基于支持向量機(jī)和貝葉斯方法的巖體參數(shù)反分析

張 雅 賢，侯 中 杰

(1.中央軍委后勤保障部安置住房保障中心，北京 100036； 2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045)

0 引 言

隨著對(duì)巖土體認(rèn)識(shí)的不斷深入，人們就巖土體本身的性質(zhì)具有不確定性這點(diǎn)達(dá)成了共識(shí)。在巖土體參數(shù)不確定性表征方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究工作。主要的表征方式為基于統(tǒng)計(jì)特征的概率分布形式，包括正態(tài)分布[1-2]、對(duì)數(shù)正態(tài)分布[3-4]、Beta分布[5]、極值I型和Weibull分布[6]。早期學(xué)者們主要是采用隨機(jī)變量模型來對(duì)巖土參數(shù)的不確定性加以研究。然而，類似的研究在刻畫巖土材料的隨機(jī)特性時(shí)都是將同層巖土體看作均質(zhì)材料，即僅在抽樣時(shí)對(duì)參數(shù)取不同數(shù)值，而針對(duì)同一樣本在不同空間處的參數(shù)卻往往取的是同一值，這樣可能導(dǎo)致與實(shí)際情況不相符合。近些年來隨著土體空間變異性概念的提出[7]，眾多學(xué)者開始采用參數(shù)隨機(jī)場(chǎng)模型來研究巖體參數(shù)并取得眾多研究成果，這意味著對(duì)巖體參數(shù)的研究實(shí)現(xiàn)了從“點(diǎn)特性”到“空間特性”的轉(zhuǎn)變。Degroot等[8]為了更好地研究土體參數(shù)的自相關(guān)性，引入了極大似然估計(jì)法以及相關(guān)函數(shù)法。Phoon等[9-10]則采用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論分析了不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)轉(zhuǎn)換的相關(guān)性、不確定性以及不同巖土材料的變異性等問題。梅松華等[11]結(jié)合工程實(shí)例，采用不同的方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)土體參數(shù)相關(guān)距離的求解。隨著隨機(jī)場(chǎng)模型的進(jìn)一步應(yīng)用，眾多以空間隨機(jī)場(chǎng)作為理論基礎(chǔ)的巖土工程可靠性分析方法逐漸被廣泛應(yīng)用[12-16]。

當(dāng)前，學(xué)術(shù)界在巖土工程參數(shù)不確定性方面開展的研究非常多。但是截至目前，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界仍尚未形成基于整個(gè)施工過程的巖土參數(shù)不確定性分析方法，而與巖土參數(shù)不確定性表征方式相關(guān)的研究則較為常見。為此，本文在巖體參數(shù)識(shí)別的基礎(chǔ)上，融合貝葉斯理論與多輸出支持向量機(jī)算法，提出基于位移與松弛深度的巖體參數(shù)概率反分析方法，并以白鶴灘水電站左岸壩基邊坡為例，研究了邊坡巖體參數(shù)的不確定性特征及其隨施工開挖的動(dòng)態(tài)更新過程。

1 多輸出支持向量機(jī)和貝葉斯方法原理

1.1 多輸出支持向量機(jī)原理

多輸出最小二乘支持向量機(jī)(MSVM)主要源自早期的單輸出支持向量機(jī)(SVM)[17-20]。對(duì)樣本集為{(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xl，yl)}，x∈Rd，y∈Rm，其中，l、d和m分別表示樣本數(shù)、輸入變量的維數(shù)和輸出變量的維數(shù)，多輸出最小二乘支持向量機(jī)(MSVM)對(duì)應(yīng)的最小化問題為

(1)

式中：wi為權(quán)向量，b為閾值向量，e為誤差，φ1(xi)為核函數(shù)，γ為誤差因子。引入Lagrange乘子α，將式(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

以w、b、e和α為自變量對(duì)式(2)求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)等于零，易得：

