耦合粒子圖像測(cè)速誤差的連續(xù)伴隨數(shù)據(jù)同化技術(shù)

鄧志文，何創(chuàng)新，劉應(yīng)征,*

1. 上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院 動(dòng)力機(jī)械與工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240

2. 上海交通大學(xué) 燃?xì)廨啓C(jī)研究院，上海 200240

近年來(lái)，隨著實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)與計(jì)算流體力學(xué)的迅猛發(fā)展，人們對(duì)湍流現(xiàn)象的認(rèn)知和了解亦不斷深入。常規(guī)認(rèn)識(shí)湍流的途徑主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和數(shù)值模擬兩種手段。然而，單純依賴實(shí)驗(yàn)測(cè)量或數(shù)值模擬的手段已無(wú)法滿足學(xué)界與工業(yè)界日益深入的研究需求。這和兩者各自的局限問(wèn)題是分不開(kāi)的。實(shí)驗(yàn)測(cè)量方面，無(wú)論是傳統(tǒng)的熱線風(fēng)速儀(Hot-wire Anemometer)，還是先進(jìn)的粒子圖像測(cè)速(Particle Image Velocimetry，PIV)技術(shù)，依然受限于實(shí)驗(yàn)測(cè)量成本高昂，測(cè)量區(qū)域有限，時(shí)空分辨率較低，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)類型單一，多物理同步測(cè)量難度大以及實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差難避免。數(shù)值模擬方面，高精度的直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation, DNS)和大渦模擬(Large-Eddy Simulation, LES)需要消耗大量的計(jì)算資源，而計(jì)算效率高的雷諾時(shí)均(Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS)模型大多基于半經(jīng)驗(yàn)半理論公式，受限于模型結(jié)構(gòu)形成缺陷和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)難精確給出，對(duì)復(fù)雜流場(chǎng)的模擬精度不高；此外，數(shù)值模擬的初始條件或邊界條件在實(shí)際工程計(jì)算中常常難以準(zhǔn)確獲得。

為了彌補(bǔ)實(shí)驗(yàn)測(cè)量與數(shù)值模擬各自的不足，實(shí)現(xiàn)對(duì)高精度湍流流場(chǎng)的精準(zhǔn)描述，數(shù)據(jù)同化(Data Assimilation, DA)作為一種深度融合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬的技術(shù)，近年來(lái)愈發(fā)受到國(guó)內(nèi)外流體力學(xué)領(lǐng)域研究學(xué)者的關(guān)注。數(shù)據(jù)同化，最早應(yīng)用于氣象領(lǐng)域，隨后拓展到水文、海洋及地質(zhì)領(lǐng)域。數(shù)據(jù)同化的三要素有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)、系統(tǒng)模型和數(shù)據(jù)同化算法，其核心思想在于利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)上或參數(shù)上的調(diào)整修正，進(jìn)而優(yōu)化系統(tǒng)模型，提升預(yù)測(cè)性能。

數(shù)據(jù)同化算法主要可以分為兩類：① 基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)算法的數(shù)據(jù)同化，如卡爾曼濾波、集合卡爾曼濾波(Ensemble Kalman Filter, EnKF)等；②基于變分算法的數(shù)據(jù)同化，如3DVar (Three Dimensional Variation)、4DVar等。Kato等通過(guò)采用EnKF及其變種的同化算法，優(yōu)化了翼型繞流的來(lái)流攻角、馬赫數(shù)以及湍流渦黏分布，成功預(yù)測(cè)了翼型表面壓力系數(shù)分布。本文作者團(tuán)隊(duì)用EnKF同化算法優(yōu)化了不同RANS模型的模型經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，成功預(yù)測(cè)了自由射流速度場(chǎng)。然而，大部分濾波算法主要針對(duì)湍流模型的邊界條件、初始條件、模型經(jīng)驗(yàn)參數(shù)進(jìn)行修正，因而同化效果有限。相對(duì)而言，變分算法則通過(guò)添加源項(xiàng)的方式優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)，設(shè)置與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相關(guān)的目標(biāo)損失函數(shù)，推導(dǎo)伴隨變分方程，通過(guò)求解目標(biāo)損失函數(shù)極小值，便可修正優(yōu)化湍流模型預(yù)測(cè)路徑。He等在Spalart-Allmaras(SA)模型中添加了模型修正因子,通過(guò)連續(xù)伴隨算法同化得到的分布，進(jìn)而提升了SA模型對(duì)流動(dòng)分離的預(yù)測(cè)能力。Foures和Symon等使用連續(xù)伴隨方法直接對(duì)雷諾應(yīng)力項(xiàng)進(jìn)行同化，準(zhǔn)確還原了翼型繞流的平均流場(chǎng)。He等繼而提出了基于連續(xù)伴隨的順序數(shù)據(jù)同化算法，結(jié)合了順序數(shù)據(jù)同化與變分?jǐn)?shù)據(jù)同化的優(yōu)勢(shì)：既保留了變分算法的精度，又采用順序同化的方式實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)耦合實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值修正模型預(yù)測(cè)結(jié)果；這種方式避免了變分算法在時(shí)間上正向逆向的積分，算法計(jì)算效率更高。值得提出的是，連續(xù)伴隨算法在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)準(zhǔn)確可靠時(shí)，具有很好的同化效果，而實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差這一重要因素如何在同化算法中準(zhǔn)確考慮，無(wú)疑是很重要的。

