“角”教學(xué)設(shè)計

王昕昕

（遼寧省鞍山市高新區(qū)實(shí)驗學(xué)校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“4.3.1角”.

本節(jié)課具體內(nèi)容如圖1所示，即角的定義、角的表示方法、角的度量工具和單位，以及角的畫法.

圖1

2.內(nèi)容解析

“幾何圖形初步”一章的學(xué)習(xí)是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的開端，主要學(xué)習(xí)了基本圖形概念的形成，圖形的表示，畫圖，作圖，對幾何語言的學(xué)習(xí)、運(yùn)用等，這些都是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而概念的抽象是這一章學(xué)習(xí)的難點(diǎn).能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出抽象的概念是學(xué)生在初學(xué)幾何時的一大障礙，“角”這節(jié)課的教學(xué)恰恰是由簡單向復(fù)雜學(xué)習(xí)幾何圖形概念的起點(diǎn).

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在小學(xué)階段對角的概念、角的表示、角的度量直觀上已經(jīng)有了較為粗淺的認(rèn)識，但對從理性推理的角度再認(rèn)識角缺乏經(jīng)驗，后續(xù)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)則是理解角的動態(tài)、靜態(tài)概念.本節(jié)課學(xué)習(xí)下定義的方法并用如圖2所示的方法給角下定義，既符合幾何圖形的研究體系，又符合推理能力素養(yǎng).

圖2

利用幾何圖形構(gòu)成的元素和元素之間的位置關(guān)系，以及運(yùn)用描述運(yùn)動過程的方式給角下定義，對學(xué)生來說較為困難.因此，本節(jié)課采用探究式教學(xué)，通過實(shí)際生活情境、抽象幾何圖形、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征、描述概念、概念辨析等步驟，借用學(xué)生概念學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，在探究過程中讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)靜態(tài)角的共性特征和動態(tài)角的射線運(yùn)動方式給角下定義，并逐步認(rèn)同它是幾何圖形下定義的方式.

基于以上分析，確定本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)為角的概念.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）在現(xiàn)實(shí)情境中，認(rèn)識角是一種基本的幾何圖形，理解角的概念，體會用運(yùn)動的觀點(diǎn)理解角、平角、周角的概念.

（2）學(xué)會角的表示方法，認(rèn)識角的度量單位——度、分、秒，會進(jìn)行簡單的換算和角度計算.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生經(jīng)歷類比線段的研究思路得到角的研究思路的過程，能初步認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識內(nèi)部之間的聯(lián)系；建立研究幾何圖形的一般路徑；學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際背景、數(shù)學(xué)抽象、概括本質(zhì)特征、下定義、概念辨析的過程，通過獨(dú)立思考、小組合作的學(xué)習(xí)方式，從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度理解角的概念，并初步形成給幾何圖形下定義的思路，發(fā)展學(xué)生的理性思維，積累數(shù)學(xué)研究的活動經(jīng)驗.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：會用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎疽粋€角；能獨(dú)立閱讀教材，會從材料中提煉知識，認(rèn)識角的常用度量單位（度、分、秒），并進(jìn)行簡單的換算，了解角的畫法中使用的工具，提高自主學(xué)習(xí)意識.

三、學(xué)生學(xué)情分析

以往的教學(xué)更多的是關(guān)注概念的記憶和運(yùn)用，對于概念抽象的過程，以及概念內(nèi)涵與外延的理解，學(xué)生由于缺乏過程體驗，只是機(jī)械地記憶與背誦，所以在運(yùn)用概念的過程中容易出現(xiàn)混亂.基于以上原因，在筆者所在學(xué)校七年級其他幾個班級（共182名學(xué)生）剛剛學(xué)習(xí)完“角”這節(jié)課之后，筆者選擇對他們進(jìn)行目標(biāo)檢測（如圖3），設(shè)計的第一組試題考查的是概念的運(yùn)用，第二組試題考查的是概念的數(shù)學(xué)語言表達(dá).