(3)

i=1，2，3，…，l；j=1，2，3，…，m

從而能形成關(guān)于w、b、e和α的線性方程，對(duì)該方程求解即可得出多輸出最小二乘支持向量回歸函數(shù)表達(dá)式：

(4)

式中：K(xi，x)=φ(xi)·φ(x)。

1.2 貝葉斯方法原理

貝葉斯方法(Bayesian method)基于概率理論，在已知事情結(jié)果的情況下反推事情發(fā)生的原因。假設(shè)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，隨機(jī)事件B發(fā)生的概率為P(B)，那么A在B發(fā)生的情況下發(fā)生的概率P(A|B)為

(5)

這就是貝葉斯公式的最核心的一般表達(dá)式，將上式運(yùn)用到反分析中時(shí)，事件A則是先驗(yàn)信息，B是觀測(cè)結(jié)果，運(yùn)用觀測(cè)結(jié)果來反推先驗(yàn)信息就是反分析。式(1)所示的貝葉斯公式是參數(shù)反分析的基礎(chǔ)。

(6)

式中：p(b|a)稱作似然函數(shù)。此時(shí)，根據(jù)式(5)所示的貝葉斯理論得到樣本與參數(shù)的聯(lián)合分布為

d(b，a)=p(b|a)Rp(a)

(7)

在有觀測(cè)信息b的情況下，再對(duì)參數(shù)a進(jìn)行新的估計(jì)?？紤]到：

d(b，a)=R(a|b)z(b)

(8)

式中：z(b)是b獨(dú)立的邊緣概率密度函數(shù)，求解方法為

(9)

由式(8)得到參數(shù)a的估計(jì)：

(10)

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，有先驗(yàn)分布Rp(a)，觀測(cè)資料為b，則代入式(6)就能推斷出參數(shù)a新的概率分布。這種新的分布融入了實(shí)測(cè)資料，將更加準(zhǔn)確，稱之為后驗(yàn)分布。

由以上可知，為推斷出可靠的后驗(yàn)參數(shù)估計(jì)，先驗(yàn)信息尤為關(guān)鍵。有限的先驗(yàn)信息一般通過實(shí)地鉆孔測(cè)量得到，或者通過大量的文獻(xiàn)調(diào)查類比得到。得到先驗(yàn)信息后，可根據(jù)不同的參數(shù)選擇不同構(gòu)建先驗(yàn)分布的方式，常用高斯曲線來構(gòu)建概率密度函數(shù)，利用均值和變異系數(shù)來構(gòu)造高斯函數(shù)作為先驗(yàn)分布。

2 位移-松動(dòng)圈與巖體參數(shù)間的支持向量機(jī)模型

2.1 模型建立

參數(shù)的不確定性是直接影響工程設(shè)計(jì)及安全性評(píng)價(jià)可靠性的重要因素。采用多輸出支持向量機(jī)(MSVM)建立監(jiān)測(cè)位移與巖體參數(shù)之間的關(guān)系，然后采用貝葉斯方法融合已有的信息對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)不確定性分布規(guī)律做出合理的估計(jì)。MSVM可用于表征監(jiān)測(cè)位移、松動(dòng)圈與彈性模量等巖土力學(xué)參數(shù)之間存在的非線性關(guān)系，MSVM(X)模型定義如下：

(11)

式中：X=(x1，x2，…，xN)，xi是巖土力學(xué)參數(shù)(如彈性模量、摩擦角等)組成的向量，N為力學(xué)參數(shù)的個(gè)數(shù)。Y=(y1，y2，…，yQ)是監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的Q維向量，包括位移和松弛深度。

將貝葉斯理論融合在MSVM模型中，不同測(cè)點(diǎn)力學(xué)參數(shù)與位移松弛深度之間的關(guān)系可以通過MSVM模型得出。監(jiān)測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)結(jié)果(y1，y2，…，yk)與相應(yīng)的監(jiān)測(cè)結(jié)果(可以用Ymon1，Ymon2，…，Ymonk來表示)相等的可能性是參數(shù)θ的條件概率密度函數(shù)，即：

(12)