本文在He等的研究基礎(chǔ)上，從PIV互相關(guān)原理的不確定度出發(fā)，提出了耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的連續(xù)伴隨同化算法，優(yōu)化了原變分算法的目標(biāo)損失函數(shù)以增強(qiáng)該同化算法的魯棒性。為了驗(yàn)證算法的可行性，本文先對(duì)已知PIV流場(chǎng)植入合成誤差，進(jìn)行同化對(duì)比測(cè)試，繼而對(duì)PIV互相關(guān)算法的不同參數(shù)設(shè)置所獲得的流場(chǎng)進(jìn)行同化研究。結(jié)果表明，相比原變分算法，耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的變分算法能夠?qū)?shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)去偽存真，抗誤差干擾能力明顯提升，魯棒性更強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流流場(chǎng)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

1 算法模型原理

1.1 算法框架設(shè)計(jì)

圖1 耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的連續(xù)伴隨算法流程Fig.1 Flow chart of continuous-adjoint algorithm coupled with PIV error

1.2 PIV實(shí)驗(yàn)誤差分析

為了定量表征PIV實(shí)驗(yàn)誤差的分布，本文提出了全場(chǎng)各點(diǎn)實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)。本節(jié)將從粒子圖像測(cè)速的互相關(guān)算法原理出發(fā)，詳細(xì)闡述實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)的提取實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

粒子圖像測(cè)速技術(shù)是通過(guò)在流場(chǎng)中布撒示蹤粒子跟隨流體運(yùn)動(dòng)，利用激光加強(qiáng)粒子反射，經(jīng)由相機(jī)在極短的時(shí)間內(nèi)雙次或多次曝光，拍攝記錄粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析相鄰兩幀的粒子圖像從而獲得流場(chǎng)的速度信息。其中，流動(dòng)速度矢量的獲取通常采用圖像互相關(guān)算法。該算法是假設(shè)在相鄰兩幀圖像中，被測(cè)流體的速度保持不變，并且粒子之間的相對(duì)位置在空間上保持一致，然后將粒子圖像劃分成若干個(gè)子區(qū)域(即問(wèn)詢區(qū)域)，通過(guò)逐個(gè)區(qū)域粒子群的互相關(guān)計(jì)算，獲得其與臨近區(qū)域的相關(guān)性。傳統(tǒng)相關(guān)性的計(jì)算表達(dá)式為

=?(,)·(+Δ,+Δ)dd

(1)

式中：(,)和(,)分別對(duì)應(yīng)兩幀圖像某一問(wèn)詢區(qū)域的灰度分布函數(shù)；Δ、Δ分別為粒子在、方向的移動(dòng)距離。如圖2(a)所示，當(dāng)Δ、Δ等于粒子在、方向的真實(shí)位移時(shí)，互相關(guān)計(jì)算平面就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)峰值，表明此處的相關(guān)性最大，可作為該區(qū)域粒子的平均運(yùn)動(dòng)位移，將其除以運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可獲得速度矢量，即該子區(qū)域內(nèi)粒子群的平均速度。為了節(jié)省計(jì)算資源，提高運(yùn)算效率，一般采用基于傅里葉變換的互相關(guān)函數(shù)計(jì)算，如式(2)～式(4)所示:

圖2 PIV實(shí)驗(yàn)誤差分析Fig.2 Procedure of PIV error analysis

(,)=((,))