圖3

發(fā)現(xiàn)第一組方法操作層面的考查明顯好于第二組用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述幾何圖形.從表1中的目標(biāo)檢測數(shù)據(jù)我們也看到了這一點(diǎn).

表1：目標(biāo)檢測數(shù)據(jù)統(tǒng)計

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：正確理解角的概念.

四、教學(xué)策略分析

1.整體把握

在從靜態(tài)和動態(tài)兩個角度探究角的概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了圖形抽象、抓取一類圖形的共同特征、用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言表述圖形的過程，體驗了怎樣給幾何圖形下定義.從角的組成到形成的過程給角下定義的兩種角度逐次遞進(jìn)的過程中，學(xué)生對角的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識也逐步深入和清晰.

2.活動顯性化

在小組活動中，教師將學(xué)生的活動經(jīng)驗通過活動卡片進(jìn)行收集并展示，使學(xué)生的思維顯性化，學(xué)生在辨析中逐步理解角的概念，并明確使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)角的定義.

在角的度量和畫法環(huán)節(jié)采用了自學(xué)研讀的學(xué)習(xí)方式，通過自學(xué)提綱的引領(lǐng)，教師對學(xué)生研讀進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立提煉知識，逐漸歸納完成知識的建構(gòu)，并在自學(xué)反饋中理解角度的換算.

五、教學(xué)過程設(shè)計

教學(xué)流程示意圖如圖4所示.

圖4

環(huán)節(jié)1：確定角的研究內(nèi)容

現(xiàn)實(shí)生活中，多姿多彩的幾何圖形豐富了我們的生活空間.為了更好地了解它們，在教學(xué)中我們往往從簡單的幾何圖形開始研究.學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過程中學(xué)過了點(diǎn)、直線、射線、線段，而本節(jié)課教師與學(xué)生要研究一個在小學(xué)階段就認(rèn)識的圖形——角.

【設(shè)計意圖】先讓學(xué)生感受幾何圖形來自現(xiàn)實(shí)生活，了解研究幾何圖形的必要性.

問題1：聯(lián)想線段的研究過程，本節(jié)課將如何研究角呢？

師生活動：學(xué)生回憶在線段的研究中所學(xué)的內(nèi)容，教師進(jìn)行歸納、總結(jié).

教師關(guān)注：學(xué)生對所學(xué)線段內(nèi)容的整體認(rèn)識，及“幾何模型—圖形—文字—符號”的學(xué)習(xí)過程.

【設(shè)計意圖】通過回憶與本節(jié)課內(nèi)容密切相關(guān)的引導(dǎo)性材料，使學(xué)生對學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生掌握研究問題的方法.

追問：類比線段的研究思路，結(jié)合小學(xué)階段對角的內(nèi)容的研究，本節(jié)課將學(xué)習(xí)角的哪些內(nèi)容呢？

師生活動：學(xué)生小組討論解決問題的方法，學(xué)生代表展示交流.展示后教師進(jìn)行提問.

問題2：類比線段的中點(diǎn)的研究過程，應(yīng)該研究角的哪個方面呢？

師生活動：教師在學(xué)生展示交流的基礎(chǔ)上，板書教學(xué)內(nèi)容，歸納角的研究思路.

追問：小學(xué)階段大家對角已經(jīng)有了直觀的認(rèn)識，進(jìn)入初中后，將要從理性的角度進(jìn)一步對角展開探究.應(yīng)該從哪方面開始研究呢？

師生活動：確定研究內(nèi)容——角的定義.

【設(shè)計意圖】注重學(xué)生數(shù)學(xué)一般觀念的形成，體會類比的思想方法.用類比的方法構(gòu)建研究幾何圖形的框架，為課堂順利開展打下堅實(shí)的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：概念教學(xué)

1.角的靜態(tài)定義

（1）實(shí)際情境.

首先研究角的定義.教師讓學(xué)生觀看大屏幕（如圖5），鐘面上的時針和分針、棱錐相交的兩條棱、三角尺相交的兩條邊線都給學(xué)生以角的印象，讓學(xué)生感受角，并畫出其感受到的角.