模型參數(shù)的先驗(yàn)分布f(θ)由參數(shù)的均值向量μθ=(μθ1，μθ2，…，μθn)和協(xié)方差矩陣Cθ給定[21]，其中：

(13)

(14)

式(12) 中的Nk(y)定義如下：

(15)

(16)

后驗(yàn)分布可以通過優(yōu)化方法獲取，在求得后驗(yàn)均值之后，可用下式求得后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差：

(17)

其中，

(18)

(19)

2.2 模型實(shí)現(xiàn)基本步驟

B-MSVM采用貝葉斯算法更新巖土力學(xué)參數(shù)，并且考慮了巖土體內(nèi)在的不確定性。位移-松弛深度與巖土力學(xué)參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)更新算法至關(guān)重要，本文采用 MSVM來取代傳統(tǒng)的數(shù)值分析或模型計(jì)算方法，其主要步驟如圖1所示。

圖1 基于支持向量機(jī)和貝葉斯方法的反 分析基本步驟Fig.1 Basic steps of back analysis based on support vector machine and Bayesian method

(1) 收集監(jiān)測(cè)面分布、地質(zhì)條件等實(shí)際工程信息，并借助ABAQUS、Phase2等主流有限元軟件建立數(shù)值模型。

(2) 根據(jù)步驟(1)中所收集到的工程信息，對(duì)用于識(shí)別的訓(xùn)練組參數(shù)分布類型及其范圍加以確定，并通過抽樣法構(gòu)建目標(biāo)樣本。

(3) 借助數(shù)值模型計(jì)算確定樣本位移。

(4) 構(gòu)建MSVM樣本。構(gòu)建巖土力學(xué)參數(shù)組合，樣本集由采樣點(diǎn)及其數(shù)據(jù)構(gòu)成。通過有限元法或其他方法確定每個(gè)樣本集的松弛深度、位移并定義MSVM模型。通過對(duì)公式(2)求解進(jìn)而獲得MSVM 模型。

(5) 由公式(12)建立貝葉斯更新模型，并計(jì)算識(shí)別參數(shù)。

(6) 由公式(17)確定參數(shù)的后驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，并進(jìn)一步得到巖土力學(xué)參數(shù)。

(7) 根據(jù)新的開挖步中監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)更新土體參數(shù)和不確定性分布情況。

3 工程實(shí)例應(yīng)用

3.1 工程簡(jiǎn)介

白鶴灘水電站左岸壩基邊坡如圖2所示。邊坡主要由砂巖、泥巖、灰?guī)r、凝灰?guī)r組成。裸露的巖石主要有6類：泥巖石灰?guī)r互層、泥巖石灰?guī)r混合巖、層狀凝灰?guī)r、砂巖、砂巖泥巖互層、泥巖。左壩肩屬陡峭的反傾巖質(zhì)邊坡，開挖高度從635 m降低到215 m，高差達(dá)420 m，開挖切角的范圍35°～65°，分布約14個(gè)15～20 m高的長(zhǎng)椅狀臺(tái)階。邊坡上存在50多個(gè)大大小小的斷層，較大的斷層對(duì)邊坡的穩(wěn)定性有很大影響。

圖2 白鶴灘水電站左岸壩基邊坡實(shí)景圖Fig.2 Realistic view of left bank dam foundation slope of Baihetan Hydropower Station

為記錄開挖期間及開挖完成之后邊坡的變形，共選取了13條監(jiān)測(cè)剖面，位置分布如圖3所示。監(jiān)測(cè)表面位移和深部變形的儀器均在邊坡上沿著監(jiān)測(cè)剖面布置，這些儀器可以監(jiān)測(cè)邊坡的變形情況，現(xiàn)場(chǎng)收集了通過多點(diǎn)伸長(zhǎng)計(jì)記錄的變形數(shù)據(jù)。

