線性代數(shù)中初等變換的“不變”與“變”

夏文華，王祝君

（湖南工程學(xué)院 計(jì)算科學(xué)與電子學(xué)院，湖南 湘潭 411104）

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門重要課程，是工科及經(jīng)濟(jì)管理類學(xué)生一些后續(xù)課程的基礎(chǔ)。線性代數(shù)中用得最多的是“矩陣的初等變換”。不少學(xué)者從不同研究角度探索了初等變換的應(yīng)用，并就矩陣初等變換的教學(xué)進(jìn)行了一些探討，［1-7］“矩陣初等變換是線性代數(shù)課程中一種重要且基礎(chǔ)的運(yùn)算法則，它是研究矩陣、向量組線性相關(guān)性、線性方程組的解、二次型以及線性空間等內(nèi)容不可替代的工具”［1］。因?yàn)橛玫牡胤蕉?，而線性代數(shù)學(xué)時(shí)較少，學(xué)生對初等變換在使用時(shí)會(huì)帶來的變化不清楚，或者不清楚在不同地方使用初等變換的條件，從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)常常容易糊涂，思維混亂，綜合做題時(shí)錯(cuò)誤百出。本文從初等變換“不變”與“變”的角度來理順線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)思路。

一 初等變換不改變矩陣的秩

定理1：［8］68若A～B，則R(A)=R(B)。

即：初等變換不改變矩陣的秩。

定理2：［8］93矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。

根據(jù)以上定理我們可以解決以下兩個(gè)問題：

（1）求矩陣的秩；（2）求向量組的秩。

如果只求矩陣或向量組的秩，一般學(xué)生都沒有問題，向量組無論是以行的形式，還是列的形式作成矩陣都可以。但是在求向量組的極大無關(guān)組時(shí)，學(xué)生就會(huì)開始犯錯(cuò)，主要錯(cuò)誤就是將向量組作為矩陣的行向量組，但是實(shí)施的卻是初等行變換，這樣得到的該向量組的秩還是不變，但是極大無關(guān)組卻變了。

例1.給出向量組：

我們將該向量組作為矩陣的列向量組，并對其實(shí)施初等行變換將其化為行階梯形矩陣：

得秩為3，極大無關(guān)組為α1,α2,α4。

若將該向量組作為矩陣的行向量組，仍然對其實(shí)施初等行變換化為行階梯形：

也能得秩為3，但是不少學(xué)生還將行向量組看成和列向量組一樣從而得出錯(cuò)誤結(jié)論：極大無關(guān)組為α1,α2,α3.事實(shí)上α1,α2,α3是線性相關(guān)的。

學(xué)生往往只記得初等變換不改變矩陣的秩，且矩陣行向量組的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣的秩，但卻忽略了極大無關(guān)組的定義，從而錯(cuò)誤地將矩陣列向量組的極大無關(guān)組與行向量組的極大無關(guān)組混淆了。

故而在教學(xué)時(shí)需要強(qiáng)調(diào)：（1）如果求向量組的秩，無論是以列的形式還是以行的形式作成一個(gè)矩陣都可以，無論用行變換還是用列變換也都可以，這就是“不變”；（2）如果求向量組的極大無關(guān)組，就要注意向量組的擺放形式，擺放形式不同，初等變換方式也不同，這就是“變”。且：（1）若以列的形式作成矩陣，則做初等行變換將矩陣化為行階梯形，那么行階梯形矩陣的每一行首非零元所在列對應(yīng)的原向量即為極大無關(guān)組；（2）若以行的形式作成矩陣，則做初等列變換將矩陣化為列階梯形，那么列階梯形矩陣的每一列首非零元所在行對應(yīng)的原向量即為極大無關(guān)組。

如例1 中的向量組α1,α2,α3,α4，若將該向量組以列的形式作成矩陣，則只實(shí)施初等行變換：

得極大無關(guān)組為α1,α2,α4，且α3= 3α1+α2+ 0α4。

若將該向量組以行的形式作成矩陣，則只實(shí)施初等列變換：

由此可知，不管是行向量組還是列向量組，為免學(xué)生混淆出錯(cuò)，可要求學(xué)生都將向量組作成矩陣的列向量組，只實(shí)施初等行變換，所得結(jié)論不變。

