有向多網(wǎng)絡(luò)鏈多互惠性度量研究

丁蒼峰，龐 偉，延照耀，任 亮

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

多網(wǎng)絡(luò)［1-2］能夠自然地描述許多復(fù)雜的自然、社會、生物和工程系統(tǒng)。事實(shí)上，多網(wǎng)絡(luò)含多個(gè)連接層，構(gòu)成由不同關(guān)系鏈接互連的系統(tǒng)。最近的研究表明，多網(wǎng)絡(luò)具有新的復(fù)雜性［3-4］，多網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)和拓?fù)涮匦耘c單層網(wǎng)絡(luò)完全不同［5-6］，并且多網(wǎng)絡(luò)層相互作用可以產(chǎn)生新的有趣的擴(kuò)散過程［7-8］。此外，研究者們已經(jīng)提出了各種屬性度量來表征多網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，例如多PageRank［9］、中心性排名［10-11］、多強(qiáng)度［12］和重啟隨機(jī)游走中心性［13］。這些屬性度量能夠描述多網(wǎng)絡(luò)中層之間的相互依賴性和一層中鏈的存在會影響不同層中鏈存在的特性。這意味著將單層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì)擴(kuò)展多網(wǎng)絡(luò)中來表征層之間的重要相互依賴性具有重要的研究價(jià)值，一些對單層網(wǎng)絡(luò)無意義甚至未定義的性質(zhì)對多網(wǎng)絡(luò)而言也將具有重要意義。為此，本文將引入了一種新的度量方法，即鏈互惠［14］（Link reciprocity）來描述有向鏈的多層系統(tǒng)中各層之間的依賴關(guān)系。

在單層網(wǎng)絡(luò)中，鏈互惠性或節(jié)點(diǎn)對間的相互連接已被證明對于評估系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)［15］、解釋網(wǎng)絡(luò)增長模式［16］和研究高階結(jié)構(gòu)［17］等具有重要意義。盡管單層網(wǎng)絡(luò)的鏈互惠性已被廣泛研究，但在多網(wǎng)絡(luò)中卻很少被關(guān)注，這意味著多網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)可用性與其拓?fù)溟g二元特性的差距將會越來越大。事實(shí)上，不同層對間的鏈互惠性分析對理解多網(wǎng)絡(luò)層間的相關(guān)性極其重要。例如，針對社會多網(wǎng)絡(luò)上的信息傳播，鏈互惠性的存在會明顯加快不同層節(jié)點(diǎn)之間的信息傳播過程，相反，它的缺失會減緩信息的傳播速度。

為了描述多層復(fù)雜系統(tǒng)中基于鏈互惠性所表征的層間的相互依賴關(guān)系，本研究引入了一種新的多互惠性（Multireciprocity）以量化多網(wǎng)絡(luò)不同層對間基于鏈互惠性的相關(guān)性。多網(wǎng)絡(luò)的多互惠性意味著一層中的有向鏈能夠互惠另一層中具有相同節(jié)點(diǎn)對的有向鏈。為了理解真實(shí)世界觀察到的相互鏈多于或少于選擇的空模型情況［18］，本研究不僅需要計(jì)算真實(shí)網(wǎng)絡(luò)中的觀察值，還需要選擇一些合適的空模型來獲得其對應(yīng)的期望值，這樣可以將“絕對”多互惠性及其預(yù)期的多互惠性合并從而得到“相對”多互惠性。因此，如何利用適當(dāng)?shù)木W(wǎng)絡(luò)空模型來生成其對應(yīng)的實(shí)際觀察到的多互惠性的期望值是著重考慮的一個(gè)問題。特別地，本研究利用有向二進(jìn)制配置模型（Directed Binary Configuration Model，DBCM）［19］作為空模型來重現(xiàn)期望的多互惠性，該選擇主要考慮了節(jié)點(diǎn)度分布的異質(zhì)性，允許通過指定節(jié)點(diǎn)度約束來推導(dǎo)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中該度量的期望值的精確表達(dá)式。

最后，在國際貿(mào)易多網(wǎng)絡(luò)（International Trade Multiplex Network，ITM）和歐洲航空多網(wǎng)絡(luò)（European Airport Multiplex Network，EAM）的實(shí)驗(yàn)表明ITM 具有強(qiáng)的多互惠性，但這種效應(yīng)在很大程度上被編碼到單個(gè)層的節(jié)點(diǎn)度序列中，而EAM具有低的多互惠性。在聚合網(wǎng)絡(luò)上，兩種網(wǎng)絡(luò)的多互惠性顯著低于其聚合網(wǎng)絡(luò)的互惠性。此外，具有低（高）內(nèi)部互惠的層被嵌入到具有相對低（高）相互多互惠的層組中，突出了跨層的中心節(jié)點(diǎn)分布所起的重要作用。因此，多互惠性的分析可以使真實(shí)多層復(fù)雜類系統(tǒng)的重要拓?fù)涮卣髯兊妹鞔_而有意義。

