers模型的軸向蠕變方程；郭建強(qiáng)等[15]將疲勞簡化為恒定等效應(yīng)力下的蠕變過程，建立了巖石的疲勞本構(gòu)模型；李永輝等[16]將西原模型中線性黏性元件替換為含疲勞參數(shù)的非線性黏性元件，建立了循環(huán)荷載下改進(jìn)的西原疲勞模型；劉斌等[17]基于應(yīng)力耗散原理建立了非線性黏壺力學(xué)元件，推導(dǎo)獲得循環(huán)荷載下應(yīng)變隨時(shí)間變化的本構(gòu)方程。

綜上，將循環(huán)荷載簡化為恒定應(yīng)力來建立流變本構(gòu)模型的方法雖然可以較好地?cái)M合試驗(yàn)結(jié)果，但不夠嚴(yán)謹(jǐn)，物理意義模糊；此外，當(dāng)前鮮有將損傷變量引入流變模型描述循環(huán)荷載下巖石疲勞破壞加速流變階段的研究。

因此，本文根據(jù)正弦波循環(huán)荷載作用下粉砂巖疲勞變形破壞試驗(yàn)結(jié)果，在Burgers模型的基礎(chǔ)上引入黏塑性損傷元件構(gòu)建巖石疲勞流變損傷模型，并以正弦波循環(huán)荷載為例，將應(yīng)力-時(shí)間函數(shù)替換流變微分本構(gòu)方程中的恒定應(yīng)力，推導(dǎo)循環(huán)荷載作用下巖石一維、三維非線性流變損傷方程。最后，驗(yàn)證了模型的合理性和適用性，分析了不同上限荷載下流變本構(gòu)模型參數(shù)的演化規(guī)律，并討論了巖石疲勞壽命的預(yù)測方法。

1 粉砂巖疲勞試驗(yàn)及結(jié)果分析

1.1 正弦波循環(huán)荷載下粉砂巖疲勞試驗(yàn)

本次試驗(yàn)所選取的粉砂巖主要礦物成分為石英、斜長石、云母類和整柱石。如圖1所示，按照國際巖石力學(xué)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)將巖樣加工成?50 mm×100 mm的圓柱體，試樣上、下端面的不平整度控制在 ±0.02 mm以內(nèi)，并根據(jù)超聲波速測試剔除了離散性較大的試樣。

圖1 巖石試樣Fig. 1 Rock samples

本次試驗(yàn)采用的MTS815巖石液壓伺服力學(xué)系統(tǒng)可施加頻率為0.01 Hz～5 Hz的軸向正弦波、三角波、矩形波、斜波、隨機(jī)波和組合波荷載。通常，正弦波形式的循環(huán)荷載更接近巖體工程受到的動力擾動模式，因此，本次試驗(yàn)對試件施加正弦波循環(huán)荷載。

應(yīng)力路徑如圖2所示。圖中σ(t)為時(shí)間t時(shí)的應(yīng)力值；σmin為循環(huán)荷載下限應(yīng)力，σmax為循環(huán)荷載上限應(yīng)力；平均應(yīng)力a=(σmax+σmin)/2，應(yīng)力幅值b=(σmax?σmin)/2 ；T為循環(huán)周期。

圖2 應(yīng)力路徑Fig. 2 Path of stress loading and unloading

因此，正弦波應(yīng)力函數(shù)可表示為：

式中，m=2π/T。

為選擇合適的循環(huán)荷載上限，首先開展了5組單軸壓縮試驗(yàn)，粉砂巖的單軸抗壓強(qiáng)度和彈性模量均值分別為34.76 MPa和5.03 GPa。根據(jù)粉砂巖單軸壓縮強(qiáng)度特征，循環(huán)荷載上限設(shè)定為30 kN、40 kN、45 kN、55 kN、60.5 kN、61 kN、61.5 kN、63 kN、65 kN，循環(huán)荷載下限為5 kN，循環(huán)頻率為0.5 Hz，試驗(yàn)方案及結(jié)果見表1。

