一種適用于深部煤巖的甲烷損失氣量計(jì)算方法

宋利紅 楊 宇 徐啟林 張 昊 吳 翔

1.成都理工大學(xué)能源學(xué)院 2.阿德萊德大學(xué)澳大利亞石油學(xué)院 3.中聯(lián)煤層氣有限責(zé)任公司

0 引言

研究甲烷在煤巖中的擴(kuò)散規(guī)律，對(duì)于預(yù)測(cè)煤與甲烷突出危險(xiǎn)性等都具有重要現(xiàn)實(shí)意義[1]。而煤層含氣量的測(cè)定準(zhǔn)確性程度是一個(gè)亟待解決的基礎(chǔ)科學(xué)問(wèn)題[2]。含氣量由擴(kuò)散（損失）氣量、解吸氣量及殘余氣量三部分組成，后兩者可在解吸罐中測(cè)量，于是損失氣量就成了確定含氣量的關(guān)鍵[3]。國(guó)內(nèi)外對(duì)甲烷擴(kuò)散進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)和理論模型研究。在國(guó)內(nèi)外煤巖甲烷擴(kuò)散理論模型中，多以定濃度外邊界條件下的甲烷擴(kuò)散為假設(shè)條件，代表性的工作有：①?gòu)堬w燕及韓穎[4-5]等人研究了定擴(kuò)散系數(shù)Fick擴(kuò)散，將煤屑看成一種理想吸附劑，然后假設(shè)擴(kuò)散系數(shù)為定值。②李建功[6]得出：隨解吸時(shí)間延長(zhǎng)，不同形狀煤屑內(nèi)部甲烷有效擴(kuò)散逐漸近似于球形。而考慮外邊界濃度變化的模型較少，且相比于Freundlich吸附方程，應(yīng)用Langmuir方程，需要應(yīng)用數(shù)值求解累積的甲烷逸散量[7-8]。

目前，對(duì)于非密閉取心工藝的測(cè)試結(jié)果，通常采用USBM法計(jì)算損失氣量。在深部煤層取樣過(guò)程中，當(dāng)煤巖從儲(chǔ)層提至井口附近淺表地層段時(shí)，煤巖心的外表壓力可從幾、幾十兆帕降為大氣壓，壓力變化導(dǎo)致煤巖外表面濃度的變化。而USBM法中將煤巖外表面濃度視為0的假設(shè)條件與實(shí)際有較大差別。當(dāng)煤層取樣深度較小時(shí)，USBM法的計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確[9]；但對(duì)于深部煤層氣井，由于甲烷初期解吸并非呈線性規(guī)律或USBM法中與時(shí)間平方根的線性規(guī)律，計(jì)算誤差也將隨深度而增大。因此，對(duì)損失氣量的計(jì)算進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)準(zhǔn)確評(píng)價(jià)深部煤層含氣量具有重要意義。

綜上所述，基于前人成果，本文將井筒與解吸罐情景結(jié)合起來(lái)綜合研究煤巖中甲烷擴(kuò)散，構(gòu)建了變濃度外邊界條件的解吸擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型，并將其計(jì)算結(jié)果與前人的研究對(duì)比。在此基礎(chǔ)上，采用最優(yōu)化方法計(jì)算煤巖在井筒提升過(guò)程的損失氣量，與常用USBM法對(duì)比分析計(jì)算結(jié)果。

1 在現(xiàn)場(chǎng)取樣和測(cè)試過(guò)程中的甲烷擴(kuò)散特征

1.1 煤巖心在提升過(guò)程的甲烷擴(kuò)散特征分析

如圖1所示，在取心后向上提的過(guò)程中，煤巖外表面壓力等于相應(yīng)位置的鉆井液靜液柱壓力。

圖1 直井井筒中煤巖提升過(guò)程示意圖[10]

在煤巖提升過(guò)程中，假設(shè)鉆遇煤巖層時(shí)刻為t1、開(kāi)始取樣時(shí)刻t2，其他重要的時(shí)間節(jié)點(diǎn)如圖2所示，包括：開(kāi)始起鉆時(shí)刻t3、煤巖提至井深一半時(shí)刻t4、提出井口時(shí)刻t5、裝罐結(jié)束時(shí)刻t6。在取心后期，由于鉆鋌和取心器具卸扣時(shí)間較長(zhǎng)，所以，煤巖提升位置與上提時(shí)間是非線性關(guān)系。