圖3 監(jiān)測(cè)斷面位置示意Fig.3 Location of monitoring section

柱狀節(jié)理玄武巖在邊坡測(cè)試區(qū)域內(nèi)集中發(fā)育，且柱狀節(jié)理被較多的緩傾角結(jié)構(gòu)面和錯(cuò)動(dòng)帶切割，除一些受構(gòu)造影響的區(qū)域，柱狀節(jié)理玄武巖的柱體軸線傾角基本均為60°～80°。

3.2 反分析過程

選取典型的監(jiān)測(cè)斷面1-1來反演邊坡巖土體的力學(xué)參數(shù)，沿著1-1地質(zhì)剖面的巖床包括砂巖、砂巖泥巖互層、泥巖等。此外，考慮了12個(gè)重要的斷層建立有限元數(shù)值模型。數(shù)值計(jì)算中破壞準(zhǔn)則采用摩爾庫倫準(zhǔn)則，斷層采用節(jié)理單元模擬。據(jù)原位應(yīng)力測(cè)試的結(jié)果，采用式(20)、(21)模擬計(jì)算原位應(yīng)力。對(duì)于全風(fēng)化和強(qiáng)風(fēng)化的巖體：

(20)

式中：σx和σy分別表示與深度方向垂直的x方向和y方向的原位應(yīng)力，σz表示深度方向上的應(yīng)力，γ表示巖石密度，μ表示泊松比，h表示巖石上覆層的厚度。

對(duì)弱風(fēng)化和無擾動(dòng)的巖體：

(21)

式中：Kx和Ky分別表示原位應(yīng)力在x水平方向和y水平方向的側(cè)壓力系數(shù)。

通過數(shù)值模型、現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)或者室內(nèi)試驗(yàn)可以計(jì)算得出復(fù)合巖體的物理力學(xué)參數(shù)。根據(jù)給定的邊坡穩(wěn)定性要求，反分析計(jì)算出符合正態(tài)分布的9個(gè)巖土力學(xué)參數(shù)：主要包含7個(gè)彈性模量，其中1個(gè)是弱風(fēng)化巖體的彈性模量，另6個(gè)是6種巖體的彈性模量；另外2個(gè)參數(shù)是弱風(fēng)化巖體和無擾動(dòng)巖體的原位應(yīng)力測(cè)試的側(cè)壓力系數(shù)。考慮這9個(gè)參數(shù)的原因一方面是因?yàn)檫@些參數(shù)對(duì)邊坡穩(wěn)定性有較大影響；另一方面是因?yàn)槿绻x擇更多的參數(shù)會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程更為復(fù)雜，工程應(yīng)用較為不便。

利用拉丁超立方體抽樣方法建立了一個(gè)總數(shù)為50的樣本組?；谇拔牡臄?shù)值模型，采用有限元軟件計(jì)算每個(gè)樣本參數(shù)對(duì)應(yīng)的位移值，生成50組含有不同巖土力學(xué)參數(shù)和位移的訓(xùn)練樣本。借助MSVM算法來進(jìn)一步刻畫巖土力學(xué)參數(shù)與位移之間的聯(lián)系。采用同樣方法構(gòu)建20個(gè)MSVM模型測(cè)試樣本。通過研究計(jì)算位移與MSVM預(yù)測(cè)位移之間的聯(lián)系得出兩者的對(duì)比如圖4所示。分析圖4可以得知兩者具有較高一致性，該對(duì)比結(jié)果也說明在概率反演分析中可用MSVM方法替代數(shù)值模型。

圖4 有限元計(jì)算位移和MSVM預(yù)測(cè)位移的對(duì)比Fig.4 Comparison of displacement calculated by FEM and predicted by MSVM

3.3 結(jié)果比較及驗(yàn)證

基于本文提出的反分析方法，可以得到14個(gè)不同開挖步條件下7種不同巖體的彈性模量和2個(gè)原位側(cè)壓力系數(shù)。為了探討不同開挖條件下B-MSVM方法的適用性，又進(jìn)行了兩階段分析；第一階段是采用監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移反分析計(jì)算了13個(gè)開挖步后的巖土力學(xué)參數(shù)；第二階段是基于第一階段獲取的巖體參數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，采用第14個(gè)開挖步后的位移反分析計(jì)算巖土力學(xué)參數(shù)。

