考慮組件保形約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化

郭文杰，朱繼宏，羅利龍，常亮

1. 中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安 710065

2. 西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072

近年來，拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)已經(jīng)逐漸成為結(jié)構(gòu)概念設(shè)計(jì)階段的一個(gè)重要方法，尤其在航空航天結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)中，發(fā)揮著重要的作用。飛行器日益嚴(yán)苛的服役環(huán)境對(duì)其結(jié)構(gòu)性能提出了更高的要求，大多數(shù)航空航天飛行器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)均可以抽象成由主承力結(jié)構(gòu)、支撐結(jié)構(gòu)以及儀器組件(稱組件或特征)等組成的復(fù)雜多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，而結(jié)構(gòu)構(gòu)型及儀器組件的布局都將對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生影響，尤其在儀器組件充當(dāng)傳力構(gòu)件的飛行器結(jié)構(gòu)中，這種耦合影響更為嚴(yán)重。

在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已被多數(shù)學(xué)者廣泛采用，一種較具代表性的設(shè)計(jì)方法是Zhu等提出的同時(shí)考慮組件布局及結(jié)構(gòu)拓?fù)涞恼w式結(jié)構(gòu)構(gòu)型設(shè)計(jì)，為解決這類結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，該團(tuán)隊(duì)先后提出了有限包絡(luò)圓方法(Finite Circle Method，F(xiàn)CM)和多點(diǎn)約束技術(shù)(Multi-Point Constraints，MPC)，分別用以避免組件之間發(fā)生干涉和實(shí)現(xiàn)組件與支撐結(jié)構(gòu)之間的工程連接(焊接、膠接、螺栓連接等)。另外一種多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)則基于水平集方法(Level-set Method)，該方法將組件設(shè)備及其設(shè)計(jì)區(qū)域用一系列水平集函數(shù)描述，為了處理組件非干涉約束函數(shù)，一般通過計(jì)算描述不同組件的數(shù)學(xué)函數(shù)之間的相交面積來計(jì)算組件發(fā)生干涉的情況，通過強(qiáng)制相交面積大于0，實(shí)現(xiàn)組件不發(fā)生干涉。當(dāng)組件設(shè)備為壓電驅(qū)動(dòng)器等功能組件時(shí)，Wang等提出一種整體式(Integral-type)的約束函數(shù)，這種整體式的約束函數(shù)能夠有效處理壓電驅(qū)動(dòng)器之間、驅(qū)動(dòng)器與設(shè)計(jì)區(qū)域邊界之間的干涉問題，其對(duì)于嵌入式組件系統(tǒng)布局優(yōu)化問題具有重要的參考價(jià)值。為了有效控制不同組件之間不發(fā)生干涉，Kang 等提出了基于虛擬邊界的最小距離約束方法，可有效解決組件干涉問題。隨著結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜程度的增加，組件設(shè)備日益增多，這就將引入大量的組件干涉約束，為此，相關(guān)研究團(tuán)隊(duì)又提出了一系列處理大規(guī)模約束函數(shù)的約束凝聚策略，如P范數(shù)、KS(Kresselmeier-Steinhauser)、懲罰函數(shù)(Penalty function)等方法，均取得了較好的應(yīng)用。

使用拓?fù)鋬?yōu)化方法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特征形狀、幾何及變形控制的問題一直以來都是科研人員關(guān)注的熱點(diǎn)之一。早期，Maute和Allen基于拓?fù)鋬?yōu)化方法，通過控制節(jié)點(diǎn)位移的方式，在優(yōu)化機(jī)翼加筋布局時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)外形的有效維持。類似的，Li、Huang以及Qiao等，以節(jié)點(diǎn)位移為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造不同的控制函數(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)的變形控制。也有學(xué)者通過控制節(jié)點(diǎn)位移，應(yīng)用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)構(gòu)保證輸出端理想變形的同時(shí)使結(jié)構(gòu)保持一定的剛度。Zuo和Xie通過控制全局最大位移最小化，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)總體及局部區(qū)域的變形控制，以保證相應(yīng)型面的設(shè)計(jì)要求。實(shí)際上，在飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中，存在諸多具有形狀精度要求的功能型面，這類結(jié)構(gòu)不允許發(fā)生大的變形或僅允許發(fā)生小幅度的彈性變形，為控制這些功能型面的外形精度，需要對(duì)其翹曲變形進(jìn)行抑制，以多點(diǎn)位移約束進(jìn)行控制是常見的變形控制方法，為提高功能形變的變形控制精度，需要提取并控制若干關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移，為實(shí)現(xiàn)對(duì)大量節(jié)點(diǎn)位移約束的控制，Qiao和Liu提出采用類似于P范數(shù)構(gòu)造的節(jié)點(diǎn)位移約束處理方法以實(shí)現(xiàn)對(duì)型面總體外形的有效控制。