圖2 煤巖樣品提升過(guò)程中外表面壓力變化示意圖

假定煤巖儲(chǔ)層被氣體飽和。在巖心上提到某一深度時(shí)，鉆井液的靜液柱壓力等于原始地層壓力，煤巖中的甲烷就會(huì)發(fā)生解吸擴(kuò)散，該深度對(duì)應(yīng)的時(shí)刻稱為零時(shí)刻t0。在USBM法中，零時(shí)刻定義為煤樣被提升到離井口一半深度處的時(shí)刻。在A點(diǎn)時(shí)（圖2），鉆井液的靜液柱壓力等于原始地層壓力，而USBM法中設(shè)置的零時(shí)刻點(diǎn)為B點(diǎn)。因此，當(dāng)煤層越深，A與B兩點(diǎn)間的距離越大，USBM法計(jì)算偏差也越大。

1.2 解吸罐中甲烷擴(kuò)散特征分析

煤作為一種復(fù)雜孔裂隙體，甲烷在煤體中的擴(kuò)散存在5種類型（菲克、諾森、過(guò)渡型、表面和晶體擴(kuò)散）。目前國(guó)內(nèi)研究煤屑中甲烷擴(kuò)散理論，大多以菲克擴(kuò)散模型為基礎(chǔ)，而對(duì)其他4種類型的擴(kuò)散規(guī)律研究較少[11]。研究中所涉及的煤屑甲烷擴(kuò)散實(shí)質(zhì)為甲烷氣體分子從煤固體表面脫附的過(guò)程，因此煤屑甲烷擴(kuò)散受濃度差影響。在甲烷開(kāi)始擴(kuò)散前，煤屑內(nèi)部各點(diǎn)的甲烷濃度為吸附平衡時(shí)的濃度，甲烷球向流動(dòng)場(chǎng)長(zhǎng)度不大于煤屑半徑時(shí)，煤屑中心的甲烷濃度為吸附平衡時(shí)的濃度。

在煤礦井下實(shí)際工程中，大多由定容容器測(cè)定氣體壓力變化來(lái)算煤屑甲烷擴(kuò)散量。這從數(shù)學(xué)物理角度來(lái)分析，定容條件下的煤屑甲烷擴(kuò)散，其數(shù)學(xué)模型的外邊界濃度應(yīng)為隨時(shí)間變化的函數(shù)，而非定值。在本文中，假定煤屑為球形進(jìn)行甲烷擴(kuò)散規(guī)律研究。

2 井筒與解吸罐中的甲烷擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型

2.1 甲烷擴(kuò)散模型的構(gòu)建

煤樣中的甲烷擴(kuò)散屬于氣體分子不規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)與孔隙管道表面碰撞的綜合作用結(jié)果，可利用熱傳導(dǎo)相關(guān)的數(shù)學(xué)物理方程對(duì)煤屑甲烷擴(kuò)散問(wèn)題進(jìn)行理論分析。文中基于Fick第二擴(kuò)散定律，結(jié)合煤儲(chǔ)層特征、甲烷賦存狀態(tài)與擴(kuò)散運(yùn)移規(guī)律，對(duì)井筒和解吸罐中甲烷解吸擴(kuò)散模型做出如下假設(shè)：

（1）煤樣為球形顆粒的集合；

（2）煤屑為均質(zhì)、各向同性多孔介質(zhì)體；

（3）甲烷擴(kuò)散流動(dòng)遵從質(zhì)量守恒定律和連續(xù)性原理；

（4）忽略煤巖在提升過(guò)程中溫度的變化。

（5）假設(shè)煤層被氣體所飽和，可用Freundlich吸附方程表示甲烷濃度與壓力的關(guān)系[12]。

（6）忽略煤巖提升到井口至轉(zhuǎn)入解吸罐密封前的地面暴露時(shí)間。

（7）假設(shè)煤巖在井筒提升過(guò)程中，其提升高度h與時(shí)間t近似成二次多項(xiàng)式關(guān)系。且將提升過(guò)程中煤巖所在深度的鉆井液柱靜液柱壓力等于原始地層壓力時(shí)的時(shí)刻定義為甲烷解吸擴(kuò)散的零時(shí)間t0。

在不考慮瞬間暴露解吸過(guò)程對(duì)甲烷擴(kuò)散影響下，不同坐標(biāo)系甲烷擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型為:

式中C為煤巖中甲烷的濃度，g/cm3；D為擴(kuò)散系數(shù)，cm2/h；t為時(shí)間，h；r為甲烷氣體到煤屑中心的距離，cm；當(dāng)S=0，1，2時(shí)，表示煤屑形狀為板狀、柱狀與球體時(shí)的甲烷擴(kuò)散。