表1 試驗(yàn)方案及結(jié)果Table 1 The scheme and results of test

1.2 不同循環(huán)荷載上限下粉砂巖疲勞變形特性

不同循環(huán)荷載下粉砂巖應(yīng)力-應(yīng)變曲線(以上限荷載30 kN、45 kN、61 kN為例)如圖3所示，由表1和圖3可知：上限荷載為55 kN時(shí)，循環(huán)加卸載15 000次后試樣仍未發(fā)生疲勞破壞，由此可初步推斷正弦波循環(huán)荷載作用下粉砂巖的疲勞強(qiáng)度在28.06 MPa～30.88 MPa(55 kN～60.5 kN)，約為單軸壓縮強(qiáng)度的80%～90%。當(dāng)上限荷載高于60.5 kN時(shí)，試件發(fā)生疲勞破壞，且破壞時(shí)的軸向變形量與單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線峰后區(qū)在循環(huán)載荷上限位置的變形量相當(dāng)。

圖3 不同上限荷載下粉砂巖軸向應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 3 Axial stress-strain curves of siltstone under different upper limits of cyclic loading

圖4為不同上限荷載下粉砂巖平均應(yīng)變(上限應(yīng)變與下限應(yīng)變的平均值)隨時(shí)間演化曲線。可以看出，當(dāng)上限荷載低于疲勞強(qiáng)度時(shí)，粉砂巖軸向應(yīng)變-時(shí)間曲線均表現(xiàn)為初始變形、勻速變形2階段；循環(huán)荷載上限高于疲勞強(qiáng)度時(shí)，軸向應(yīng)變-時(shí)間曲線呈典型的初始變形、勻速變形和加速變形3階段演化特征。

圖4 粉砂巖平均應(yīng)變隨時(shí)間演化曲線Fig. 4 Time evolution curves of average strain of siltstone

分析認(rèn)為，巖石是一種含有天然裂隙、孔隙的非均質(zhì)材料，試驗(yàn)初始階段，巖石內(nèi)部晶格缺陷、微裂紋、軟弱界面在循環(huán)荷載作用下不斷閉合，應(yīng)變量顯著增加；多次循環(huán)后，巖石原生缺陷逐漸壓密，變形進(jìn)入勻速階段，應(yīng)變量表現(xiàn)為隨時(shí)間緩慢勻速增加；當(dāng)循環(huán)荷載上限超過疲勞強(qiáng)度，巖石應(yīng)變量到達(dá)某一值時(shí)，內(nèi)部微裂紋不斷的擴(kuò)展貫通，變形進(jìn)入加速階段，巖石損傷發(fā)育表現(xiàn)顯著并發(fā)生疲勞破壞；而當(dāng)循環(huán)荷載上限低于疲勞強(qiáng)度時(shí)，循環(huán)往復(fù)的加卸載作用無法使巖石內(nèi)部微裂紋進(jìn)一步大量萌生擴(kuò)展，疲勞壽命表現(xiàn)為無窮大。

2 循環(huán)荷載下巖石疲勞流變損傷模型

根據(jù)粉砂巖的疲勞變形規(guī)律，構(gòu)建巖石疲勞流變損傷模型，與試驗(yàn)相對應(yīng)，采用正弦波應(yīng)力函數(shù)替換流變微分本構(gòu)方程中的恒定應(yīng)力，并推導(dǎo)模型一維和三維非線性流變損傷方程，具體過程如下。

2.1 循環(huán)荷載下Burgers流變模型

2.1.1 循環(huán)荷載下Maxwell體流變方程

Maxwell體由一個(gè)虎克體和一個(gè)牛頓體串聯(lián)組成，其流變微分本構(gòu)方程為：

式中：σM、EM和ηM分別為Maxwell體的應(yīng)力、彈性模量和黏性系數(shù)；ε˙M和σ˙M為Maxwell體的應(yīng)變和應(yīng)力對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。