圖5

（2）數(shù)學(xué)抽象——抽象幾何圖形.

師生活動：學(xué)生在學(xué)案上畫出感受到的角（略）.

教師關(guān)注：學(xué)生畫角的規(guī)范性.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，實(shí)現(xiàn)從實(shí)物到圖形的抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.

（3）找出共同特征，形成概念.

學(xué)生分組觀察，交流各自感受到的角，其中有銳角、直角、鈍角，教師順勢提出問題3.

問題3：這些角有哪些共同特征？能否根據(jù)這些共同特征給角下一個定義？

師生活動：讓學(xué)生獨(dú)立思考后，完成學(xué)案“數(shù)學(xué)活動1”（如圖6）.然后進(jìn)行組內(nèi)交流，把各自的想法匯總到一張卡片上.

圖6

【設(shè)計意圖】給角下定義是學(xué)生以往沒有體驗過的數(shù)學(xué)活動，有一定的困難.通過分層的學(xué)案設(shè)計形式，針對元素和元素之間的關(guān)系設(shè)置了兩個小問題，降低了活動的難度，讓每名學(xué)生都能有研究的方向.引導(dǎo)學(xué)生觀察，找到幾何圖形的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力和合作意識.

（4）逐次遞進(jìn)，使學(xué)生的思維顯性化.

教師展示學(xué)生在下定義的過程中呈現(xiàn)的各種寫法.

問題4：大家是否認(rèn)同這些寫法？能否闡述自己的想法？

師生活動：教師多媒體投影展示四個小組討論后在卡片上總結(jié)的定義.

卡片1：兩條射線組成的圖形叫做角.（元素位置表述不清.）

卡片2：兩條相交的射線組成的圖形叫做角.（元素位置表述錯誤.）

卡片3：一個點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫做角.（小學(xué)階段直觀形象的表述.）

卡片4：端點(diǎn)重合的兩條射線組成的圖形叫做角.（說清元素及元素的位置關(guān)系.）

師生活動：學(xué)生思考后，認(rèn)為卡片1和卡片2敘述錯誤，教師讓學(xué)生在黑板上畫圖舉出反例，以說明錯誤的原因.

后面這兩種說法都是正確的：“一個點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫做角”是小學(xué)階段對角的直觀形象的認(rèn)識；初中階段根據(jù)角的組成元素（兩條射線）及它們的位置關(guān)系重新定義了角，這里只是把有公共端點(diǎn)說成端點(diǎn)重合.教師提示學(xué)生在以后學(xué)習(xí)幾何圖形的過程中，很多概念都是通過組成元素和元素之間的位置關(guān)系來下定義的.

【設(shè)計意圖】將學(xué)生產(chǎn)生的活動經(jīng)驗通過活動卡片進(jìn)行收集并展示，使學(xué)生的思維顯性化，學(xué)生在辨析中逐步理解角的概念，并明確使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)角的定義.讓學(xué)生參與到知識的產(chǎn)生與發(fā)展過程中，角的靜態(tài)描述自然而然地得到，從而突出教學(xué)重點(diǎn).

（5）角的概念辨析.

教師讓學(xué)生觀看大屏幕展示的圖形（如圖7）.

圖7

問題5：這些圖形中哪些是角？理由是什么？

師生活動：學(xué)生思考后回答，闡述觀點(diǎn)，并說明理由.

教師關(guān)注：學(xué)生的表述是否準(zhǔn)確.

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過概念辨析，在識別角的過程中加深對角的定義的理解.

2.角的表示方法

教師在黑板上畫了兩個角.

問題6：為了區(qū)分它們，需要研究如何表示角，小學(xué)階段我們是怎樣表示角的？

師生活動：明確接下來要研究的內(nèi)容——角的表示方法.教師介紹角的幾種表示方法，同時對學(xué)生進(jìn)行提問.

追問：圖8中一共有幾個角？如何表示每個角？

圖8

【設(shè)計意圖】此處采用講授式的教學(xué)方式，使學(xué)生會用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎窘牵O(shè)置習(xí)題鞏固對角的表示方法的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號的應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生注重表示的嚴(yán)謹(jǐn)性，以免產(chǎn)生歧義.

