基于中空三棱柱透鏡測(cè)量液相的擴(kuò)散系數(shù)

盧英杰，徐金輝，陳麗潔，吳科延，黃曼莉，羅國(guó)平，古 迪

(廣東石油化工學(xué)院 理學(xué)院，廣東 茂名 525000)

折射和擴(kuò)散現(xiàn)象在生活中十分常見(jiàn)，液相的折射率及擴(kuò)散系數(shù)是液相物質(zhì)的重要參量，借助液相折射率可了解液相的光學(xué)性能、濃度、色散和純度等性質(zhì)，而擴(kuò)散系數(shù)是描繪不同濃度的液相之間的質(zhì)量傳遞行為的物理量，反映了物質(zhì)分子或原子等擴(kuò)散速率的大小，在化學(xué)電池、生物燃料、生物化學(xué)和細(xì)胞生物學(xué)等科學(xué)及工程領(lǐng)域均有著重要應(yīng)用[1-4]. 擴(kuò)散系數(shù)可基于菲克第二定律間接求解由溶液擴(kuò)散引起的濃度變化而得，該方法屬于通過(guò)分析測(cè)量溶液濃度變化而得到擴(kuò)散系數(shù)的非穩(wěn)態(tài)測(cè)量法[5]，其測(cè)量結(jié)果較為準(zhǔn)確. 常用于液體折射率測(cè)量方法包括阿貝折射儀測(cè)試法[6]、激光折射法[7-9]和等高度測(cè)量法[5,10]等. 本文在高等測(cè)量法的基礎(chǔ)上，利用三棱柱液柱透鏡對(duì)光線的折射作用，測(cè)量特定時(shí)刻特定高度的擴(kuò)散層的折射率，即可求解待測(cè)液體的擴(kuò)散系數(shù). 此外，本實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目可作為大學(xué)物理設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)或拓展實(shí)驗(yàn)，可有效鍛煉學(xué)生的實(shí)驗(yàn)操作能力，還能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)的探究性思維.

1 實(shí)驗(yàn)原理

菲克第一定律由菲克于1855年提出，表述為：在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)流量J(稱為擴(kuò)散通量)與該截面處的濃度梯度成正比.其表達(dá)式為

(1)

擴(kuò)散物質(zhì)在擴(kuò)散介質(zhì)中的濃度分布隨時(shí)間發(fā)生變化的擴(kuò)散常稱為非穩(wěn)定擴(kuò)散，其擴(kuò)散通量隨位置與時(shí)間變化.對(duì)于非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，可根據(jù)物質(zhì)的平衡關(guān)系建立第二擴(kuò)散微分方程.在非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過(guò)程中，在距離x處，濃度隨時(shí)間的變化率等于該處的擴(kuò)散通量隨距離變化率的負(fù)值，即菲克第二定律，其表達(dá)式為

(2)

如果擴(kuò)散系數(shù)D隨x變化不大，可近似看成常量，則式(2)可寫為

(3)

其中,t為擴(kuò)散時(shí)間.固溶體中溶質(zhì)原子的擴(kuò)散系數(shù)D隨濃度變化，但為了方便求解擴(kuò)散方程，可將D看作恒量處理.根據(jù)初始條件和邊界條件，采用變量代換法求解擴(kuò)散方程可得：

(4)

E(β)=0.007 3β6-0.085 9β5-0.373 8β4-

0.661 1β3+0.084β2+1.124 5β-0.005.

(5)

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)測(cè)得擴(kuò)散液體高度x及對(duì)應(yīng)時(shí)間t，即可求得擴(kuò)散系數(shù)D.

2 實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)裝置如圖1(a)所示，包括：紅光一字型激光發(fā)射器(650 nm，5 mW),焦距為30 cm的凸透鏡,41 mm×35.5 mm×49.8 mm的中空三棱柱液柱透鏡(厚度為2.491 mm)和光屏. 具體實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：1)由激光器發(fā)射的線狀光束經(jīng)凸透鏡轉(zhuǎn)化為平行光束后，穿過(guò)透鏡內(nèi)的液體后會(huì)發(fā)生折射，最后到達(dá)光屏；由于光通過(guò)液柱透鏡時(shí)發(fā)生折射，將在光屏D上顯示出光束隨著時(shí)間變化的曲線；2)利用VCdemo(維視采集卡演示程序)軟件控制攝像機(jī)(內(nèi)置CMOS)拍攝固定位置處180個(gè)時(shí)間間隔(固定間隔為30 s)的實(shí)驗(yàn)圖像，通過(guò)MV-U2000圖像采集卡采集并存儲(chǔ)每個(gè)時(shí)刻的照片數(shù)據(jù)，觀察并分析不同時(shí)刻的數(shù)據(jù),最終得到液體擴(kuò)散系數(shù).