(2)

(,)=((,))

(3)

(4)

如上所述，通過(guò)式(2)～式(4)計(jì)算便可獲得互相關(guān)函數(shù)的分布，如圖2(b)所示。經(jīng)由圖像分析可知，該相關(guān)性分布總體呈現(xiàn)出二維高斯分布特征。因而，本文采用二維高斯分布函數(shù)對(duì)各個(gè)問(wèn)詢區(qū)域的互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行獨(dú)立的擬合表達(dá)(～(,Δ,Δ,,))。設(shè)其概率密度函數(shù)(,)為

(5)

式中:為高斯分布的峰值大小;、為、方向所對(duì)應(yīng)的位移方差。和的數(shù)值大小與PIV實(shí)驗(yàn)的誤差密切相關(guān)，、數(shù)值越大表明此處的實(shí)驗(yàn)值不確定度越高，誤差越大，實(shí)驗(yàn)數(shù)值越不可信。

為了更好地?cái)M合高斯分布規(guī)律，排除虛假相關(guān)干擾的影響，本文設(shè)置截?cái)酁V波，濾波閥值為0.1倍的峰值，即相關(guān)性小于濾波閥值的點(diǎn)將置于0，如圖2(c)所示。在經(jīng)過(guò)濾波處理過(guò)后，采用最小二乘法對(duì)高斯分布中的未知參數(shù)進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖2(d)所示。最終分析對(duì)比高斯分布重構(gòu)的互相關(guān)函數(shù)分布(圖2(e))與原始粒子圖像測(cè)算的互相關(guān)分布(圖2(a))情況，可以發(fā)現(xiàn)排除虛假相關(guān)干擾后，二者分布規(guī)律基本一致，采用此算法可以很好地重構(gòu)的分布規(guī)律。

(6)

(7)

1.3 連續(xù)伴隨同化算法原理

本文的研究目標(biāo)主要是針對(duì)平均場(chǎng)的數(shù)據(jù)同化，因此采用的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)為PIV平均場(chǎng)數(shù)據(jù)，同化的模擬結(jié)果為穩(wěn)態(tài)結(jié)果。本文所采用的連續(xù)伴隨同化算法是由何創(chuàng)新等在Foures等的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，如式(8)所示，算法的核心思想是在穩(wěn)態(tài)Navier-Stokes方程中加入同化控制源項(xiàng)，通過(guò)優(yōu)化源項(xiàng)的分布，進(jìn)而不斷減小實(shí)驗(yàn)觀測(cè)與模型預(yù)測(cè)之間的誤差。

(8)

(9)

式中：、、分別為速度矢量、壓力和流體密度；為等效黏度，即流體分子黏度與湍流各項(xiàng)同性渦黏部分之和，可以通過(guò)RANS模型直接計(jì)算獲得;為各項(xiàng)異性渦黏，可通過(guò)伴隨變分求解。原連續(xù)伴隨的目標(biāo)損失函數(shù)為

(10)

式中：為實(shí)驗(yàn)觀測(cè)速度；為無(wú)窮遠(yuǎn)處的來(lái)流速度；代表數(shù)值模擬的計(jì)算區(qū)域；為單位無(wú)量綱轉(zhuǎn)換系數(shù)；為Navier-Stoke方程和連續(xù)性方程約束；作為掩模函數(shù)指定了實(shí)驗(yàn)觀測(cè)所在的位置：當(dāng)=1時(shí)，表明此處有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)約束，反之為0，則表明無(wú)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)。

為了求解目標(biāo)損失函數(shù)的極小值，引入拉格朗日函數(shù)進(jìn)行變分方程的推導(dǎo)求解：

(11)

式中：、為伴隨速度變量和伴隨壓力變量，經(jīng)過(guò)變分推導(dǎo)可得伴隨變分方程組為

(12)

(13)

連續(xù)伴隨的數(shù)據(jù)同化過(guò)程，可以看作是求解目標(biāo)損失函數(shù)的極小值過(guò)程。通過(guò)不斷優(yōu)化迭代的分布，最終使得速度場(chǎng)既滿足實(shí)驗(yàn)觀測(cè)規(guī)律又滿足Navier-Stokes方程以及變分方程的約束。平均場(chǎng)的同化計(jì)算迭代流程圖如圖3所示。圖中、為初始流場(chǎng)的速度和壓力；、分別為計(jì)算相對(duì)誤差和人為設(shè)定的收斂誤差值；為松弛因子，控制的迭代速度。本文通過(guò)引入實(shí)驗(yàn)觀測(cè)權(quán)重分布函數(shù)修正模型的目標(biāo)損失函數(shù)，如式(14)所示，從而將PIV各個(gè)速度矢量的實(shí)驗(yàn)誤差與連續(xù)伴隨同化算法迭代計(jì)算相耦合，進(jìn)而提升該算法的抗誤差干擾能力。