正弦波循環(huán)荷載下Maxwell體的流變微分本構(gòu)方程可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

對式(3)兩端進(jìn)行積分，可以得到正弦波循環(huán)荷載作用下Maxwell體的流變方程：

式中，C1為積分常數(shù)。當(dāng)t=0時(shí)，εM=0，則：

將式(5)代入式(4)，可得：

2.1.2 循環(huán)荷載下Kelvin體流變方程

Kelvin體由一個(gè)虎克體和一個(gè)牛頓體并聯(lián)組成，其流變微分本構(gòu)方程為：

式中：εK、σK、EK和ηK分別為Kelvin體的應(yīng)變、應(yīng)力、彈性模量和黏性系數(shù)；ε˙K為Kelvin體的應(yīng)變對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。

正弦波循環(huán)荷載下Kelvin體的流變微分本構(gòu)方程可轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

解式(8)的一階線性微分方程，可得正弦波循環(huán)荷載作用下Kelvin體的流變方程：

式中，C2為積分常數(shù)，其中：

對式(10)中的∫sin(mt)·entdt進(jìn)行二次分部積分，則：

進(jìn)一步整理化簡，可得：

研究區(qū)屬于寒溫帶濕潤季風(fēng)氣候。其特點(diǎn)是冬長夏短，春秋相連，低溫濕潤，日照少。冬季長達(dá)9個(gè)月（平均氣溫<10℃），最低氣溫為-58℃，最高氣溫達(dá)到40℃，降水集中在7、8月份，年降水量在450～550 mm，凍結(jié)期在7個(gè)月以上；9月底至第2年的5月初為降雪期，降雪厚度一般在20～40 cm；年均日照為2 594 h，無霜期90 d左右。

將式(10)、式(12)代入式(9)，得：

當(dāng)t=0時(shí)，εK=0，則：

將式(14)代入式(13)，可得：

2.2 循環(huán)荷載下非線性黏塑性損傷元件

為了準(zhǔn)確地描述循環(huán)荷載下巖石的疲勞破壞規(guī)律，如圖5所示，引入一個(gè)非線性黏塑性損傷元件來描述循環(huán)荷載作用下巖石加速流變階段。

圖5中，σS為巖石疲勞強(qiáng)度；εa為應(yīng)變閾值，用于判斷巖石進(jìn)入加速流變階段的應(yīng)變狀態(tài)；ηVP和D分別為非線性黏性損傷元件的黏性系數(shù)和損傷變量。當(dāng)循環(huán)荷載上限應(yīng)力σmax≤σS時(shí)，非線性黏塑性損傷元件不起作用，巖石不會發(fā)生加速流變；當(dāng)循環(huán)荷載上限應(yīng)力σmax>σS且ε>εa時(shí)，黏性損傷元件啟動，巖石進(jìn)入加速流變階段。

圖5 非線性黏塑性損傷元件Fig. 5 Nonlinear viscoplastic model for damage

基于Lemaitre應(yīng)變等效假設(shè)[18]，將損傷變量引入牛頓體，則非線性黏性損傷元件流變微分本構(gòu)關(guān)系為：

式中，ε˙VP為非線性黏性損傷元件應(yīng)變εVP對時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)Kachanov[19]流變損傷理論，巖石的流變損傷變量隨時(shí)間的推移呈負(fù)指數(shù)函數(shù)增長，因此本文引入考慮時(shí)間效應(yīng)的損傷變量：

式中，α為巖石損傷指數(shù)。則式(16)可轉(zhuǎn)化為：

對式(18)進(jìn)行積分，可得正弦波循環(huán)荷載下非線性黏塑性損傷元件的流變方程：

式中，C3為積分常數(shù)。當(dāng)t=0時(shí)，εVP=0，則：

將式(20)代入式(19)，可得：

2.3 巖石疲勞流變損傷模型一維流變方程

根據(jù)以上分析，如圖6所示，在Burgers模型的基礎(chǔ)上串聯(lián)非線性黏塑性損傷元件，構(gòu)建正弦波循環(huán)荷載作用下巖石非線性流變損傷模型。