上述對(duì)型面變形進(jìn)行控制的研究大多以單個(gè)或多個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移作為設(shè)計(jì)約束，通過控制關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)行形狀控制。但當(dāng)功能型面或特征組件變形精度要求過高，則需要提取較多關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，這將為優(yōu)化問題的求解帶來一定的困難。尤其當(dāng)功能型面或特征組件本身是在設(shè)計(jì)空間可動(dòng)的區(qū)域時(shí)，由于功能型面或特征組件本身的位移既包含布局空間內(nèi)的剛體位移，同時(shí)也包含型面本身的彈性變形，這時(shí)則較難通過控制關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移實(shí)現(xiàn)對(duì)可動(dòng)型面或特征組件的變形控制。為抑制結(jié)構(gòu)局部區(qū)域的翹曲變形，Zhu等提出了一種新的以保形區(qū)域應(yīng)變能描述的保形設(shè)計(jì)方法，其研究中將固定區(qū)域設(shè)置為保形區(qū)域，通過控制保形區(qū)域的彈性應(yīng)變能實(shí)現(xiàn)了對(duì)相關(guān)區(qū)域的保形設(shè)計(jì)。該研究中同時(shí)給出了考慮多點(diǎn)位移保形及通過應(yīng)變能定義保形約束的對(duì)比，結(jié)果表明，以多點(diǎn)位移約束定義的保形，優(yōu)化結(jié)果對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移控制得較好，但保形區(qū)域總體較通過應(yīng)變能定義保形仍然存在較大的局部翹曲變形。其研究成果成功地解決了飛機(jī)風(fēng)擋保形設(shè)計(jì)問題。在Zhu等研究工作的啟發(fā)下，Castro 等將這種保形設(shè)計(jì)方法擴(kuò)展到動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域并開展了類似的研究。

隨著飛行器性能的不斷升級(jí)，其結(jié)構(gòu)輕量化、緊湊化、一體化的要求也變得十分苛刻。然而，大多數(shù)情況下，功能組件均不允許發(fā)生大的變形以維持其外形及使用性能。以機(jī)載穩(wěn)瞄結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為例，光具座結(jié)構(gòu)支撐著光學(xué)儀器以完成探測(cè)瞄準(zhǔn)的任務(wù)，這類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的布局設(shè)計(jì)是典型的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題?，F(xiàn)有設(shè)計(jì)手段在考慮支撐結(jié)構(gòu)材料拓?fù)洳季值耐瑫r(shí)需要布置各個(gè)光學(xué)儀器的空間位置，這就要求具有精度要求的光學(xué)儀器不能發(fā)生過大的有害變形。上述問題是典型的需要考慮組件保形要求的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，但從目前的研究中很少見到學(xué)者在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮組件保形的要求。

本工作受Zhu及Li等的啟發(fā)，在多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)中引入組件保形約束，使用參與布局優(yōu)化的組件的應(yīng)變能描述其翹曲變形程度，建立了基于拓?fù)鋬?yōu)化的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)保形優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了引入組件設(shè)備后設(shè)計(jì)目標(biāo)、設(shè)計(jì)約束的靈敏度，通過約束該應(yīng)變能的量值實(shí)現(xiàn)對(duì)組件彈性變形的量化控制，討論了組件保形約束與整體剛度之間的關(guān)系，引入系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束，實(shí)現(xiàn)了考慮組件保形約束的典型多組件系統(tǒng)拓?fù)洳季謨?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 理論基礎(chǔ)及優(yōu)化設(shè)計(jì)模型定義

本節(jié)首先給出考慮組件保形約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)理論，包括組件保形約束的定義、組件之間干涉約束的描述以及組件與其支撐結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系模擬等，然后給出考慮組件保形約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。

1.1 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中組件的保形約束

以傳統(tǒng)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，本節(jié)給出組件保形約束的定義。

圖1給出了傳統(tǒng)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)示意圖，其中表示結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)區(qū)域，和分別表示參與布局優(yōu)化的組件。受外載荷作用的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化中，組件參與傳載，如圖1(b)所示的組件發(fā)生了較為明顯的彈性變形，其中組件的虛線輪廓表示理想狀態(tài)下無任何變形發(fā)生，實(shí)線輪廓表示實(shí)際發(fā)生變形的情況。如果對(duì)組件的變形不加約束，優(yōu)化設(shè)計(jì)最終很可能得到組件變形很大的結(jié)果，而實(shí)際工作中，只允許該組件發(fā)生微小變形。

圖1 傳統(tǒng)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化示意圖Fig.1 Schematic diagram of traditional integrated layout and topology optimization design of multi-component system

實(shí)際上，組件在參與布局過程中除發(fā)生剛體位移外，還發(fā)生了彈性變形，這兩部分位移的合成構(gòu)成了組件最終的幾何位置及形狀。這樣一來，可以得到：