二 初等行變換不改變線性方程組的解

線性方程組與其增廣矩陣是一一對應(yīng)的，對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換所得矩陣所對應(yīng)的方程組與原方程組同解。也就是說初等行變換不改變線性方程組的解。

由此，可以利用初等行變換來解決以下三個(gè)問題：

1.求解線性方程組Ax=b，其中

A中的第i列αi即為xi的系數(shù)，B中的第i行對應(yīng)的是第i個(gè)方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。根據(jù)增廣矩陣的意義和解方程組的習(xí)慣一般只能做行變換。如果將增廣矩陣轉(zhuǎn)置則就只能做列變換，方法同例1 中用初等列變換求行向量組的極大無關(guān)組。但是，因?yàn)檫@種方式不符合我們通常寫方程組的習(xí)慣，所以我們強(qiáng)調(diào)在解線性方程組時(shí)，對其增廣矩陣只實(shí)施初等行變換。那么，凡是需要求解線性方程組時(shí)，我們都只強(qiáng)調(diào)做初等行變換，一般不允許做初等列變換。

2.判斷向量組α1,α2,…,αn的線性相關(guān)性。向量組α1,α2,…,αn線性相關(guān)?以該向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax= 0 有非零解?R(A)＜n（n為向量的個(gè)數(shù)）；向量組α1,α2,…,αn線性無關(guān)?以該向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組Ax= 0 只有零解?R(A)=n（n為向量的個(gè)數(shù)）。

那么，可以提醒學(xué)生注意：若只判斷向量組是否線性相關(guān)，行列變換都可以；若在向量組線性相關(guān)時(shí)還要求求出具體表達(dá)式，則須將該向量組作為矩陣A的列向量組且只能做初等行變換。

3. 判斷一個(gè)向量b是否能由一個(gè)向量組α1,α2,…,αn線 性 表 示。 向 量b能 由一個(gè) 向量 組α1,α2,…,αn線性表示?以該向量組為系數(shù)矩陣A，以b為常數(shù)列的非齊次線性方程組Ax=b有解?R(A)=R(B)；向量b不能由一個(gè)向量組α1,α2,…,αn線性表示?以該向量組為系數(shù)矩陣A，以b為常數(shù)列的非齊次線性方程組Ax=b無解?R(A)≠R(B)。

可以提醒學(xué)生注意：所有向量均作為矩陣A和B（B=(α1,α2,…,αn,b)）的列向量組，且只能做初等行變換。

總之，凡是牽涉到線性方程組的求解，所有向量均做成矩陣的列向量組，且只做初等行變換。

三 相似變換不改變矩陣的特征值

按照矩陣特征值與特征向量的定義，一般線性代數(shù)的教材都是根據(jù) |A-λE|= 0 來求矩陣的特征值，再通過解齊次方程組(A-λE)x= 0 基礎(chǔ)解系的方式來求對應(yīng)特征向量。

顯然，三角陣或?qū)顷嚨奶卣髦稻褪侵鲗蔷€上的元素。而對矩陣A可以作初等變換將其化為三角陣或?qū)顷嚒Ｋ?，很多學(xué)生會(huì)因?yàn)榍岸螘r(shí)間學(xué)習(xí)的慣性，自然想到將矩陣通過初等變換化為三角陣或?qū)顷囈源藖淼贸鼍仃嚨奶卣髦?。但是，一般對矩陣A作初等變換所得矩陣與A的特征值是不相同的。也就是說對矩陣做初等變換會(huì)改變它的特征值。

如果對矩陣A作初等變換，則：

顯然，不能由A經(jīng)初等變換所得的三角陣或?qū)顷嚨贸鯝的特征值。事實(shí)上，由(λ- 1)(λ- 3)=0，得A的特征值：1,3。

然而，有一種特殊的初等變換不改變矩陣的特征值，這就是相似變換。

定義 1：［8］124設(shè)A，B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱A與B相似。

定理 3：［8］124若n階矩陣A與B相似，則A與B特征值相同。

根據(jù)定義1 和定理3，可知：如果能找到一個(gè)可逆矩陣P，使得A與一個(gè)上（下）三角陣B相似，那么A的特征值等于三角陣B的特征值，也即為B的對角線上的元；如果能找到一個(gè)可逆矩陣P，使得A與一個(gè)對角陣Λ相似，那么不僅可以根據(jù)Λ主對角線上的元得出A的特征值，還可以求出對應(yīng)特征值的特征向量。

