基于zonotope的離散時間Markov跳變系統(tǒng)的狀態(tài)區(qū)間估計

荊苗苗，李曉航

(上海工程技術(shù)大學(xué) 電子電氣工程學(xué)院,上海 201600)

0 引 言

在大多數(shù)控制策略中，例如滑模控制[1-2]，自適應(yīng)控制[3]和其他一些控制方法[4]，準(zhǔn)確地估計系統(tǒng)狀態(tài)非常重要。然而，對于大多數(shù)系統(tǒng)來說，狀態(tài)的測量是困難的。因此，具有未知輸入系統(tǒng)的觀測器設(shè)計(通常稱為未知輸入觀測器(UIO))是現(xiàn)代控制理論中討論最重要和最有意義的問題之一。此外，基于混沌的安全通信設(shè)計中的外部干擾，執(zhí)行器故障或保密通信中的有效信息都可以視為系統(tǒng)的未知輸入。因此，未知輸入觀測器在許多領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用價值，包括容錯控制設(shè)計，故障診斷和隔離以及基于混沌同步的安全通信等[5-8]。自從20世紀(jì)70年代未知輸入觀測器被提出以來，已經(jīng)受到了學(xué)者們廣泛的關(guān)注，并提出了很多設(shè)計方法[9-12]。例如，文獻[9]在觀測器匹配條件不滿足的前提下，基于構(gòu)造輔助輸出的方法，提出一種狀態(tài)和未知輸入同時估計的未知輸入觀測器設(shè)計方法。文獻[10]針對過程和測量中均出現(xiàn)未知輸入的線性連續(xù)系統(tǒng)，提出了一種全階PI觀測器，不僅可以估計出系統(tǒng)狀態(tài)，還可以估計未知的輸入。文獻[11]考慮具有未知輸入不匹配的線性系統(tǒng)，通過引入未知輸入建模來解耦不匹配的未知輸入。

馬爾科夫跳變系統(tǒng)(Markov jump systems，MJS)是由幾個子系統(tǒng)或模態(tài)組成，這些子系統(tǒng)或模態(tài)可以從一種模態(tài)隨機切換到另一種模態(tài)。在實際應(yīng)用中，馬爾科夫跳變系統(tǒng)可以用來描述由系統(tǒng)受到外界干擾、元件故障或維修、突發(fā)環(huán)境因素干擾導(dǎo)致的隨機突變的情況。目前，馬爾科夫跳變系統(tǒng)在制造業(yè)控制系統(tǒng)、容錯系統(tǒng)、航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，并且在穩(wěn)定性分析[13]，控制器設(shè)計[14-15]，故障診斷和容錯控制[16]等方面取得了大量的研究成果。

集員估計可以有效地處理未知但有界的不確定性帶來的影響[17]。常用的幾何體有區(qū)間、橢球、平行多面體和中心對稱多胞體(zonotope)，其中基于中心對稱多胞體的方法因其計算量小，保守性低，從而吸引了很多學(xué)者的關(guān)注[18-21]。文獻[17]研究了集員估計在故障診斷和容錯控制上的應(yīng)用；文獻[18]提出了一種將未知輸入觀測器與集員方法相結(jié)合進行魯棒故障診斷的方法，通過解耦部分未知輸入對狀態(tài)估計大小的影響，從而降低魯棒狀態(tài)估計的保守性。此外，文獻[19]提出了一種基于zonotope的動態(tài)系統(tǒng)集成員方法，其中在求解凸優(yōu)化問題時，每個樣本區(qū)域的體積都達到最小。實際上，系統(tǒng)由于建模的不確定性、未知擾動以及測量噪聲的存在，會降低故障診斷的準(zhǔn)確性，從而造成一些無法估量的結(jié)果，而集員估計可以通過假設(shè)干擾和噪聲有界，利用幾何體近似可行集來有效地處理由魯棒估計產(chǎn)生的誤差，因此，本文考慮使用集員估計方法來估計誤差的區(qū)間，從而提供可靠的估計信息。

本文研究了離散馬爾科夫跳變系統(tǒng)在僅知道部分轉(zhuǎn)移概率邊界的情況下的狀態(tài)區(qū)間估計問題。首先，提出了一種新的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，其中每個轉(zhuǎn)移概率值是未知的，或者邊界是已知的。在此基礎(chǔ)上，提出了一種降維未知輸入觀測器的設(shè)計方法，分析系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性能并給出觀測器存在的充分條件。與已有的Markov跳變系統(tǒng)分析方法相比，本文所提出的方法更具有一般性和實用性。然后通過中心對稱多胞體計算出狀態(tài)的區(qū)間估計，所求得的系統(tǒng)的狀態(tài)值更加準(zhǔn)確。最后，通過數(shù)學(xué)仿真，驗證了該方法的有效性。