圖6 疲勞流變損傷模型Fig. 6 Fatigue rheological damage model

根據(jù)模型串并聯(lián)關(guān)系可以得到巖石流變模型的一維流變微分本構(gòu)方程：

2)當(dāng)σmax>σS且ε>εa時(shí)，

根據(jù)疊加原理可以得到正弦波循環(huán)荷載作用下巖石的一維流變損傷方程：

1)當(dāng)σmax≤σS時(shí)，

2)當(dāng)σmax>σS且ε>εa時(shí)，

2.4 巖石疲勞流變損傷模型三維流變方程

三維應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力張量σij通?；趶椝苄岳碚摲纸鉃槠珣?yīng)力張量和球應(yīng)力張量，流變方程則可通過類比法由一維流變模型導(dǎo)出。疲勞損傷流變模型的總應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：Sij為偏應(yīng)力張量；δij為Kronecker張量；K1為體積模量；σm為平均應(yīng)力；N=G2/H2；G1、G2為三維剪切模量；H1、H2、H3為三維黏滯系數(shù)。

循環(huán)加卸載條件下軸向偏應(yīng)力和平均應(yīng)力可表示為：

式中，a1=a?σ3，a2=a+2σ3。

根據(jù)一維流變本構(gòu)方程的積分求解方法，可推導(dǎo)獲得三維應(yīng)力狀態(tài)下軸向疲勞流變損傷方程：

3 巖石流變損傷模型驗(yàn)證及參數(shù)分析

3.1 非線性流變損傷模型適用性驗(yàn)證

由式(25)和式(29)可知，一維狀態(tài)下模型共有EM、EK、ηM、ηK、α、ηVP和εa這7個(gè)參數(shù)；三維狀態(tài)下模型共有K1、G1、G2、H1、H2、H3、α和εa這8個(gè)參數(shù)。通過Origin軟件里的非線性擬合功能Fitting Function Organizer，編寫流變方程擬合程序，然后采用Analysis-Fitting-Nonlinear Curve Fit進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，為了避免因參數(shù)過多和初值選取不當(dāng)造成擬合不收斂或陷入局部最優(yōu)，采用Levenberg - Marquardt法進(jìn)行迭代計(jì)算模型各參數(shù)的理論值，然后代入流變損傷方程可獲得循環(huán)荷載作用下巖石流變損傷的理論曲線。

試驗(yàn)采用的粉砂巖的疲勞強(qiáng)度值在28.06 MPa和30.88 MPa之間，因此，取二者平均值29.47 MPa作為本次一維流變模型擬合的疲勞強(qiáng)度值σS。以上限荷載45 kN和61 kN為例，粉砂巖試驗(yàn)結(jié)果與理論曲線對比如圖7所示，一維非線性流變損傷模型參數(shù)見表2。為了驗(yàn)證三維狀態(tài)下流變損傷模型的適用性，選用文獻(xiàn)[11]中與本次試驗(yàn)粉砂巖力學(xué)性質(zhì)相近的黃砂巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。文獻(xiàn)[11]開展了圍壓為5 MPa、10 MPa、20 MPa的黃砂巖軸向循環(huán)加卸載試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果和理論曲線對比與模型參數(shù)分布如圖8和表3所示。結(jié)果表明，一維和三維狀態(tài)下理論曲線與試驗(yàn)結(jié)果的吻合度較好，說明本文建立的流變損傷模型不僅可以精確反映巖石的衰減流變和穩(wěn)態(tài)流變，還可以準(zhǔn)確地描述上限荷載高于疲勞強(qiáng)度時(shí)的加速流變，具有較好的適用性。

表3 三維流變模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 3 Parameters of three dimensional rheological model