這種方法教材中很少介紹。這里給出具體方法如下：

由相似的定義，A與Λ相似?存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ。

而可逆矩陣P可以表示成一系列初等矩陣的乘積 ，即P=p1p2…pl，那 么P-1=pl-1…p2-1p1-1，則P-1AP=Λ?pl-1…p2-1p1-1Ap1p2…pl=Λ。 即 ：對A實(shí)施一次初等行變換（左乘pi-1），就對A再實(shí)施一次相應(yīng)的逆的初等列變換（右乘pi），這樣“成套”地對A作初等變換，直到將A化為對角陣Λ，那么P=p1p2…pl，而Ep1p2…pl=EP=P。

于是，我們將A與一個(gè)與之同階的單位矩陣E作成矩陣按照以上方法進(jìn)行初等變換，列變換對A與E同時(shí)進(jìn)行，行變換只對A實(shí)施。將化為則由Λ可得A的特征值，而P的列向量組則是對應(yīng)特征值的特征向量。

為方便描述，我們給出以下定義：

定義2：如果對A實(shí)施一次初等行變換（左乘pi

-1），就對A再實(shí)施一次相應(yīng)的逆的初等列變換（右乘pi），這種“成套”地對A作初等變換的方法，稱為“成套”初等變換法。

所謂實(shí)施一次初等行變換，就實(shí)施一次相應(yīng)的逆的初等列變換的意思是：

若對A實(shí)施一次互換第i行與第j行的變換（ri?rj），就對A再實(shí)施一次互換第i列與第j列的變換（ci?cj）；

若對A實(shí)施一次將第i行乘k倍的變換（kri），就對A再實(shí)施一次將第i列乘倍的變換

若對A實(shí)施一次將第i行的k倍加到第j行的變換（rj+kri），就對A再實(shí)施一次將第j列的 -k倍加到第i列的變換（ci-kcj）。

如例2，我們采用“成套”初等變換法來求特征值和特征向量：

得A的特征值為：3,1，對應(yīng)的特征向量分別為

總之，一般的初等變換會(huì)改變矩陣的特征值，但因?yàn)橄嗨谱儞Q不改變矩陣的特征值，所以我們可以利用一種特殊的初等變換——“成套”初等變換法，求出一些矩陣的特征值和特征向量。這種方法具有一定的創(chuàng)新性，可以用來開闊學(xué)生思維，更好地理解相似變換。但是，這種方法也具有局限性，不是所有的矩陣都可以用“成套”初等變換法來求特征值，比如不能對角化的矩陣就不能用“成套”初等變換法來求特征值。

四 結(jié)語

本文對線性代數(shù)中需要用到初等變換的幾個(gè)地方進(jìn)行了“不變”與“變”的分析，從初等變換是否改變要求量的角度闡明了初等變換使用的方式和注意要點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)不僅需要知道哪些地方需要用到初等變換，還需要清楚知道該用行變換還是列變換，是行列變換都可以，還是行列變換都不可以，只有清楚使用初等變換的方式，才真正弄懂了線性代數(shù)這門課程的內(nèi)涵。從前面的分析我們看到，除了“成套”初等變換法求特征值這一條比較特別之外，解決其他問題時(shí)行列變換其實(shí)都是可以進(jìn)行的，但是要注意使用方式，所以在實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們可以要求學(xué)生一般情況都只用行變換，這樣可以有效避免發(fā)生錯(cuò)誤。當(dāng)學(xué)生熟練掌握了初等行變換和相應(yīng)理論知識點(diǎn)之后，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考：如果做列變換是否改變結(jié)果，為什么？要怎樣做才是正確的？通過全盤提問和最后的總結(jié)更有利于學(xué)生主動(dòng)思考問題和理解知識點(diǎn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力和自主學(xué)習(xí)能力，最終達(dá)到知識融會(huì)貫通的目的。