3.角的動態(tài)定義

（1）觀察角的動態(tài)演示過程.

教師在幾何畫板軟件中畫出一條射線（如圖9），讓學(xué)生借助這條射線畫出90°角，以及任意角.

圖9

師生活動：學(xué)生到講臺上演示旋轉(zhuǎn)的過程.教師通過幾何畫板軟件展示旋轉(zhuǎn)90°角及任意角的過程（如圖10）.

圖10

【設(shè)計意圖】利用幾何畫板軟件動態(tài)演示，先由特殊的90°角引入角的形成過程，再讓學(xué)生思考還可以產(chǎn)生哪些角，然后到任意角，這個由特殊到一般的變化過程清晰地展現(xiàn)角的形成過程，便于學(xué)生理解，能加深學(xué)生對角的動態(tài)定義的理解.

（2）從形成的角度歸納概括，形成概念.

學(xué)生觀察射線的運(yùn)動過程.讓學(xué)生從角的形成的角度，再給角下一個定義.讓學(xué)生完成學(xué)案“數(shù)學(xué)活動2”（如圖11）.

圖11

師生活動：學(xué)生獨(dú)立思考.完成學(xué)案后組內(nèi)交流，把想法匯總到一張卡片上.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生的合作意識，通過交流，對形成角的過程進(jìn)行歸納、描述，讓學(xué)生從動態(tài)演示中再一次體會如何給角下定義，并培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.

問題7：在下定義的過程中，給出了不同的角的概念，概念的闡述是否合理？

師生活動：教師多媒體投影展示以下內(nèi)容.

（1）角可以看作一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形.

（2）角可以看作一條射線旋轉(zhuǎn)而成的圖形.

學(xué)生思考后回答自己的觀點(diǎn)，并在黑板上畫圖，闡述理由.

【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解角的概念的內(nèi)涵.學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述角的形成過程，并不斷精致數(shù)學(xué)概念，在這一過程中感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在教學(xué)過程中，從角的形成定義了角，角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.起始位置的射線稱為始邊，終止位置的射線稱為終邊.（教師板書角的定義.）

問題8：從形成的角度來看，從始邊出發(fā)，旋轉(zhuǎn)到終邊形成角這個圖形，是否包含兩條射線之間的部分呢？

師生活動：學(xué)生思考后回答自己的觀點(diǎn)，并闡述理由.教師用幾何畫板軟件演示追蹤射線（如圖12），再讓學(xué)生回答觀點(diǎn)，闡述理由.

圖12

【設(shè)計意圖】上述問題的目的是讓學(xué)生全面理解角的概念，需要學(xué)生不斷深入思考，逐步領(lǐng)悟.

角不僅僅可以看作有公共端點(diǎn)的兩條射線，還應(yīng)該包含兩條射線所夾的平面區(qū)域，它也是角的組成部分.教師在教學(xué)時需要向?qū)W生說明，初中階段研究的角都是小于180°的角.

問題9：我們從兩個角度給角下了定義，它們有什么不同？

師生活動：學(xué)生思考后回答問題.

教師可以在此處向?qū)W生滲透，在后續(xù)學(xué)習(xí)的幾何圖形的定義中，也有一部分是從動態(tài)角度研究的.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生感受可以從不同角度給幾何圖形下定義.

環(huán)節(jié)3：自學(xué)研讀

教師通過對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)讓學(xué)生提煉知識，從而逐漸歸納完成知識的建構(gòu).

教師多媒體展示閱讀提綱（如圖13），讓學(xué)生閱讀教材第133頁的內(nèi)容，自學(xué)研讀后，概括提煉相關(guān)知識.

圖13

師生活動：學(xué)生參考教師給出的閱讀提綱，閱讀教材，提煉知識.學(xué)生到講臺前展示教材第133頁的內(nèi)容，指出重點(diǎn)，并概括知識，完成自學(xué)反饋.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.通過閱讀提綱的引領(lǐng)，教師對學(xué)生閱讀進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，學(xué)生獨(dú)立提煉知識，逐漸歸納完成知識的建構(gòu)，并在自學(xué)反饋中理解角度的換算.