=R+W

(1)

式中：表示組件的總體位移向量；R表示對(duì)應(yīng)組件的剛體位移向量；W表示該組件的彈性變形位移向量。其中，剛體位移不會(huì)帶來額外的系統(tǒng)應(yīng)變能變化，而彈性變形則不同，會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生應(yīng)變能的改變。

本文提出的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的保形設(shè)計(jì)即有效抑制式(1)中的組件彈性變形位移。受Zhu等的啟發(fā)，本文使用參與保形設(shè)計(jì)的組件彈性應(yīng)變能函數(shù)描述其變形程度。因此，組件的應(yīng)變能可以寫為

(2)

式中：表示組件的應(yīng)變能，為應(yīng)變能標(biāo)識(shí)；W表示組件的剛度矩陣。這樣，為考核參與保形設(shè)計(jì)的組件變形程度，可以使用式(2)中的函數(shù)，要控制組件的變形，只需約束該函數(shù)值即可。實(shí)際上，通過式(2)定義的保形設(shè)計(jì)區(qū)域的彈性應(yīng)變能函數(shù)，過濾掉了因組件設(shè)備在空間發(fā)生位置改變而產(chǎn)生的剛體位移。對(duì)于經(jīng)典的以系統(tǒng)總體彈性應(yīng)變能最小化或總體剛度最大化為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題，可以看作是結(jié)構(gòu)保形設(shè)計(jì)的特例，其保形約束升級(jí)為總體變形能最小化。

理論上講，若組件設(shè)備完全不發(fā)生彈性變形，則式(2)所描述的結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為0，但在這種協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于組件參與了傳力路徑的布置，因此，組件設(shè)備必定會(huì)產(chǎn)生一定的彈性變形，只是變形程度因其承載不同而不同。為適應(yīng)工程需求，本工作給出以下保形約束：

≤

(3)

式中：為大于0的較小應(yīng)變能上限，當(dāng)保形組件的應(yīng)變能滿足式(3)要求時(shí)，認(rèn)為達(dá)到了保形設(shè)計(jì)的要求。

為進(jìn)一步說明組件保形設(shè)計(jì)約束，圖2 給出保形設(shè)計(jì)區(qū)域的位移向量示意圖，其中虛線表示未變形的區(qū)域邊界，實(shí)線及陰影表示變形后的區(qū)域。圖2(a)表示保形區(qū)域(或組件)的總體位移，圖2(b)表示保形區(qū)域的剛體位移，圖2(c)表示保形區(qū)域的翹曲或局部彈性變形位移。對(duì)于多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，希望抑制的是圖2(c)中所示的翹曲變形。這時(shí)，為抑制翹曲變形位移，不能將保形組件的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)位移直接作為設(shè)計(jì)約束施加，因?yàn)槟菚?huì)在限制保形組件翹曲變形的同時(shí)將組件約束在空間固定位置，即翹曲變形及剛體位移同時(shí)被限制。

圖2 保形設(shè)計(jì)區(qū)域位移向量示意圖[22]Fig.2 Schematic diagram of displacement vectors of shape-preserving design domain

實(shí)際上，在不考慮組件空間位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過節(jié)點(diǎn)位移控制區(qū)域保形是最直接的保形設(shè)計(jì)方法，但以節(jié)點(diǎn)位移為設(shè)計(jì)約束進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，保形區(qū)域內(nèi)未設(shè)置為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)則會(huì)產(chǎn)生不理想的變形，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)局部區(qū)域仍然會(huì)存在一定程度翹曲或拉扯變形。文獻(xiàn)[22]中對(duì)以應(yīng)變能定義保形及以關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)位移定義保形進(jìn)行了詳細(xì)的討論，圖3引用其結(jié)果進(jìn)行說明，其中，陰影區(qū)域的方塊表示保形設(shè)計(jì)區(qū)域，其中圖3(a)為采用陰影區(qū)域應(yīng)變能描述保形設(shè)計(jì)的結(jié)果，圖3(b)為以四邊形陰影區(qū)域四個(gè)角點(diǎn)位移定義保形設(shè)計(jì)的結(jié)果。

圖3 采用應(yīng)變能和多節(jié)點(diǎn)位移定義的保形設(shè)計(jì)結(jié)果[22]Fig.3 Shape-preserving design results obtained by strain energy and multi-point displacements[22]

圖4給出了文獻(xiàn)[22]中采用局部區(qū)域應(yīng)變能及局部區(qū)域角點(diǎn)控制保形所得保形區(qū)域位移變形情況。其中虛線表示未發(fā)生變形的保形區(qū)域，陰影表示實(shí)際變形情況。可見，采用控制角點(diǎn)位移開展保形設(shè)計(jì)時(shí)，相應(yīng)的被約束的節(jié)點(diǎn)位移可以得到有效控制，但是整個(gè)區(qū)域的變形控制情況并不理想。為實(shí)現(xiàn)對(duì)局部區(qū)域總體保形的設(shè)計(jì)，可以通過加密控制點(diǎn)等方式實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[22]中對(duì)控制多點(diǎn)位移及局部區(qū)域應(yīng)變能的情況做了較為詳細(xì)的討論，這里不再贅述。