綜上所述，本文的論點(diǎn)如下：

1）提出了“絕對”和“相對”多互惠性的度量來表征多網(wǎng)絡(luò)中不同層對間基于鏈互惠的相關(guān)性。

2）利用最大熵方法獲得的異質(zhì)空模型適用于重現(xiàn)預(yù)期的多互惠性度量，該度量能夠控制度分布的異質(zhì)性特征。

3）提出的方法分別在稠密和稀疏多網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明在兩種相反類型的網(wǎng)絡(luò)上探索拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有效性。此外，這種基于多互惠的不同行為可由跨層的中心（Hub）節(jié)點(diǎn)分布來解釋。

1 研究方法

本節(jié)定義一種多互惠性度量，旨在表征有向多網(wǎng)絡(luò)的不同層對間基于鏈互惠的相關(guān)性。

1.1 多網(wǎng)絡(luò)定義

一個(gè)有向無權(quán)（即二進(jìn)制）多層網(wǎng)絡(luò)由M個(gè)有向單層網(wǎng)絡(luò)Gα=(V，Eα)構(gòu)成，其中α，β = 1，…，M。對于每一層，節(jié)點(diǎn)的集合是相同的，其基數(shù)為|V|= N，而鏈的集合依賴于特定的層。由于表示為一個(gè)有向二進(jìn)制單層網(wǎng)絡(luò)，可以得到一個(gè)項(xiàng)為非對稱、二進(jìn)制鄰接矩陣。因此，層α中有向鏈總數(shù)為

1.2 鏈多互惠性

本研究將有向單層網(wǎng)絡(luò)的鏈互惠性［14］擴(kuò)展到有向多網(wǎng)絡(luò)的情況，并引入了一種新的鏈互惠性度量，即多互惠性，以表征層對間相關(guān)性。這里，本研究給出有向多網(wǎng)絡(luò)中任意兩層α 和β 之間的“絕對”多互惠性rα，βb的表達(dá)式為

然而，因?yàn)檫x擇的空模型（分別是有向二進(jìn)制隨機(jī)模型（Directed Binary Random Graph，DRG）的同質(zhì)模型和有向二進(jìn)制配置模型（Directed Binary Configuration Model，DBCM）的異構(gòu)空模型）保留了每一層中約束的有向鏈數(shù)，本研究給出了這兩個(gè)空模型期望值的解析表達(dá)式。當(dāng)選擇DRG 時(shí)，其表達(dá)式為

其中，pα= ια/N(N - 1)。當(dāng)選擇DBCM時(shí)，表達(dá)式為

對于DBCM模型，其表達(dá)式為

最后，層內(nèi)多互惠性rα，αb提供了關(guān)于在特定層實(shí)際觀察到的鏈互惠性的重要信息。特別是，層α多互惠性rα，αb只是針對有向二進(jìn)制單層網(wǎng)絡(luò)的互惠性的一般表達(dá)［20］。在這種情況下，本研究使用一個(gè)聚合操作來比較聚合網(wǎng)絡(luò)的全局互惠性和有向多層網(wǎng)絡(luò)中不同層對的多互惠性。對于一個(gè)有向二進(jìn)制多層網(wǎng)絡(luò)，其對應(yīng)的聚合網(wǎng)絡(luò)的有向鏈定義為