“1959年，我與石魯奉調(diào)北京創(chuàng)作革命歷史畫。我們一起住在雨兒胡同白石老人的故居。當(dāng)時(shí)我接到的創(chuàng)作題目是《毛澤東同志在廣州農(nóng)民運(yùn)動(dòng)講習(xí)所》，他接到的題目是《轉(zhuǎn)戰(zhàn)陜北》。開(kāi)始創(chuàng)作時(shí)，我就遇到技術(shù)上的問(wèn)題，農(nóng)講所頂樓的大塊瓦片怎么才能表現(xiàn)出層次？石魯告訴我，不要考慮那么多西洋畫的透視觀念，他讓我用傳統(tǒng)國(guó)畫的方法，一層層地按照瓦片的結(jié)構(gòu)畫。為此他還給我示范，邊講邊畫，畫了農(nóng)講所，還畫了石頭、竹子等南方景觀，我于是受到啟發(fā)。至今他為我畫的這幅草稿還藏在我家里?！?/p>

如圖1(b)～(c)所示，由于本實(shí)驗(yàn)配置的鹽水濃度較小，三棱柱液柱透鏡內(nèi)液體的擴(kuò)散可簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題來(lái)處理，可看作擴(kuò)散僅在豎直方向上發(fā)生，則同一高度處的液面薄層濃度近似相等，因此由激光器發(fā)射而來(lái)的光束僅在平行于y-O-z面的平面內(nèi)發(fā)生折射. 圖1(b)～(c)中的a表示三棱柱內(nèi)表面的距離，本實(shí)驗(yàn)器材中的a最大為34.64 mm，遠(yuǎn)小于光線在擴(kuò)散層內(nèi)發(fā)生較大且明顯彎曲的值[11].

(a)實(shí)物圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 鹽水折射率的測(cè)量

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，先將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內(nèi)；接著用膠頭滴管將純水緩緩注入鹽水表面；純水注入完畢后靜置一段時(shí)間，再開(kāi)始記錄實(shí)驗(yàn)圖像. 同時(shí)，激光發(fā)出的光束經(jīng)過(guò)凸透鏡后平行于水平面，在液體不同深度均有光線通過(guò). 由于鹽水與純水的濃度差，隨著2種液體擴(kuò)散，形成擴(kuò)散層，液體分界面將變得模糊. 擴(kuò)散層中的液體，不同深度則濃度不同，其折射率隨深度增加而變化，形成動(dòng)態(tài)分層. 由圖1(b)所示，實(shí)驗(yàn)前測(cè)量出實(shí)驗(yàn)儀器的相關(guān)參量：中空三棱柱液柱透鏡的厚度d=2.491 mm,入射棱柱面與y軸的夾角α=28.93°,出射棱柱面與y軸的夾角β=30.63°,內(nèi)頂點(diǎn)與x軸的垂直距離y0=32.0 mm,發(fā)射光源與x軸的垂直距離y1=29.0 mm,光屏與坐標(biāo)系原點(diǎn)的水平距離x5=260.0 mm.根據(jù)光穿過(guò)液柱透鏡發(fā)生折射而產(chǎn)生的偏移量|y1-y5|與待測(cè)液體的折射率n3之間的關(guān)系，得到待測(cè)液體折射率n3,實(shí)現(xiàn)了測(cè)量特定時(shí)間、特定位置處的液體薄層的折射率的目的.

如圖2所示，將測(cè)量數(shù)據(jù)輸入光路模擬程序中，即可得到|y1-y5|與折射率n3之間的關(guān)系曲線.

圖2 |y1-y5|與折射率n3的關(guān)系曲線

經(jīng)指數(shù)擬合得到|y1-y5|=0.392 3e4.319 2n3，從而可推出其反函數(shù)為

(6)

顯然，只需測(cè)出光發(fā)生折射后所產(chǎn)生的偏移量|y1-y5|，將其代入式(6)，即可得到液體的折射率n3.

3.2 鹽水在純水中擴(kuò)散系數(shù)的測(cè)量

本實(shí)驗(yàn)屬于非穩(wěn)態(tài)液相擴(kuò)散系數(shù)的測(cè)定方法. 實(shí)驗(yàn)步驟如下：1)將適量2 mol/L的鹽水緩慢注入三棱柱液柱透鏡內(nèi)；2)靜置一段時(shí)間后用膠頭滴管將純水緩緩沿內(nèi)壁注入鹽水表面；3)將純水與鹽水剛接觸時(shí)的時(shí)間記為t=0 s[圖3(a)]，每30 s采集擴(kuò)散圖像，共采集180組數(shù)據(jù)圖像. 在純水緩慢注入的過(guò)程中；當(dāng)t=330 s時(shí)，鹽水和純水的折射曲線較為穩(wěn)定，邊界清晰，如圖3(b)所示.