圖4 采用應(yīng)變能和多節(jié)點(diǎn)位移定義的保形設(shè)計(jì)結(jié)果變形[22]Fig.4 Deformation of shape-preserving design results obtained by strain energy and multi-point displacements[22]

1.2 幾何約束及連接關(guān)系模擬

多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化中的一個(gè)主要難點(diǎn)在于如何有效避免組件設(shè)備之間、組件設(shè)備與設(shè)計(jì)區(qū)域邊界之間的干涉。前期相關(guān)學(xué)者對(duì)此開展了大量的研究，其中由Zhang和Zhu提出的有限包絡(luò)圓方法(FCM)被證明能夠很好地處理組件之間的干涉問題。這種方法使用一系列圓(三維空間為球)描述組件設(shè)備的外形輪廓，通過計(jì)算不同的圓之間的距離判斷并計(jì)算組件之間的干涉情況。

圖5給出了使用有限包絡(luò)圓方法描述的組件及其設(shè)計(jì)區(qū)域邊界的近似，其中虛線表示有限包絡(luò)圓的外形，實(shí)線表示組件或設(shè)計(jì)區(qū)域邊界。使用有限包絡(luò)圓方法避免組件發(fā)生干涉的基本表達(dá)式可以寫為

圖5 多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)有限包絡(luò)圓劃分示意圖Fig.5 Schematic diagram of approximation of multi-component system by FCM

(4)

引入組件設(shè)備后，多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化中涉及到組件設(shè)備與其支撐結(jié)構(gòu)之間的連接模擬，這類問題已有諸多學(xué)者做了一系列研究，這里僅介紹本文采用的基于多點(diǎn)約束技術(shù)(MPC)的組件設(shè)備與其支撐結(jié)構(gòu)之間的連接關(guān)系的模擬。

圖6給出了多點(diǎn)約束模擬連接的有限元模型，深色部分表示組件，淺色部分表示支撐結(jié)構(gòu)。

圖6 多點(diǎn)約束技術(shù)示意圖Fig.6 Schematic diagram of MPC method

圖7 多點(diǎn)約束技術(shù)詳細(xì)描述Fig.7 Detailed illustration of MPC method

(5)

需要指出，多點(diǎn)約束方程是節(jié)點(diǎn)位移的線性組合，多個(gè)多點(diǎn)約束方程和邊界條件方程可以統(tǒng)一寫為

=

(6)

式中：是由結(jié)構(gòu)單元的形狀函數(shù)、多點(diǎn)約束位置、邊界條件共同決定的系數(shù)矩陣；為多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體位移向量。需要說明，本工作中組件設(shè)備在布局空間內(nèi)尋優(yōu)，每到達(dá)一個(gè)新的位置，該位置處的整個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)均滿足式(6)，這個(gè)特點(diǎn)將在后續(xù)求解靈敏度的過程中用到。

1.3 系統(tǒng)質(zhì)心位置約束

工程結(jié)構(gòu)中，尤其是光學(xué)儀器結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，光學(xué)元件往往占據(jù)整個(gè)設(shè)備組件80%左右的質(zhì)量，光學(xué)元件在安裝平臺(tái)上的布局將對(duì)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生重要影響，因此，本工作在考慮組件設(shè)備保形約束的同時(shí)，將系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束引入。包含組件設(shè)備、支撐結(jié)構(gòu)的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通過杠桿原理可以得到其系統(tǒng)的質(zhì)心位置表達(dá)式為

(7)

式中：、分別表示組件、設(shè)計(jì)域單元的質(zhì)量(本工作中所有結(jié)構(gòu)單元均為設(shè)計(jì)域單元)；[]為系統(tǒng)質(zhì)心位置；[]、[]分別表示組件及設(shè)計(jì)域單元的質(zhì)心位置。

式(7)可寫為

(8)

系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束可表示為

(9)

式中：、(=1,2,3)表示相應(yīng)坐標(biāo)分量在全局坐標(biāo)系下的約束范圍。

1.4 優(yōu)化模型

引入多點(diǎn)約束后，修訂后的系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)為

(10)

式中：為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣；為總體位移向量；和分別表示節(jié)點(diǎn)載荷和拉格朗日乘子向量。駐點(diǎn)處的歐拉公式可寫為

(11)

求解式(11)可得到及。更多的關(guān)于多點(diǎn)約束技術(shù)的細(xì)節(jié)可參見文獻(xiàn)[8]。

優(yōu)化設(shè)計(jì)中涉及到兩類設(shè)計(jì)變量，即：組件布局、結(jié)構(gòu)拓?fù)洌布?/p>

(12)