因此，聚合網(wǎng)絡(luò)的全局絕對互惠性寫為

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)集

本研究中利用2021 年聯(lián)合國商品貿(mào)易數(shù)據(jù)庫提供的國際貿(mào)易流量數(shù)據(jù)［21］來構(gòu)建具有不同商品層的國際貿(mào)易多網(wǎng)絡(luò)（International Trade Multiplex Network，ITM），每一層對應(yīng)一個(gè)特定商品的國際貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)。ITM由97種不同的特定商品和198國家組成，所得聚合網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)是鏈密度為67.48%（實(shí)際鏈數(shù)與可能鏈數(shù)之比），各層的鏈密度范圍為5.06%至47.20%，這種異質(zhì)性表明需要深入分析多路網(wǎng)絡(luò)。第二個(gè)網(wǎng)絡(luò)由OpenFlight［22］上的數(shù)據(jù)集構(gòu)建的歐洲航空公司多網(wǎng)絡(luò)（European Airline Multiplex Network，EAM）。在EAM 中，節(jié)點(diǎn)表示機(jī)場，邊表示兩個(gè)機(jī)場之間的直接航線，這里討論39家商業(yè)航空公司運(yùn)營417 個(gè)直飛機(jī)場的情況，各層的鏈密度明顯低于在ITM 中觀察到的密度，特別地，所得聚合網(wǎng)絡(luò)的鏈密度僅為1.28%。關(guān)于EAM 和ITM 之間差異的有趣信息可以從不同的角度驗(yàn)證提出的測量。

2.2 鏈多互惠性分析

當(dāng)考慮所有商品聚合貿(mào)易時(shí)，國際貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)具有高互惠性［20］。事實(shí)上本研究想知道單獨(dú)的商品是否具有如此特征，為此，本研究借用多互惠性來驗(yàn)證ITM 各種商品的屬性。ITM 的“絕對”多互惠性如圖1A 中的熱圖所示，其中每條線表示該層與其余層之間的多互惠性值。當(dāng)考慮多數(shù)商品對時(shí)，重要的“絕對”多互惠性可以作為診斷依據(jù)。圖1B 所示的多互惠性分布提供了一種新信息類型：ITM 的聚合網(wǎng)絡(luò)顯示了更高的多互惠性。如前所述，有向多網(wǎng)絡(luò)的層內(nèi)互惠性具有確定意義的屬性，其對應(yīng)于聚合有向單層網(wǎng)絡(luò)鏈互惠性。相對于層間互惠性ITM 網(wǎng)絡(luò)的層內(nèi)互惠性（熱圖對角線元素）沒有出現(xiàn)顯著增強(qiáng)特性，導(dǎo)致與熱圖的其他部分無法區(qū)分。這表明具有高互惠性的層是高多互惠性層組的一部分，相似的情景同樣出現(xiàn)在具有低互惠性的層。這意味著互惠的趨勢不是特定于具體的層，而是屬于層所屬的層組。

在這里，本研究比較了觀察到的ITM 的多互惠性與約束為平均有向鏈總數(shù)的預(yù)期多互惠?？紤]最簡單的有向隨機(jī)圖作為測試依據(jù)。在計(jì)算了ITM的“相對”多互惠性后，得到了圖1C 所示的熱圖和圖1D 所示的對應(yīng)分布。圖1C 清楚地顯示，大多數(shù)多互惠性仍然保留。盡管DRG 空模型的度分布的異質(zhì)性被丟棄，但層同質(zhì)空模型對預(yù)期的多互惠性沒有實(shí)質(zhì)性影響。

圖1 國際貿(mào)易多網(wǎng)絡(luò)(ITM)層對間的多互惠性

類似于圖1C、1D 中的相對多互惠的情況，本研究還分別展示ITM的“相對”多互惠性ρα，βDBCM（圖1E）及相應(yīng)的分布（圖1F），它們是基于有向二進(jìn)制配置DBCM 模型。事實(shí)上，從圖1E 觀察到所有層對都顯示非負(fù)多互惠性，然而與相應(yīng)的“絕對”值相比，“相對”多互惠性的值卻小得多。此外，再次觀察到圖1F 中聚合網(wǎng)絡(luò)的互惠性（raggb= 0.36）仍然高于具有最大多互惠性的商品的互惠性值。

在圖2 中，通過展示多互惠性的熱圖及其相應(yīng)分布，本研究進(jìn)一步用EAM驗(yàn)證所提出的多互惠性度量。圖2展示出歐洲機(jī)場運(yùn)輸系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一個(gè)完全不同的模式。本研究觀察到，基于EAM的多互惠性值較低（見圖2A），說明各層之間幾乎沒有鏈互惠，這也證明了商業(yè)航空公司盡量避免航班與其他航空公司之間的重疊事實(shí)，其原因在于航空公司間的商業(yè)競爭。