本文研究的是針對(duì)s=2時(shí)的球形煤屑甲烷擴(kuò)散。即式（1）簡(jiǎn)化得[13]：

基于模型假設(shè)條件，甲烷擴(kuò)散方程的初始條件和邊界條件如下。

①初始條件

式中Ci為煤巖中甲烷的初始濃度，g/cm3；R為煤巖半徑，cm。

②內(nèi)邊界條件

③外邊界條件

由如圖1和圖2所示，在巖心提升過(guò)程中，巖心提升距離h與時(shí)間t之間可以近似為二項(xiàng)式關(guān)系：

式中h為巖心在井筒中提升的高度，m；Z0為鉆井液的靜液柱壓力等于原始地層壓力時(shí)的深度，m；t為時(shí)間（從零時(shí)間t0開(kāi)始計(jì)），h；m、n為系數(shù)。

井筒中，鉆井液壓力（p）與煤巖上提深度（Z）滿足靜壓公式：

另外，在井筒中，巖心外表面壓力等于同深度處泥漿靜液柱壓力。由式（5）、（6）可得，巖心外表面壓力（p）為：

式中a，b為系數(shù)；pi為原始煤層壓力，MPa。

甲烷濃度可用Freundlich等溫吸附方程來(lái)描述，即Cb(t)=knpm，則

式中CE(t)為井筒中煤巖甲烷在t時(shí)間的濃度，g/cm3；CS(t)為解吸罐中煤巖甲烷在t時(shí)間的濃度，g/cm3；pstd為大氣壓力，即0.1 MPa；t5為煤巖提至井口的時(shí)間（從零時(shí)間t0開(kāi)始計(jì)時(shí)），h；Kn和m是可根據(jù)等溫吸附測(cè)試得到且與吸附劑、吸附質(zhì)的種類及性質(zhì)有關(guān)的等溫吸附常數(shù)，Kn一般大于0，m是小于1的正數(shù)。

綜上所述，極坐標(biāo)系下煤巖在井筒與解吸罐中甲烷擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型為：

2.2 甲烷擴(kuò)散模型的求解

Carslaw[14]等認(rèn)為，擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)類似于熱傳導(dǎo)運(yùn)動(dòng)，于是，對(duì)于方程（1）將采用數(shù)理方程的求解方法進(jìn)行求其解析解。

2.3 定濃度外邊界的模型求解

3 甲烷擴(kuò)散規(guī)律與擴(kuò)散氣量分析

3.1 計(jì)算思路

在煤巖含氣量的現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試中，煤巖含氣量是殘余氣量、解吸罐中的解吸氣量和井筒中擴(kuò)散（損失）氣量之和。由于現(xiàn)場(chǎng)一般不計(jì)量井筒中的損失氣量，可根據(jù)解吸罐中的解吸氣量推測(cè)井筒中損失氣量。圖3為最優(yōu)化方法求井筒損失氣量的基本流程。

圖3 擬合求損失氣量流程圖

3.2 解吸罐中甲烷擴(kuò)散氣量計(jì)算

據(jù)調(diào)研知，解吸罐中煤屑甲烷擴(kuò)散規(guī)律的表征有兩種方式：①用累計(jì)甲烷擴(kuò)散氣量表示；②用甲烷擴(kuò)散速度表示。下面將分析研究由累計(jì)甲烷擴(kuò)散氣量來(lái)表征其擴(kuò)散規(guī)律的情況。

圖4是結(jié)合某實(shí)際煤層氣藏X樣品已有數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，采用Matlab軟件編程進(jìn)行三次樣條插值的結(jié)果。其中取B=6.579 7 10-51/h，煤巖半徑R=7.3 cm，甲烷初始濃度Ci=0.018 g/cm3，甲烷濃度Cb（t）=0.007 7（0.348t2-3.423t+8.67）0.39。

圖4 煤屑甲烷擴(kuò)散規(guī)律模擬結(jié)果圖（解吸罐中）

本研究條件下得到的擴(kuò)散時(shí)間與擴(kuò)散率的曲線關(guān)系與楊其鑾等人采用塞文斯特（p.G.Sevenster）提供的數(shù)據(jù)范圍擬合的結(jié)果相似，都是在B=6.579 7 10-6～6.579 7 10-3范圍，本文具體取值為B=6.579 7 10-51/h。