式中：(,,)表示組件的平動(dòng)位置及轉(zhuǎn)動(dòng)角度設(shè)計(jì)變量；為結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)區(qū)域單元的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量；、分別為組件數(shù)目和結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)域單元數(shù)目。這里使用Zhu等提出的多項(xiàng)式插值模型對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)單元進(jìn)行材料插值。

(13)

其中：、分別為拓?fù)湓O(shè)計(jì)域單元的質(zhì)量和楊氏模量；0、分別為設(shè)計(jì)域單元滿材料時(shí)的質(zhì)量和楊氏模量；為懲罰因子，為插值參數(shù)，本文中和的取值分別為4和16。

給定支撐結(jié)構(gòu)材料用量上限，以系統(tǒng)的剛度最大化為目標(biāo)開展優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過引入可動(dòng)組件的保形設(shè)計(jì)約束，可以得到以下目標(biāo)函數(shù)及約束：

(14)

式中：和分別表示支撐結(jié)構(gòu)的用量分?jǐn)?shù)及其上限；和分別表示組件所代表的區(qū)域及支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)區(qū)域，這種幾何設(shè)計(jì)約束可以很方便地用前文提到的FCM進(jìn)行描述。

引入質(zhì)心位置約束后，系統(tǒng)還需滿足式(9)。

2 靈敏度求解

2.1 目標(biāo)函數(shù)靈敏度

在使用基于梯度信息的優(yōu)化算法時(shí)，需要提供設(shè)計(jì)目標(biāo)及設(shè)計(jì)約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度信息。在現(xiàn)有多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)目標(biāo)，即系統(tǒng)的應(yīng)變能函數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量及組件設(shè)備空間位置設(shè)計(jì)變量的靈敏度信息可以很容易地獲得，具體可參見文獻(xiàn)[2,28]，本文不再詳細(xì)敘述。

2.2 組件保形約束靈敏度

本節(jié)重點(diǎn)介紹組件保形設(shè)計(jì)約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度求解過程。保形設(shè)計(jì)約束函數(shù)形如式(2)，這里分別給出其對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量及組件幾何位置設(shè)計(jì)變量的靈敏度。

2.2.1 保形約束對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度

式(2)兩端同時(shí)對(duì)編號(hào)為的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)數(shù)可得：

(15)

由于結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量與組件設(shè)備的結(jié)構(gòu)剛度無關(guān)，所以組件設(shè)計(jì)的剛度矩陣對(duì)支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度為0，因此式(15)可以簡(jiǎn)化為

(16)

事實(shí)上，組件設(shè)備的位移向量是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總體位移向量的一部分，可以通過引入轉(zhuǎn)換矩陣，以總體位移向量的形式表示：

W=

(17)

這樣，式(16)可以寫為

(18)

式(11)中第一項(xiàng)對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度為

(19)

式中：節(jié)點(diǎn)載荷可以寫成=+形式，和分別表示設(shè)計(jì)無關(guān)及設(shè)計(jì)相關(guān)載荷。由于系數(shù)矩陣與拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量無關(guān)，因此其對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度為0。式(19)可以寫為

(20)

式(20)可以表示為

(21)

為避免對(duì)剛度矩陣的直接求逆運(yùn)算，這里引入伴隨法進(jìn)行求解，記伴隨向量為，可得

(22)

實(shí)際上，對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)而言，有

=

(23)

這就意味著，伴隨位移向量可以看作是在總體結(jié)構(gòu)上施加伴隨載荷后，通過一次有限元分析得到的。這樣一來，式(21)所示的保形設(shè)計(jì)約束對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度可以寫為

(24)

式(24)中和對(duì)設(shè)計(jì)變量的靈敏度可以很容易地得到。注意到當(dāng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)施加伴隨向量載荷時(shí)，系統(tǒng)仍然滿足式(11)中第二個(gè)方程，只不過此時(shí)的位移向量是，即系統(tǒng)滿足=。因此，式(24)就可以化簡(jiǎn)為

(25)

這樣就求得了保形設(shè)計(jì)約束對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)區(qū)域拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度。

2.2.2 保形約束對(duì)組件幾何位置設(shè)計(jì)變量的靈

敏度

下面求解保形設(shè)計(jì)約束對(duì)組件幾何位置設(shè)計(jì)變量的靈敏度解析表達(dá)式。

本工作中為與組件位置(包括平動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)變量)無關(guān)的量，根據(jù)多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的平衡方程可以得到：

(26)

保形設(shè)計(jì)約束對(duì)組件幾何位置設(shè)計(jì)變量的靈敏度為

(27)

應(yīng)用前述用到的伴隨向量以及位移向量轉(zhuǎn)換矩陣，式(26)可以被寫為

(28)