(a)0 s (b)330 s

圖3(a)～(d)為光屏所記錄不同時(shí)刻的折射曲線，不同時(shí)刻折射曲線的彎曲程度不同，得到了鹽水在純水?dāng)U散的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)不同時(shí)刻的折射曲線，進(jìn)一步測(cè)得其偏移量. 如圖4所示，左上方的1條豎線(直線MN)為直接穿過(guò)液柱透鏡的空氣部分的光束在光屏上的投影，右側(cè)曲線(曲線ABCDE)為穿過(guò)三棱柱液柱透鏡中擴(kuò)散液體時(shí)發(fā)生折射后所產(chǎn)生的折射率分布曲線圖.a.清水部分(直線AB)的折射率因液體濃度未改變而一直呈1條豎直的直線，從清水下方的擴(kuò)散層開(kāi)始至分界面附近(曲線BC)，折射率梯度將逐漸增大，即隨深度的增加而光線向下彎曲的程度越大直至最大(即曲線的拐點(diǎn)處)，接著從分界面處至鹽水上方的擴(kuò)散層處(曲線CD)，折射率梯度將逐漸減小，即隨深度的增加，光線向下彎曲的程度越??；b)鹽水部分(直線DE)因液體濃度未變而呈1條直線.

圖4 偏移量的測(cè)量示意圖

由于實(shí)驗(yàn)條件的限制，實(shí)驗(yàn)裝置本身存在的儀器誤差難以避免，導(dǎo)致所得數(shù)據(jù)和理論值之間存在誤差.所以，該實(shí)驗(yàn)選取了4組不同濃度的鹽水進(jìn)行校準(zhǔn).通過(guò)測(cè)量實(shí)測(cè)值和理論值之間的誤差，對(duì)本實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，從而得到更準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)效果.因此，在測(cè)得光經(jīng)過(guò)擴(kuò)散液體而發(fā)生折射的偏移量|y1-y5|后，需利用表2測(cè)得的誤差平均值(-5.8 mm)對(duì)其進(jìn)行校準(zhǔn)，從而得到更準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

表1 理論值與測(cè)量值的誤差

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所選擇的溶液高度要適當(dāng)，如過(guò)高，溶液濃度變化較小，導(dǎo)致圖像的寬度變化較小，易造成較大的計(jì)算誤差；如過(guò)低，溶液濃度梯度變化較大，此時(shí)擴(kuò)散系數(shù)D是關(guān)于濃度的函數(shù)，不能將其看作常量，此時(shí)菲克第二定律不成立. 為確定合適的高度觀測(cè)范圍，隨機(jī)選取不同高度處的液面薄層在4個(gè)不同時(shí)刻的測(cè)量數(shù)據(jù)，將其作為已知量代入式(3)，分別得到對(duì)應(yīng)時(shí)刻、不同高度處液面薄層的擴(kuò)散系數(shù)，并與參考文獻(xiàn)值進(jìn)行比較，可得到相對(duì)誤差. 最后將這些誤差進(jìn)行線性擬合，得到4個(gè)時(shí)刻不同高度處液面薄層測(cè)得的擴(kuò)散系數(shù)相對(duì)誤差擬合直線，如圖5所示. 若使測(cè)得數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差接近于0，x應(yīng)選取2.2～2.9 mm范圍為宜. 因此，選取10組處于2.2～2.9 mm高度范圍內(nèi)的液面薄層計(jì)算其擴(kuò)散系數(shù)，并統(tǒng)計(jì)擴(kuò)散系數(shù)的平均值，如圖6所示.

(a)1 800 s

圖6 不同高度處測(cè)得的擴(kuò)散系數(shù)

擴(kuò)散系數(shù)均勻分布在1.37×10-3～1.63×10-3mm2/s之間，且10組擴(kuò)散系數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值為1.50×10-3mm2/s，與文獻(xiàn)值1.49×10-3mm2/s[5]相近，說(shuō)明該實(shí)驗(yàn)具有可行性.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)三棱柱液柱透鏡中液相擴(kuò)散層的光束折射到光屏上獲得折射率分布曲線，由折射率分布曲線計(jì)算出液體的折射率；根據(jù)菲克第二定律在一維無(wú)限長(zhǎng)擴(kuò)散下的解，測(cè)得2 mol/L鹽水在純水中的擴(kuò)散系數(shù)為D=1.50×10-3mm2/s，該實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與文獻(xiàn)參考值1.49×10-3mm2/s相一致. 該方法所需儀器簡(jiǎn)單，實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性較高. 在測(cè)量液體折射率和擴(kuò)散系數(shù)的基礎(chǔ)上，可以在食品、日用化學(xué)產(chǎn)品及制藥工業(yè)等領(lǐng)域有較好的應(yīng)用潛力.