從“一以貫之”到“擴充拓展”

董文彬

【摘? ?要】運算是小學數(shù)學教學的主要內容之一，運算意義是運算教學的核心內容。基于一次觀課后的思考，追溯除法意義和乘法意義，提出運算意義的教學不應是“一以貫之”，而要根據(jù)學習內容的進階“擴充拓展”，不斷完善學生對運算意義理解的認知結構。學生對運算意義的理解應從固有的“原始性認識”向整體的“結構性認識”轉變。運算教學應幫助學生根據(jù)數(shù)系的不斷擴展，進行思維與認識水平的必要重構，從而發(fā)展其對運算意義的理解。

【關鍵詞】運算意義;除法意義;乘法意義;原始性認識;結構性認識

一、問題的提出：一次觀課引發(fā)的思考

“長頸鹿與小鳥”是北師大版教材二年級上冊第九單元“除法”第一課時的學習內容（如圖1）。學生根據(jù)數(shù)學信息提出了數(shù)學問題。教學第一個問題“長頸鹿要準備幾間房子”時，學生篩選信息后嘗試解答，其中一個學生表達了自己的想法：用除法解決，6個6個地分，每份一樣多，是平均分，列式計算是42÷6=7（間）。另一個學生質疑：為什么用除法解決？該學生回應：因為這個問題是平均分，所以是42÷6=7。接著教師讓學生根據(jù)題目要求“寫一寫，畫一畫，用喜歡的方式解釋42÷6=7”。隨后學生匯報呈現(xiàn)了五種方式：①畫圓圈圖：畫42個圓圈，6個分1組，能分7組，所以42÷6=7（間）;②用減法：42-6-6-6-6-6-6-6=0，減了幾個6就是幾間房;③畫數(shù)線圖：從42開始每次減6，減7次，減到0;④列表;⑤運用乘法口訣：六七四十二，42÷6=7。教師自始至終對于學生的想法“6個6個地分，每份一樣多，是平均分，所以用除法解決”沒做回應或默認合理。

問題引發(fā)思考：“已知6只小鳥住一間房子，一共有42只小鳥，長頸鹿要準備幾間房子？”解決這個問題時學生選擇用除法，理由是“這是‘平均分’問題”。在小學第一學段，學生對除法概念本質的理解就是“平均分物”。由于前面學習“分一分與除法”單元時，教材呈現(xiàn)的多半是等分情境，這就先入為主地給學生造成了“除法就是將總數(shù)平均分給已知人數(shù)的等分（分配）過程”的認識。因此，大多數(shù)學生簡單地將“平均分”等同于“等分”。但此情境中要解決的問題是“等分”嗎？此問題用“等分”來解釋“為什么用除法解決”合理嗎？除法源于“平均分物”，是不是說除法的意義就是“等分”？在這里除法的意義用“等分”還解釋得通嗎？除法意義的教學情境是否需要擴充和拓展？

二、核心問題再討論：運算意義是“一以貫之”還是根據(jù)學習內容“擴充拓展”

聚焦“案例”體現(xiàn)的問題是：教師試圖將“平均分物”模糊地貫穿于不同的問題情境中，來解釋除法運算的意義。換言之，上述案例所暴露出的核心問題是：運算意義是“一以貫之”還是根據(jù)不同問題情境或學習內容進階“擴充拓展”？這確實是運算教學中一個值得探討的核心問題。

（一）追溯除法意義的認識

1.從“平均分”說起

追溯除法，最早是在“平均分”的問題背景下產生的。關于平均分的含義，一般認為：在人們分物的時候，常常要求做到“公平”，因而在“分”的時候，要“分”得“同樣多”，“平均分”由此而產生。即在分物時，使得每份所分得的數(shù)量都相等。我們知道，日常平均分物有兩種情況：一是知道要分的總數(shù)和平均分的份數(shù)，求每份數(shù)是多少，即“等分除”;二是知道要分的總數(shù)和每份數(shù)，求平均分的份數(shù)，即“包含除”。這兩種不同情況的除法都是在“平均分”的數(shù)學模型中產生的，地位平等。以北師大版教材編排為例，學生第一次認識除法是在二年級上冊第七單元“分一分與除法”中，教材用三個課時讓學生充分經(jīng)歷了“平均分物”的各種活動，之后又通過第四課時“分香蕉”的實例把直觀操作符號化、數(shù)學化，引導學生認識除法。無論是前面的“平均分物”還是后面的“認識除法意義和除法算式”，北師大版教材都淡化了對除法“等分除”和“包含除”的兩層意義的教學，即在認識除法的開始階段對二者不作區(qū)分。教材認為，兩者的本質是一致的，都是把一個整體分成若干相同的部分，這里的部分就是“一份數(shù)”，這里的若干就是“份數(shù)”，這其中的數(shù)量關系就是“總數(shù)”與“一份數(shù)”和“份數(shù)”的關系。所謂“等分除”與“包含除”的不同就是“知道總數(shù)和份數(shù)求每份數(shù)”和“知道總數(shù)和每份數(shù)求份數(shù)”而已。教學中應引導學生體會不同情境下具有的數(shù)學本質，即把一個整體分成若干相同的部分，為后續(xù)引入除法和理解除法的意義積累豐富的現(xiàn)實素材和活動經(jīng)驗。學生由此體驗到：只要是把一個整體平均分成若干部分，這個活動過程就可以用除法來表示。換言之，在學習除法的起始階段，教材是有意把“包含除”蘊含在“平均分”的問題情境中，與“等分除”不作區(qū)分，認為這只是“平均分”的兩種情況（如圖2）。