圖3 平均場(chǎng)的連續(xù)伴隨數(shù)據(jù)同化計(jì)算迭代流程Fig.3 Iteration procedure of continuous-adjoint based DA for mean flow field

(14)

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提同化算法的有效性和魯棒性，本文采用有限長(zhǎng)平板繞流的PIV實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為同化過(guò)程中的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)輸入。對(duì)于此類分離再附流動(dòng)，大多RANS模型難以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)，因而需要數(shù)據(jù)同化技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化。該實(shí)驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)來(lái)源于文獻(xiàn)[28]。

該實(shí)驗(yàn)是在一個(gè)300 mm (高)×300 mm (寬)×2 000 mm (長(zhǎng))的低速開(kāi)式風(fēng)洞中進(jìn)行的。為了消除風(fēng)洞壁面對(duì)流動(dòng)二維性的影響，平板厚度設(shè)計(jì)為=24 mm，弦厚比為=9，并垂直安裝于風(fēng)洞測(cè)試段的正中間位置。本實(shí)驗(yàn)中自由來(lái)流的流速保持在=10 m/s，依據(jù)平板厚度計(jì)算對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)為=15 800。如圖4所示，為了捕捉平板繞流的分離與再附現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的觀測(cè)區(qū)域(Region of Observation，ROB)選定于平板正上方的流場(chǎng)(0≤≤9,0≤≤25)。本實(shí)驗(yàn)采用Di-Ethyl-Hexyl-Sebacate (DEHS)油滴作為示蹤粒子，粒徑為1 μm左右，對(duì)實(shí)驗(yàn)流體具有良好的跟隨性。激光平面由Nd:YAG激光器(135 mJ/pulse, 532 nm, 8 ns, Litron, UK)產(chǎn)生，厚度為1 mm。采用CCD相機(jī)(IPX 16M, IMPERX, USA)對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)圖像進(jìn)行采集記錄。激光脈沖頻率與相機(jī)采樣速率由同步器控制，均保持在1 Hz。最終共采集6 000幅圖像，圖像分辨率為4 872 pixel×3 248 pixel。通過(guò)PIV互相關(guān)算法可計(jì)算獲得3 000 個(gè)速度矢量場(chǎng)，求平均可得PIV實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)平均流場(chǎng)。關(guān)于此實(shí)驗(yàn)更詳細(xì)的描述和進(jìn)一步的結(jié)果可在文獻(xiàn)[28]中獲得。

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.4 Schematic diagram of experimental setup

3 結(jié)果分析討論

為了全面充分地驗(yàn)證本文算法的優(yōu)化效果，本文對(duì)比了原連續(xù)伴隨算法以及改進(jìn)后的算法在不同誤差環(huán)境下的同化效果。首先對(duì)不同程度的合成誤差干擾進(jìn)行了測(cè)試驗(yàn)證，隨后進(jìn)一步對(duì)不同PIV互相關(guān)算法設(shè)置引入的算法誤差進(jìn)行同化效果測(cè)試。

圖5為PIV實(shí)驗(yàn)粒子圖所獲得的全場(chǎng)速度矢量的誤差分布云圖，顏色越藍(lán)代表此處的互相關(guān)性越高，不確定度越低，即實(shí)驗(yàn)誤差越小，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果可信度高。如圖5(a)所示，平板上方的主流流動(dòng)區(qū)域顏色較藍(lán)，表明實(shí)驗(yàn)誤差小，較為可信，因而實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布值較大。偏離藍(lán)色的區(qū)域主要集中于平板繞流的剪切層附近以及近壁面區(qū)域，這是因?yàn)榧羟袑痈浇牧鲃?dòng)比較紊亂，而近壁區(qū)域存在壁面反射，因而實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差較大。圖5(b) 是剪切層附近的局部細(xì)節(jié)放大圖，每一塊子區(qū)域都表示一個(gè)速度矢量的互相關(guān)函數(shù)分布情況，能夠通過(guò)1.2節(jié)所述方法進(jìn)行高斯分布擬合。圖5(c)為經(jīng)過(guò)誤差分析后轉(zhuǎn)換得到的實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)。對(duì)于實(shí)驗(yàn)誤差相對(duì)較高的壁面和剪切層區(qū)域權(quán)重分配較小，而誤差較小的自由來(lái)流區(qū)域的權(quán)重分配較大。