圖7 粉砂巖理論曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 7 Comparison between theoretical curve and test results of siltstone

圖8 圍壓5 MPa、10 MPa、20 MPa時(shí)理論曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 8 Comparison between theoretical curves and test results at confining pressure of 5 MPa、10 MPa、20 MPa

表2 一維流變模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Parameters of one dimensional rheological model

3.2 巖石疲勞損傷流變?nèi)^程定量化分析

3.2.1 上限荷載對衰減流變階段的影響

Kelvin體是由虎克體和牛頓體并聯(lián)形成，牛頓體推遲了虎克體的彈性變形，流變特征表現(xiàn)為衰減流變。因此選取弛豫時(shí)間τ表示Kelvin體彈性變形的推遲時(shí)間，根據(jù)模型性質(zhì)可將τ定義為：

將式(30)代入Kelvin體流變方程中可知，當(dāng)t=τ時(shí)：

式中，ε∞為流變達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的最終變形，推遲時(shí)間為衰減流變達(dá)到穩(wěn)定變形所經(jīng)過時(shí)間的63%。Kelvin體系數(shù)n 和弛豫時(shí)間τ互為倒數(shù)，n越大，τ越短，穩(wěn)定流變階段歷時(shí)越短；n越小，τ越長，由衰減流變過渡到穩(wěn)態(tài)流變階段所需的時(shí)間越長。

從圖9不同上限荷載下粉砂巖Kelvin體系數(shù)n 和弛豫時(shí)間τ的演化曲線可以看出，Kelvin體系數(shù)n 和弛豫時(shí)間τ隨著上限荷載的增加分別呈非線性指數(shù)型增加和減少，說明循環(huán)荷載對粉砂巖原生裂隙和孔隙的壓密作用顯著，且上限荷載越大，對粉砂巖壓密作用的時(shí)效性越顯著。

圖9 Kelvin體系數(shù)n 和弛豫時(shí)間τ的演化曲線Fig. 9 Evolution curves of nand τ under different upper limit of cyclic loading

3.2.2 上限荷載對穩(wěn)態(tài)流變階段的影響

循環(huán)荷載作用下，巖石內(nèi)部原生缺陷壓密和微裂紋萌生擴(kuò)展兩種效應(yīng)即相互對立，又同時(shí)存在，是一個(gè)交互作用的過程[21]。巖石的穩(wěn)態(tài)流變速率可根據(jù)循環(huán)荷載平均應(yīng)力a和Maxwell體黏性系數(shù)ηM的比值計(jì)算獲得。如圖10所示，穩(wěn)態(tài)流變速率隨著上限荷載的增加呈非線性指數(shù)型增大。上限荷載較低時(shí)，巖石內(nèi)部微結(jié)構(gòu)以壓密為主，穩(wěn)態(tài)流變階段微裂紋擴(kuò)展速度緩慢；當(dāng)上限荷載大于疲勞強(qiáng)度時(shí)，微裂紋萌生、擴(kuò)展占據(jù)主導(dǎo)地位，巖石發(fā)生加速流變破壞，穩(wěn)態(tài)流變速率顯著增加，約為上限荷載低于疲勞強(qiáng)度時(shí)的20倍～1300倍。

圖10 穩(wěn)態(tài)流變速率的演化曲線Fig. 10 Evolution curves of steady state rheological rate under different upper limit of cyclic loading

3.2.3 加速流變階段損傷演化規(guī)律

圖11為不同黏性系數(shù)ηVP和損傷指數(shù)α條件下的黏塑性損傷元件流變曲線，由圖11可知，隨著ηVP值的減小，單位時(shí)間段內(nèi)流變變形量增加，巖石的流變能力增強(qiáng)；與ηVP值不同，損傷指數(shù)α值越大，損傷發(fā)育越迅速，流變速率越大，加速流變曲線的非線性特征越明顯，說明損傷指數(shù)α值對加速流變階段的持續(xù)時(shí)間和流變曲線特征有明顯的控制作用。