這樣，式(27)中等號(hào)右側(cè)第一項(xiàng)可以表示為

(29)

當(dāng)表示組件的平動(dòng)坐標(biāo)設(shè)計(jì)變量時(shí)，組件的剛度矩陣對(duì)其平動(dòng)坐標(biāo)的靈敏度為0,式(27)中等號(hào)右側(cè)第二項(xiàng)即為0,這樣，保形設(shè)計(jì)約束對(duì)組件設(shè)備幾何平動(dòng)設(shè)計(jì)變量的靈敏度即可表示為

(30)

利用=，式(30)可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(31)

如果表示組件設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)計(jì)變量，相應(yīng)組件的剛度矩陣可以寫為

(32)

(33)

聯(lián)合式(32)，可以很容易地得到組件保形設(shè)計(jì)約束對(duì)組件轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)計(jì)變量的靈敏度。

2.3 質(zhì)心位置約束靈敏度

式(8)兩端同時(shí)對(duì)第個(gè)設(shè)計(jì)域單元的拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量求偏導(dǎo)可得

(34)

式(34)變形可得

(35)

將式(13)代入到式(35)可得

(36)

類似地，系統(tǒng)質(zhì)心位置對(duì)組件幾何位置設(shè)計(jì)變量的靈敏度可以很方便地求解。需要指出的是，本工作中，由于組件的轉(zhuǎn)動(dòng)中心及平動(dòng)參考中心定義在組件質(zhì)心上，因此，組件轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)改變組件的質(zhì)心位置。這樣一來，系統(tǒng)質(zhì)心對(duì)組件轉(zhuǎn)動(dòng)幾何設(shè)計(jì)變量的靈敏度即為0。假定是某個(gè)組件的一個(gè)平行移動(dòng)設(shè)計(jì)變量，那么式(8)兩端同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)可得

(37)

式(37)中，如果=，則式(37)可以寫為

(38)

同樣道理，如果=，則式(37)可以寫成為

(39)

本工作中，組件只在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故組件的運(yùn)動(dòng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)向質(zhì)心分量無影響。

2.4 其他約束函數(shù)的靈敏度求解

對(duì)于設(shè)計(jì)域材料用量約束，其對(duì)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的靈敏度為常數(shù)，對(duì)各組件幾何設(shè)計(jì)變量的靈敏度均為0。

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過數(shù)值算例驗(yàn)證本文提出的考慮組件保形約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性，采用全局收斂的移動(dòng)漸近線方法(Globally Convergent Method of Moving Asymptotes，GCMMA)為優(yōu)化算法，優(yōu)化問題以目標(biāo)函數(shù)變化小于0.02%為收斂判據(jù)。首先不考慮組件的保形設(shè)計(jì)約束，通過算例驗(yàn)證有限包絡(luò)圓方法及多點(diǎn)約束方法在解決多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化中的有效性，隨后將組件保形設(shè)計(jì)約束引入，對(duì)簡(jiǎn)化的掛架系統(tǒng)開展支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)?組件設(shè)備布局協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)，研究了不同保形設(shè)計(jì)約束、系統(tǒng)質(zhì)心位置等因素對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，并在數(shù)值算例中對(duì)組件保形設(shè)計(jì)約束的取值進(jìn)行了定量分析。

3.1 考慮組件保形約束的掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)

考慮如圖8所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)，兩個(gè)分別標(biāo)記為和的組件在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)按圖布置，拓?fù)湓O(shè)計(jì)域?yàn)?.5 m×0.6 m的矩形區(qū)域，厚度為 0.02 m，左端施加固定邊界條件，下端在距固定端0.75 m、1.50 m處均施加水平向右、豎直向下的 1 000 N的集中力。設(shè)計(jì)域內(nèi)，按圖8所示安放兩個(gè)組件，每個(gè)組件與設(shè)計(jì)域之間通過多點(diǎn)約束技術(shù)建立剛性連接，圖9給出了組件的外形及其有限包絡(luò)圓近似。設(shè)計(jì)區(qū)域及組件的材料屬性見表1。

圖8 懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.8 Schematic diagram of cantilever system

圖9 懸臂梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)組件外形及包絡(luò)圓描述Fig.9 Shape and FCM approximation of components in cantilever system

表1 懸臂梁結(jié)構(gòu)材料屬性Table 1 Material properties of cantilever system

首先，為驗(yàn)證有限包絡(luò)圓法及多點(diǎn)約束技術(shù)的有效性，將組件設(shè)備的初始位置設(shè)為相互干涉并進(jìn)行計(jì)算，暫不引入組件設(shè)備的保形設(shè)計(jì)約束，約束設(shè)計(jì)區(qū)域材料用量比上限0.4，以結(jié)構(gòu)總體應(yīng)變能最小為目標(biāo)，開展考慮支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)?組件設(shè)備布局的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)。其初始布局如圖10所示，其中虛線部分表示兩個(gè)組件之間相互干涉。需要說明的是，組件之間相互干涉不會(huì)影響組件與支撐結(jié)構(gòu)之間的連接。為詳細(xì)說明有限包絡(luò)圓法及多點(diǎn)約束技術(shù)的有效性，這里給出初始干涉布局情況下的優(yōu)化迭代過程。