圖5 鈍體平板繞流PIV實(shí)驗(yàn)誤差分析Fig.5 Analysis of PIV error of flow around blunt plate

3.1 合成誤差對(duì)同化效果的影響

圖6為添加不同級(jí)別的合成誤差干擾后所得的流向速度平均場(chǎng)()云圖對(duì)比。圖6(a)為采用最優(yōu)的PIV算法參數(shù)設(shè)置所得的統(tǒng)計(jì)平均場(chǎng)結(jié)果，亦作為本次同化實(shí)驗(yàn)中的真實(shí)速度。合成誤差的干擾程度主要由參數(shù)控制，如式(15)所示。

(15)

圖6(b)～圖6(c)中為添加不同程度的實(shí)驗(yàn)干擾后的平均速度云圖，對(duì)應(yīng)=01,02,05的情況。合成誤差的添加規(guī)律與PIV實(shí)驗(yàn)誤差分布相關(guān)，即在壁面及流動(dòng)剪切區(qū)域的合成誤差較高，同時(shí)由圖6(d)可知當(dāng)=05時(shí)，合成誤差已對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生了較大的影響，因而本研究中的最大值為0.5。將帶有合成誤差的PIV結(jié)果(圖6(b)～圖6(d))作為實(shí)驗(yàn)觀測(cè)輸入進(jìn)行同化對(duì)比測(cè)試，最終同化效果如圖7～圖9所示。通過(guò)對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用帶有合成誤差的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行同化時(shí)，原連續(xù)伴隨同化模型(如圖7(a)～圖7(c) Adjoint結(jié)果，圖8中藍(lán)色實(shí)線)為了盡可能地同化帶有誤差的實(shí)驗(yàn)值(對(duì)應(yīng)圖8 中PIV+結(jié)果)，出現(xiàn)了極不合理的預(yù)測(cè)結(jié)果，違背了真實(shí)的流動(dòng)分布規(guī)律(對(duì)應(yīng)圖8 中Ref結(jié)果)。尤其在近壁面的速度容易被該區(qū)域內(nèi)誤差較大的速度分布所干擾(圖8中綠色圓點(diǎn))，進(jìn)而導(dǎo)致整體同化效果很差，流動(dòng)計(jì)算發(fā)散。而當(dāng)采用耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的同化模型時(shí)(如圖7(a)～圖7(c) Adjoint+結(jié)果，圖8紅色實(shí)線)，則可降低合成誤差的干擾，提升計(jì)算收斂的穩(wěn)定性，同時(shí)相比傳統(tǒng)的SA模型預(yù)測(cè)結(jié)果有很大的改善，對(duì)流動(dòng)剪切的預(yù)測(cè)更為精準(zhǔn)，與真實(shí)的流動(dòng)速度分布曲線吻合良好。

圖6 添加不同合成誤差所對(duì)應(yīng)的流向速度云圖Fig.6 Contours of streamwise velocity adding different levels of synthetic error

圖7 不同合成誤差下采用不同同化方法的結(jié)果對(duì)比云圖Fig.7 Contour plots of assimilated results with different synthetic errors using different data assimilation methods

圖8 不同位置處流向速度對(duì)比曲線(α=0.2)Fig.8 Transverse profiles of streamwise velocity at different locations (α=0.2)

圖9為平板流動(dòng)再附點(diǎn)位置以及流線圖對(duì)比結(jié)果。從圖中可以看出，耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的數(shù)據(jù)同化模型(圖9(b)～圖9(d))與PIV結(jié)果吻合良好，對(duì)分離再附點(diǎn)的位置預(yù)測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確，且即使在高合成誤差場(chǎng)景下(圖9(d)，=05)，依然有很高的預(yù)測(cè)精度。

圖9 不同合成誤差下流場(chǎng)流線圖以及再附點(diǎn)位置分布Fig.9 Streamlines and location distribution of reattachment point obtained using data assimilation method with different synthetic errors