圖2C、2D 報(bào)告了應(yīng)用有向隨機(jī)圖DRG 所獲得的相對多互惠性及其分布。如圖2C 所示，相對于圖2A 中的“絕對”多互惠性，幾乎沒有觀察它們間的差異，這是因?yàn)樵贒RG 下其相應(yīng)的預(yù)期值非常小，這種現(xiàn)象解釋了EAM每一層的非常低密度的原因。值得指出的是，有向隨機(jī)圖對于現(xiàn)實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)來說不是一個(gè)合適的空模型，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)（即機(jī)場）度分布的同質(zhì)性假設(shè)明顯偏離了真實(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。然而如圖2E所示，許多負(fù)多互惠性的存在及同時(shí)大量重要高多互惠性的消失強(qiáng)調(diào)了EAM網(wǎng)絡(luò)具有反相關(guān)特征。該結(jié)果表明，在采用有向隨機(jī)圖獲得預(yù)期的多重互易性時(shí)，不可能揭示關(guān)鍵的拓?fù)湫再|(zhì)。

2.3 中心hub節(jié)點(diǎn)分布

對于實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的兩個(gè)多網(wǎng)絡(luò)，上述觀察到的鏈互惠的不同行為可以通過跨層中心hub節(jié)點(diǎn)分布來解釋。圖3A、3B 清楚地展示了ITM 的層（或商品）顯示了幾乎相同的hub 節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)代表最工業(yè)化和最富裕的國家。特別是從目視角度來看，兩層（見圖3A、3B）彼此非常相似。因此，該屬性在層對間產(chǎn)生高度相關(guān)性，源于連接到各個(gè)層hub 節(jié)點(diǎn)的有向鏈的存在。

可以看出，相對于不同層中的節(jié)點(diǎn)，這些具有較高多互惠性的hub 節(jié)點(diǎn)分布與隱藏變量xi具有很強(qiáng)的相關(guān)性。需要指出的是，特定層中每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的隱藏變量xi是由所選的配置模型所誘導(dǎo)，其目的是生成任意對節(jié)之間鏈接的概率。事實(shí)上，對于所選的層（見圖3A、3B），這種趨勢可以用一條直線來解釋（見圖3C）。這條直線說明，在一層中與較高的隱藏變量xi相關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn)通常對應(yīng)于另一層中較高的xi。

圖2 歐洲航空公司多網(wǎng)絡(luò)(EAM)層對間的多互惠性

圖3 ITM（頂部面板）和EAM（底部面板）中心hub節(jié)點(diǎn)分布

相反，當(dāng)考慮到歐洲航空多網(wǎng)絡(luò)時(shí)，觀察到一個(gè)完全不同的現(xiàn)象，這種情況說明了多互惠性很小。從圖3D、3E 中可以看出，各層可近似地看成星型圖，每層只有一個(gè)或幾個(gè)hub節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)間的連接度較差。此外，當(dāng)考慮EAM 網(wǎng)絡(luò)時(shí)，一個(gè)層的hub節(jié)點(diǎn)通常不同于其他層，這表明了每個(gè)商業(yè)航空公司都有不同的機(jī)場。在考慮的兩層中，hub分別代表德國-慕尼黑（EDDM）的漢莎航空（見圖3D）和意大利-米蘭馬爾彭薩（LIMC）的奧林匹克航空（見圖3E）。這種特殊的屬性顯著地降低了層對間的鏈互惠性，從而導(dǎo)致了圖2中所述的熱圖。

類似于圖3C，圖3F 展示出隱變量散點(diǎn)圖的節(jié)點(diǎn)截然不同的情景，具有非線性趨勢，主要由于兩個(gè)樞紐從眾多其他機(jī)場中脫穎而出。此外，在一層中變量xi值最高的hub（即在給定層中與其他節(jié)點(diǎn)建立鏈接的概率最大），而在另一層中通常是一個(gè)xi值較低的連接差的hub。

3 結(jié)論

本研究引入了新的“絕對”和“相對”多互惠性度量來描述有向多層網(wǎng)絡(luò)層間基于鏈互惠的相關(guān)性。通過在不同的真實(shí)多層系統(tǒng)上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，本研究證明了多互惠性可以從密集和稀疏網(wǎng)絡(luò)中提取關(guān)鍵特性。研究發(fā)現(xiàn)，在不同的層對中，有向鏈接之間的互惠程度存在差異。例如，在EAM的不同層中，由于大多數(shù)節(jié)點(diǎn)對只出現(xiàn)在一個(gè)或幾個(gè)層上，一些多互惠性在有向鏈接之間顯示出較小的互惠性。而對于ITM 來說，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)對參與了幾乎所有的網(wǎng)絡(luò)層，因此多互惠性在層對間表現(xiàn)出很大的互惠性。此外，研究還發(fā)現(xiàn)，多互惠性能夠提供關(guān)于跨各層的中心分布的重要信息。

［責(zé)任編輯 畢 偉］