不同開挖步下由計(jì)算結(jié)果反演的巖土力學(xué)參數(shù)分布如圖5所示。 隨著開挖的進(jìn)行，每個(gè)開挖步下參數(shù)的分布變窄，標(biāo)準(zhǔn)差也隨之降低。這種參數(shù)分布的變化表明，所提出的方法可以更加準(zhǔn)確地進(jìn)行反分析，同時(shí)所提出的模型可以用于指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)和施工。

通過監(jiān)測(cè)點(diǎn)的附加信息和數(shù)據(jù)生成的標(biāo)準(zhǔn)差加深了對(duì)巖土力學(xué)參數(shù)不確定性的理解。與傳統(tǒng)的反分析方法相比，概率反分析提供了更多的關(guān)于巖土力學(xué)參數(shù)的信息，并用一種切實(shí)可行的方式體現(xiàn)了巖土力學(xué)參數(shù)的不確定性。這種方法比確定性方法更合理，并能更進(jìn)一步地匹配地質(zhì)工程的復(fù)雜性和不確定性特征。

采用有限元數(shù)值軟件基于已識(shí)別的參數(shù)計(jì)算了監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移，結(jié)果如圖6所示。基于參數(shù)識(shí)別計(jì)算的位移和實(shí)測(cè)位移具有較好的一致性?；趨?shù)識(shí)別的第二階段計(jì)算位移比第一階段計(jì)算位移更接近實(shí)測(cè)位移，這表明位移的持續(xù)更新能提高反分析模型的準(zhǔn)確性，概率反分析可以用來進(jìn)行邊坡的可靠度分析和可靠度設(shè)計(jì)。

MSVM方法預(yù)測(cè)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移分布如圖7所示。圖中位移分布變窄，巖土體參數(shù)分布也變窄，這表明附加的開挖信息降低了預(yù)測(cè)位移的不確定性。這不僅說明了位移的不確定性，也說明更多的監(jiān)測(cè)信息(先驗(yàn)信息)可以有效地降低不確定性的影響。

圖5 不同開挖步下不同參數(shù)的不確定性對(duì)比Fig.5 Comparison of uncertainty of different parameters under different excavation steps

圖6 監(jiān)測(cè)點(diǎn)的計(jì)算位移與預(yù)測(cè)位移對(duì)比Fig.6 Comparison of calculated displacement and predicted displacement of monitoring points

圖7 不同高程開挖時(shí)B-MSVM法預(yù)測(cè)的監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移 分布對(duì)比Fig.7 Comparison of displacement distribution of monitoring points predicted by Bayesian-MSVM method during excavation at different elevations

4 結(jié) 論

將多輸出支持向量機(jī)方法和貝葉斯理論引入到了邊坡巖體物理力學(xué)參數(shù)的不確定性反分析過程之中，從而實(shí)現(xiàn)參數(shù)的不確定性表征，并且實(shí)現(xiàn)了不確定性特征隨著施工過程的動(dòng)態(tài)更新。提出基于位移與松弛深度的巖體參數(shù)概率反分析方法，將該方法應(yīng)用于白鶴灘水電站左岸壩基邊坡，主要得出如下結(jié)論：

(1) 概率反分析方法提供了更多的關(guān)于巖土力學(xué)參數(shù)的信息，比確定性方法更合理，并能更進(jìn)一步地匹配地質(zhì)工程的復(fù)雜性和不確定性特征。

(2) 更多的監(jiān)測(cè)信息(先驗(yàn)信息)可以有效降低不確定性的影響，位移的持續(xù)更新能提高概率反分析模型的準(zhǔn)確性，相應(yīng)的反分析的結(jié)果可以用來進(jìn)行邊坡的可靠度分析和可靠度設(shè)計(jì)。

(3) 本文提出的方法可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)及其不確定性特征隨施工過程的動(dòng)態(tài)更新，可以推廣應(yīng)用到類似工程中。