3.2 PIV算法參數(shù)設(shè)置對(duì)同化效果的影響

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提同化算法的有效性和魯棒性，本文采用不同的PIV算法設(shè)置所獲得的流場(chǎng)作為同化的觀測(cè)輸入進(jìn)行研究。采用不同的PIV互相關(guān)算法參數(shù)設(shè)置對(duì)同一流場(chǎng)的粒子圖進(jìn)行分析所得的計(jì)算結(jié)果也有所不同。如當(dāng)問(wèn)詢窗口的尺寸發(fā)生變化時(shí)，PIV計(jì)算的速度矢量數(shù)量及其對(duì)應(yīng)的誤差大小也隨之發(fā)生改變。為了便于理解和討論，本文中將這部分僅由不同PIV算法參數(shù)設(shè)置所引起的誤差，簡(jiǎn)稱為“PIV算法誤差”。

如圖10所示，當(dāng)不對(duì)原粒子圖進(jìn)行任何預(yù)處理(諸如圖像對(duì)比度增強(qiáng)以及噪聲濾波算法等)，并采用不同的問(wèn)詢窗口設(shè)置時(shí)(24×24,32×32,48×48)，PIV算法的計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差，尤其在近壁面區(qū)域。圖10白色圓圈內(nèi)的流動(dòng)與真實(shí)的流動(dòng)現(xiàn)象并不相符，分離泡對(duì)壁面的依附出現(xiàn)失真，無(wú)法準(zhǔn)確捕捉再附點(diǎn)位置。

圖10 采用不同問(wèn)詢窗口計(jì)算所得的流向速度云圖Fig.10 Contours of streamwise velocity calculated using different sizes of interrogation windows

圖11為當(dāng)采用不同問(wèn)詢窗口時(shí)，實(shí)驗(yàn)權(quán)重的分布函數(shù)云圖。如圖所示，針對(duì)本文的驗(yàn)證案例，當(dāng)采用較大尺寸的問(wèn)詢窗口(48×48)，PIV實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差會(huì)有所減小，相應(yīng)地，其所對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)的權(quán)重值會(huì)有所增大(圖11(c))。而當(dāng)問(wèn)詢窗口尺寸較小時(shí)(24×24)，所對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)權(quán)重值較小。觀察實(shí)驗(yàn)權(quán)重的分布可得，近壁面及剪切流動(dòng)區(qū)域的實(shí)驗(yàn)誤差較大，實(shí)驗(yàn)權(quán)重取值小。當(dāng)問(wèn)詢窗口較小時(shí)(圖11(a)和圖11(b))，近壁及剪切區(qū)域的權(quán)值分布接近于0，證明此處的實(shí)驗(yàn)結(jié)果誤差很大，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)不可信。

圖11 采用不同問(wèn)詢窗口所得的實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)云圖Fig.11 Contours of experimental weighting function distribution obtained using different sizes of interrogation windows

將不同PIV算法所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖10(b)～圖10(d))作為實(shí)驗(yàn)觀測(cè)進(jìn)行同化測(cè)試，最終同化結(jié)果如圖12～圖14所示。圖12為流向速度的平均場(chǎng)云圖，由圖可得，相比于實(shí)驗(yàn)結(jié)果(圖10 (b)～圖10 (d)，圖13綠色圓點(diǎn))，兩種數(shù)據(jù)同化算法計(jì)算收斂較好，未觀察到分離泡依附失真現(xiàn)象。然而，仔細(xì)對(duì)比無(wú)誤差引入的連續(xù)伴隨模型(圖12(a)～圖12(c)中Adjoint結(jié)果，圖13 藍(lán)色實(shí)線)與耦合PIV誤差的同化模型(圖12(a)～圖12(c) 中Adjoint+結(jié)果，圖13紅色實(shí)線)，可以發(fā)現(xiàn)，原伴隨變分模型的預(yù)測(cè)結(jié)果在剪切層附近存在速度變化不光滑不連續(xù)現(xiàn)象，且對(duì)近壁面的流動(dòng)結(jié)果預(yù)測(cè)并不準(zhǔn)確。而耦合實(shí)驗(yàn)誤差修正的同化模型所得的流場(chǎng)速度曲線連續(xù)光滑，不存在較大的偏離值，與真實(shí)速度曲線分布(黑色圓點(diǎn))具有良好的一致性。圖14為平板流動(dòng)再附點(diǎn)位置以及流線圖對(duì)比結(jié)果，從圖中可以看出，由于采用不同的PIV互相關(guān)算法參數(shù)設(shè)置，引入了除實(shí)驗(yàn)誤差影響外的算法誤差，導(dǎo)致流場(chǎng)的再附點(diǎn)位置存在較大的偏差(圖14(a)～圖14(c)中PIV計(jì)算結(jié)果)，與真值4.43(圖9(a))相去甚遠(yuǎn)。采用原伴隨變分同化算法所得再附點(diǎn)的位置(圖14(a)～圖14 (c)中Adjoint結(jié)果)會(huì)貼合含有實(shí)驗(yàn)誤差和PIV算法誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)(圖14(a)～圖14(c)PIV計(jì)算結(jié)果)，并無(wú)明顯的改善優(yōu)化。而采用耦合PIV誤差的同化模型時(shí)(圖14(a)～圖14(c)中Adjoint+結(jié)果)，同化結(jié)果受PIV算法誤差干擾較小，其對(duì)再附點(diǎn)的位置預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確，并且對(duì)流動(dòng)模式預(yù)測(cè)良好，同化效果更好。