3.3 煤巖心在提升過(guò)程的甲烷擴(kuò)散氣量計(jì)算

以某煤層氣藏的X樣品為例：煤巖質(zhì)量2 866 g，密度為1.75 g/cm3，擴(kuò)散系數(shù)為3.55 10-4cm2/h，煤巖折算成球形半徑約為7.3 cm。取心深度為880 m，原始地層壓力8.67 MPa，地層溫度45 ℃。鉆井液密度為1.05 g/cm3，由測(cè)試得解吸氣含量與殘余氣含量之和為4.87 cm3/g。在深度838 m處鉆井液的靜液柱壓力與原始地層壓力相等。因此，將煤巖被提至838 m處的時(shí)刻設(shè)為零時(shí)間。從零時(shí)間至煤巖被提至井口，共耗時(shí)5 h，即：t5=5 h。因煤巖在地面暴露時(shí)間較短，于是該時(shí)間不計(jì)入擴(kuò)散量計(jì)算。

由前述可知，煤屑吸附甲烷的壓力與時(shí)間近似成二項(xiàng)式關(guān)系，其擬合結(jié)果如圖5所示。

圖5 壓力與時(shí)間的擬合關(guān)系曲線

可知，對(duì)于煤屑吸附甲烷壓力與時(shí)間關(guān)系式p=at2+bt+pi中，a=0.387，b=-3.68，pi=9.28 MPa， 即p=0.387t2-3.68t+9.28。

甲烷濃度可以用Freundlich等溫吸附方程來(lái)描述，圖6是用Freundlich等溫吸附方程來(lái)擬合不同壓力下的煤屑甲烷濃度，具體結(jié)果如下。

圖6 煤屑中甲烷濃度與壓力關(guān)系圖

由圖6可知，甲烷濃度與壓力之間的關(guān)系為：C=0.007 7p0.39。即 ：K=0.0077，m=0.39。

煤巖在解吸罐中完整解吸數(shù)據(jù)如圖7所示。取其解吸罐內(nèi)前3 h的解吸數(shù)據(jù)進(jìn)行損失氣量擬合。

圖7 解吸罐中煤樣的累計(jì)甲烷解吸時(shí)間與解吸量關(guān)系圖

依最優(yōu)化算法，采用式（36）對(duì)解吸罐中解吸氣量進(jìn)行擬合，得Ci=0.051 g/cm3，擬合效果如圖8所示，其相關(guān)系數(shù)為0.997，精度較高。

圖8 實(shí)測(cè)解吸氣量擬合效果圖

將擬合的煤巖初始含氣濃度Ci代入式（30），得到煤巖在井筒提升過(guò)程中損失氣量為2 951 cm3。

圖9為用USBM法擬合得到的損失氣量，值為2 712 cm3，得知該結(jié)果小于本文擴(kuò)散模型的計(jì)算結(jié)果。

圖9 USBM法計(jì)算損失氣量圖（?t為煤巖提升時(shí)間）

圖10為USBM法與本文二項(xiàng)式計(jì)算模型的損失氣量計(jì)算結(jié)果對(duì)比。

圖10 不同方法下X樣品的損失氣量圖

由于煤樣在鉆井液靜液柱壓力與原始儲(chǔ)層壓力相等時(shí)就開(kāi)始解吸，但USBM 法假定解吸的零時(shí)間t0為樣品被提升到離井口一半深度時(shí)的時(shí)間，因此USBM 法采用的損失氣時(shí)間小于實(shí)際的損失氣時(shí)間（損失氣時(shí)間越長(zhǎng)，得到的損失氣量越大）。另外，USBM法采取的直線外推法是根據(jù)在大氣壓力下收集的解吸速率和解吸氣量來(lái)計(jì)算損失氣量的，即USBM 法試圖通過(guò)人為地推遲零時(shí)間點(diǎn)來(lái)減少實(shí)際的損失氣時(shí)間，這種方法一般會(huì)造成計(jì)算的損失氣量偏低。

4 結(jié)論

基于Fick擴(kuò)散定律建立了煤巖在井筒與解吸罐中外邊界濃度變化的甲烷擴(kuò)散模型，并通過(guò)數(shù)理方程求解方法求得了其解析解。在此基礎(chǔ)上，與前人構(gòu)建的解吸罐中定邊界濃度擴(kuò)散模型進(jìn)行對(duì)比，得出本文所建擴(kuò)散模型更具有普適性，綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)。

依據(jù)所建擴(kuò)散模型，用最優(yōu)化方法對(duì)解吸罐中的實(shí)測(cè)解吸數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，進(jìn)而可推測(cè)出井筒中損失氣量。

由于本文建立的擴(kuò)散模型考慮了煤巖提升過(guò)程中巖心外表面壓力隨時(shí)間變化的非線性特征，這可以更加準(zhǔn)確地表征煤層氣藏中甲烷在取心提升過(guò)程中的擴(kuò)散規(guī)律。因此，與USBM法相比，本文模型計(jì)算的井筒中甲烷損失氣量更準(zhǔn)確可靠。