讀懂教材內(nèi)容的實質(zhì)與邏輯

劉曉婷

【摘? ?要】教材是教師進行教學的重要資源，備教材是教學的重要環(huán)節(jié)。但當前教學中仍存在忽視教材的現(xiàn)象。從一道“扣分”測試題帶來的困惑出發(fā)，通過調(diào)研了解到教師在分數(shù)乘分數(shù)（分數(shù)除以整數(shù)）圖式表征中的理解失之偏頗，回歸教材分析背后的原因，提出讀懂教材內(nèi)容實質(zhì)與邏輯的三個角度：審慎眼光思教材、進階視野觀教材、動態(tài)視角析教材。

【關鍵詞】教材內(nèi)容理解;分數(shù)乘分數(shù);分數(shù)除以整數(shù)

教材是教師進行教學的重要資源，是教學活動設計的藍本。教師在備課過程中，對教材進行細致的分析、梳理是非常重要的環(huán)節(jié)，是制訂教學目標、把握教學重難點、設計教學活動及選擇教學策略的重要依據(jù)之一。然而教師對教材作用的忽視，導致教學中存在一些問題。例如，在展示課或比賽課中，為了凸顯教學的創(chuàng)新性，教師對教材棄置不用，進行“隨意的創(chuàng)造”;在日常教學中，“機械”使用教材，忽視學生的困難等。在當前“雙減”核心任務下，反觀這些現(xiàn)象，亟待一線教師回歸對教材進行解讀，重視對數(shù)學教材的分析，深度理解教材中的教學內(nèi)容，設計有效的教學活動，提升課堂教學質(zhì)量。下面，從一道“扣分”測評題帶來的困惑談起，追尋其背后的根源，簡析讀教材的視角。

一、研究緣起：一道“扣分”測試題帶來的困惑

某區(qū)六年級期末測試中有一道題目，“畫圖表示‘5/6÷ 3’的過程和結(jié)果”。某生作答情況如圖1所示，在判卷時教師扣掉了學生的一半分。

判卷教師給出的扣分理由是“學生沒有標注數(shù)據(jù)”，但學生認為“本題要求畫圖表示，并未對標數(shù)據(jù)做要求”。暫且不考慮題目表述嚴謹性的問題，“5/6÷3”究竟應該如何畫圖表示呢？學生畫的圖有問題嗎？如果有，問題是什么？筆者把題目稍作調(diào)整后，對19位教齡為5～10年的優(yōu)秀青年教師進行調(diào)研，請他們“畫圖表示‘5/6×1/3’的過程和結(jié)果”，得到六種主要類別的圖式。之后以投票的形式，對90位在職小學數(shù)學教師進行調(diào)研，讓教師選出贊同的圖式，結(jié)果如表1所示。

由上表可見，六個圖式全部有人支持。其中圖式⑥的支持率最高，約為65.60%，圖式⑤的支持率最低，約為18.90%。圖式②和學生作答示例（如圖1）相同，支持率約為45.60%。這一調(diào)研結(jié)果說明了什么，能帶給我們怎樣的啟示呢？

二、追本溯源：調(diào)研數(shù)據(jù)引發(fā)的問題與思索

上述案例引發(fā)如下問題：第一，哪種圖式能更準確地表示“5/6×1/3”的過程和結(jié)果？如何用圖式準確、恰當?shù)乇硎痉謹?shù)乘分數(shù)（分數(shù)除以整數(shù)）的計算過程？第二，為何教師在畫圖時會有如此多樣的表達？其根源是什么？筆者結(jié)合文獻研讀、教材梳理、教師訪談等方式，作如下闡釋。

（一）圖式分辨：緊扣運算意義，直觀精準地表達計算過程

對比表1中的六個圖式，有如下區(qū)別：其一，圖式①和③沒有體現(xiàn)出計算的過程，圖式②④⑤⑥給出了計算過程，部分圖式過程很完整。其二，圖式①內(nèi)部線全部為虛線，其他幾個圖式內(nèi)部大多為實線，其中圖式⑥最右側(cè)空白位置為虛線。其三，圖式④⑤⑥在第三步“分成三份”時，分割線均未延長，而圖式②的第二步分成三份時，分割線直通最右側(cè)，圖式①③類似。其四，圖式⑤平均分成6份的方式與其他圖式不同，采用了橫縱切割法，同時還把5/6轉(zhuǎn)為化“1/6×5”，步驟較多。其他圖式平均分成6份時，采用縱向切割法，平均分成3份時采用橫向切割法。

不同圖式之間的差別進一步聚焦到三個問題：（1）把一個長（正）方形平均分成6份，取其中的5份，老師們沒有異議。分歧在于接下來分的3份，分的對象是誰。（2）把一個長（正）方形進行分割時，用實線還是用虛線，還是虛實線結(jié)合？其中的道理是什么？（3）畫圖表示方式是否只有一種？