圖10 組件干涉布局示意圖Fig.10 Schematic diagram of overlapping layout of component

分析圖11所示的過程，可見，雖然初始組件設(shè)備發(fā)生了一定程度的干涉，但是隨著優(yōu)化的進(jìn)行，相互干涉的組件設(shè)備很快便分離開來，同時(shí)支撐結(jié)構(gòu)也逐漸變得清晰，自第6次迭代之后，組件設(shè)備未發(fā)生任何干涉，優(yōu)化過程中，組件設(shè)備始終通過預(yù)先設(shè)定好的連接位置，與支撐結(jié)構(gòu)之間相互連接，以保證與其支撐結(jié)構(gòu)共同承載。這進(jìn)一步說明了本工作中采用的有限包絡(luò)圓方法及多點(diǎn)約束技術(shù)在處理多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)工作中的有效性。實(shí)際上，對(duì)于包含大量組件設(shè)備的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化問題，以有限包絡(luò)圓描述的干涉約束數(shù)目將會(huì)激增，這與干涉約束數(shù)量不多的(十?dāng)?shù)個(gè)，如本文所示算例)優(yōu)化問題相比，雖然均以有限包絡(luò)圓方法描述，但為適應(yīng)梯度優(yōu)化算法，干涉約束處理方法卻大有不同，針對(duì)此類多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，文獻(xiàn)[2]提出了處理大量干涉約束的可行方法。

圖11 組件干涉布局優(yōu)化過程Fig.11 Optimization procedure of overlapping layout of component

圖12 不考慮組件保形約束得到的優(yōu)化結(jié)果Fig.12 Optimized result without shape-preserving design constraints of components

為顯示組件設(shè)備的變形情況，圖13 給出了上述優(yōu)化結(jié)果中組件設(shè)備的變形云圖。其中，虛線表示組件未發(fā)生彈性變形時(shí)的輪廓形狀。可見由于組件處在承載較為嚴(yán)重的傳力位置，承載后組件發(fā)生了較為嚴(yán)重的變形，組件已經(jīng)呈現(xiàn)出一定的扭曲，組件受載相對(duì)較小，但仍存在一定的變形。

圖13 不考慮組件保形約束下組件的變形情況Fig.13 Deformation of components without shape-preserving design constraints

圖14 引入組件保形約束后的優(yōu)化結(jié)果Fig.14 Optimized result with shape-preserving design constraints of components

同樣地，對(duì)于上述引入組件保形設(shè)計(jì)約束后的結(jié)果，本文提取組件的變形情況，圖15 給出了該結(jié)果下組件設(shè)備的布局方案及變形云圖。從圖中可以看出，引入組件保形設(shè)計(jì)約束后，為滿足保形設(shè)計(jì)要求，優(yōu)化過程中，組件避開了主傳力路徑，其變形明顯減小，這也說明引入組件的保形設(shè)計(jì)約束后組件的變形會(huì)得到抑制，為了維持組件設(shè)備的形狀，支撐結(jié)構(gòu)對(duì)組件呈現(xiàn)出一種“繞行”或“包圍”的狀態(tài)，也即達(dá)到了保護(hù)組件形狀的目的，即保形。

圖15 考慮組件保形約束下組件的變形情況Fig.15 Deformation of components with shape-preserving design constraints

3.2 不同保形約束下的掛架結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖16 組件保形約束取不同值時(shí)的布局優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.16 Layout optimization design results with different ratios of

圖17 組件保形約束與系統(tǒng)總體應(yīng)變能之間的關(guān)系Fig.17 Relationship between different and global strain energy

由圖17可知，隨著組件設(shè)備保形設(shè)計(jì)約束的加強(qiáng)，即保形約束值減小，系統(tǒng)總體彈性應(yīng)變能逐漸增大，組件設(shè)備的保形設(shè)計(jì)約束與系統(tǒng)總體應(yīng)變能之間存在此消彼長(zhǎng)的關(guān)系，即當(dāng)組件保形約束收緊(取較小值)時(shí)，系統(tǒng)總體應(yīng)變能會(huì)相對(duì)較大，也即犧牲總體性能以滿足組件設(shè)備的保形設(shè)計(jì)要求。