符號說明：對于矩陣A，AT和A⊥代表矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣和正交補，A>0(A<0)表示矩陣A為正定(負定)矩陣，He(A)用來表示He(A)=A+AT。文中的星號*表示對稱矩陣中相應(yīng)位置的轉(zhuǎn)置。

1 系統(tǒng)模型

考慮具有未知輸入的線性離散時間馬爾科夫跳變系統(tǒng)，即

(1)

(1)式中：xk∈Rn；uk∈Rm；yk∈Rp分別為狀態(tài)，輸入和輸出向量。dk∈Rq為未知輸入。矩陣A(rt)∈Rn×n,B(rt)∈Rn×m,D(rt)∈Rn×q和C(rt)∈Rp×n為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。{rk,k≥0}是在有限集R={1,2,…,N}內(nèi)的離散時間狀態(tài)的馬爾科夫過程，具有如下狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，即

Pr(rk+1=j|rk=i)=πij

(2)

在本文中，假設(shè)系統(tǒng)的一部分轉(zhuǎn)移概率是可量測的，因此，轉(zhuǎn)移概率矩陣∏的形式為

(3)

定義1一個m維中心對稱多胞體Z?Rn是超立方體Bm=[-1,1]m在R中的映射,即

Z=p⊕HBm={p+Hz:z∈Bm}

(4)

(4)式中：⊕表示閔可夫斯基和，常向量p∈Rn稱為Z的中心，H∈Rn×m稱為Z的生成矩陣，為了簡化，本文用〈p,H〉來描述中心對稱多胞體Z。

性質(zhì)1在中心對稱多胞體的運算中，有如下性質(zhì)：

〈p1,H1〉⊕〈p2,H2〉=〈p1+p2,[H1H2]〉

Le〈p,H〉=〈Lp,LH〉.

性質(zhì)2對于中心對稱多胞體Z，包圍它的最小間隔向量可以由Box(S)=[a,b]表示，其計算方式為

(5)

(5)式中：Hij是第i行第j列的元素。

為降低中心對稱多胞體的維數(shù)，本文采用文獻[22]中提到的一種約化算子方法，將中心對稱多胞體的階數(shù)降低到一個范圍內(nèi)。定義降階后的中心對稱多胞體為Res(H)，(6)式成立。

Z=〈p,H〉?〈p,Res(H)〉

(6)

(6)式中：Res(H)∈Rn×l是由文獻[22]提出的降階方法獲得的新生成的矩陣，n≤l≤m是中心對稱多胞體的最大階數(shù)。

假設(shè)1不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量初值，未知輸入均為未知但有界，且滿足

(7)

定義2[23]對于uk≡0，dk≡0，以及任意初始條件x0∈in和r0∈R，有

(8)

(8)式中：E表示數(shù)學(xué)期望，則系統(tǒng)(1)是隨機穩(wěn)定的。

引理1(Finsler引理)[24]對向量x∈Rn，矩陣L∈Rn×n和U∈Rn×m，以下描述等價：

①xTLx<0，?x≠0，U⊥x=0；

②U⊥L(U⊥)T<0；

③?Y∈Rm×n使得L+UY+YTUT<0；

其中，U⊥為任意滿足U⊥U=0的矩陣。

2 降維觀測器設(shè)計

針對系統(tǒng)(1)，本節(jié)將提出一種離散時間Markov跳變系統(tǒng)的降維觀測器設(shè)計方法，考慮系統(tǒng)(1)，當(dāng)rk=i，系統(tǒng)模型表示為

(9)

(9)式中：A(rt)、B(rt)、C(rt)、D(rt)分別由Ai、Bi、Ci、Di表示。

分解系統(tǒng)向量xk=[x1(k)x2(k)]T,其中，x1(k)∈Rp。同時分解(3)中的系數(shù)矩陣

(10)

(11)

(10)—(11)式中：Ai,11∈Rp×p,Bi,1∈Rp×m,Di,1∈Rp×q。

不失一般性，假設(shè)Ci=[Ip0]，可以得到

θ1(k)=x1(k)=y(k)

(12)

θ2(k)=[KiIn-p]x(k)=Kix1(k)+x2(k)=

Kiy(k)+x2(k)

(13)

由(13)式可知

θ2(k+1)=[KiIn-p]xk+1=

(KiAi,12+Ai,22)θ2(k)+

[(KiAi,11+Ai,21)+Ki(Ai,22-KiAi,12)]y(k)+

(KiBi,1+Bi,2)u(k)+(KiDi,1+Di,2)d(k)

(14)

設(shè)計如下降維觀測器系統(tǒng)：

(15)

(KiAi,12+Ai,22)ek+(KiDi,1+Di,2)dk

(16)

3 主要結(jié)論

考慮運用魯棒方法對系統(tǒng)(1)進行H∞性能分析。有如下定理。

定理1如果對于給定標(biāo)量γ>0，η和矩陣Gi∈R(n-p)×(n-p)，Wi∈R(n-p)×(n-p)，使得對于?i∈S，下列線性矩陣不等式成立：

(17)