圖12 采用不同同化模型在不同PIV算法誤差下的同化結(jié)果云圖Fig.12 Contours of assimilated results with different errors induced by different PIV algorithms using different data assimilation methods

圖13 不同位置處流向速度對(duì)比曲線 (問(wèn)詢窗口：32×32)Fig.13 Transverse profiles of streamwise velocity at different locations (interrogation window: 32×32)

圖14 不同問(wèn)詢窗口設(shè)置下PIV和同化結(jié)果的流場(chǎng)流線圖及再附點(diǎn)位置分布Fig.14 Streamlines and location distribution of reattachment points determined by PIV and assimilated results obtained using different settings of interrogation windows

4 結(jié) 論

本文從粒子圖像互相關(guān)的基本原理出發(fā)，推導(dǎo)獲得反映PIV實(shí)驗(yàn)誤差分布規(guī)律的實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)，通過(guò)將其與連續(xù)伴隨算法耦合，優(yōu)化同化算法的目標(biāo)損失函數(shù)以提升算法的抗誤差干擾能力。為了驗(yàn)證所提算法的有效性和魯棒性，本文先對(duì)已知PIV流場(chǎng)植入合成誤差進(jìn)行同化對(duì)比測(cè)試，繼而對(duì)PIV互相關(guān)算法的不同參數(shù)設(shè)置所獲得的流場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比研究，可以得到以下結(jié)論：

1) 從粒子圖像互相關(guān)算法推導(dǎo)得到的PIV實(shí)驗(yàn)權(quán)重分布函數(shù)能定量反映PIV實(shí)驗(yàn)誤差分布規(guī)律，能與連續(xù)伴隨同化算法緊密耦合。

2) 在合成誤差同化測(cè)試中，原伴隨變分模型易受合成誤差干擾，無(wú)法進(jìn)行有效地同化，預(yù)測(cè)結(jié)果有悖物理規(guī)律。而耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的同化模型能夠顯著地降低合成誤差的干擾，提升求解收斂的穩(wěn)定性，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流場(chǎng)的真實(shí)信息。

3) 在由PIV互相關(guān)算法的不同參數(shù)設(shè)置所獲得的流場(chǎng)同化測(cè)試中，原伴隨變分模型無(wú)法精準(zhǔn)預(yù)測(cè)流場(chǎng)的細(xì)節(jié)，而耦合PIV實(shí)驗(yàn)誤差的同化模型可以降低PIV算法誤差的影響，對(duì)流場(chǎng)的預(yù)測(cè)結(jié)果較為準(zhǔn)確，貼近流場(chǎng)真實(shí)分布規(guī)律，細(xì)節(jié)還原度高。

在后續(xù)的研究工作中，本文將進(jìn)一步對(duì)所提算法的魯棒性和普適性進(jìn)行探究，如針對(duì)不同問(wèn)詢窗口、粒子濃度和粒子直徑等多參數(shù)耦合作用下的PIV流場(chǎng)進(jìn)行同化對(duì)比測(cè)試。同時(shí)開(kāi)展對(duì)瞬態(tài)流場(chǎng)的同化對(duì)比研究，分析速度脈動(dòng)、雷諾應(yīng)力等統(tǒng)計(jì)量的同化精度。