圖11 ηVP和α對非線性黏塑性損傷元件流變曲線的影響Fig. 11 The effect of ηVP and α on rheological curves of nonlinear viscoplastic model

疲勞破壞階段巖石內(nèi)部裂紋不斷擴(kuò)展、交匯、貫通，損傷不斷累積，巖石塑性特征明顯。從圖11可以看出，循環(huán)荷載作用下巖石的流變曲線隨時(shí)間推移呈臺階狀增加，加載過程中，流變曲線的變形量顯著增加，卸載過程中，流變曲線增長較為平緩，循環(huán)荷載作用下巖石變形具有顯著的不可逆性[22]。由此可見，本文建立的黏塑性損傷元件不僅在整體變形規(guī)律方面與巖石疲勞破壞的加速流變特征相吻合，而且能很好地體現(xiàn)循環(huán)荷載作用下巖石不可逆黏塑性變形特征和損傷發(fā)育規(guī)律，具有明確的物理意義。

4 討論

本文通過建立循環(huán)荷載作用下巖石疲勞流變損傷模型，定量研究了不同上限荷載下粉砂巖的變形及損傷特性。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)通過建立臨界損傷閾值判據(jù)和加速流變失穩(wěn)破壞判據(jù)，開展巖石疲勞壽命預(yù)測分析，進(jìn)一步明確本文所建立的循環(huán)荷載作用下巖石流變模型對巖體工程長期穩(wěn)定性評價(jià)的意義。

4.1 加速流變損傷閾值及失穩(wěn)判別準(zhǔn)則

4.1.1 臨界損傷閾值判據(jù)

在巖石流變破壞過程中，發(fā)生加速流變時(shí)存在一個(gè)臨界損傷閾值，可以用裂紋臨界密度指標(biāo)法、加速流變臨界應(yīng)變法、全過程應(yīng)力-應(yīng)變曲線法、非彈性體積應(yīng)變法等[23]方法判斷加速流變啟始的臨界條件。對于巖石疲勞變形及破壞特性，Brown和Hudson[24]、葛修潤[8]等發(fā)現(xiàn)巖石疲勞破壞時(shí)的軸向變形量與靜態(tài)應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程曲線峰后區(qū)在循環(huán)載荷上限位置的變形量相當(dāng)。如圖12所示，粉砂巖軸向平均應(yīng)變的加速流變啟始點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)變閾值εa與循環(huán)荷載上限呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。因此，本文選擇疲勞流變損傷模型中黏塑性損傷元件應(yīng)變閾值εa作為臨界損傷閾值判據(jù)。

圖12 臨界損傷閾值和加速流變啟始時(shí)間Fig. 12 Damage threshold and start time of accelerated creep

根據(jù)損傷閾值εa試驗(yàn)值的擬合結(jié)果，給出循環(huán)荷載下粉砂巖加速流變啟始點(diǎn)的臨界損傷閾值判據(jù)：

通過臨界損傷閾值判據(jù)獲取不同上限應(yīng)力條件下?lián)p傷閾值εa的理論值，代入流變損傷式(25)可計(jì)算加速流變啟始時(shí)間ta的預(yù)測值。

4.1.2 加速流變失穩(wěn)破壞判據(jù)

進(jìn)入加速流變階段，流變模型中的黏塑性損傷元件啟動，軸向應(yīng)變表現(xiàn)出顯著的不可逆性特征，流變曲線快速增長，損傷不斷累積。根據(jù)文中流變模型引入的損傷變量式(17)，當(dāng)損傷變量D達(dá)到1時(shí)巖石發(fā)生加速流變失穩(wěn)破壞，則可得加速流變失穩(wěn)破壞判據(jù)為：

式中，tF為加速流變持續(xù)時(shí)間。

如圖13所示，對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合并獲取不同上限荷載條件下?lián)p傷指數(shù)α理論值，可通過加速流變失穩(wěn)破壞判據(jù)式(33)計(jì)算獲取加速流變失穩(wěn)破壞時(shí)間的預(yù)測值。