環(huán)節(jié)4：小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，總結(jié)本節(jié)課收獲的知識與方法，并讓學(xué)生思考.

問題10：本節(jié)課中，在知識方面學(xué)習(xí)了什么？在方法方面學(xué)到了什么？在自學(xué)研讀過程中有哪些方法的收獲？在小組活動中有哪些收獲？

【設(shè)計意圖】通過教師與學(xué)生一起梳理知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累等方面的收獲，關(guān)注學(xué)生的個體差異，在尊重個體差異的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成自我評價的意識.

環(huán)節(jié)5：布置作業(yè)

作業(yè)任務(wù)單如表2所示.

表2：“角”作業(yè)任務(wù)單

【設(shè)計意圖】作業(yè)設(shè)計注重提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識，發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，使學(xué)生走向深度學(xué)習(xí).完成好基礎(chǔ)作業(yè)就是做到知識遷移，從單一知識到綜合運(yùn)用，避免學(xué)生知識的碎片化.基于上述理念設(shè)計此開放式作業(yè)任務(wù)單.

環(huán)節(jié)6：課堂目標(biāo)檢測

目標(biāo)檢測內(nèi)容如圖3所示.

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生對角的表示方法及度、分、秒換算的掌握情況.同時，考查學(xué)生對幾何圖形下定義方法及研究幾何圖形的框架的理解.

六、教學(xué)反思

“幾何圖形初步”是教材七年級上冊的最后一章，這一章主要學(xué)習(xí)了基本圖形概念的形成、圖形的表示、作圖，對幾何語言的學(xué)習(xí)、運(yùn)用等，這些都是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).而概念的形成是這一節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)抽象的概念是學(xué)生在初學(xué)幾何時的一大障礙.因此，筆者設(shè)計了探究的教學(xué)形式對角的定義展開研究.

在小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地從實(shí)際生活中抽象出角的形象.因此，在教學(xué)設(shè)計中沒有做過多解釋，而是把重點(diǎn)放到了對角的本質(zhì)特征的歸納、下定義、概念的辨析、概念的精致及運(yùn)用上.在這些環(huán)節(jié)，通過仔細(xì)觀察角的本質(zhì)特征，獨(dú)立思考后加以提取，再通過小組合作交流，完善表達(dá)方式，使學(xué)生感受到應(yīng)從哪些方面著手給幾何圖形下定義.通過展示個別學(xué)生用不規(guī)范、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表述角，引發(fā)學(xué)生思考.學(xué)生能從多角度辨析角的構(gòu)成要素，在不斷否定、質(zhì)疑的過程中逐漸加深對角的認(rèn)識，形成角的概念的雛形.再在逐步糾正的過程中，不斷精致自己的數(shù)學(xué)語言，以便使概念達(dá)到準(zhǔn)確、簡練.

在教學(xué)設(shè)計中也存在著一些不足，本章是幾何部分的起始階段，雖然學(xué)生在小學(xué)階段已有了一些幾何經(jīng)驗，但還僅停留在表面，比較粗淺，也沒有對幾何圖形在語言表述上做過訓(xùn)練，因此在給角下定義時，學(xué)生出現(xiàn)了許多教師沒有預(yù)料到的狀況.為了在短暫的課堂上讓學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言描述出角的特征和由來，還要闡述角和相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系，教師沒有對學(xué)生所出現(xiàn)的問題進(jìn)行一一分析、研究，只在數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)選取具有代表性的幾類在課堂上進(jìn)行展示分析.

反思本節(jié)課，從備課、授課到說課的過程中，筆者深深體會到了教學(xué)過程中教與學(xué)的挑戰(zhàn)與樂趣.無論是知識整體結(jié)構(gòu)，還是教學(xué)方法的選擇，乃至信息技術(shù)的應(yīng)用，都是筆者未來教學(xué)工作中不斷追求的目標(biāo).