教材的這種模糊處理，筆者并不認同。筆者更認同張奠宙教授的說法：除法教學，最常見的情境是“平均分物”，如將一些餅干平均分給小朋友。這一數(shù)學模型，涉及兩種除法，即“等分除”和“包含除”?！暗确殖焙汀鞍笔峭粋€數(shù)學模型的兩個側面。我們不但要區(qū)分“等分除”和“包含除”，還要把二者明確地說出來，寫進教學用書，甚至寫入教材，目的是讓學生完整地了解除法的數(shù)學模型。

2.擴充至“倍”的認識，拓展至“包含除”的意義

按照北師大教材的呈現(xiàn)順序，教材意在結合“倍的認識”，引導學生加深對除法“包含除”含義的理解。本單元的第六課時“倍的認識”結合除法進行學習，只是“倍”不作為科學概念而只作為生活概念來處理，即結合具體情境和問題解決的過程讓學生體會“倍”的意義，感受倍與除法的聯(lián)系，進而拓展除法的意義（如圖3）。

從教材的編排來看，對“倍”的理解實際上就是對除法意義的拓展，即除法不僅可以表示一個數(shù)量的“等分除”問題，也可以表示兩個數(shù)量之間的關系（倍數(shù)關系）。而這里的“兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關系”其實就是除法的“包含除”的意義，即a的數(shù)量是b的數(shù)量的多少倍，就是指a的數(shù)量里包含有多少個b的數(shù)量，也就是把b的數(shù)量看作“一份數(shù)”，那么“倍數(shù)”就是“份數(shù)”。也可以從度量的角度加以審視，即把b的數(shù)量看作一個標準度量單位（一份數(shù)），去度量a的數(shù)量（總數(shù)），度量的次數(shù)（份數(shù)）就是“倍數(shù)”。由此可見，除法學習至此，除法的意義已經(jīng)由表示一個數(shù)量“等分除”的問題擴充至兩個數(shù)量“包含除”的倍數(shù)關系問題，隨著對除法學習的再認識，除法的意義在學生的認知結構層次上實現(xiàn)了新的拓展與提升。

3.再談明晰“等分除”與“包含除”對除法學習的重要性

誠然，“等分除”是把一個總數(shù)平均分成若干份，求每一份的數(shù)量是多少;“包含除”是把每一份的數(shù)量看作一個標準量，看總數(shù)里有幾個這樣的“一份數(shù)”，相當于把總數(shù)平均分成了幾份。這樣看，無論是“等分除”還是“包含除”，單從學習活動上看是基本一樣的，都可以看作是把一個整體數(shù)量分成若干相同的部分的過程。但是，從問題情境數(shù)學化的角度來看，“等分除”和“包含除”還不完全是一回事。他們不僅僅是簡單的“平均分”的兩種方式，也不僅僅是“平均分”的不同分法，它們客觀再現(xiàn)的數(shù)學問題的本質意義和學生的思維認知存在著明顯差別。在除法學習的起始階段，基于學生對除法理解的初步程度，如教材所述可以將“包含除”的問題蘊含于“平均分”中暫時與“等分除”不作區(qū)分。但隨著除法學習的深入，隨著學習內容的不斷進階，學生對除法意義的認識也需要進一步擴充和拓展，這就是“倍的認識”出現(xiàn)的重要意義?！氨兜恼J識”使得學生對除法意義的理解由統(tǒng)一一個數(shù)量的“等分除”上升為兩個數(shù)量的“包含除”的倍數(shù)關系，將“包含除”的意義從“等分除”中剝離出來，既是對不同問題情境數(shù)學化抽象理解的體現(xiàn)，也是學生對除法意義認知結構逐步完善的體現(xiàn)。