從圖18可見，引入組件的保形設(shè)計(jì)約束可以弱化組件設(shè)備的承載，從優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果上可以看出，引入組件保形設(shè)計(jì)約束后，組件設(shè)備周圍的支撐材料增多，呈現(xiàn)出“保衛(wèi)組件”的分布形態(tài)。但支撐結(jié)構(gòu)材料用量分?jǐn)?shù)增加時(shí)，由于可用材料增多，引入組件設(shè)備保形設(shè)計(jì)約束后，組件設(shè)備周圍會(huì)分布更多的“保衛(wèi)組件”的支撐材料?？梢钥闯?，正是這種對(duì)組件的保衛(wèi)，使組件不易發(fā)生較大的變形，進(jìn)而達(dá)到組件保形設(shè)計(jì)的目的。實(shí)際上，關(guān)于組件設(shè)備保形設(shè)計(jì)約束的選取，本工作首先以一組不考慮組件保形約束的算例，確定其不加保形約束下的應(yīng)變能，隨后在考慮組件保形的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，引入組件保形應(yīng)變能約束，其上限以因子系數(shù)與不加保形約束時(shí)的應(yīng)變能的乘積確定，通過本工作的算例可見，因子系數(shù)取10%就已經(jīng)可以較好地抑制組件的彈性變形。本工作的主要目的是提出一種抑制組件變形的方法，具體因子系數(shù)的選擇還需要根據(jù)實(shí)際問題定奪。

圖18 不同材料用量下有/無組件保形約束的設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.18 Design results with and without component shape-preserving design constraint with different material usage

3.3 考慮系統(tǒng)質(zhì)心位置約束的掛架多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)保形優(yōu)化設(shè)計(jì)

在上述研究的基礎(chǔ)上，本節(jié)將質(zhì)心位置設(shè)計(jì)約束引入該掛架系統(tǒng)，考慮質(zhì)心位置約束、組件保形約束、材料用量設(shè)計(jì)約束作用下的掛架系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)。設(shè)定掛架系統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)材料用量分?jǐn)?shù)上限為0.5。

圖19 不含質(zhì)心約束優(yōu)化結(jié)果Fig.19 Optimized results without centroid constraint

隨后，在保證其余條件不變的情況下，施加并改變系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束進(jìn)行優(yōu)化。分別設(shè)置系統(tǒng)的質(zhì)心位置約束為0.65 m≤≤0.75 m、0.25 m≤≤0.30 m(記為質(zhì)心約束1)以及0.70 m≤≤0.80 m、0.20 m≤≤0.30 m(記為質(zhì)心約束2)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化后，系統(tǒng)滿足給定的組件保形設(shè)計(jì)約束及相應(yīng)的質(zhì)心位置約束，圖20直接給出上述兩種質(zhì)心位置約束下的計(jì)算結(jié)果。

圖20 含質(zhì)心約束優(yōu)化結(jié)果Fig.20 Optimized results with centroid constraint

由上述算例可見，引入質(zhì)心位置約束后，為滿足相應(yīng)的質(zhì)心位置約束，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中組件設(shè)備的布局位置及支撐材料分布均發(fā)生了一定的變化，由于組件保形設(shè)計(jì)約束的存在，支撐結(jié)構(gòu)仍然呈現(xiàn)出環(huán)繞組件的態(tài)勢(shì)，并且保證系統(tǒng)滿足相應(yīng)的質(zhì)心位置約束。

4 結(jié) 論

1) 采用有限包絡(luò)圓方法描述設(shè)計(jì)區(qū)域及組件邊界，采用多點(diǎn)約束技術(shù)模擬組件設(shè)備與支撐結(jié)構(gòu)之間的螺栓、鉚釘、粘接等連接，對(duì)于采用阻尼器、減震器等非剛性連接的航空機(jī)載穩(wěn)瞄、慣載系統(tǒng)布局優(yōu)化問題，在不考慮連接件本身特性的情況下，初始布局階段采用多點(diǎn)約束技術(shù)可近似模擬組件設(shè)備與支撐結(jié)構(gòu)之間的連接。

2) 提出了考慮組件保形要求的組件布局-結(jié)構(gòu)拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用組件設(shè)備的彈性應(yīng)變能作為定量描述組件彈性變形的依據(jù)，分析了采用多點(diǎn)位移及局部區(qū)域應(yīng)變能控制保形的差異，引入了系統(tǒng)質(zhì)心位置約束，推導(dǎo)了以彈性應(yīng)變能描述組件保形約束的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的靈敏度。

3) 研究了組件保形設(shè)計(jì)約束與多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的整體剛度之間的消長(zhǎng)關(guān)系，分析了組件保形設(shè)計(jì)約束、材料用量分?jǐn)?shù)、質(zhì)心位置約束等對(duì)多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，實(shí)現(xiàn)了考慮組件保形、材料用量分?jǐn)?shù)、質(zhì)心位置約束下的多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)，發(fā)展了多組件結(jié)構(gòu)系統(tǒng)布局優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。