圖13 損傷指數(shù)和加速流變持續(xù)時(shí)間Fig. 13 Damage index and accelerated creep duration

4.2 巖石疲勞壽命預(yù)測

根據(jù)加速流變損傷閾值判據(jù)式(32)和加速流變失穩(wěn)破壞判據(jù)式(33)可分別計(jì)算出進(jìn)入加速流變階段所需循環(huán)時(shí)間和加速流變持續(xù)時(shí)間，因此可通過式(34)計(jì)算循環(huán)荷載作用下巖石的疲勞壽命預(yù)測值：

如圖14所示，上限荷載為60.5 kN、61 kN、61.5 kN、63和65 kN時(shí)，疲勞壽命預(yù)測值分別為1210次、869次、572次、118次和27次，疲勞壽命預(yù)測值與試驗(yàn)值吻合度較高，并與上限荷載呈現(xiàn)良好的指數(shù)函數(shù)關(guān)系，說明采用本文建立的流變損傷模型對于定量研究循環(huán)荷載作用下巖石的疲勞特性及巖體工程長期穩(wěn)定性評價(jià)具有一定的理論指導(dǎo)意義。

圖14 疲勞壽命預(yù)測結(jié)果Fig. 14 The results of fatigue life prediction

5 結(jié)論

本文以粉砂巖為研究對象，進(jìn)行了不同上限荷載下巖石的疲勞變形破壞試驗(yàn)，通過建立循環(huán)荷載作用下巖石的疲勞流變損傷模型，量化分析粉砂巖疲勞損傷流變?nèi)^程，得到以下結(jié)論：

(1) 開展了正弦波循環(huán)荷載作用下粉砂巖疲勞特性試驗(yàn)，結(jié)果表明，巖石的變形表現(xiàn)出顯著的時(shí)間效應(yīng)；上限荷載高于疲勞強(qiáng)度時(shí)，巖石發(fā)生疲勞破壞，流變曲線具有典型的初始變形、勻速變形和加速變形 3階段演化特征。

(2) 基于Kachanov流變損傷理論，將損傷變量引入一個(gè)帶有應(yīng)力閾值和應(yīng)變觸發(fā)的黏塑性元件，與Burgers模型串聯(lián)建立了巖石非線性疲勞損傷流變模型。與試驗(yàn)相對應(yīng)，將正弦波循環(huán)荷載應(yīng)力函數(shù)替換流變微分本構(gòu)方程中的恒定應(yīng)力，推導(dǎo)了循環(huán)荷載下巖石一維、三維非線性流變損傷方程。

(3) 一維和三維狀態(tài)下理論值與試驗(yàn)結(jié)果的吻合度較好，說明本文建立的非線性流變損傷模型不僅可以精確反映巖石的衰減流變和穩(wěn)態(tài)流變，還可以準(zhǔn)確地描述上限荷載高于疲勞強(qiáng)度時(shí)的加速流變階段。

(4) 定量分析循環(huán)荷載下流變?nèi)^程變形及損傷演化規(guī)律，結(jié)果表明，隨著上限荷載的增加，粉砂巖衰減流變和穩(wěn)態(tài)流變階段的變形時(shí)效性顯著加強(qiáng)；加速流變階段損傷呈臺階狀累積發(fā)育，能很好體現(xiàn)循環(huán)荷載下巖石不可逆黏塑性變形特征。

(5) 提出了加速流變臨界損傷閾值判據(jù)和破壞失穩(wěn)判據(jù)，并分別計(jì)算了加速流變啟始時(shí)間、加速流變持時(shí)理論值，疲勞壽命預(yù)測值與試驗(yàn)值吻合度較好，新建流變模型對巖體工程長期穩(wěn)定性評價(jià)具有一定的理論指導(dǎo)意義。