不論是“5/6×1/3”，還是“5/6÷3”，其意義均可解釋為“把5/6平均分成3份，求其中的1份”，即分成3份的對象應該是5/6，圖式④⑥都清晰地表示了這一意思。但分完3份并取出其中的1份后，這時的1份究竟是多少，還需要明晰其與單位“1”的關系，圖式⑥的最后一步，把分割線進行延長后，可以清晰地看到這部分是單位“1”的5/18。按此解釋，圖式⑥準確表示了算式和結(jié)果的意義。其中虛線的使用是為了更好地區(qū)別分割和確認結(jié)果兩個部分，能夠讓別人看清思考的過程。此外，圖式⑤做了轉(zhuǎn)化，雖然分割方法較復雜，但還是準確表征了所給出的算式的意義。

分數(shù)乘分數(shù)的意義還可有另外一種解釋，數(shù)學家伍洪熙把邊長等于m/n和k/l（這里的n，l都是非零自然數(shù)）的矩形稱為邊長為m/n和k/l的矩形，并由此定義分數(shù)乘法：m/n×k/l=邊長為m/n和k/l的矩形的面積。對于任意自然數(shù)l>0，n>0，有1/n×1/l=1/nl，如圖2（左）所示。對于任意分數(shù)m/n和k/l，一般乘積公式m/n×k/l=mk/nl成立。此時把m/n看成由m條長為1/n的線段拼接而成，k/l看成由k條長為1/l的線段拼接而成。如圖2（右）所示，大矩形恰好是由m/k個這樣全等的小矩形拼接而成，其面積等于1/nl+1/nl+…+1/nl=mk/nl[1]。

表1中的圖式③貌似和圖2有相似之處，但仔細分析還是有差別。圖2中使用的是矩形的面積來定義分數(shù)乘法，是把單位正方形進行分割，以5/6×1/3為例，1/6×1/3是基于定義得到的，定義及運算規(guī)則有嚴格的推導過程，計算過程用圖3表示。而表1圖式中老師們的想法是基于“某物的m/n”這一定義，即m/n×k/l=分數(shù)m/n的k/l。在表1所示的圖式中，都是用長方形代表單位“1”，先表示出5/6，再來表示5/6的1/3。

（二）根源初探：讀教材淺嘗輒止導致理解失之偏頗

為何老師們在畫圖時會出現(xiàn)如此多的樣態(tài)呢？通過訪談了解到，這與教師對教材的認知有關。以R、X、C三個版本的教材為例，三個不同版本的教材在用圖解釋分數(shù)乘分數(shù)時存在差異，如圖4～6。

三個版本教材在用圖式表示分數(shù)乘分數(shù)時全部給出了計算過程圖。表示第一個因數(shù)時基本相似，只有R版教材用虛線表示了單位“1”的另一部分。差異最大部分仍是m/n的k/l的表示方法，R版教材先把1/2平均分成5份，得到1/2的1/5，之后再用虛線延長分割線，得到10個格子，1/2的1/5正好是10個格子中的1個，即為1/10。X版教材以“折”表示分割，得到3/4后再“橫著對折兩次”，但此時的“對折”直觀呈現(xiàn)的是平均分整個長方形（B版教材一條虛線橫穿長方形），從平均分的對象上來看，容易造成誤解。用圖式表征，其目的是幫助學生直觀理解學習內(nèi)容，理解計算結(jié)果的合理性，教師需要明辨圖式的準確性、適宜性。

參閱其他教材和教學資料，關于分數(shù)乘分數(shù)的圖式表示方法，有些方式值得借鑒。如圖7（c），就標注了延長線的意義，即“把分割線延長至正方形，就能知道代表每一小塊兒的分數(shù)是多少”。

在討論“分數(shù)乘分數(shù)”的圖式時，有教師認為圖式⑥過于煩瑣，認為如圖式②所示，兩步足夠，并給出了“證據(jù)”——R版教材在圖式表示分數(shù)除以整數(shù)時就只畫了兩步（如圖8）。對該教師的質(zhì)疑如何回應呢？筆者以為，教師應當關注教材內(nèi)容呈現(xiàn)的進階。分數(shù)乘分數(shù)在分數(shù)除以整數(shù)之前，R版教材兩幅圖的差異也恰好表明了教材在設計呈現(xiàn)內(nèi)容時考慮到了兒童數(shù)學學習的經(jīng)驗，在分數(shù)乘分數(shù)圖形表征學習的基礎上，分數(shù)除以整數(shù)圖式可以做適當?shù)膭h減，而在關鍵部分，教材還是進行了巧妙且精準的表達，在把4/5平均分成兩份時，前面仍用實線表示分的對象是4/5，后面用虛線延長確認每個小格的分數(shù)值。但遺憾的是，教材編寫者的編寫意圖被部分教師忽視了。