讓我們再來看兩個例子。

問題1：國內長途每分鐘0.3元，笑笑打電話通話費用了5.1元，笑笑打電話的時間是多少分鐘？

問題2：1袋20kg的大米，每天吃掉2/5kg，可以吃多少天？

顯然，這兩個例子是“小數(shù)除法”和“分數(shù)除法”的問題。在“用除法解決這樣的問題”以及解釋“為什么用除法解決”時，一般用“等分除”不好解釋，而用“包含除”的意義或“倍”的關系來解釋則學生很容易理解，即“要求打電話的時間是多少分鐘，就是看5.1元里有多少個0.3元”“要求可以吃多少天，就是看20kg里有多少個2/5kg”，從兩個量之間的數(shù)量關系來理解除法正是除法“包含除”的意義。這也正說明，從整數(shù)到小數(shù)再到分數(shù)，隨著數(shù)系的不斷擴展，學生對除法的學習也會隨之從整數(shù)除法到小數(shù)除法再到分數(shù)除法不斷深化，對運算意義的理解與再認識也會隨之更加清晰、明朗和走向深入。

（二）延伸再認識乘法意義的擴充拓展問題

追溯乘法，最初是表示“求幾個相同加數(shù)的和”，即用相同加數(shù)乘相同加數(shù)的個數(shù)。但隨著數(shù)系領域的不斷擴展，這里的加數(shù)也逐漸開始突破自然數(shù)的限制。比如“小數(shù)乘整數(shù)”“分數(shù)乘整數(shù)”，這里乘法的最初定義已經(jīng)無法“雙向”解釋，乘法意義需要進一步擴充拓展。隨著乘法的認識和學習，乘法也出現(xiàn)了倍的意義，即求一個數(shù)的幾倍是多少。從整數(shù)乘法到小數(shù)乘法中的“小數(shù)乘小數(shù)”，再到分數(shù)乘法中的“整數(shù)乘分數(shù)”“分數(shù)乘分數(shù)”。這一過程中乘法意義又突破了“倍”的意義，與“分數(shù)意義”相關聯(lián)，進一步完成了由表示“幾個幾”到表示“一個數(shù)的幾分之幾”的擴充與拓展。由此可見，小數(shù)乘法、分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義已經(jīng)并不完全相同，有時用整數(shù)乘法的意義“幾個幾”可以解釋，有時卻需要聯(lián)系分數(shù)的意義解釋才更科學合理。乘法運算的意義必須根據(jù)學習內容進行擴充和拓展。

三、運算教學：運算意義應從固有的“原始性認識”向整體的“結構性認識”轉變進階

回應前面觀課中的問題?！鞍咐钡膬热菔歉鶕?jù)問題情境提出用除法解決的實際問題，是在學生經(jīng)歷了第一階段“分一分與除法”的學習，已經(jīng)認識了除法“等分除”的意義，并進一步通過“倍的認識”補充拓展了“包含除”的意義的基礎上展開的第二階段除法學習。因此根據(jù)學習內容的進階，在將問題情境數(shù)學化的過程中還是需要將“包含除”與“等分除”區(qū)分開來，幫助學生全面補充拓展理解除法的意義。正如張奠宙教授所言“在日常生活中，‘等分除’情境與‘包含除’情境是不一樣的，雖然都歸于除法，但只有把兩者意義區(qū)分開，除法模型才會建立得更加豐滿”。

綜上所述，運算意義的教學不應也不能是“一以貫之”，而是要根據(jù)學習內容的進階“擴充拓展”，不斷豐富完善學生對運算意義理解的認知結構。就整體而言，我們不僅應當高度重視對運算意義固有的“原始性認識”，努力促使學生向整體的“結構性認識”轉變進階，而且應幫助學生根據(jù)數(shù)系的不斷擴展以及運算內容、學習階段的進階遵從知識學習的本質規(guī)律，從更高層次上進行思維與認識水平的必要重構，從而完成對運算意義理解的發(fā)展與深化。

參考文獻：

[1]張奠宙.教材編寫要注意防止片面的思維定式——評小學數(shù)學教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學教學（數(shù)學版），2015（9）：4-6.

[2]鞏子坤，張奠宙，任敏龍，等.小學數(shù)學中切莫忽視“包含除”的教學價值[J].小學數(shù)學教師，2017（4）：4-6.

（北京市海淀區(qū)中關村第一小學教育集團100193）