(18)

(17)—(18)式中：

KiAi,12)};

φ2=ηGi(Di,2+KiDi,1);

δ1=-Pi+I+He{ηGi(Ai,22+KiAi,12)};

δ2=ηGi(Di,2+KiDi,1);

(19)

將(16)代入(19)可得

E[ΔV(ek,rk)]≤

(20)

(21)

(21)式中：

在零初始條件下，針對系統(tǒng)(3)，考慮以下函數(shù)，并引入如下的H∞性能指標(biāo)γ，定義函數(shù)

通過計算，進一步可得

(22)

(22)式中：

(23)

(24)

則

如果有Ωi,1<0和Ωi,2<0，可得

(25)

(26)

(25)—(26)式中：

根據(jù)引理1，(25)式和(26)式等價于存在矩陣Gi使得下式成立

(27)

(28)

定義

(29)

將(29)分別代入(27)和(28)式，可以得到

(30)

(31)

(30)—(31)式中：

φ2=ηGi(Di,2+KiDi,1)；

δ1=-Pi+I+He{ηGi(Ai,22+KiAi,12)}；

δ2=ηGi(Di,2+KiDi,1)；

注意GiKi=Wi.

(30)式、(31)式分別等價于(23)式、(24)式。由此，可以得到J≤V(e0,r0)，即在零初始條件下J≤0。定理1證明結(jié)束。

在得到狀態(tài)的估計后，定理2通過zonotope理論給出誤差e(k)的上下界，然后可以通過以下方式計算狀態(tài)的準(zhǔn)確間隔：

(32)

(33)

(33)式中：h=1,2,…,n,j=1,2,…,s，s是Hi(k)的列，Hi(k)滿足如下遞歸方程

ex(0)∈〈0,H0〉

由性質(zhì)1和誤差系統(tǒng)(16)可以推導(dǎo)出

e(k+1)∈Λ(k+1)=

(KiAi,12+Ai,22)⊙〈0,Hi(k)〉⊕

(KiDi,1+Di,2)⊙〈0,Hd〉

從而有

e(k+1)∈Λ(k+1)=〈0,(KiAi,12+

Ai,22)Hi(k)〉⊕〈0,(KiDi,1+Di,2)Hd〉=

〈0,[(KiAi,12+Ai,22)Hi(k) (KiDi,1+Di,2)Hd]〉

以此類推，可以得到

Λ(k+1)=

即Λ(k+1)=〈0,Hi(k+1)〉, 其中，

根據(jù)定義1和性質(zhì)2，可以得到誤差e(k)的邊界為

(h=1,2,…,n)

(34)

(34)式中：e(k)+，e(k)-代表e(k)的上界和下界。因此，狀態(tài)的區(qū)間估計計算如下

(35)

定理2證明結(jié)束。

4 仿 真

為了證明本文所提方法的有效性，考慮如下具有2個模態(tài)的數(shù)值Markov跳變系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)為

根據(jù)定理1，可以求得

P1=15.105 8,P2=172.581 1,

K1=-2.141 3,K2=-1.598 5,

W1=-106.359 7,W2=-92.423 5。

圖1 本文與文獻[15]的結(jié)果對比Fig.1 Comparison of the results in [15] with this paper

圖2 本文與文獻[15]的結(jié)果對比Fig.2 Comparison of the results in [15] with this paper

P1=1.396 1,P2=10.361 0,

K1=-1.960 3,K2=-0.747 5,

W1=-7.134 3,W2=-3.056 7。

仿真結(jié)果如圖3—圖4所示。由圖3—圖4可知，本文所提出的方法可以很好地適用于部分已知轉(zhuǎn)移概率的MJS，具有一般性和實用性。

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x1及其上下界的估計Fig.3 System state x1and estimation of its upper and lower bounds

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x2及其上下界的估計Fig.4 System state x2and estimation of its upper and lower bounds

5 總 結(jié)

本文針對存在未知輸入的線性離散系統(tǒng)，設(shè)計了一種基于未知輸入的降維觀測器。首先通過李亞普諾夫函數(shù)使設(shè)計的降維觀測器是可行的，基于中心對稱多胞體理論表示系統(tǒng)狀態(tài)的區(qū)間估計，并利用中心對稱多胞體的性質(zhì)來處理未知輸入的不確定性。然后通過所設(shè)計的降維觀測器估計出系統(tǒng)狀態(tài)的上下邊界。最后，通過一個數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。本文所提出的區(qū)間估計方法，由于中心對稱多胞體的計算量小，保守性低，使得系統(tǒng)的狀態(tài)估計更加準(zhǔn)確。但是本文只研究了線性離散系統(tǒng)的區(qū)間估計方法，如何將本文所提出的方法推廣到更具一般性的非線性系統(tǒng)中，是下一步要研究的方向。