此外，在對19位教師的調(diào)研中，僅有一位教師畫出了圖式⑤，該種畫法在調(diào)研中的支持率僅為18.90%，這同樣與教材呈現(xiàn)有關。仍以上述三個版本教材為例，分數(shù)乘分數(shù)及分數(shù)除以整數(shù)的圖式，教材多采用的是先縱向分割，后橫向分割的方式，教師習慣于這些圖式后，形成了思維定式，對其他圖式的分辨能力有所下降。三個版本教材中只有B版教材的分數(shù)除以整數(shù)圖式表示給出了不一樣的形式（如圖9）。在第一步表示出9/10后，再思考9/10的1/3是多少，此時直接橫向分割可以得到結(jié)果，但由于數(shù)的特點，不分割也很容易把9/10分成三部分，每份是3個豎條，即為3/10。這樣的思考既體現(xiàn)了對學生數(shù)感和觀察能力的培養(yǎng)，也讓學生知道學習不要被模式所限制，靈活處理問題很重要。

反觀期末測試中那道被“扣分”的題目，學生回答時是否標注了數(shù)據(jù)并不是最要緊的問題，要緊的是那樣的圖式表征真的準確、恰當表明5/6÷3”的過程和結(jié)果了嗎？透過學生的回答，教師應反思之前是如何教學的，是否真的給學生理解分數(shù)運算提供了有效支持，用怎樣的題目能更好地考查學生對分數(shù)運算的理解，等等。

三、延伸思考：多維視角讀教材，明晰教學內(nèi)容的實質(zhì)與邏輯

基于上述案例及分析過程，對教材研讀和使用有如下思考。

（一）審慎的眼光思教材，明晰教學內(nèi)容實質(zhì)

教材是教學的藍本，教師在研讀教材時需要有審慎的眼光。棄置不用不可取，全盤接受不適當。案例中呈現(xiàn)的三個版本教材，有些對m/n的k/l的表示方法稍欠妥當。教師應結(jié)合學生的學情對教材內(nèi)容進行審視，用問題驅(qū)動自我思考，“這里的表示學生能懂嗎”“學生都會這樣想嗎”，等等。教材是以文本的形式承載編者的思想和意圖的。教師在進行課堂教學設計時，要與教材進行“對話和交流”，從而把握教學內(nèi)容的實質(zhì)。教師應以審慎的眼光分析和思考教材，將靜態(tài)的教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為動態(tài)的學習活動。

（二）進階的視野觀教材，厘清教學內(nèi)容邏輯

教材在編排教學內(nèi)容時是有邏輯的，教師應以進階的視野看教材，明晰相關內(nèi)容之間的聯(lián)系。上述案例中，分數(shù)乘分數(shù)和分數(shù)除以整數(shù)在意義上具有一致性，R版教材在處理直觀圖式時就考慮到了內(nèi)容的關聯(lián)性，在圖式呈現(xiàn)方式上有所變化，體現(xiàn)了內(nèi)容及思維的進階。數(shù)學教材中的諸多內(nèi)容存在著緊密的聯(lián)系，前面內(nèi)容的教學應為后續(xù)內(nèi)容的學習積累知識、方法、思維經(jīng)驗，后續(xù)內(nèi)容就應當在此基礎上進行教學。但在教學中，我們?？吹浇處熁貧w原點，忽視教材內(nèi)容邏輯，忽視學生的知識、方法以及思維經(jīng)驗。備教材時，關注這種“瞻前顧后”的承接性十分必要。

（三）動態(tài)的視角析教材，有效設計教學活動

教學不應是“教教材”，而應是“用教材教”。這就需要教師以動態(tài)的視角解析教材。仍以案例中的分數(shù)乘分數(shù)為例，三個版本教材以過程全景圖的形式呈現(xiàn)了計算的過程。教師備教材時可考慮以動態(tài)課件的形式呈現(xiàn)平均分的過程，選擇表征方法的過程，再平均分的過程，以及確認結(jié)果分數(shù)的過程。此外，結(jié)合學生實際對教材情境恰當?shù)剡M行再加工，對教學任務進行適當?shù)姆纸狻⒄?、重組等都是動態(tài)視角下解析教材的路徑，也是有效設計教學活動的前提。

備教材是教師的基本功，教師要專精覃思讀教材，讀懂教材內(nèi)容的本質(zhì)與邏輯，為教學媒體和策略的選擇提供依據(jù)，為實現(xiàn)高質(zhì)量教學積蓄力量。

參考文獻：

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（北京教育學院? ?100120）